Smath Studio Руководство пользователя. Руководство пользователя
 Скачать 1 Mb.
|
|
Глава 9 Операторы 9.1 Работа с операторами Вставка оператора Вы вводите общие арифметические операторы в математические выражения в SMath Studio, используя стандартные нажатия клавиши, как * и +, которые вы используете в электронной таблице и других приложениях. Дополнительно, все операторы SMath Studio могут быть введены в математические выражения путем нажатия кнопок на панелях инструментов. Например, вы вводите оператор дифференцирования SMath Studio, нажимая на панели инструментов Функции, или печатая?.См. "Операторы" в Приложениях для полного списка операторов, нажатий клавиш для их ввода, и описаний. Совет Вы можете узнать клавишу быстрого вызова для того, чтобы ввести оператор, подводя указатель мыши к кнопке оператора в одной из математических панелей инструментов и читая всплывающую подсказку. Как представлено в главе 4 “Работа с математикой”, когда вы вводите оператор SMath Studio в пустое место на вашем рабочем листе, математический символ с пустыми метками- заполнителями появляется на рабочем листе. Метки-заполнители необходимы вам, чтобы войти в выражения, которые являются операндами оператора. Число пустых меток- заполнителей меняется в зависимости от оператора: у некоторых операторов как оператор факториала, есть только единственная метка-заполнитель, в то время как у других, таких как определенный интеграл есть несколько. Вы должны ввести верное математическое выражение в каждую метку-заполнитель оператора, чтобы вычислить результат. Вот очень простой оператор сложения SMath Studio, использованный в качестве примера: 1. Щелкните в пустом месте на вашем рабочем листе и наберите любое число (например, 3). 2. Нажмите + на клавиатуре либо щелкните на значок на панели инструментов Арифметика. Справа от первого числа появится символ + и пустая метка-заполнитель 3. В пустой метке-заполнителе введите число 5 4. Нажмите = на клавиатуре либо щелкните значок на панели инструментов Арифметика. Справа появится результат вычисления Дополнительные операторы Эта глава сосредотачивается на тех операторах SMath Studio, которые вы можете использовать, чтобы вычислить числовые ответы. Дополнительные операторы в SMath Studio включают: • Символьные операторы, которые могут только использоваться, чтобы произвести другие математические выражения или точные числовые ответы. Как описано в главе 14, “Символьное вычисление,” символьный процессор SMath Studio понимает фактически любое выражение SMath Studio. Ряд выражений могут быть оценены символически, например выражение с использованием производной; • Программные операторы, которые вы используете, чтобы связать множественные выражения SMath Studio посредством условия ветвления, оператора цикла, локального описания переменных и другие особенностей традиционных языков программирования. Эти операторы представлены в главе 15 "Программирование". 9.2 Арифметические, логические и комплексные операторы Арифметические операторы Вы можете свободно объединить все типы чисел арифметическими операторами, к которым вы получаете доступ на панели инструментов Арифметика. Рисунок 9-1 показывает примеры таких операторов. Рис. 9.1 Комбинация различных типов чисел с арифметическими операторами Логические операторы SMath Studio включает логические или Булевы операторы на Булевой панели инструментов. В отличие от других операторов, Булевы операторы могут возвратить только ноль или один. Несмотря на это, они могут быть очень полезными, чтобы выполнить тесты по вашим выражениям. Примеры логических операторов показаны на рис. 9.2. Следующая таблица приводит Булевы операторы, доступные на Булевой панели инструментов и их значение. Отметьте, что оператор “Равно к” (жирный знак равенства) отличается от простого знака равенства, который Вы вставляете, печатая =. Оператор Значок Описание Комбинация клавиш w=z Строгое равенство; отображается с помощью жирного знака равенства Ctrl + = x < x>y Больше > xy Меньше или равно Ctrl + 9 xy Больше или равно Ctrl + 0 wz Не равно Ctrl + 3 z Булево Не wz Булево И wz Булево ИЛИ wz Булево Исключающее ИЛИ Замечание Булевы операторы возвращаются 1, если выражение верно, 0 иначе. Эти четыре оператора <, >, , не могут быть применены к комплексным числм, потому что понятие больших чем и меньше чем теряет свое значение в комплексной плоскости. Рис. 9.2 Использование логических операторов Совет Сравнительные булевы операторы такой как <и> могут также использоваться, чтобы сравнить строки. SMath