Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду

• Название: Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду
• Дата: 19.09.2022
• Размер: 3.42 Mb.
• Имя файла: matprob.pdf
• Тип: Сборник; #684321
• страница: 10 из 31

г) ни перспективными, ни ортологичными?
II. Пусть A
1
, B
1
, C
1
— точки касания сторон треугольника ABC с вписанной окружностью. Укажите центры ортологичности треугольников и а) центр тяжести M и центр вписанной окружности б) центр описанной окружности O ив) ортоцентр H и г) оба центра находятся в точке I.

Теорема Сонда
137
III. Пусть A
2
, B
2
, C
2
— основания высот треугольника ABC. Является ли осью ортологичности треугольников ABC и а) прямая Эйлера б) прямая Нагеля M в) прямая г) прямая IH?
IV. Пусть A
3
, B
3
, C
3
— вторые точки пересечения биссектрис треугольника сего описанной окружностью. Следует ли из теоремы
Сонда, что ось перспективы треугольников ABC и перпендикулярна а) прямой Эйлера;
б) прямой Нагеля;
в) прямой г) Теорема Сонда здесь неприменима. Лемма 1. На трех прямых a, b, c, проходящих через одну точку,
взяты точки A
1
, A
2
, A
3
; B
1
, B
2
, B
3
; C
1
, C
2
, C
3
. Докажите, что попарные оси перспективы треугольников A
1
B
1
C
1
, A
2
B
2
C
2
, пересекаются водной точке. Пользуясь леммой 1, сведите общий случай теоремы Сонда к случаю двух треугольников с общей вершиной. Лемма 2 (Соллертинский). Пусть дано проективное преобразование и точка P . Докажите, что геометрическое место точек пересечения прямых l и f (l), где l проходит через P , — это коника, проходящая через точки A и B. При этом, если f (AB) = AB, коника распадается на две прямые, одна из которых совпадает с AB.
6. Докажите, что если два треугольника ортологичны и центры ор- тологичности совпадают, то треугольники перспективны. Лемма 3 (Ф. Ридо). Пусть треугольники ABC и орто- логичны, Q — точка пересечения перпендикуляров из A, B, C на стороны точка пересечения перпендикуляров из A
′
, B
′
, на стороны ABC. Докажите, что четырехугольники ABCQ и A
′
B
′
C
′
Q
′
аффинно эквивалентны. Пусть треугольники ABC и A
′
B
′
C ортологичны с центрами, Q
′
; T — точка пересечения AB и A
′
B
′
. Докажите, что QQ
′
⊥ CT .
9. Пусть треугольники ABC и A
′
B
′
C ортологичны с центрами, Q
′
; P — точка пересечения и BB
′
. Докажите, что проходит через P .
10. Докажите теорему Сонда.

Гл. 4. Геометрия треугольника
Дополнительные задачи. Пусть треугольники ABC и перспективны с центром и ортологичны с центрами Q, Q
′
. Докажите, что коники ABCP Q,
A
′
B
′
C
′
P Q
′
— равносторонние гиперболы с параллельными асимптотами. Пусть треугольники ABC и перспективны с центром и ортологичны с центрами Q, Q
′
. A
2
— точка пересечения прямых и A
1
Q, B
2
, определяются аналогично. Докажите, что треугольник
A
2
B
2
C
2
перспективно-ортологичен каждому из треугольников ABC,
A
1
B
1
C
1 13. Докажите, что оси перспективы и ортологичности для всех трех пар треугольников предыдущей задачи совпадают. Сформулируйте и докажите аналог теоремы Сонда для тетраэдров. Тетраэдры ABCD и A
′
B
′
C
′
D
′
ортологичны, причем центры ор- тологичности совпадают.

а) Верно ли, что тетраэдры перспективны?
б) Докажите, что прямые AA
′
, BB
′
, CC
′
, DD
′
гиперболичны,
т. е. любая прямая, пересекающая три из них, пересекает и четвертую
(или параллельна ей).
Примечание. Задачи 1–4 — вспомогательные, их утверждения можно использовать при решении остальных задач. Задачи 7–10 — зачетные.
Указания и решения. Доказательство леммы 2. Пусть X, Y , Z — три точки искомого ГМТ. Рассмотрим конику, проходящую через точки A, B, X, Y , Пусть U — произвольная точка этой коники. Так как двойные отношения четверок прямых AX, AY , AZ, AU и BX, BY , BZ, BU равны,
получаем, что f (AU ) = BU, те принадлежит искомому ГМТ.
6. Зафиксировав один из треугольников ABC и общий центр орто- логичности Q, будем подвергать второй треугольник гомотетии с центром Q. При этом точки A
′
, B
′
, будут двигаться потрем проходящим через Q прямым, а прямые A
′
B
′
, и будут сохранять свои направления. Следовательно, два треугольника все время будут ортологичны с общим центром Q, а соответствие между прямыми и будет проективным. По лемме Соллертинского точка пересечения прямых и будет описывать конику, проходящую через A и Нетрудно убедиться, что на этой конике лежат также точки C, Q и ор- тоцентр H треугольника ABC. Поскольку через пять точек, никакие четыре из которых не лежат на одной прямой, проходит единственная

