Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду

• Название: Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду
• Дата: 19.09.2022
• Размер: 3.42 Mb.
• Имя файла: matprob.pdf
• Тип: Сборник; #684321
• страница: 14 из 31

+ Зачетные задачи 3, 5, 6 и Контрольные вопросы. Какой из отрезков разбивает произвольный треугольник на две равновеликие части?
а) Средняя линия;
б) биссектриса;
в) высота;
г) медиана;
д) любой отрезок, проходящий через вершину;
е) определить невозможно

Гл. 8. Построения и геометрические места точек. Диагонали выпуклого четырехугольника разбивают его на четыре равновеликих треугольника. Определите вид этого четырехуголь- ника.
а) Параллелограмм;
б) прямоугольник, отличный от квадрата;
в) ромб, отличный от квадрата;
г) квадрат;
д) трапеция;
е) определить невозможно. Дан отрезок AB. Укажите ГМТ M таких, что треугольник B имеет заданную площадь а) Прямая, параллельная б) отрезок, параллельный вкруг с диаметром г) объединение двух отрезков, параллельных д) объединение двух прямых, параллельных е) определить невозможно. На боковой стороне CD трапеции ABCD выбрана такая точка, что площадь треугольника AKB равна половине площади трапеции. Найдите |AK| : а) 1 : 2; б) 2 : 1; в) 1 : 1; где) определить невозможно. Найдите длину отрезка, параллельного основаниям трапеции и разбивающего ее на две равновеликие части, если длины оснований трапеции равны a и а a
2
+ b
2 2
; б в a + b
; где) определить невозможно.
Решения
1. Пусть дана точка K на стороне AB треугольника ABC (см. рис. Проведем медиану CM . Если точка K совпадает сто прямая CM —
искомая.
Если точки K и M не совпадают, то либо |AK| < |BK|, либо |AK| >
> |BK|. Пусть, например, |AK| < |BK|, тогда S
AKC
< S
BKC
. Для того чтобы выполнялось условие задачи, надо провести прямую через точку так, чтобы к площади треугольника AKC добавилась площадь треугольника CKM Пусть прямая KN , где N ∈ [BC] — искомая. Тогда S
KCN
= S
CKM
⇐⇒
⇐⇒ MN k CK. Таким образом, построение сводится к проведению пря-

Задачи на построение и ГМТ, связанные с площадями
219
мой, проходящей через точку M параллельно (CK). В случае когда > |BK|, построение осуществляется аналогично, но N ∈ Рис. Рис. 2 2. Ответ внутренние точки средней линии треугольника ABC, параллельной стороне Так как точка M лежит внутри данного треугольника ABC, то данное условие равносильно тому, что S
ABM
= 0,5 S
ABC
. Полученное равенство выполняется тогда и только тогда, когда расстояние от M до в два раза меньше расстояния от C до AB (см. риса) Ответ объединение двух прямых, проходящих через точку параллельной AB и содержащей медиану CD (исключая точку C).
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
а
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
1
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
3
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
M
2
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
б
Рис. Решение. Точка M удовлетворяет условию тогда и только тогда, когда точки A и B равноудалены от CM . Это возможно только в двух

Гл. 8. Построения и геометрические места точек случаях, указанных в ответе (см. риса. То, что данное условие не выполняется для остальных точек плоскости, легко доказывается методом от противного».
б) Ответ центр тяжести треугольника и три точки попарного пересечения прямых, проходящих через вершины треугольника параллельно противолежащим сторонам.
Решение. Разобьем двойное равенство площадей натри обычных и используем геометрические места точек, найденные в пункте а)
(см. рис. 3 б ). Для того чтобы точка, лежащая в плоскости треугольника, удовлетворяла условию, необходимо и достаточно выполнения двух равенств площадей. Следовательно, все такие точки являются попарными пересечениями найденных геометрических мест. Решение. Рассмотрим треугольники вписанную в него окружность с центром O и радиусом r (см. рис. 4). Пусть прямая P делящая пополам площадь и периметр треугольника, не содержит точки. Соединим центр O с вершинами треугольника и точками P и Q. Ломаная P OQ разбивает ABC на пятиугольники четырехугольник P CQO. Вычислим их площади S
AOB
+ S
BOQ
+ S
AOP
= 0,5 · (|AB| + |AP | + |BQ|)r;
S
P COQ
= S
COQ
+ S
COP
= 0,5 · (|CP | + Так как P Q делит пополам периметр ABC, то |AB| + |AP | + |BQ| =
= |CP | + |CQ|, следовательно, S
ABQOP
= S
P COQ
. По условию, S
ABQP
=
= S
P CQ
, поэтому S
P OQ
= 0, значит, O ∈ P Q, что и требовалось доказать.
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
A
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
B
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
C
′
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
Рис. Для описанного многоугольника доказательство проводится аналогично. а) Ответ например, M — середина диагонали Пусть M — середина [BD], тогда медиана AM делит площадь треугольника пополам, а медиана CM делит площадь треугольника пополам, поэтому такая точка M — искомая

