Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду

• Название: Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду
• Дата: 19.09.2022
• Размер: 3.42 Mb.
• Имя файла: matprob.pdf
• Тип: Сборник; #684321
• страница: 11 из 31

Понселе?
а) Периметр;
б) площадь;
в) радиус описанной окружности. Дан неравнобедренный треугольник. Сколько существует попарно неравных равнобедренных треугольников, имеющих те же радиусы описанной и вписанной окружностей?
а) Ни одного;
б) один;
в) два;
г) бесконечно много. В вписанно-описанном четырехугольнике две стороны равны.

Какое из утверждений верно?
а) Две другие стороны равны;
б) две другие стороны параллельны;
в) две другие стороны равны или параллельны;
г) никакое.
Теорема Понселе для n = 3 1. Пусть O, I — центры описанной и вписанной окружностей треугольника их радиусы. Докажите формулу Эйлера R
2
− 2Rr.
2. Докажите теорему Понселе для n = С каждым треугольником связан ряд так называемых замечательных точек или центров. Когда треугольник вращается между описанной и вписанной окружностями, эти точки движутся по каким-то кривым. В следующих задачах требуется найти соответствующие траектории. Какую траекторию описывает а) точка пересечения медиан M б) ортоцентр H;

О теореме Понселе
163
в)
∗
точка Жергонна G (точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника и точки касания противоположных сторон с вписанной окружностью) треугольника Понселе?
Точку M обычно называют центром тяжести треугольника. На самом деле эта точка является центром тяжести трех равных масс, помещенных в вершины треугольника, и центром тяжести сплошного треугольника, например вырезанного из картона. Если же масса треугольника сосредоточена на его периметре, как у треугольника, сделанного из проволоки, то центром тяжести будет другая точка M
1
. Соответственно для произвольного многоугольника можно определить три центра:
центр тяжести вершин M
0
, центр тяжести периметра и центр тяжести сплошного многоугольника M
2 4. Найдите центр треугольника и его траекторию при вращении. Пусть A
′
, B
′
, C
′
— точки касания сторон треугольника Понселе с вписанной окружностью. Найдите траекторию центра тяжести треугольника A
′
B
′
C
′
6*. Дан треугольник Понселе и неподвижная точка P . Найдите траекторию точки, изогонально сопряженной P Теорема Понселе для n = 4 7. Дана окружность и точка P внутри нее. Рассмотрим пары перпендикулярных лучей с началом P , пересекающих окружность в точках и а) Найдите геометрическое место середин отрезков б) Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности в точках A и B.
8. Докажите теорему Понселе для n = 4.
9. Пусть две окружности с центрами O, I и радиусами R, r удовлетворяют теореме Понселе для n = 4. Вывести соотношение, связывающее величины R, r и d = OI.
10. а) Докажите, что диагонали всех вписанно-описанных четырехугольников сданными вписанной и описанной окружностями пересекаются водной точке P , лежащей на прямой б) Вывести соотношение, связывающее OP , R и d.
11. Докажите, что прямые, соединяющие точки касания противоположных сторон вписанно-описанного четырехугольника с вписанной окружностью, являются биссектрисами углов между его диагоналями. Найдите центры тяжести M
0
, M
1
, четырехугольника и их траектории

Гл. 5. Окружность. Докажите, что в четырехугольнике Понселе а) произведение тангенсов углов, образованных диагоналями с прямой б) произведение длин диагоналей постоянно.
Зачетные задачи 2, 5, Решения. Проведем прямую через I и вершину C треугольника ABC и найдем вторую точку пересечения этой прямой с описанной около окружностью (рис. Рис. Так как = C
′
B,
∠
AIB = π −
∠
A + ∠B
2
=
π + ∠C
2
,
∠
AC
′
B = π − получаем C
′
— центр окружности, описанной около треугольника Значит, IC
′
= C
′
B = 2R sin
∠
C
2
. С другой стороны, IC = r/ sin
∠
C
2
, следовательно. Пусть дан треугольник ABC. Из произвольной точки на его описанной окружности проведем касательные к вписанной окружности треугольника и найдем вторые точки A
′
, их пересечения с описанной окружностью. Надо показать, что прямая также касается вписанной окружности

