Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду

• Название: Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду
• Дата: 19.09.2022
• Размер: 3.42 Mb.
• Имя файла: matprob.pdf
• Тип: Сборник; #684321
• страница: 8 из 31

+ 1 делится на n?
2002, 3. Найдите все такие целые m, n ∈ {1, 2, 3}, что для бесконечного количества целых чисел a > 0 число a m
+ a − 1 делится на a
n
+ a
2
− 1.
2003, 2. Найдите все пары (a, b) целых положительных чисел, для которых делится на 2ab
2
− b
3
+ 1.
2003, 6. Пусть p — простое число. Докажите, что для некоторого простого q число n p
− p не делится на q ни при каком n.
2005, 4. Найдите все целые числа, взаимно простые с 2
n
+ 3
n
+ для любого n.
2006, 5. Пусть P (x) — многочлен степени n c целыми коэффициентами. Рассмотрим многочлен Q(x) = P (P (. . . (x) . . .)), где P применен k раз (k > 0). Докажите, что существует не более n таких целых чисел что Q(t) = t.
2007, 5. Пусть a и b — положительные целые числа, для которых − 1 делит (4a
2
− 1)
2
. Докажите, что a = b.
1. а) Число x оканчивается на 2. После того как его последнюю цифру переставили в начало, оно удвоилось. Найдите все такие б) Последнюю цифру числа x переставили в начало. Оно удвоилось.
Докажите, что x есть циклический сдвиг периода дроби 19 2. Даны числа R и m. Последовательность задана рекуррентно: задано, a n+1
= m a
n
. Докажите, что остатки a отделения на R стабилизируются. Докажите, что если p простое и 1 +
1 2
+ . . . +
1
p
=
m n
, то а) б) p
4
|(np − m).
4*. Натуральный ряд разбит на несколько арифметических прогрессий. Докажите, что у двух из них разность совпадает. Положим a
1
= 1, a n+1
= 9
a n
. Докажите, что в десятичном разложении числа 1
a встречается любая комбинация цифр. При каком наименьшем n из любых n чисел можно выбрать k
(k > 0), попарно сравнимых по модулю m (m > Указаны год и номер задачи на Международной математической олимпиаде

Разные задачи по элементарной теории чисел
107
Указания
2005, 4. Возьмите простое n = (n − 1) + 1 и покажите, что тогда+ 3
n
+ 6
n
− 1 делится на n.
2003, 6. Используйте индексы и свойства круговых многочленов, 3. Используйте соображения типа алгоритма Евклида и деление с остатком, 2. Используйте идею размножения решений по Виету (как для уравнения Маркова
5)
). Если a
2
= k(2ab
2
− b
3
+ 1), то a есть корень квадратного уравнения a
2
− 2akb
2
+ (b
3
− 1)k = 0. Случай a 6 b легко разбирается. Далее, если написанное квадратное уравнение имеет целое решение, то оно имеет (в силу теоремы Виета) и другое целое решение.
Хотя бы одно из этих решений a
1 меньше b, поскольку 0 6 a
2
=
=
k(b
3
− 1)
a
1 6
k(b
3
− 1)
kb
2
< b.
2006, 5. Рассмотрите орбиты под действием многочлена P и используйте то, что P (a) − P (b) делится на a − b.
5. См. Ерошин А. Е. Периодические десятичные дроби // Матем.
просв. № 8. C. 239–245. М МЦНМО, См Крейн М. Диофантово уравнение А. А. Маркова // Квант. 1985. № 4.