Задачи на построение и ГМТ, связанные с площадями
221
Отметим, что любая точка прямой, параллельной AC и проходящей через точку M , лежащая внутри данного четырехугольника, также удовлетворяет условию.
б) Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник A — данная вершина. Проведем его диагонали AC и BD, пусть O — точка их пересечения.
Рассмотрим точку M — середину [BD]. Если точка M совпадет сточкой, то AC — искомая.
Если точки O и M не совпадают, то либо |BO| < |BM|, либо |BO| >
> |BM|. Пусть, например, |BO| < |BM|, тогда S
ABC
< S
ADC
. Для того чтобы выполнялось условие задачи, надо провести прямую через точку так, чтобы к площади треугольника ABC добавилась площадь треугольника AM Пусть AN , где N ∈ [DC], — искомая. Тогда S
CN A
= S
AMC
⇐⇒
⇐⇒ MN k AC. Таким образом, построение сводится к проведению прямой, проходящей через точку M параллельно AC. В случае когда > |BM|, построение осуществляется аналогично, но N ∈ [BC].
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
а
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
б
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
в
Рис. в) Построим точку D — середину дуги AC и соединим ее сточка- ми A и C (см. рис. 5 в. Полученные сегменты, ограниченные хордами и CD, равны, следовательно, они равновелики. Тогда задача сведется к построению прямой, проходящей через точку D и разбивающей четырехугольник ABCD на две равновеликие части. Проведем CP , которая пересечет сторону AD в точке K (см.
рис. 6). Через вершину A проведем прямую, параллельную CK, которая пересечет сторону BC в точке Четырехугольник AKCQ — параллелограмм, поэтому S
AQP
=
=
1 2
S
AKCQ
. Так как △ABQ = △CDK, эти треугольники равновелики.
Следовательно, Q — искомая точка

Гл. 8. Построения и геометрические места точек
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
Рис. Если CP пересечет сторону AB, то Q ∈ [CD]; если точка P лежит на диагонали AC, то Q = C.
7. а) Ответ внутренние точки средней линии трапеции.
Пусть |AD| = a; |BC| = b. Точка M, лежащая внутри данной трапеции на расстояниях m и n от AD и BC соответственно, удовлетворяет условию тогда и только тогда, когда выполняется равенство n) = 0. Так как a 6= b, тот. е. M принадлежит средней линии трапеции n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
bbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb b
а
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
б
Рис. б) Ответ если ABCD — параллелограмм, то любая внутренняя точка если ABCD — не параллелограмм, то внутренние точки отрезка с концами на сторонах четырехугольника, проходящего через середины его диагоналей.
Для параллелограмма ответ очевиден.
Пусть P и Q — середины диагоналей AC и BD данного четырехугольника, отличного от параллелограмма (см. рис. 7 б ). Тогда+ S
CDP
= S
ABQ
+ S
CDQ
= 0,5 Если точка M лежит внутри ABCD на P Q, то S
AP M
= S
CP так как точки A и C равноудалены от P M ) итак как точ-

Построения. Ящик инструментовки B и D равноудалены от P M ). Таким образом, S
ABM
+ S
CDM
=
= S
ABP
+ S
CDP
+ S
AP M
+ S
BP M
− S
CP M
− S
DP M
= S
ABP
+ S
CDP
=
= 0,5 S
ABCD
= S
ADM
+ Если точка M не лежит на указанном отрезке, то, действуя аналогично, проверяем, что указанное в условии равенство не выполняется.
Построения. Ящик инструментов (А. А. Гаврилюк
При изучении материала этого раздела желательно знакомство с главой 5 и рекомендованной в ней литературой.
Теорема. С помощью циркуля и линейки можно осуществлять те и только те построения, которые сводятся к арифметическим операциями операции извлечения квадратного корня. То есть если дан отрезок длины 1, то для любых отрезков с длинами a, b можно построить отрезки с длинами a + b, a − b, ab, a/b,
√
a, и длина любого отрезка, который можно построить, выражается через a и b с помощью указанных операций.
Теорема Мора—Маскерони. Любое построение, осуществимое циркулем и линейкой, можно осуществить одним циркулем.
Теорема Штейнера. Любое построение, осуществимое циркулем и линейкой, можно осуществить одной линейкой, если начерчена одна окружность и отмечен ее центр. Даны два отрезка с длинами x, y. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок длины q
3xy + y
4
p xy
3 2. Даны две параллельные прямые, на одной из которых дан отрезок. С помощью лишь линейки разделите его пополам. Даны две параллельные прямые, на одной из которых дан отрезок. С помощью лишь линейки удвойте его. Даны две параллельные прямые, на одной из которых дан отрезок. С помощью лишь линейки разделите его на n равных частей. Дана окружность ω с диаметром AB и точка X. С помощью одной линейки постройте перпендикуляр из X на AB, если точка X лежит а) не на окружности,
б) на окружности. Дана окружность ω и точка X. С помощью одной линейки постройте (всевозможные) касательные из X к окружности, если точка лежит

Гл. 8. Построения и геометрические места точек а) вне окружности,
б) на окружности. При помощи только циркуля построить образ данной точки при инверсии относительно данной окружности ω.
8. Дана окружность на плоскости. С помощью двусторонней линейки постройте ее центр. Даны прямая l и отрезок OA, ей параллельный. С помощью двусторонней линейки постройте точки пересечения прямой l с окружностью радиуса OA и с центром в точке O.
10. При помощи только циркуля построить окружность, проходящую через 3 данные точки. Задача Аполлония. Построить окружность, касающуюся трех данных, при помощи циркуля и линейки.