Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду

• Название: Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду
• Дата: 19.09.2022
• Размер: 3.42 Mb.
• Имя файла: matprob.pdf
• Тип: Сборник; #684321
• страница: 15 из 31

Зачетные задачи Контрольные вопросы. Даны отрезки с длинами a, b. Отрезок какой длины нельзя построить циркулем и линейкой?
а)
√
a
2
+ b
2
; б+ в+ b
4

II. Какие инструменты необходимы для построения центра данной окружности?
а) Циркуль и линейка б) только линейка в) только циркуль.
Указания и решения. Высота прямоугольного треугольника является средним геометрическим отрезков, на которые она делит гипотенузу. Поэтому, если даны отрезки с длинами a, b, то построив полуокружность с диаметром a + b и найдя ее пересечение с прямой, перпендикулярной диаметру и делящей его на отрезки длины a и b, получим отрезок длины. Для решения данной задачи достаточно последовательно построить отрезки с длинами z
1
= √xy, z
2
= √yz
1
, z
3
= 3x + z
2
, z = √yz
3 2. Пусть AB — данный отрезок. Возьмем точку X вне полосы, ограниченной данными прямыми, и найдем точки C и D пересечения прямых и XC с прямой, отличной от AB. Пусть Y — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Тогда прямая XY делит основания трапеции пополам. Указание. Возьмите на другой прямой произвольный отрезок и разделите его пополам

Дополнительные построения 4. Указание. Возьмите на другой прямой произвольный отрезок и, повторив несколько раз предыдущее построение, увеличьте его враз. Указание. Если прямые XA, XB вторично пересекают окружность в точках B
′
, A
′
, то точка пересечения прямых и BB
′
— орто- центр треугольника XAB.
6. Указание. Если две прямые, проходящие через X, пересекают окружность в точках A и B, C и D, то прямая, соединяющая точки пересечения AC си с BC, — поляра точки X.
7. Указание. Пусть O — центр данной окружности. Если окружность с центром X и радиусом XO пересекает данную в точках A, то вторая точка окружностей с центрами A, B и радиусами AO, BO —
искомая.
Дополнительные построения (И. Н. Шнурников
1. Докажите, что в выпуклый четырехугольник площади S и периметра можно поместить круг радиуса S/P .
2. Дан выпуклый многоугольник, в который нельзя поместить никакой треугольник площади 1. Докажите, что этот многоугольник можно поместить в треугольник площади 4.
3. В остроугольном треугольнике ABC биссектриса AD, медиана и высота CH пересекаются водной точке. Докажите, что угол > 45
◦
4. Даны положительные числа a, b, p, q со свойством 1. Докажите, что a
p p
+
b q
q
>
ab.
5. Докажите, что для любого тетраэдра существуют такие две плоскости, что отношение площадей проекций тетраэдра на эти плоскости не меньше. Выпуклый четырехугольник ABCD разрезан своими диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что если радиусы всех четырех окружностей, вписанных в эти треугольники, равны между собой, то четырехугольник ABCD — ромб. В тетраэдре ABCD ребро AC перпендикулярно BC, а AD перпендикулярно. Докажите, что косинус угла между прямыми и BD меньше, чем

Гл. 8. Построения и геометрические места точек. На прямой взяты четыре различные точки, обозначенные в порядке следования буквами A, B, C, D. Докажите, что для любой точки, не лежащей на прямой AD, справедливо неравенство + ED + |AB − CD| > BE + CE.
9. Канал получается из первой координатной четверти путем вырезания множества {x > 1} ∩ {y > 1}. Плот какого максимального диаметра может проплыть поворот (Плот может быть изогнутым, диаметр это максимальное расстояние между двумя точками плота. На окружности две точки A и B зафиксированы, а точка M пробегает всю окружность. Из середины K отрезка M B опускается перпендикулярна прямую M A. Докажите, что все прямые KP проходят через одну точку. Из середины M основания AC равнобедренного треугольника опущен перпендикулярна сторону BC. Точка P — середина отрезка M H. Докажите, что AH перпендикулярно BP .
12. Вписанная в треугольник ABC окружность касается стороны в точке K. Докажите, что прямая, соединяющая середину стороны с центром вписанной окружности, делит отрезок BK пополам. Пусть O — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения медиан треугольников AOB и COD, перпендикулярна прямой, проходящей через точки пересечения высот треугольников и AOD.
14. Внутри четырехугольника ABCD отмечена такая точка M, что D — параллелограмм. Докажите, что если ∠CBM = ∠CDM , то =∠BCM .
15. а) В остроугольном треугольнике ABC наибольшая из высот равна медиане BM . Докажите, что угол ABC не больше 60 граду- сов.
б) В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна медиане и равна биссектрисе CD. Докажите, что треугольник ABC пра- вильный.
Указания и решения. Построим на каждой стороне четырехугольника внутрь него прямоугольник с оставшейся стороной длины S/P. Суммарная площадь этих прямоугольников равна S, они пересекаются, поэтому найдется не принадлежащая им точка внутри четырехугольника