О теореме Понселе
165
Предположим противное. Например, пусть не пересекает вписанной окружности треугольника ABC. Будем увеличивать угол
A
′
C
′
B
′
так, чтобы прямая C
′
I оставалась его биссектрисой. Тогда расстояние от I до прямых и будет увеличиваться, а до прямой уменьшаться, ив какой-то момент окружность с центром и радиусом r
′
> r окажется вписанной в треугольник A
′
B
′
C
′
. Но из формулы Эйлера следует, что радиусы вписанных окружностей треугольников и равны, получаем противоречие. Случай, когда
A
′
B
′
пересекает вписанную окружность, рассматривается аналогично. Проще всего воспользоваться теоремой Фейербаха, утверждающей, что окружность Эйлера, проходящая через середины A
0
, B
0
, треугольника ABC, касается его вписанной окружности. Из нее следует, что центр этой окружности, совпадающий с серединой отрезка лежит на окружности с центром I и радиусом R/2 − r. Значит, точки и H лежат на образах этой окружности при гомотетиях сцен- тром O и коэффициентами 2/3 и 2 соответственно.
Точка Жергонна также движется по окружности, причем эта окружность соосна с описанной и вписанной окружностями треугольника. Однако простое геометрическое доказательство этого факта пока получить не удалось. Сосредоточив массы сторон треугольника в их центрах тяжести точках A
0
, B
0
, C
0
, получим, что M
1
— центр окружности, вписанной в треугольник A
0
B
0
C
0
. Следовательно, M
1
— образ M при гомотетии с центром I и коэффициентом 3/2, так что его траектория тоже окружность. Пусть A
′′
, B
′′
, C
′′
— вторые точки пересечения высот треугольника с вписанной окружностью ABC. Тогда A
′′
A
′
, B
′′
B
′
, биссектрисы углов A
′′
B
′′
C
′′
, те. ортоцентр треугольника совпадает с центром вписанной окружности △A
′′
B
′′
C
′′
. Кроме того,
нетрудно проверить, что стороны параллельны соответствующим сторонами значит, эти треугольники гомотетичны. При этой гомотетии O переходит в I, а I — в H
′
, следовательно, лежит на прямой OI и IH
′
/OI = r/R. Поэтому при вращении треугольника, а значит, и делящий отрезок H
′
I в отношении 2 : 1 центр тяжести, остается неподвижным. Ответ. Пусть P
′
— точка, инверсная P относительно описанной окружности треугольника. Рассмотрим поворотную гомотетию сцен- тром P
′
, переводящую P в I, и найдем образ Q точки I при этой гомотетии. Искомая траектория — окружность с центром Q (рис. 2). Это можно доказать, используя комплексные числа. Геометрическое доказательство неизвестно

Гл. 5. Окружность
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
IIIIIIIIIIIIII
IIIIIII
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
I
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
P
′
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
Рис. 2 7. Пусть C — четвертая вершина прямоугольника P ACB. Так как+ OC
2
= OA
2
+ OB
2
, C описывает окружность с центром O. Значит, середина отрезка AB описывает окружность, центром которой является середина OP , и инверсная к ней точка пересечения касательных также описывает окружность. Указание. Докажите, что отрезки, соединяющие точки касания противоположных сторон четырехугольника с вписанной окружностью,
взаимно перпендикулярны, и воспользуйтесь предыдущей задачей. Ответ + d)
2
+
1
(R − d)
2 10. б) Ответ + OP
R − OP
=
(R + d)
2
(R − d)
2 11. Из формулы предыдущей задачи нетрудно получить, что P предельная точка пучка, порожденного описанной и вписанной окружностями четырехугольника. Поэтому для любой точки X описанной окружности отношение расстояния XP к касательной из X к вписанной окружности будет одними тем же. Утверждение задачи следует из