Изогональное сопряжение и прямая Симсона
139
коника, точка пересечения прямых и описывает эту же конику,
т. е. прямые AA
′
, и пересекаются водной точке.
Примечание. Из приведенного рассуждения следует, что коники
ABCP Q и A
′
B
′
C
′
P Q, где P — центр перспективы треугольников, являются равносторонними гиперболами. Указание. Достаточно доказать равенство отношений площадей треугольников S
ABQ
/S
ACQ
= S
A
′
B
′
Q
′
/S
A
′
C
′
Q
′
8. Будем так равномерно двигать прямые AB и параллельно самим себе, чтобы через точку C они прошли одновременно. Тогда точка их пересечения будет двигаться по прямой CT . Из леммы Ридо следует, что в момент прохождения AB через Q прямая проходит через Q
′
. Пусть T
′
— соответствующая точка пересечения. Тогда ⊥ и CQ
′
⊥ QT
′
, те ортоцентр треугольника CQQ
′
, откуда сразу следует утверждение задачи. Указание. Треугольники ABQ и A
′
B
′
Q
′
ортологичны с общим центром ортологичности C и, следовательно, перспективны.
Литература
[1] Материалы й Летней конференции международного математического Турнира Городов.
http://www.turgor.ru/lktg/2004/persor.ru/index.htm
Изогональное сопряжение и прямая Симсона
(10–11)
А. В. Акопян
Перед решением задач этого раздела рекомендуется разобрать задачи разделов Центр вписанной окружности, Прямая Эйлера, «Ор- тоцентр, ортотреугольник и окружность девяти точек, «Биссектрисы,
высоты и описанная окружность».
Педальным (под´ерным) треугольником точки P относительно треугольника называется треугольник, вершинами которого являются проекции точки P на стороны ABC. Описанная окружность педального треугольника называется педальной (подерной) окружностью точки P относительно треугольника Контрольные вопросы. Какой из следующих треугольников не является педальным ни для какой точки Треугольник, образованный

Гл. 4. Геометрия треугольника а) серединами сторон;
б) основаниями биссектрис;
в) точками касания сторон с вписанной окружностью;
г) основаниями высот. Пусть стороны треугольника ABC касаются соответствующих вневписанных окружностей в точках A
′
, B
′
, C
′

. Для какой точки треугольник будет педальным?
а) Для центра тяжести.
б) Для центра вписанной окружности.
в) Для точки, симметричной центру вписанной окружности относительно центра описанной.
г) Такой точки не существует. Докажите, что педальный треугольник вырождается (проекции лежат на одной прямой) тогда и только тогда, когда точка P лежит на описанной окружности треугольника Полученная таким образом прямая называется прямой Симсона точки P относительно треугольника ABC.
2. Пусть точка P лежит на описанной окружности треугольника. Пусть точка на описанной окружности выбрана так, что P перпендикулярна AC. Докажите, что прямая параллельна прямой
Симсона точки P .
3. Докажите, что при вращении точки P по окружности прямая
Симсона вращается в противоположную сторону и скорость поворота в два раза меньше, чем скорость изменения дуги P A.
4. Докажите, что прямая Симсона точки P относительно треугольника делит отрезок P H пополам (где H - ортоцентр треугольника
ABC).
Окружностно-чевианным треугольником точки P относительно треугольника ABC называется треугольник, вершины которого — это точки повторного пересечения прямых AP , BP , CP с описанной окружностью. Докажите, что педальный и окружностно-чевианный треугольники точки P относительно треугольника ABC подобны и одинаково ориентированы.
Пусть дан произвольный треугольник ABC. Для любой точки P отличной от вершин треугольника, отразим прямые AP , BP и CP относительно биссектрис соответствующих вершин треугольника. Оказывается, эти три прямые всегда пересекаются водной точке (или же па

Изогональное сопряжение и прямая Симсона
141
раллельны, те. пересекаются водной точке на проективной плоскости),
назовем ее P
′
6. Докажите это (рекомендуется воспользоваться задачей Точку называют изогонально сопряженной точке P относительно треугольника ABC, а преобразование, переводящее каждую точку проективной плоскости в изогонально сопряженную, — изогональным сопряжением. Отразим точку P относительно сторон треугольника. Докажите, что центр окружности, проходящей через получившиеся три точки,
изогонально сопряжен P . (Это, безусловно, тоже будет доказательством корректности определения изогонального сопряжения.)
Докажите несколько элементарных свойств изогонального сопряжения. Если точка P не лежит на прямых, содержащих стороны треугольника, то точка определяется однозначно, и изогонально сопряженной точкой к будет точка P . Такие две точки будем называть изогонально сопряженными. Точкой, изогонально сопряженной к точке, лежащей на прямой,
содержащей сторону треугольника, будет вершина треугольника, соответствующая этой стороне.