Часть
II
ГЕОМЕТРИЯ

ГЛАВА ГЕОМЕТРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА
Всюду в данной главе, кроме специально оговоренных случаев, используются обозначения ABC — данный треугольник, A
i
, B
i
, C
i
,
i = 1, 2, . . . , — точки на сторонах BC, CA и AB соответственно (или на продолжениях этих сторон, если это оговорено в условии задачи — вписанная окружность, I — ее центр, r — ее радиус Ω — описанная окружность, O — ее центр, R — ее радиус G — точка пересечения медиан
(центр тяжести, центроид), H — точка пересечения высот (ортоцентр).
Проведем биссектрисы AI, BI, CI до пересечения св точках A
′
, соответственно. Таким образом, A
′
, B
′
, C
′
— середины дуг AB, BC,
CA. Ортотреугольник — треугольник с вершинами в основаниях высот, серединный треугольник — треугольник с вершинами в серединах сторон данного треугольника. Перпендикуляр, опущенный из точки на BC, обозначается h(A, Принцип Карно (В. Ю. Протасов, А. А. Гаврилюк
1. Теорема Карно. В точках A
1
, B
1
, C
1
, лежащих на сторонах треугольника ABC, или на их продолжениях, восставлены перпендикуляры к этим сторонам. Докажите, что они пересекаются водной точке тогда и только тогда, когда C
1
B
2
+ A
1
B
2
− A
1
C
2
+ B
1
C
2
− B
1
A
2
= 0.
2. Сформулируйте и докажите теорему Карно для произвольных точек плоскости A
1
, B
1
, C
1
, необязательно лежащих на прямых, содержащих стороны треугольника ABC.
3. Пусть вневписанная окружность треугольника касается его стороны в точке и касается продолжений двух других сторон. Аналогично определяются точки и B
1
. Докажите, что перпендикуляры,
восставленные к сторонам треугольника в точках A
1
, B
1
, пересекаются водной точке

Гл. 4. Геометрия треугольника. На плоскости даны три пересекающиеся окружности. Докажите,
что три их общие хорды пересекаются водной точке. Пользуясь предыдущей задачей, получите еще одно доказательство теоремы о пересечении трех высот треугольника.
Степенью точки относительно окружности называется число где R — радиус окружности, и d — расстояние от ее центра доданной точки. Для точки, лежащей внутри окружности, степень равна (взятому со знаком минус) произведению отрезков любой хорды, проходящей через эту точку. Для точки, лежащей вне окружности, степень равна произведению любой секущей, проходящей через эту точку, на ее внешнюю часть, а также равна квадрату отрезка касательной отданной точки до точки касания. Докажите, что геометрическим местом точек, степени которых относительно двух данных окружностей равны, является прямая, перпендикулярная линии центров окружностей (радикальная ось. Охарактеризуйте все треугольники, у которых перпендикуляры к сторонам, восставленные в точках пересечения сторон с биссектрисами противоположных углов, пересекаются водной точке. На сторонах треугольника ABC построены прямоугольники, и CAA
2
C
1
. Докажите, что серединные перпендикуляры к отрезками пересекаются водной точке или параллельны. Точки A
1
, B
1
, C
1
— середины сторон BC, AC, AB треугольника соответственно. B
2
— основание перпендикуляра из точки B на. Аналогично определены и C
2
. Докажите, что h(C
1
, A
2
B
2
),
h(B
1
, A
2
C
2
) и h(A
1
, B
2
C
2
) пересекаются водной точке. Докажите, что h(A, B
1
C
1
), h(B, A
1
C
1
) и h(C, A
1
B
1
) пересекаются водной точке тогда и только тогда, когда h(A
1
, BC), h(B
1
, и h(C
1
, AB) пересекаются водной точке. Даны равносторонний треугольники точка D. Пусть центр вписанной окружности треугольника BCD. Аналогично определены точки и C
1
. Докажите, что прямые h(A, B
1
C
1
), h(B, и h(C, A
1
B
1
) пересекаются водной точке. На плоскости даны 2 различные точки A, B и числа α, β, γ ∈ Найдите геометрическое место таких точек X, что αAX
2
+ βBX
2
= γ.
13. На плоскости даны точки A
1
, . . . , A
n и числа α
1
, . . . , α
n
, c ∈ Рассмотрим такие точки X плоскости, что+ . . . + α
n
A
n
X
2
= c.