О теореме Понселе
167
этого факта итого, что прямые, соединяющие точки касания противоположных сторон описанного четырехугольника с вписанной окружностью, проходят через точку пересечения диагоналей.
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
IIIIIIIIIIIIII
IIIIIII
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
I
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
0
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
Рис. 3 12. Точка M
0
— середина отрезка между серединами диагоналей четырехугольника. Используя тот факт, что прямая, соединяющая середины диагоналей описанного четырехугольника, проходит через центр вписанной окружности, нетрудно вывести, что траектория M
0
— окружность. Точка лежит на отрезке, соединяющем центры тяжести двух треугольников, на которые четырехугольник разрезается диагональю.
Следовательно, можно построить как точку пересечения двух таких отрезков. Поскольку каждый из этих отрезков параллелен одной из диагоналей четырехугольника, а вторую пересекает в точке, делящей отрезок от P до середины диагонали в отношении 2 : 1, то образ при гомотетии с центром P и коэффициентом 4/3, те. траектория также окружность. С другой стороны, можно получить как центр тяжести четырех масс, помещенных в центрах тяжести треугольников и пропорциональных площадям этих треугольников. Поскольку M
1
— это центр тяжести четырех масс, помещенных в серединах сторон AB, BC, CD, DA и пропорциональных

Гл. 5. Окружность длинам этих сторон, то M
1
— образ при гомотетии с центром I и коэффициентом. Значит, траектория тоже окружность.
Литература
[1] Акопян А. В, Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. М МЦНМО, 2007.
[2] Заславский А. А, Косов Д, Музафаров М. Траектории замечательных точек треугольника Понселе // Квант. 2003. № 2.
[3] Заславский А. А, Челноков ГР. Теорема Понселе в евклидовой и алгебраической геометрии // Математическое образование. 2001.
№ 4(19).

ГЛАВА 6
МИНИКУРС ПО ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯМ
А. Б. Скопенков
Хотя данный миникурс покрывается имеющейся литературой по геометрическим преобразованиям, может представлять интерес отбор материала. Во-первых, я старался расположить задачи так, чтобы сначала новые понятия (геометрических преобразований) использовались для решения интересных задач, формулируемых без этих понятий,
и только потом эти новые (но уже мотивированные) понятия изучались бы сами по себе. Во-вторых, изобилия имеющегося материала я попытался выбрать важнейшую часть, которую реально было бы изучить
(сильному школьнику) за относительно короткое время ориентировочно занятий).
Применения движений (АД. Блинков. Докажите, что прямые, проведенные через середины сторон вписанного четырехугольника перпендикулярно противолежащим сторонам, пересекаются водной точке. (См. [9].)
2. На диаметре AB окружности взята точка M. Хорда CD проходит через M под углом к прямой AB. Докажите, что |CM|
2
+ не зависит от выбора точки M . (См. [9].)
3. На сторонах BC и CD квадрата ABCD, длина стороны которого равна a, взяты соответственно точки M итак, что площадь тре-
1)
См., например, Заславский А. А. Геометрические преобразования. М МЦНМО,
2003 (теорема Шаля — § 1.2, подобие и гомотетия — § 1.3, аффинные преобразования гл. 2, проективные преобразования — гл. 3, инверсия — гл. 4, теорема Мас- керони о построениях одним циркулем — § 5.1, комплексная интерпретация движений и подобий — § 6.1, комплексная интерпретация инверсии — § 6.2); Прасолов В. В.
Задачи по планиметрии. М МЦНМО, 2007; http://www.mccme.ru/prasolov, и Яг- лом И. М.
Геометрические преобразования. Вт. М Гостехиздат, 1956.