Контрольный вопрос Сколько точек изогональное сопряжение оставляет на месте?
а) 0; б) 1; в) 2; г) 4.
10. Если точка P лежит на описанной окружности треугольника, то изогонально сопряженной точке P будет точка на бесконечно удаленной прямой, которая задает направление, перпендикулярное прямой Симсона точки P относительно треугольника ABC.
11. Педальные окружности двух точек совпадают тогда и только тогда, когда они изогонально сопряжены. а) Докажите, что ортоцентр и центр описанной окружности треугольника изогонально сопряжены.
б)
Окружность Эйлера. Докажите, что середины сторон и основания высот треугольника лежат на одной окружности. Пусть касательные к описанной окружности треугольника в точках B и C пересекаются в точке A
1
. Докажите, что прямая симметрична медиане стороны BC относительно биссектрисы угла A.
14. Теорема Паскаля. Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной окружности. Обозначим через X, Y , Z точки пересечения прямых

Гл. 4. Геометрия треугольника и BF , BD и CE, AD и CF соответственно. Докажите, что точки, Y и Z лежат на одной прямой.
Решения
1. Пусть P
a
, P
b и P
c
— проекции точки P на стороны BC, CA и соответственно. Пусть эти три точки лежат на одной прямой. Мы рассмотрим случай, изображенный на рис. 1, остальные случаи рассматриваются аналогично.
Четырехугольник P CP
b
P
a вписанный, поэтому ∠P P
b
P
a
= ∠P Аналогично ∠P P
b
P
c
= ∠P AP
c
. Точки P
a
, P
b
, P
c лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда ∠P P
b
P
c
= ∠P P
b
P
a
. Что тоже самое, что AP
c
= ∠P CP
a
. Но это и означает, что точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC. Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Обратное утверждение доказывается абсолютно также. Если лежит на описанной окружности треугольника ABC, то ∠P AB =
= ∠P CP
a
= ∠P последнее верно в силу того, что точки P , C, P
a
,
P
b лежат на окружности. Аналогично ∠P AB = ∠P P
b
P
c
. Следовательно, точки P
a
,P
b и P
c лежат на одной прямой.
Рис. Рис. 2 2. Проекции точки P на стороны AB и AC обозначим через P
c и P
b соответственно (см. рис. 2). Тогда ∠ABB
′
= ∠AP как углы, опирающиеся на дугу AB
′
. Поскольку четырехугольник AP
c
P
b
P вписанный — диаметр его описанной окружности, а сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180
◦
, то ∠AP B
′
= ∠AP P
b
=
= 180
◦
− ∠AP
c
P
b
= ∠BP
c
P
b
. Следовательно, прямая P
b
P
c параллельна Изогональное сопряжение и прямая Симсона
143 3. Это легко следует из предыдущей задачи. Легко понять, что ∠AHC = 180
◦
− ∠ABC, а значит, точка симметричная H относительно AC, лежит на описанной окружности треугольника ABC (см. рис. 3). Поскольку P и перпендикулярны, четырехугольник P будет трапецией, причем равнобо- кой, поскольку он вписан. А значит, прямая, симметричная P относительно (те. прямой, параллельной оси симметрии трапеции, будет параллельна BB
′
. Следовательно, P
′
H параллельна BB
′
, а значит,
и прямой Симсона точки P (здесь P
′
— образ точки P при симметрии относительно AC). Поскольку проекция точки P на сторону является серединой P P
′
, прямая Симсона будет средней линией треугольника, а значит, будет делить P H пополам.
Рис. 3 5. Рассмотрим случай, изображенный на рис. 4. Остальные случаи разбираются аналогично.
Точки P
a
, P
b
, P
c
— это вершины педального треугольника, а точки вершины окружностно-чевианного, ∠AA
′
C
′
= ∠ACC
′
=
= ∠P
b
P
a
P . Последнее равенство верно, поскольку четырехугольник P
a
CP
b вписанный. Аналогично доказывается, что ∠AA
′
B
′
= ∠P
c
P
a
P А значит, ∠C
′
A
′
B
′
= ∠P
b
P
a
P
c
. Аналогично ∠A
′
B
′
C
′
= ∠P
a
P
b
P
c и ∠A
′
C
′
B
′
= ∠P
a
P
c
P
b
. Но это и означает, что треугольники и P
a
P
b
P
c подобны. Если взять точку P
′
, аналогичную точке P в треугольнике, но для треугольника P
a
P
b
P
c
, то эта точка будет играть роль изогонально сопряженной точке P в P
a
P
b
P
c

Гл. 4. Геометрия треугольника
Рис. 4 7. Пусть P
a симметрична P относительно стороны BC, P
b и P
c определены аналогично (см. рис. 5). Пусть P
′
— это центр описанной
Рис. окружности треугольника P
a
P
b
P
c
. Точка C равноудалена от P
a и следовательно, прямая является серединным перпендикуляром к отрезку P
a
P
b
. А значит, ∠P
a
CP
′
=
1 2
∠
P
a
CP
b
= ∠C. Но тогда ∠P
a
CP
′
− ∠BCP
a
= ∠C − ∠BCP = ∠ACP.