Дополнительные построения 2. Выберем среди всех треугольников с вершинами в вершинах исходного многоугольника треугольник наибольшей площади. Проведем через его вершины прямые, параллельные его противоположным сторонам. Эти прямые высекут на плоскости искомый треугольник. Нарисуем на координатной плоскости график функции y(x) =
= x и заштрихуем область между графиком и осью x на отрезке x ∈ [0, a]. Этаже кривая является графиком функции x(y) = y q−1
. Заштрихуем область между ними осью y на отрезке y ∈ [0, b]. Площадь всей заштрихованной области равна a
p p
+
b q
q
, иона содержит прямоугольник со сторонами a и b, откуда получаем оценку.
Решение Р. Девятова. Применим неравенство Йенсена для функции f (x) = ln x, выпуклой вверх при x > 0, коэффициентов и чисел a
p
, b q
:
ln

a p
p
+
b q
q

>
1
p ln a p
+
1
q ln b q
5. Решение Р. Девятова.
Лемма. Пусть на плоскости зафиксировано 2 отрезка XY и ZT Тогда на плоскости существуют такие 2 прямые и l
2
, что сумма длин проекций XY и ZT на отличается от такой суммы для не менее, чем в раз.
Проведем плоскость α параллельно прямыми через точку Проведем плоскость β перпендикулярно α. Пусть она пересекает α по прямой l. Площадь проекции тетраэдра ABCD на плоскость β есть произведение расстояния от точки C до плоскости α и полусуммы длин проекций отрезков AB и CD напрямую. По лемме эта полусумма меняется хотя бы враз. Отразим треугольник ABC относительно точки O пересечения диагоналей ABCD в треугольнике A
1
B
1
C
1
. При этой симметрии вписанные окружности перейдут друг в друга. Пусть OA > OC
1
, тогда < и OC > OA
1
, что противоречит OA > OC
1 8. Пусть AB > CD. Отразим точки E и C относительно середины отрезка AD в точки и C
1
. Проведем BE до пересечения св точке. Имеем F C
1
< F B + BC
1
, подставим BC
1
= |AB − CD| и получим + CE = BE + F C
1
+ E
1
F < BE + F B + |AB − CD| + E
1
F =
= |AB − CD| + E
1
F + F E < |AB − CD| + E
1
A + AE.
9. Диаметр плота 2 + 2
√
2, пример — дуга в окружности радиуса +
√
2.

ГЛАВА РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ
Геометрические задачи на экстремальные значения (АД. Блинков. Среди всех треугольников с фиксированными углом и а) противолежащей стороной;
б) периметром укажите треугольник наибольшей площади. (См. [9].)
2. Среди всех треугольников, вписанных в данную окружность,
найдите треугольник с наибольшей суммой квадратов длин сторон.
(См. [9].)
3. Из точки P , лежащей внутри треугольника ABC, опущены перпендикуляры P A
′
, P и P на стороны BC, CA и AB соответственно. Найдите положение точки P , при котором произведение A
′
· P B
′
· P является наибольшим. Обобщите задачу для четырехугольника. (См. [10].)
4. Из точки P , лежащей внутри треугольника ABC, опущены перпендикуляры и P на прямые BC, CA и AB соответственно.
Найдите положение точки P , при котором сумма A
′
+
CA
P B
′
+
AB
P принимает наименьшее значение. (См. [9].)
5. Какой из четырехугольников сданными сторонами имеет наибольшую площадь (См. [10].)
6. Замкнутая ломаная проходит по всем граням единичного куба.
Найдите наименьшее возможное значение ее длины. (См. [11].)
7. Точка P лежит внутри угла AOB. Постройте так отрезок с концами на сторонах угла, содержащий точку P , чтобы сумма + ON была наименьшей. (См. [9].)
8. На стороне AB треугольника ABC во внешнюю сторону построен квадрат с центром O. Точки M и N — середины сторон AC и BC