Гл. 6. Миникурс по геометрическим преобразованиям угольника AM N равна сумме площадей треугольников ABM и ADN Найдите угол M AN и длину высоты треугольника AM N , проведенной из вершины A. (См. [4].)
4. На катетах a и b прямоугольного треугольника выбираются точки и Q, из которых опускаются перпендикуляры P K и QH наги- потенузу. Найдите наименьшее значение суммы |KP | + |P Q| + См. [2].)
5. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке E. Докажите, что если трапеция описанная, то угол — тупой. (См. [5].)
6. В параллелограмме ABCD проведены высоты BK и BH; |KH| =
= a; |BD| = b. Найдите расстояние от вершины B до ортоцентра треугольника. (См. [9].)
7. Правильный треугольник ABC вписан в окружность. Расстояния от вершин A и B до произвольной точки M этой окружности равны соответственно a и b. Найдите длину CM . (См. [9].)
8. В треугольнике ABC проведены медиана CM и высота CH. Прямые, проведенные на плоскости через произвольную точку P перпендикулярно и CB, пересекают прямую CH в точках A
′
, и Докажите, что |A
′
M
′
| = |B
′
M
′
|. (См. Зачетные задачи 4, 5, 6 и Контрольные вопросы. Параллелограмм имеет ровно четыре оси симметрии. Определите его вида) Прямоугольник, отличный от квадрата;
б) ромб, отличный от квадрата;
в) квадрат;
г) такого параллелограмма не существует. Треугольник имеет центр симметрии. Определите вид треуголь- ника.
а) Разносторонний;
б) равносторонний;
в) равнобедренный;
г) такого треугольника не существует. В правильном многоугольнике есть две оси симметрии, пересекающиеся под углом 20
◦
. Какое наименьшее количество сторон может иметь этот многоугольника) б) в) г) 12.

Применения движений. Даны точки A(1; 0), B(−1; 2). Укажите координаты:
а) образа точки B при симметрии относительно оси абсцисс;
б) образа точки A при симметрии относительно точки в) образа точки A при параллельном переносе, который точку переводит в точку г) образа точки B при повороте с центром A на −90
◦
V. Дан равносторонний треугольник ABC площади S, O — его центр. Определите площадь пересечения (общей части) данного треугольника и его образа:
а) при параллельном переносе на вектор # б) при центральной симметрии относительно точки в) при симметрии относительно прямой, содержащей его среднюю линию;
г) при повороте на угол 120
◦
VI. На равных сторонах AC и BC равнобедренного прямоугольного треугольника ABC так отмечены точки K и M соответственно, что = |CM|. Точка D — середина отрезка AB. Найдите Решения. Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность сцен- тром O; E, F , G и H — середины его сторон (см. рис. 1), тогда OH ⊥ Рис. Так как EF GH — параллелограмм, то M = EG ∩ F H является серединой каждой из его диагоналей.
Пусть O
′
= Z
M
(O), те образ точки O при центральной симметрии с центром M , тогда F = Z
M
(H). Таким образом, O
′
F OH — па

Гл. 6. Миникурс по геометрическим преобразованиям раллелограмм, значит (O
′
F ) ⊥ (AD). Рассмотрев аналогично перпендикуляры и OE к остальным сторонами их образы при симметрии относительно точки M , получим, что они также проходят через точку O
′
, что и требовалось доказать. Пусть и D
′
— образы точек C и D при симметрии относительно (см. рис. 2). Тогда ∠CM C
′
= 90
◦
, поэтому из прямоугольного треугольника DM получаем+ |DM|
2
= |C
′
M |
2
+ |DM|
2
= Так как независимо от положения точки M дуга C
′
D соответствует вписанному углу C
′
CD величиной 45
◦
, тоне зависит от выбора точки M . Следовательно, сумма |CM|
2
+ также не зависит от выбора точки M , что и требовалось доказать.
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
D
′
Рис. Рис. 3 3. Ответ ∠MAN = 45
◦
; длина высоты равна Решение. Рассмотрим поворот с центром A на 90
◦
: образом точки является точка P , лежащая на луче CB (см. рис. 3). Из условия задачи следует, что S
ABM
+ S
ADN
= S
ABM
+ S
ABP
= Так как у треугольников M AN и M AP есть общая сторона [AM и |AN| = |AP |, то sin ∠P AM = sin Учитывая, что эти треугольники остроугольные и что ∠P AN = получим ∠M AN = ∠P AM = 45
◦
. Тогда △P AM = △NAM (по двум сторонами углу между ними, поэтому их соответствующие высоты равны |AH| = |AB| = a.
4. Ответ+ b
2