Изогональное сопряжение и прямая Симсона
145
Аналогично показывается, что ∠ABP
′
= ∠CBP и ∠BAP
′
= ∠CAP А это и означает, что точка P
′
изогонально сопряжена P относительно. Рассмотрим случай, изображенный на рис. 6, остальные случаи разбираются аналогично. Пусть точка P лежит на описанной окружности и P
b и P
c
— проекции точки P на стороны AC и AB соответственно.
Пересечения прямой Симсона точки P с прямой a, симметричной относительно биссектрисы угла A, обозначим через X. Четырехугольник вписанный, а значит 180
◦
− ∠AP P
b
= 180
◦
− (90
◦
− ∠P AP
b
) =
= 90
◦
+ ∠P AP
c
= 90
◦
+ Но поскольку внешний угол равен сумме двух оставшихся внутренних углов треугольника, ∠AXP
c
= 90
◦
. Аналогично доказывается, что прямые, симметричные P B и P C относительно биссектрис соответствующих углов, перпендикулярны Рис. 6 11. Действительно, если точки P и P
′
изогонально сопряжены, то их педальная окружность — это окружность с центром в середине P и радиусом P
′
P
a
/2 = P P
′
a
/2, где P
a и P
′
a
— это точки, симметричные и относительно стороны Обратное. Если педальные окружности точек P и Q совпадают, значит, по доказанному выше, они совпадают с педальной окружностью точки P
′
, изогонально сопряженной P . По принципу Дирихле у педального треугольника точки Q две из трех вершин общие с педальным треугольником либо точки P , либо точки P
′
. Следовательно, точка совпадает с одной из этих точек, потому что проекции точки на две прямые полностью задают положение этой точки

Гл. 4. Геометрия треугольника. а) Пусть H — ортоцентр, а O — центр описанной окружности треугольника ABC. Тогда ∠BAH = 90
◦
− ∠B, но ∠AOC = 2∠B, следовательно. Откуда следует, что = ∠OAC, а это и означает, что AH при симметрии относительно биссектрисы угла A переходит впрямую. Аналогично для других двух углов.
б) Непосредственно следует из пункта аи задачи 11.
13. Точка, симметричная A относительно M
a
, очевидно, лежит на медиане обозначим ее через A
′
) (см. рис. 7). Как нетрудно проверить, прямые и при отражении относительно биссектрис соответствующих углов переходят в касательные к описанной окружности.
Следовательно, переходит в при изогональном сопряжении.
Рис. 7 14. Мы рассмотрим только один случай расположения точек на окружности (см. рис. 8), остальные рассматриваются аналогично.
Точки A, B, C, D, E и F лежат на одной окружности. Пусть прямые и DE пересекаются в точке X, прямые BC ив точке Y , аи в точке Z. Надо доказать, что X, Y и Z лежат на одной прямой.
Углы BAF и BCF равны, поскольку опираются на одну дугу. Аналогично равны углы CDE и CF E. Кроме того, треугольники и CZF подобны. Рассмотрим преобразование подобия, переводящее треугольник AZD в CZF . При этом преобразовании точка X перейдет в точку X
′
, изогонально сопряженную точке Y относительно треугольника (в силу вышеуказанных равенств углов. А значит, ∠AZX =
= ∠CZX
′
= ∠F ZY , а это и означает, что точки X, Z и Y лежат на одной прямой

Изогональное сопряжение и прямая Симсона
147
Рис. Литература Акопян А. В, Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. М МЦНМО, 2007.
[2] Акопян А. В, Заславский А. А. Разные взгляды на изогональное сопряжение // Математическое просвещение. Сер. 3. 2007. Вып. 10.

ГЛАВА 5
ОКРУЖНОСТЬ
Простейшие свойства окружности
1)
(8–9)
А. Д. Блинков. В треугольнике ABC |AB| > |BC|. На стороне AB взята точка так, что |BP | = |BC|. Биссектриса BM треугольника ABC пересекает описанную около него окружность в точке N . Докажите, что четырехугольник вписанный. (См. [6].)
2. В треугольнике ABC проведены медианы и BB
1
. Докажите,
что ∠CAA
1
= тогда и только тогда, когда |AC| = |BC|. (См. [9].)
3. Точка O — центр вневписанной окружности треугольника касающейся стороны BC. Окружность с центром D проходит через точки и O. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности. (См. [6].)
4. Точка O, лежащая внутри треугольника ABC, обладает тем свойством, что прямые AO, BO и CO проходят через центры описанных окружностей треугольников BCO, ACO и ABO соответственно. Докажите, что O — центр окружности, вписанной в треугольник. (См. [9].)
5. Из произвольной точки круглого бильярдного стола пущен шар.
Докажите, что внутри стола найдется такая окружность, что траектория шара ее ни разу не пересечет. (См. [6].)
6. Три окружности одинакового радиуса проходят через точку Пусть A, B и C — точки их попарного пересечения, отличные от Докажите, что H — ортоцентр треугольника ABC. (См. [9].)
7. Продолжения сторон AB и CD вписанного четырехугольника пересекаются в точке P , а продолжения сторон BC ив точке. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов AQB и BP со сторонами четырехугольника являются вершинами ромба. (См. Цифры в скобках после номера задачи означают ее источник в списке литературы Простейшие свойства окружности 8. Центры трех попарно касающихся внешним образом окружностей лежат в вершинах прямоугольного треугольника. Найдите радиус четвертой окружности, касающейся трех данных и содержащей их внутри себя, если периметр треугольника равен P . (См. Зачетные задачи 3, 4, 6 и Контрольные вопросы. Прямые a, b и c пересекаются попарно. Сколько существует окружностей, одновременно касающихся каждой из этих прямых?
а) Одна;
б) две;
в) три;
г) четыре;
д) бесконечно многое) определить невозможно. Выберите три условия, каждое из которых равносильно тому,
что выпуклый четырехугольник ABCD является вписанным в окруж- ность.
а) |AB| + |CD| = |BC| + б) ∠BAD + ∠BCD = в) ABCD — прямоугольник;
г) ABCD — ромб;
д) ∠BAC = е) угол ABC равен внешнему углу при вершине D.
III. В выпуклом четырехугольнике ABCD ∠A = α, ∠B = β. Биссектрисы внешних углов при вершинах C и D пересекаются в точке P Найдите угол CP D.
IV. Пусть ABC — равносторонний треугольник со стороной a. На расстоянии a от вершины A взята точка D. Какова может быть величина угла BDC?
V. Окружность радиуса R касается гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC и продолжений его катетов. Найдите периметр треугольника Решения. Так как углы ANB и ACB вписанные и опираются на одну и туже дугу, то они равны (см. рис. 1). Из условия также следует, что равны треугольники BM P и BM C (по двум сторонами углу между ними