Принцип Карно
113
Докажите, что их геометрическое место имеет один из следующих видов, и классифицируйте случаи окружность прямая точка все точки плоскости пустое множество
Зачетные задачи 2, Контрольный вопрос

В каком из следующих случаев перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника, могут не пересекаться водной точке?
а) A
1
, B
1
, C
1
— точки касания сторон с вписанной окружностью.
б) A
2
, B
2
, C
2
— точки касания сторон с соответствующими вневпи- санными окружностями.
в) A
3
, B
3
, C
3
— основания биссектрис треугольника.
Указания и решения. Пусть перпендикуляры, восставленые в точках и B
1
, пересекаются в точке M . Применяя к прямоугольным треугольниками теорему Пифагора, получаем, что B
1
C
2
= M A
2
− MC
2
. (Данный прием, когда разность квадратов наклонных заменяется на разность квадратов их проекций, называется принципом Карно.)
Пусть теперь перпендикуляры к сторонам треугольника, восставленные в точках A
1
, B
1
, C
1
, пересекаются в точке M . Тогда, применив принцип Карно, получим требуемое равенство.
Обратно, пусть точки A
1
, B
1
, таковы, что C
1
B
2
+ A
1
B
2
− A
1
C
2
+ B
1
C
2
− B
1
A
2
= Обозначим через M точку пересечения перпендикуляров, восставленных из и к соответствующим сторонами опустим из M перпендикулярна. Как показано выше, он попадет в точку C
1
, ч. т. д. Пусть a = BC, b = AC, c = AB, p = (a + b + c)/2 — полупериметр треугольника. Тогда BC
1
= CB
1
= p − a, AC
1
= CA
1
= p − b, AB
1
=
= BA
1
= p − c, и утверждение задачи сразу следует из теоремы Карно. Указание. Рассмотрите три окружности, построенные на сторонах треугольника как на диаметрах

Гл. 4. Геометрия треугольника
Центр вписанной окружности (В. Ю. Протасов
Задачи этого раздела близки по тематике задачам разделов «Прямая
Эйлера», «Ортоцентр, ортотреугольник и окружность девяти точек»,
«Биссектрисы, высоты и описанная окружность. Поэтому рекомендуется решать задачи этих разделов параллельно. Дан вписанный четырехугольник ABCD. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA, DAB являются вершинами прямоугольника. Дан вписанный четырехугольник ABCD. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей треугольников ABC и CDA равна сумме радиусов вписанных окружностей треугольников BCD, DAB.
3. Через точку M внутри данного треугольника провели три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треуголь- ника.
а) Докажите, что M лежит на прямой, соединяющей центры вписанной и описанной окружностей треугольника.
Указание. Используйте гомотетию с центром в точке б) Укажите способ построения такой точки M для данного треуголь- ника.
в) Пусть x — радиус данных окружностей. Докажите, что 6

x Верно ли, что если одно из неравенств обращается в равенство, то треугольник правильный?
г) Докажите неравенство Эйлера R > 2r. Для каких треугольников оно обращается в равенство. Каждая из трех равных окружностей касается двух сторон треугольника, четвертая окружность того же радиуса касается этих трех окружностей.
а) Докажите, что центр четвертой окружности лежит на прямой, соединяющей центры вписанной и описанной окружностей треугольника.
б) Укажите способ построения таких окружностей для данного тре- угольника.
в) Выразите радиус данных окружностей через радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника. Дан треугольник ABC. Точки A
0
, B
0
, C
0
— середины его сторон. Вписанная окружность касается стороны BC в точке A
1
, точка симметрична относительно биссектрисы угла A. Аналогично опре-