Применения движений
173
Решение. Пусть в треугольнике ABC: ∠C = 90
◦
; |BC| = a; |AC| = b;
P ∈ [BC], Q ∈ [AC] (см. рис. 4). Рассмотрим симметрию относительно образами точек A и K являются точки и A
′
соответственно.
Аналогично при симметрии относительно AC образами точек B и соответственно являются точки и H
′
. Получаем, что AB
′
A
′
B — ромб и |KP | + |P Q| + |QH| = |K
′
P | + |P Q| + Рис. Так как точки и лежат на параллельных прямых, причем K
′
] ⊥ [A
′
B] и [QH
′
] ⊥ [AB
′
], то наименьшее значение полученной суммы достигается тогда и только тогда, когда точки K
′
, P , Q и принадлежат общему перпендикуляру к прямыми. Искомое значение суммы в этом случае равно расстоянию между этими прямыми,
т. е. длине высоты ромба. H = 2h c
=
2ab
√
a
2
+ b
2 5. Рассмотрим данную трапецию ABCD. При параллельном переносе на 
BC образом диагонали BD является [CK], причем |BD| = и ∠AED = ∠ACK (см. рис. 5). Образом стороны AB при этом переносе является [CP ], поэтому |AB| = |CP Рис. Проведем [CM ] — медиану треугольника ACK. Так как |AP | =
= |BC| = |DK|, то [CM] является и медианой треугольника P CD. Сле-

Гл. 6. Миникурс по геометрическим преобразованиям довательно,
|CM| <
|CP | + |CD|
2
=
|AB| + |CD|
2
=
|AD| + так как данная трапеция — описанная.
Рассмотрим окружность с диаметром AK, точка M — ее центр и |CM| <
|AK|
2
, поэтому точка C лежит внутри этой окружности, следовательно, угол ACK — тупой, те. и угол AED — тупой, что и требовалось доказать. Ответ Решение. Пусть H
′
— ортоцентр △BKH (см. рис. 6). Так как BK и KH
′
⊥ BH, то HH
′
k AD и KH
′
k CD, те —
параллелограмм.
Рассмотрим параллельный перенос на 
H
′
H: образом точки K является точка D, а образом точки B — некоторая точка P , лежащая на Так как P D k BK, то BP DK — прямоугольник, значит, |P K| = |BD| = Кроме того, так как BH
′
⊥ KH, то P H ⊥ KH, причем |P H| = по определению параллельного переноса. Таким образом, △P KH прямоугольный, поэтому |BH
′
| = |P H| =
p
|KP |
2
− |KH|
2
=
√
b
2
− Рис. Рис. 7 7. Ответили Решение. Пусть точка M лежит на дуге AB, не содержащей точку см. рис. 7). Рассмотрим поворот с центром B на угол 60
◦
, при котором точка A перейдет в точку C. Если M
′
— образ точки M при таком повороте, то △ABM перейдет в и, следовательно, ∠BM
′
C =
= ∠BM A = 120
◦

Применения движений
175
Так как ∠M BM
′
= и |BM
′
| = |BM| = b, то △MBM
′
— равносторонний, поэтому ∠BM
′
M = 60
◦
. Точка лежит назначит+ Аналогично, если M лежит на дуге AC, то b = a + |CM|, а если лежит на дуге BC, то a = b + |CM|. Первый из этих случаев возможен,
если b > a, а второй — если b < Рис. 8 8. Рассмотрим поворот нас центром в точке P (см. рис. 8). При таком повороте образами прямых P A
′
, P и являются прямые,
параллельные CA, CB и AB соответственно. Следовательно, образ при повороте нас центром в точке P равен R
90
◦
P
(△P A
′
B
′
) = △P стороны которого соответственно параллельны сторонам данного треугольника. Значит, △P A
′′
B
′′
∼ △CAB, причем если [P M
′′
] — медиана треугольника P A
′′
B
′′
, то P M
′′
k CM, поскольку преобразование подобия сохраняет пропорциональность отрезков и величины углов. Так как M
′′
= R
90
◦
P
P M
′
, то M
′
— середина Литература Блинков АД, Горская Е. С, Гуровиц В. М. Московские математические регаты. Изд. е. М МЦНМО, 2007.
[2] Васильев Н. Б, Гутенмахер В. Л, Раббот Ж. М, Тоом А. Л. Заочные математические олимпиады. М Наука, 1987.
[3] Гальперин ГА, Толпыго А. К. Московские математические олимпиады. М Просвещение, 1986.
[4] Готман Э. Г. Задачи по планиметрии и методы их решения Пособие для учащихся. М Просвещение, 1996.