Гл. 5. Окружность значит, ∠BP M = ∠BCA. Таким образом, ∠AP M + ∠AN M = 180
◦
, т. е.
четырехугольник AP M N — вписанный, что и требовалось доказать.
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
Рис. Рис. 2 2. Так как [A
1
B
1
] — средняя линия треугольника ABC, то AB
1
A
1
B трапеция. Рассмотрим окружность, описанную около △ABB
1
(см.
рис. 2).
1) Пусть |AC| = |BC|, тогда |AB
1
| = |BA
1
|, те. трапеция AB
1
A
1
B —
равнобокая, значит, точка лежит на этой же окружности. Следовательно, так как эти углы вписаны в окружность и опираются на одну и туже дугу B
1
A
1 2) Пусть ∠CAA
1
= ∠CBB
1
, тогда опять-таки точка лежит на этой же окружности, значит, трапеция AB
1
A
1
B — равнобокая. Следовательно, те Замечание. Пункт 1) можно также доказать, используя, что △AA
1
B
1
=
= △AA
1
B (потрем сторонам. Так как O — центр вневписанной окружности треугольника то [AO) — биссектриса угла BAC; [BO) — биссектриса угла B
1
BC, где точка на продолжении стороны AB (см. рис. 3). Соединив точку с точками A и B, получим, что ∠AOB = 0,5∠ADB. Так как ∠B
1
BO внешний для △ABO, то = ∠AOB + ∠BAO = 0,5 · (∠ADB + тогда ∠B
1
BC = ∠ADB + С другой стороны, так как угол B
1
BC — внешний для △ABC, то = ∠BCA + ∠BAC. Значит, ∠ADB = ∠BCA, те. точки A, B, и D лежат на одной окружности, что и требовалось доказать

Простейшие свойства окружности
151
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
B
1
Рис. 3 4. Рассмотрим окружность с центром P , описанную около см. рис. 4). Так как угол OP C — центральный, а OAC — вписанный,
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
Рис. при этом они опираются на одну и туже дугу, то = 0,5 · (180
◦
− ∠OPC) = 90
◦
− ∠OAC.

Гл. 5. Окружность
Тогда
∠
BOC = 180
◦
− ∠COP = 90
◦
+ Аналогично, рассмотрев окружность, описанную около треугольника, получим, что ∠BOC = 90
◦
+ ∠OAB. Следовательно, ∠OAB =
= ∠OAC, те биссектриса угла BAC. Таким же образом доказывается, например, что [CO) — биссектриса угла BCA. Следовательно — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, что и требовалось доказать. Пусть шар пущен по прямой AB, не проходящей через центр стола. Тогда траектория движения шара представляет собой некоторую ломаную ABCD. . . При отражении от круглой стенки угол ABO падения шара (те. угол между звеном ломаной и радиусом окружности бильярдного стола, проведенного в точку соударения шара со стенкой)
равен углу отражения CBO (те. углу между следующим звеном ломаной и тем же радиусом, см. рис. 5). Величина этих углов не изменяется при следующих отражениях шара от стенки, что следует из равенства равнобедренных треугольников, основаниями которых являются звенья траектории шара (хорды окружности стола. Следовательно, расстояние от центра круга до всех звеньев ломаной есть величина постоянная.
Значит, любая окружность, центр которой совпадает с центром стола,
а радиус меньше, чем расстояние от центра стола до любого из звеньев ломаной, удовлетворяет условию задачи.
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
Рис. В случае если шар пущен по прямой, проходящей через центр стола, траекторией его движения будет являться вырожденная ломаная»,
принадлежащая одному из диаметров круга. Этот диаметр разобьет круг на два полукруга. Тогда любая окружность, лежащая внутри полукруга, удовлетворяет условию задачи

Простейшие свойства окружности 6. Пусть O
1
, и O
3
— центры данных окружностей (см. рис. Так как все стороны четырехугольника между собой равны,
то он является ромбом, поэтому BO
2
k HO
1
. Аналогично ромб, поэтому AO
3
k HO
1
. Следовательно, BO
2
k AO
3
. кроме того = |AO
3
|, значит, четырехугольник ABO
2
O
3
— параллелограмм,
т. е. AB k O
2
O
3
. Так как CH ⊥ O
2
O
3
, то CH ⊥ AB. Аналогично доказывается, например, что AH ⊥ BC, значит, H — ортоцентр треугольника Рис. 6 7. Пусть биссектрисы углов AQB и BP C пересекаются в точке R;
[P R) ∩ [BC] = N; [P R) ∩ [AD] = F ; [QR) ∩ [AB] = M; [QR) ∩ [CD] = см. рис. 7). Введем обозначения для углов ∠BQM = α; ∠BP N = β;
∠
P BC = ϕ. Рассмотрим четырехугольник M BN R:
∠
M RN = 360
◦
− (∠B + ∠M + ∠N) =
= 360
◦
− (180
◦
− ϕ) − (ϕ + α) − (ϕ + β) = 180
◦
− (ϕ + α + Вычислим значение суммы ϕ + α + β. В четырехугольнике ABCD:
∠
A = ϕ + 2α; ∠C = ϕ + 2β; ∠A + ∠C = 2ϕ + 2α + 2β = 180
◦
, так как этот четырехугольник вписанный. Следовательно, ϕ + α + β = 90
◦
, значит RN = 90
◦
. Таким образом, биссектрисы QR ив треугольниках