Прямая Эйлера
115
деляются точки и C
2
. Докажите, что прямые A
0
A
2
, и пересекаются водной точке.
Зачетные задачи все, кроме любых четырех пунктов.
Контрольный вопрос
Величина угла AIB равна:
а) π − б) (π + в) Указания и решения. Напомним, что для любого треугольника ABC выполнено равенство. Поэтому если биссектриса угла C пересекает описанную окружность треугольника в точке C
′
, то ∠C
′
IA =
= ∠C
′
AI = (π − ∠ABC)/2, и значит, C
′
A = C
′
I = C
′
B. Пусть теперь, I
b
, I
c
, I
d
— центры вписанных окружностей треугольников BCD,
CDA, DAB, ABC. Тогда точки A, B, I
c
, I
d лежат на одной окружности, следовательно, ∠BI
d
I
c
= π − ∠BAI
c
= π − ∠BAD/2. Аналогично π − ∠BCD/2. Значит, ∠I
a
I
d
I
c
= (∠BAD + ∠BCD)/2 = π/2.
3. в) Указание. Три треугольника, гомотетичные данному относительно его вершин с коэффициентом 3
, имеют единственную общую точку. Из этого следует, что x не может быть меньше, чем. Далее, из подобия исходного треугольника и треугольника с вершинами в центрах данных окружностей следует, что x
R
=
r − x r
= 1 −
x r
6 1 −
2 3
=
1 Прямая Эйлера (В. Ю. Протасов
Задачи этого раздела близки по тематике задачам разделов Центр вписанной окружности, «Ортоцентр, ортотреугольник и окружность девяти точек, Биссектрисы, высоты и описанная окружность. Поэтому рекомендуется решать задачи этих разделов параллельно.
Напоминание. В любом треугольнике точки O, G и H лежат на одной прямой (прямой Эйлера, причем GH = 2 · GO.
1. Докажите, что прямая Эйлера параллельна стороне AB тогда и только тогда, когда tg ∠A · tg ∠B = 3.

Гл. 4. Геометрия треугольника. Прямая Эйлера треугольника параллельна одной из его биссектрис. Докажите, что либо треугольник равнобедренный, либо один из его углов равен 120
◦
3. В треугольнике ABC ∠A = 120
◦
. Докажите, что OH = AB + AC.
4. Докажите, что три окружности, каждая из которых проходит через вершину треугольника, основание его высоты, опущенной из этой вершины, и касается радиуса описанной окружности, проведенного к данной вершине, пересекаются в двух точках, расположенных на прямой Эйлера треугольника. Все углы треугольника ABC меньше 120
◦
, T — его точка Торри- челли (те. точка, для которой выполнено равенство ∠AT B = ∠BT C =
= ∠CT A = а) Докажите, что прямая Эйлера треугольника AT B параллельна прямой CT Указание. Можно воспользоваться задачей б) Докажите, что прямые Эйлера треугольников AT B, BT C и CT пересекаются водной точке. В вершинах треугольника проведены касательные к его описанной окружности. Докажите, что центр описанной окружности треугольника, образованного этими тремя касательными, лежит на прямой Эйлера исходного треугольника.
Контрольный вопрос

Прямая Эйлера неравнобедренного треугольника проходит через одну из его вершин. Чему равен угол в этой вершине?
а) 90
◦
; б) 120
◦
; в) 60
◦
; г) таких треугольников не существует.
Указания и решения. Так как расстояние от O до AB равно R cos C, а высота проведенная из вершины C, равна AC sin A = 2R sin A sin B, то параллельность прямой Эйлера и AB равносильна равенству 3 cos C = 2 sin A sin Учитывая, что cos C = − cos(A + B) = sin A sin B − cos A cos B, получаем утверждение задачи. Из условия следует, что степени точки O относительно этих окружностей равны R
2
. Кроме того, если и BB
′
— высоты треугольника, то четырехугольник ABA
′
B
′
— вписанный, и значит, HA · HA
′
=
= HB · HB
′
. Поэтому степени точки H относительно всех трех окружностей также равны, те. прямая OH является их общей радикальной осью