Гл. 6. Миникурс по геометрическим преобразованиям Задачи Международного математического турнира городов Задачи Московской математической олимпиады (городской и окружной туры Задачи Московской устной олимпиады по геометрии Канель-Белов А. Я, Ковальджи А. К. Как решают нестандартные задачи. М МЦНМО, 2008.
[9] Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. М МЦНМО, 2007.
[10] Протасов В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. М МЦНМО,
2005.
[11] Фомин Д. В. Санкт-Петербургские математические олимпиады.
СПб.: Политехника, 1994.
[12] Шесть фестивалей (материалы Российских фестивалей юных математиков. Краснодар ГИНМЦ, Самосовмещения (8–10)
Werde der du bist
2)
J. W. Goethe
0. Дайте определение равенства отображений. Найдите все повороты и осевые симметрии, переводящие в себя множество вершина) прямоугольника 1 × б) квадрата;
в) правильного треугольника;
г) правильного угольника. Найдите число раскрасок карусели из 3 вагончиков в a цветов
(т. е. количество раскрасок вершин правильного треугольника в a цветов, если раскраски, совмещающиеся поворотом, неотличимы).
б) Найдите число цветных ожерелий из 3 бусин (те. количество раскрасок вершин правильного треугольника в a цветов, если раскраски, совмещающиеся поворотом или осевой симметрией, неотличимы).
Движением плоскости называется отображение плоскости в себя,
сохраняющее расстояния. Напомним, что движения сохраняют прямые,
окружности, параллельность, величины углов и площади многоуголь- ников.
2)
Стань самим собой. — Перс нем

Самосовмещения 3. Пусть точки A, B, C плоскости не лежат на одной прямой, аи движения.
а) Если f (A, B, C) = (A, B, C), то f = б) Если f (A, B, C) = g(A, B, C), то f = Самосовмещением фигуры (те. множества точек) M называется движение f , для которого f (M ) = M .
4. а) Самосовмещений (множества вершин) правильного треугольника не больше б) Постройте взаимно однозначное соответствие (те. биекцию) между множеством самосовмещений правильного треугольника и множеством перестановок элементного множества. Докажите, что это биек- ция и что она сохраняет композицию. а) Найдите все параллельные переносы пространства, переводящие данный куб в себя.
в) Тоже для центральных симметрий.
г) Тоже для зеркальных симметрий.
д) Тоже для осевых симметрий.
Вращением пространства вокруг ориентированной прямой l на угол α называется отображение R
α
l пространства, которое каждую точку прямой l оставляет на месте и каждой точке X пространства, не лежащей на прямой l, ставит в соответствие точку X
′
, определяемую так берем проекцию O точки X на l, проводим плоскость ортогонально прямой l, так что OX = и угол в этой плоскости равен α (положительное направление отсчета углов в плоскости согласовано с ориентацией пространства и прямой l по правилу буравчика. а) Ось любого вращения пространства, переводящего данный куб в себя, проходит либо через вершину, либо через середину ребра, либо через центр грани.
б) Найдите все вращения пространства, переводящие данный куб в себя.
в) Тоже для правильного тетраэдра.
г) Тоже для правильного октаэдра
3)
Поворотной симметрией пространства называется композиция вращения и зеркальной симметрии относительно плоскости, перпендикулярной оси вращения (или, эквивалентно, композиция вращения и центральной симметрии относительно точки, лежащей на оси вращения).
3)
Правильный октаэдр выпуклый многогранник, вершины которого расположены в центре граней куба