Гл. 5. Окружность F и P M E соответственно являются также и высотами, следовательно, эти треугольники — равнобедренные, значит, точка R — середина отрезков и N F . Поэтому диагонали четырехугольника M N EF делятся точкой пересечения пополам, те. этот четырехугольник — параллелограмм. Кроме того, эти диагонали перпендикулярны, те —
ромб.
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Рис. 7 8. Ответ Решение. Пусть △ABC — прямоугольный с прямым углом C; окружности с центрами A, B и C — три данные точки A
1
, и C
1
— точки касания четвертой окружности сданными (см. рис. 8). Обозначим через O такую точку плоскости, что ACBO — прямоугольник. Докажем, что точка O является центром четвертой окружности. Для этого обозначим радиусы данных окружностей x, y и z, тогда |OC
1
| =
= |OC| + |CC
1
| = y + z + x; |OA
1
| = |OA| + |AA
1
| = x + z + y; |OB
1
| =
= |OB| + |BB
1
| = x + y + z. Таким образом, точка O равноудалена от трех точек A
1
, и C
1
, те. является центром окружности, проходящей через эти точки. Радиус этой окружности R = x + y + z = P/2.

Вписанный угол (8 – 9). ДА. Пермяков x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
yyyyyy yy yy yy yy yy yy yy yy yy yy yyy yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy y
zzzzzzzzzz zzzzz zzzzz zzzzzz zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz Рис. Литература Блинков АД, Горская Е. С, Гуровиц В. М. Московские математические регаты. Изд. е. М МЦНМО, 2007.
[2] Васильев Н. Б, Гутенмахер В. Л, Раббот Ж. М, Тоом А. Л. Заочные математические олимпиады. М Физматлит, 1987.
[3] Гальперин ГА, Толпыго А. К. Московские математические олимпиады. М Просвещение, 1986.
[4] Готман Э. Г. Задачи по планиметрии и методы их решения Пособие для учащихся. М Просвещение, 1996.
[5] Задачи Международного математического турнира городов Задачи Московской математической олимпиады (городской и окружной туры Задачи Московской устной олимпиады по геометрии Канель-Белов А. Я, Ковальджи А. К. Как решают нестандартные задачи. М МЦНМО, 2008.
[9] Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. М МЦНМО, 2007.
[10] Протасов В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. М МЦНМО,
2005.
[11] Фомин Д. В. Санкт-Петербургские математические олимпиады.
СПб.: Политехника, 1994.
[12] Шесть фестивалей (материалы Российских фестивалей юных математиков. Краснодар ГИНМЦ, 1996.

Гл. 5. Окружность
Вписанный угол (ДА. Пермяков. Из произвольной точки M, лежащей внутри данного угла с вершиной, опущены перпендикуляры M P и M Q на стороны угла. Из точки A опущен перпендикулярна отрезок P Q. Докажите, что AK = ∠M AQ.
2. В треугольнике ABC проведены медианы и BB
1
. Докажите,
что если ∠CAA
1
= ∠CBB
1
, то AC = BC.
3. На окружности даны точки A, B, C, D в указанном порядке, B
1
, и D
1
— середины дуги соответственно.
Докажите, что A
1
C
1
⊥ B
1
D
1 4. Из произвольной точки M катета BC прямоугольного треугольника на гипотенузу AB опущен перпендикуляр M N . Докажите,
что ∠M AN = ∠M CN .
5. Две окружности и касаются внешним образом в точке Через эту точку проведены прямые и C
1
C
2
, точки и лежат на ω
1
, а точки и лежат на ω
2
. Докажите, что B
1
C
1
kB
2
C
2 6. В треугольнике ABC проведена высота AH, а из вершин B и опущены перпендикуляры и напрямую, проходящую через точку A. Докажите, что △ABC ∼ △HB
1
C
1 7. Одна из диагоналей вписанного четырехугольника — диаметр.
Докажите, что проекции противоположных сторон на другую диагональ равны. Докажите, что точка, симметричная ортоцентру (те. точке пересечения высот) треугольника относительно его стороны лежит на описанной окружности этого треугольника. Вокруг правильного треугольника AP Q описан прямоугольник, причем точки P и Q лежат на сторонах BC и CD соответственно и Q
′
— середины сторон AP и AQ. Докажите, что треугольники и CP
′
D правильные. Окружность разделена на равные дуги n диаметрами. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки внутри окружности на эти диаметры,
а) лежат на одной окружности;
б) являются вершинами правильного многоугольника. На сторонах AC и BC треугольника ABC внешним образом построены квадраты и BCB
1
B
2
. Докажите, что прямые и пересекаются водной точке