Studio сравнивает два строковых символов, определяя коды ASCII символов. Например, строка "Euler" предшествует строке "Мах" в порядке ASCII и таким образом, выражение ("Euler" <"Мах") оценивает как 1. Чтобы определить код цифры, используемое SMath Studio в сравнении строк, см. “коды ASCII” в приложениях. Комплексные операторы У SMath Studio есть один арифметический оператор для того, чтобы работать с комплексными числами: Оператор Значок Описание z Модуль комплексного числа z Данный оператор так же может быть вызван через диалог вставки функции. Для этого нужно выбрать пункт меню Вставка-Функция, и в появившемся окне выбрать функцию abs. Функция взятия модуля может работать не только с комплексными числами, но и с обычными вещественными. Рисунок 9.3 показывает некоторые примеры того, как использовать комплексные числа в SMath Studio. Рис. 9.3 Комплексные числа в SMath Studio 9.3 Векторный и матричный операторы Все операторы на панели инструментов Матрицы предназначены для операций с векторами и матрицами. Если вы используете оператор сложения, чтобы сложить два множества одного и того же размера, SMath Studio выполняет стандарт поэлементно сложение. SMath Studio также использует среди прочих обычные арифметические операторы для матричного вычитания, умножения матриц, целочисленного возведения в степень целого числа и вычисления определителей. Приведенная ниже таблица описывает операции над матрицами и векторами в SMath Studio. Операторы, не перечисленные в этой таблице, не работают с векторами и матрицами. Рисунок 9.4 показывает некоторые способы использования векторных и матричных операторов. Рис. 9.4 Операции с векторами и матрицами В данной таблице: • A и B обозначают векторы или матрицы; • u и v обозначают векторы; • M обозначает квадратную матрицу; • u i и v i обозначают элементы векторов; • z обозначает скаляр; • m и n обозначают целые числа Операция Кнопка Описание A z Скалярное умножение. Умножает каждый элемент A на скаляр z (панель инструментов Арифметика). u v Скалярное произведение. Возвращает скаляр: ∑ 〈 u i ⋅ v i 〉 . У векторов должна быть одинаковая длина (панель инструментов Арифметика). A Β Умножение матриц. Возвращает матричное произведение A и B. Число столбцов в A соответствует числу строк в B (панель инструментов Арифметика). Α v Умножение матрицы на вектор. Возвращает произведение A и v. Число столбцов в A соответствует числу строк в v (панель инструментов Арифметика). A z Скалярное деление. Делит каждый элемент множества A на скаляр z (панель инструментов Арифметика). A +Β Сложение векторов и матриц. Складывает соответствующие элементы A и B. У множеств A и B должно быть одинаковое число строк и столбцов (панель инструментов Арифметика). A + z Скалярное сложение. Прибавляет z к каждому элементу A (панель инструментов Арифметика). A- Β Вычитание векторов и матриц. Вычитает соответствующие элементы A и B. У множеств A и B должно быть одинаковое число строк и столбцов (панель инструментов Арифметика). A-z Скалярное вычитание. Вычитает z из каждого элемента A (панель инструментов Арифметика). -A Инверсия вектора или матрицы. Возвращает множество, элементы которого – отрицательные значения элементов A (панель инструментов Арифметика). М n Возведение в степень n квадратной матрицы М (используется умножение матриц). n должно быть целым числом. M -1 представляет обратную матрицу М. Другие возведения в отрицательную степень – возведение в степень обратной матрицы. Возвращает матрицу (панель инструментов Арифметика). v Модуль вектора (применим только для комплексных чисел). Возвращает v⋅v , где v сопряженное комплексное число (панель инструментов Арифметика). M Определитель. М должна быть квадратной матрицей (панель инструментов Матрицы). A T Траспонирование. Обмен местами строк и столбцов A (панель инструментов Матрицы). uv Векторное произведение. u и v должны быть векторами с тремя элементами; результат – другой вектор с тремя элементами (панель инструментов Матрицы). M i,j Минор. Определитель матрицы, которая образуется удалением из исходной матрицы i-ой строки и j-го столбца (панель инструментов Матрицы). A i,j Алгебраическое дополнение. Вычисляется по формуле A i , j =− 1 i j M i , j (панель инструментов Матрицы). v n Векторный подстрочный индекс. n-ый элемент вектора (панель инструментов Функции). A m,n Матричные подстрочные индексы. m,n-ый элемент матрицы (панель инструментов Функции). Совет Операторы и функции, которые ожидают векторы, всегда ожидают векторы- столбцы. Они не могут быть применены к векторам-строкам. Чтобы изменить вектор-строку в вектор-столбец, используйте оператор транспонирования, нажимая на на панели инструментов Матрицы. 