Геометрические задачи на экстремальные значения
229
соответственно, а длины этих сторон равны соответственно b и a. Найдите наибольшее значение суммы OM + ON , если угол ACB является переменной величиной. (См. Зачетные задачи 1 аи Контрольные вопросы
В заданиях I – V требуется выбрать номер верного ответа. Из деревни A в деревню B ведет прямая дорога длиной 3 км.
В деревне A живет 50 школьников, а в деревне B живет 100 школьников. В какой точке дороги надо построить школу, чтобы суммарное расстояние, проходимое всеми школьниками, было наименьшим?
а) В деревне б) водном километре отв) посередине дороги;
г) водном километре отд) в деревне е) определить невозможно. Длины двух сторон треугольника равны 6 и 12. В каких границах может быть длина x третьей стороны?
а) 6 < x < б) 6 6 x 6 в) 6 < x < где) определить невозможно. Какой из треугольников сданными сторонами b и c имеет наибольшую площадь?
а) Остроугольный;
б) прямоугольный, у которого прямой угол лежит между данными сторонами;
в) прямоугольный, у которого прямой угол лежит напротив одной изданных сторон;
г) тупоугольный, у которого тупой угол лежит между данными сторонами д) тупоугольный, у которого тупой угол лежит напротив одной изданных стороне) определить невозможно. Какой из параллелограммов сданной площадью имеет наименьший периметра) Ромб, отличный от квадрата;
б) прямоугольник, отличный от квадрата;
в) квадрат;
г) определить невозможно

Гл. 9. Разные задачи по геометрии. Укажите точку, лежащую внутри правильного треугольника,
для которой сумма расстояний до сторон больше, чем от любой другой внутренней точки этого треугольника.
а) Ортоцентр (точка пересечения высот);
б) точка пересечения медиан;
в) центр вписанной окружности;
г) любая внутренняя точка;
д) центр описанной окружности;
е) такой точки не существует.
Решения
1. Ответ равнобедренный треугольник с основанием, противолежащим данному углу.
Пусть дан треугольник ABC, в котором ∠BAC = α; |BC| = a;
P
ABC
= а) Рассмотрим все треугольники с фиксированной стороной и фиксированным углом A. Они вписаны в окружность фиксированного радиуса R =
a
2 sin так, что вершины, противолежащие стороне, лежат водной полуплоскости относительно BC (см. риса. Так как S
ABC
= 0,5ah a
, то наибольшее значение площади достигается при наибольшем значении высоты, те. когда треугольник — равнобедрен- ный.
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
A
1
а
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
б
Рис. б) Рассмотрим все треугольники с фиксированным периметром и фиксированным углом A. Для них фиксирована вневписанная окруж-

Геометрические задачи на экстремальные значения
231
ность с центром O
′
, касающаяся стороны a, так как r a
= |AK| · tg
α
2
=
= p · tg
α
2
, где K — точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны AB (см. рис. 1 б ). Так как S
ABC
= (p − a)r a
, то наибольшее значение площади достигается при наименьшем значении a, т. е.
когда касательная BC к вневписанной окружности перпендикулярна биссектрисе аккуратно это доказывается методом от противного).
Следовательно, треугольник ABC — равнобедренный. Ответ равносторонний.
Рассмотрим треугольник ABC, вписанный в окружность радиуса с центром
(см. рис. 2). Пусть # 
OA = #
a ,
# 
OB =
#
b и 
OC =
= #
c , тогда AB
2
+ BC
2
+ CA
2
= (
#
b − #
a )
2
+ ( #
c −
#
b )
2
+ ( #
a − #
c )
2
=
= 2(a
2
+ b
2
+ c
2
) − 2(#
a ·
#
b +
#
b · #
c + #
c · #
a ). Так как ( #
a +
#
b + #
c )
2
=
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2( #
a ·
#
b +
#
b · #
c + #
c · #
a ), то AB
2
+ BC
2
+ CA
2
=
= 3(a
2
+ b
2
+ c
2
) − (#
a +
#
b + #
c )
2 6
3(a
2
+ b
2
+ c
2
) = 9R
2
, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда #
a +
#
b + #
c =
#
0 , те. когда точка O совпадает с центром тяжести треугольника. Это означает, что треугольник ABC — равносторонний.
Существует и другой способ решения зафиксируем одну сторону треугольника и докажем, используя теорему косинусов, что из всех вписанных в данную окружность треугольников с такой стороной наибольшая сумма квадратов — у равнобедренного треугольника a