Вписанные и описанные 12. На окружности даны точки A, B, C, D в указанном порядке.
Точка M — середина дуги AB. Обозначим точки пересечения хорд M и M D с хордой AB через E и K. Докажите, что KECD — вписанный четырехугольник. Окружности и пересекаются в точке A. Через точку проведена прямая, пересекающая в точке B, в точке C, причем точки B, A и C лежат в указанном порядке. В точках C и B проведены касательные к окружностям, пересекающиеся в точке D. Докажите, что угол ∠BDC не зависит от выбора прямой, проходящей через точку A.
14. На хорде AB окружности S с центром O взята точка C. Описанная окружность треугольника AOC пересекает окружность S в точке. Докажите, что BC = CD.
15. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки E до прямых AB, BC и CD равны a, b и c соответственно. Найдите расстояние от точки E до прямой AD.
16. В треугольнике ABC проведены высоты AA
1
, и CC
1
. Точки и C
2
— середины высот и CC
1
. Докажите, что треугольники
A
1
B
2
C
2
и ABC подобны. На окружности взяты точки A, C
1
, B, A
1
, C, в указанном порядке. Докажите, что если прямые AA
1
, и являются а) биссектрисами углов треугольника ABC, то они являются высотами треугольника б) высотами треугольника ABC, то они являются биссектрисами углов треугольника A
1
B
1
C
1 18. В окружность вписаны треугольники T и T
′
. Вершины треугольника являются серединами дуг, на которые окружность разбивается вершинами треугольника T . Докажите, что в шестиугольнике,
являющемся пересечением треугольников T и T
′
, диагонали, соединяющие противоположные вершины, параллельны сторонам треугольника и пересекаются водной точке.
Зачетные задачи 1–11, кроме любых Вписанные и описанные (А. А. Гаврилюк
1. Дан четырехугольник ABCD. Точки A
1
, A
2
, B
1
, B
2
, C
1
, C
2
, лежат на сторонах AB, BC, CD, DA соответственно. Отрезки A
1
C
2
,
A
2
C
1
, B
1
D
2
, делят ABCD на 9 четырехугольников. Оказалось

Гл. 5. Окружность центральный и примыкающие к вершинам A, B, C, D четырехугольники описанные. Докажите, что и ABCD — описанный. Пусть B
1
— точка касания вписанной окружности со стороной треугольника ABC. Точки A
2
, B
2
, C
2
— точки касания окружности,
вневписанной в угол B с соответствующими сторонами треугольника.
Докажите, что CB
1
= AB
2
= AC
2
=
AC + BC − AB
2 3. Точки и F
2
— фокусы эллипса. Точки A и C — точки пересечения отрезков и с этим эллипсом соответственно. Пусть D точка пересечения отрезков F
1
C и F
2
A. Докажите, что ABCD — описанный четырехугольник. Через точки пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника проведены 2 прямые, делящие его на 4 четырехугольника. Докажите, что если четырехугольники, примыкающие в вершинами описанные, то ABCD также описан. ABCD — вписанный четырехугольник, H
C
, H
D
— ортоцентры треугольников ABD и ABC. Докажите, что CDH
C
H
D
— описанный. Пусть ABCD — вписанный четырехугольник. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA и являются вершинами прямоугольника. В треугольнике ABC на стороне AC как на диаметре построена окружность. Она пересекает стороны AB ив точках K и L. Пусть — точка пересечения касательных к окружности, взятых в этих точках. Докажите, что BM перпендикулярно AC.
8. Диагонали описанной трапеции ABCD с основаниями AD и пересекаются в точке O. Радиусы вписанных окружностей треугольников и COD равны r
1
, r
2
, r
3
, r
4
соответственно.
Докажите, что
1
r
1
+
1
r
3
=
1
r
2
+
1
r
4
Радикальная ось (И. Н. Шнурников, А. Засорин
1. На плоскости даны окружность S и точка P . Прямая, проведенная через точку P , пересекает окружность в точках A и B. Докажите,
что произведение P A · P B не зависит от выбора прямой.
Эта величина, взятая со знаком плюс для точки P вне окружности и со знаком минус для точки P внутри окружности, называется степенью точки P относительно окружности S.

Радикальная ось 2. Докажите, что для точки P , лежащей вне окружности S, ее степень относительно S равна квадрату длины касательной, проведенной из этой точки. Докажите, что степень точки P относительно окружности S равна, где R — радиус S, d — расстояние от точки P до центра окружности S.
4. (!) На плоскости даны две неконцентрические окружности и S
2
. Докажите, что геометрическим местом точек, для которых степень относительно равна степени относительно S
2
, является прямая.
Эту прямую называют радикальной осью окружностей и S
2 5. Докажите, что радикальная ось двух пересекающихся окружностей проходит через точки их пересечения. На плоскости даны три окружности, центры которых не лежат на одной прямой. Проведем радикальные оси для каждой пары этих окружностей. Докажите, что все три радикальные оси пересекаются водной точке.
Эту точку называют радикальным центром трех окружностей. На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности.
Через точки пересечения любых двух из них проведена прямая. Докажите, что эти три прямые пересекаются водной точке или параллельны. Даны две неконцентрические окружности и S
2
. Докажите, что множеством центров окружностей, пересекающих обе эти окружности под прямым углом, является их радикальная ось, из которой (если данные окружности пересекаются) выброшена их общая хорда. а) Докажите, что середины четырех общих касательных к двум непересекающимся кругам лежат на одной прямой.
б) Через две из точек касания общих внешних касательных с двумя окружностями проведена прямая. Докажите, что окружности высекают на этой прямой равные хорды. На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки и Прямая l проходит через общие точки окружностей с диаметрами и BB
1
. Докажите, что:
а) прямая l проходит через ортоцентр (точку H пересечения высот треугольника б) прямая l тогда и только тогда проходит через точку C, когда AC = BA
1
: BC.