9.4 Суммы и произведения Оператор суммы суммирует выражение по всем значениям индекса. Оператор произведения работает почти по такому же пути. Он вычисляет произведение выражения по всем значениям индекса. Чтобы создать оператор суммы в вашем рабочем листе: 1. Щелкните на пустом месте. После этого нажмите значок на панели инструментов Функции либо вставьте стандартную функцию sum путем выбора Вставка-Функция. Появляется знак суммы с четырьмя метками- заполнителями. 2. Напечатайте имя переменной в метке-заполнителе налево от знака равенства. Эта переменная - индекс суммы. Она определена только в пределах оператора суммы и поэтому не имеет никакого эффекта на переменные, определенные вне оператора суммы. 3. Напечатайте целые числа, или любые выражения, результатам которых будут целые числа, в метках-заполнителях справа от знака равенства и выше оператора суммы. 4. Напечатайте выражение, которое вы хотите суммировать, в оставшейся метке-заполнителе. Обычно, это выражение возводит в степень индекс суммы. Если у этого выражения есть несколько членов, сначала напечатайте левую круглую скобку '(', чтобы создать круглые скобки вокруг метки-заполнителя. Оператор произведения подобен оператору суммы. Только нажмите значок на панели инструментов Функции либо вызовите стандартную функцию product и заполните метки-заполнители как описано ранее. Рисунок 9.5 показывает некоторые примеры того, как использовать операторы произведения и суммы. Чтобы оценить множественное суммирование, поместите другую сумму в метку-заполнитель, стоящую под знаком первой суммы. Пример показан внизу рисунка 9.5. Переменный верхний предел суммы Вы можете также использовать операторы суммы и произведения, чтобы вычислить суммы и произведения с переменным верхним пределом, но следует помнить, что верхний предел в этих операторах должен быть целым числом. Пример вычисления суммы с переменным верхним пределом приведен на рис. 9.6. Рис. 9.5 Вычисление сумм и произведений Рис. 9.6 Вычисление сумм с переменным верхним пределом 9.5 Дифференцирование Вы можете использовать операторы взятия производных SMath Studio, чтобы оценить производные функции первого или высшего порядка в особой точке. Как пример, определение первой производной функции x 3 относительно x в точке x=2 : 1. Сначала определите точку, в которой вы хотите определить производную. Самый быстрый путь набрать x:2. 2. Щелкните ниже определения переменной x. Затем нажмите значок на панели инструментов Функции, либо выберите стандартную функцию diff(2), используя меню Вставка-Функция. Появляется оператор производной с двумя метками-заполнителями. 3. Напечатайте x в метке-заполнителе в основании. Вы будете дифференцировать относительно этой переменной. В метке-заполнителе справа от d dx , введите x^3. Это выражение, которое будет дифференцировано. 4. Нажмите = для получения результата На рис. 9.7 представлен пример вычисления производных в SMath Studio. С алгоритмом вычисления производных в SMath Studio вы можете ожидать, что первая производная будет вычислена с точностью до 7 или 8 значащих разрядов, при условии, что значение, в котором вы оцениваете производную, не слишком близко к особой точке функции. Точность этого алгоритма имеет тенденцию уменьшаться на один значащий разряд для каждого увеличения порядка производной (см. “Производные Высшего порядка”). Рис. 9.7 Пример вычисления производных в SMath Studio Замечание Имейте в виду, что результат числового дифференцирования не функция, а единственное число: вычисленная производная при указанном значении переменной дифференцирования. В предыдущем примере производная от функции x 3 не является выражением 3 x 2 , но равна значению 3 x 2 в точке x=2 . Чтобы оценить производные символьно, см. Главу 14, “Символьное вычисление.” Хотя дифференцирование возвращает только одно число, Вы можете все еще определить одну функцию как производную другого. Например: f x:= d dx g x Величина f(x) возвращает в цифровой форме вычисленную производную функции g(x) в точке x. Вы можете использовать этот метод, чтобы вычислить производную функции во многих точках. Пример этого показывают на рис. 9.8. Рис. 9.8 Вычисления производных функций в нескольких точках Есть некоторые важные вещи о дифференцировании в SMath Studio, которые нужно помнить: • Выражение, которое будет дифференцировано, может быть или