Ортоцентр, ортотреугольник и окружность девяти точек
117
Ортоцентр, ортотреугольник и окружность девяти точек (В. Ю. Протасов
Задачи этого раздела близки по тематике задачам разделов Центр вписанной окружности, Прямая Эйлера, Биссектрисы, высоты и описанная окружность. Поэтому рекомендуется решать задачи этих разделов параллельно. Внутри равностороннего треугольника ABC найти геометрическое место точек M , для которых ∠M AB + ∠M BC + ∠M CA = 90
◦
2. Пусть a, b, c — длины сторон остроугольного треугольника, u, v,
w — расстояния от соответствующих вершин до ортоцентра. Докажите,
что avw + bwu + cuv = abc.
3. Дан остроугольный треугольник. Найдите для него все треугольные бильярды, те. все вписанные в него треугольники, обладающие следующим свойством две стороны, выходящие из любой вершины вписанного треугольника образуют равные углы с соответствующей стороной данного треугольника. Пусть A
1
B
1
C
1
— ортотреугольник треугольника ABC, A
2
, B
2
,
C
2
— проекции вершин A, B, C на прямые B
1
C
1
, C
1
A
1
, соответственно. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из A
2
, B
2
, на прямые BC, CA, AB соответственно, пересекаются водной точке.
Указание. Воспользуйтесь принципом Карно. Докажите, что точки, симметричные ортоцентру относительно сторон треугольника и относительно середин сторон треугольника, лежат на описанной окружности.
Применив результат задачи 5 и гомотетию с коэффициентом 2
, решите следующую задачу. Докажите, что середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков, соединяющих вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности (окружность девяти точек. Радиус этой окружности равен, а центр находится в середине отрезка OH.
7. Длины сторон остроугольного треугольника умножили накоси- нусы противоположных углов. Докажите, что из трех получившихся отрезков можно сложить треугольник. Чему равен радиус его описанной окружности, если радиус описанной окружности исходного треугольника равен R?

Гл. 4. Геометрия треугольника. Теорема Тебо. Пусть ABC — данный треугольник, его ортотреугольник. Докажите, что прямые Эйлера треугольников, и пересекаются водной точке, лежащей на окружности девяти точек треугольника ABC.
9. Дан четырехугольник ABCD. Докажите, что окружности девяти точек треугольников ABC, BCD, CDA, DAB пересекаются водной точке. Теорема Брахмагупты. Дан вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и перпендикулярная одной из сторон, делит противоположную сторону пополам. Дан четырехугольник с перпендикулярными диагоналями. Докажите, что восемь точек середины сторон и проекции середин сторон на противоположные стороны лежат на одной окружности (окружность восьми точек четырехугольника).
Зачетные задачи 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, Контрольный вопрос
Пусть AA
′
, BB
′
, CC
′
— высоты треугольника ABC. Тогда его орто- центр H является а) ортоцентром;
б) центром тяжести;
в) центром описанной окружности;
г) центром вписанной окружности треугольника Указания и решения. Так как ∠AHB = π − ∠ACB, радиус описанной окружности треугольника равен R. Аналогично равны R радиусы описанных окружностей треугольников BHC и CHA. Поэтому утверждение задачи следует из того, что S
ABC
= S
AHB
+ S
BHC
+ и формулы =
abc
4R
5. Пусть точки H
1
, симметричны H относительно прямой и середины отрезка AB. Тогда радиусы окружностей, описанных около равных треугольников AHB, AH
1
B и BH
2
A, равны. Поскольку точки, не лежат на окружности ABH, они лежат на равной ей окружности. Треугольник является образом треугольника CAB при композиции гомотетии с центром C и симметрии относительно биссек-

Несколько неравенств, связанных с треугольником
119
трисы угла C. Поэтому угол между прямыми Эйлера треугольников
AB
1
C
1
и равен углу C. Кроме того, центрами окружностей,
описанных около этих треугольников, являются середины отрезков и HB. Таким образом, отрезок между этими центрами виден из точки пересечения двух прямых Эйлера под углом C и, значит, эта точка лежит на окружности Эйлера. Тогда третья прямая пересекает окружность Эйлера в той же точке.
Несколько неравенств, связанных с треугольником (В. Ю. Протасов