Гл. 6. Миникурс по геометрическим преобразованиям. Сколькими способами можно раскрасить грани куба в красный и серый цвета, если считаются одинаковыми раскраски, совмещающиеся а) вращением;
б) вращением или поворотной симметрией. а) Найдите все поворотные симметрии, переводящие куб в себя.
б) Тоже для правильного тетраэдра.
в) Тоже для правильного октаэдра.
Движением пространства называется отображение пространства в себя, сохраняющее расстояния. Напомним, что движения сохраняют полупространства, плоскости, прямые, сферы, окружности, параллельность, величины углов, площади многоугольников и объемы многогранников. Пусть точки A, B, C, D пространства не лежат водной плоскости,
а f и g — движения.
а) Если f (A, B, C, D) = (A, B, C, D), то f = б) Если f (A, B, C, D) = g(A, B, C, D), то f = g.
10. а) Постройте взаимно однозначное соответствие (те. биекцию)
между множеством самосовмещений правильного тетраэдра и множеством перестановок элементного множества. Докажите, что это биек- ция и что она сохраняет композицию».
б)* Тоже для объединения ребер и для объединения граней правильного тетраэдра. Двойственные правильные многогранники имеют одинаковое число самосовмещений.
12. Найдите все самосовмещения множества вершина) куба;
б) прямоугольного параллелепипеда;
в) правильной угольной пирамиды;
г) октаэдра;
д)* додекаэдра;
е)* икосаэдра.
Для каждого многогранника и типа самосовмещений нарисуйте многогранники самосовмещение (приветствуются красивые цветные рисунки, укажите перестановку вершин многогранника, реализуемую этим самосовмещением, и число самосовмещений такого типа. Постройте биекцию, сохраняющую композицию, между каждой из найденных групп самосовмещений (см. задачу 12) и подмножеством группы перестановок элементного множества

Классификация движений
179
Указания и решения. Ответа. б) (a
3
− Классификация движений (Чужбина также сродственна отчизне,
Как тупику соседствует пространство.
И. Бродский
О применении движений к решению задач по элементарной геометрии см, например, вышеприведенный материал АД. Блинкова
4)
Обозначим через S
l осевую симметрию относительно прямой l, через параллельный перенос на #
a , через R
α
A
— поворот вокруг точки на угол α против часовой стрелки. Любое движение прямой есть либо перенос, либо симметрия. Переносы на разные векторы и симметрии с разными центрами попарно различны. Найдите композиции:
а) S
l
◦ S
m для l k б) S
l
◦ S
m для l ∩ m 6= в) S
l
◦ га) Любое движение плоскости разлагается в композицию симметрии и движения, имеющего неподвижную точку.
б) Любое движение плоскости, имеющее неподвижную точку, разлагается в композицию симметрии и движения, имеющего хотя бы две неподвижные точки.
в)
Теорема Шаля. Любое движение плоскости является либо поворотом, либо переносом, либо скользящей симметрией.
Движение плоскости (пространства) называется собственным, если существует его разложение в композицию четного числа осевых (зеркальных) симметрий. Неформально говоря, движение является собственным, если оно сохраняет ориентацию. а) Если движение является собственным, то любое его разложение в композицию осевых симметрий содержит четное число симметрий.
б) Любое собственное движение плоскости является либо поворотом,
либо переносом.
4)
См. также главы 15 – 18 книги Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. М.:
МЦНМО, 2007; Соловьев Ю. П. Добавление к книге Александрова ПС. Введение в теорию групп (выпуск 7 серии Библиотечка Кванта) М Наука, 1980;
http://www.mccme.ru/free-books/djvu/bib-kvant/groups.htm

Гл. 6. Миникурс по геометрическим преобразованиям. Найдите композиции:
а) S
l
◦ для l ⊥ б) S
α
◦ для α k в) S
α
◦ для α ∩ β 6= г) R
α
l
◦ R
β
m для l ∩ m 6= де для скрещивающихся l и m.
6. Являются ли собственными движениями а) зеркальная симметрия;