действительным или комплексным; • Переменная дифференцирования должна быть единичной переменной. Если Вы хотите оценить производную для нескольких различных значений, сохраненных в векторе, вы должны вычислить производную в каждом отдельном векторном элементе. Производные высоких порядков Чтобы определить производную высокого порядка, введите оператор производной n-го порядка, использующий шаги, подобные тем для того, чтобы ввести оператор производной, описанный выше. Как пример, вот как оценить третью производную x 9 относительно x в точке x=2 . После определения x как 2: 1. Щелкните ниже определения x. Вставьте функцию diff(3), вызвав диалоговое окно Вставка-Функция путем выбора пункта Функция меню Вставка. Появляется оператор производной с четырьмя метками-заполнителями. 2. Нажмите на самую нижнюю метку-заполнитель и напечатайте x. 3. Нажмите на метку-заполнитель выше и направо от предыдущей метки-заполнителя и напечатайте 3. Отметьте, что метка- заполнитель в числителе автоматически отражает то, что вы напечатали. 4. Нажмите на правую метку-заполнитель и напечатайте x^9. Это выражение, которое будет дифференцировано. 5. Нажмите =, чтобы увидеть результат 9.6 Интегралы Вы можете использовать оператор интегрирования в SMath Studio, чтобы в цифровой форме оценить определенный интеграл функции на некотором интервале. В качестве примера представлено, как вычислить определенный интеграл от функции sin 2 x на интервале от 0 до / 4 (В SMath Studio вы напишите sin 2 x как sin x 2 ). Выполните следующие шаги: 1. Щелкните на пустом месте и нажмите значок на панели инструментов Функции, или вызовите стандартную функцию int из меню Вставка-Функция. Появляется символ интеграла, с метками- заполнителями для подынтегрального выражения, пределов интегрирования и переменной интегрирования. 2. Нажмите на метку-заполнитель в основании и напечатайте 0. Нажмите на верхнюю метку-заполнитель и напечатайте p [Ctrl] G/4. Это верхние и нижние пределы интегрирования. 3. Нажмите на метку-заполнитель между знаком интеграла и "d". Тогда напечатайте sin(x)^2. Это выражение, которое будет интегрировано. 4. Нажмите на оставшуюся метку-заполнитель и напечатайте x. Это переменная интегрирования. Затем нажмите =, чтобы видеть результат. Замечание Некоторые особенности, которые нужно иметь в виду, когда вы вычисляете интегралы в SMath Studio: 1) пределы интегрирования должны быть действительными. Выражение, которое будет интегрировано, может, однако, быть или действительным или комплексным. 2) За исключением переменной интегрирования, все переменные в подынтегральном выражении должны быть определены ранее в рабочем листе. 3) переменная интегрирования должна быть единственным именем переменной. 4), Если переменная интегрирования имеет единицы измерения, у верхних и нижних пределов интегрирования должны быть те же самые единицы. Переменные пределы интегрирования Хотя результат интегрирования – одно число, вы можете всегда использовать интеграл с переменным диапазоном интегрирования, чтобы получить результаты для многих чисел сразу. Вы могли бы сделать это, например, когда вы используете переменный предел интегрирования. Рисунок 9.9 показывает, как сделать это. Имейте в виду, что вычисления, такие как показанные в рисунке 9.9 требуют неоднократного вычисления интеграла. Это может занять большое количество времени в зависимости от сложности интегралов, длины интервала, и числа участков интегрирования (см. ниже). Рис. 9.9 Переменные пределы интегрирования Погрешность для интегралов При численном вычислении интегралов возникает погрешность в результате вычисления, вызванная тем, что интервал интегрирования разбивается на ряд участков. Увеличивая либо уменьшая число данных участков, можно увеличивать либо уменьшать точность вычисления интегралов. Изменить число разбиений интервала можно, выбрав пункт Опции меню Сервис. В появляющемся диалоговом окне для поля Интегралы:точность можно задать необходимое число разбиений. Шаг изменения числа разбиений равен 50. Интегралы по контуру Вы можете использовать SMath Studio, чтобы оценить комплексные криволинейные интегралы. Чтобы сделать так, сначала параметризуйте контур и затем интегрируйте по параметру. Если параметр является чем-то другим, чем длина дуги, вы должны также включать производную параметризации как поправочный коэффициент. Рисунок 9.10 показывает пример. Отметьте, что мнимая единица i, которую используют в определении контура, должна быть напечатана как 1i. Рис. 9.10 Интеграл по комплексному контуру |