Гл. 5. Окружность. Продолжения сторон AB и CD четырехугольника ABCD пересекаются в точке F , а продолжения сторон BC ив точке E. Докажите, что окружности с диаметрами AC, BD и EF имеют общую радикальную ось, причем на ней лежат ортоцентры треугольников ABE,
CDE, ADF и BCF .
12*. Три окружности попарно пересекаются в точках и A
2
, и B
2
, и C
2
. Докажите, что A
1
B
2
· B
1
C
2
· C
1
A
2
= A
2
B
1
· B
2
C
1
· Касание (И. Н. Шнурников, А. Засорин
Задачи 1–5 интересны не только сами по себе, но и как леммы к другим задачам. Окружность касается окружности внутренним образом в точке D, а хорды AB — в точке C. Точка E — середина дуги AB, не содержащей точки D. Докажите, что точки C, D и E лежат на одной прямой и BE
2
= CE · DE.
2. Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке P . Окружность касается внутренним образом в точке S и касается отрезков B и P D. Точки и C
0
— середины дуги соответственно (дуги не содержат точку S). Прямые l и m — касательные кв точках и соответственно. Прямые l и m пересекаются в точке Q. Докажите,
что точки S, P и Q лежат на одной прямой. На плоскости заданы непересекающиеся окружности ω
1
, и Точки O
1
, и таковы точка O
1
— центр подобия и с положительным коэффициентом подобия точка O
2
— центр подобия и с положительным коэффициентом подобия точка O
3
— центр подобия и с положительным коэффициентом подобия. Покажите,
что точки O
1
, и лежат на одной прямой. Даны непересекающиеся окружности и с центрами в точках и O
2
. К ним проведена общая внешняя касательная AB и общая внутренняя касательная CD, так что точки A и D лежат на аи на ω
2
. Прямые AD и BC пересекаются в точке P . Докажите,
что точка P принадлежит O
1
O
2 5. Треугольник ABC вписан в окружность ω
1
. Окружность касается сторон AB ив точках K и L соответственно и касается внутренним образом в точке M . Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Докажите, что четырехугольник AKIM — вписанный и что M I — биссектриса угла AM C.

О теореме Понселе
161 6. Треугольник ABC вписан в окружность ω
1
. Окружность касается внутренним образом и отрезков AB ив точках K и Точка I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Докажите,
что I — середина KL.
7*. Три хорды окружности ω попарно пересекаются в точках A, B и Окружность касается лучей AC и AB и касается ω внутренним образом в точке A
′
. Аналогично определим окружности и ω
C
, касающиеся в точках и соответственно. Докажите, что прямые и пересекаются водной точке. Внутри угла, образованного лучами OP и OQ, проведен луч В угол P OQ вписаны непересекающиеся окружности и ω
2
. Точки A,
B, C и D - точки пересечения луча OR с окружностями и ω
2
, лежащие на OR в указанном порядке. Из точки A проводятся касательные и кВ криволинейный треугольник, высекаемый ими в окружности вписана окружность τ
1
. Из точки D проводятся касательные и кВ криволинейный треугольник, высекаемый ими в окружности, вписана окружность τ
2
. Докажите, что радиусы окружностей
τ
1
и равны. Треугольник ABC вписан в окружность ω. Окружность касается сторон AB ив точках K и L и касается ω в точке M внутренним образом. Точка N — середина дуги AC окружности ω, не содержащей точку B. Докажите, что прямые KL и M N пересекаются на прямой О теореме Понселе (А. А. Заславский
В наиболее простой форме теорема Понселе утверждает следующее.
Теорема Понселе. Пусть даны две окружности, одна из которых лежит внутри другой. Из точки большей окружности проведем касательную к меньшей и найдем вторую точку пересечения этой касательной с большей окружностью. По точке аналогично построим точку и т. д. Тогда, если A
0
= A
n для какой-то точки это будет выполнено и для любой другой точки большой окружности.
Говоря неформально, вписанно-описанный многоугольник можно
«вращать» между двумя окружностями (при этом его форма, вообще говоря, меняется. Будем называть такой вращающийся многоугольник многоугольником Понселе.
Доказательство теоремы Понселе и ее обобщений для произвольного можно прочитать в работах [3], [1]. Предлагаемая серия задач

Гл. 5. Окружность содержит доказательство теоремы Понселе и некоторых свойств многоугольников Понселе для n = 3, 4. Она предназначена в первую очередь школьникам 10–11 классов, но может быть интересна и девятиклассни- кам.
Контрольные вопросы. Какая величина остается постоянной при вращении треугольника