Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду
 Скачать 3.42 Mb.
|
|
− x + q = 0 имеет ровно одно решение? Указание: аналогично 1 б, в). е) Как по параметрами определить количество решений уравнения Указание сведите к предыдущему заменой y = ж) Объясните, как находить количество решений уравнения ax 3 + + bx 2 + cx + d = 0 поданным параметрам a, b, c, Указание используйте предыдущий пункт. Как по параметрам p, q, r, s, t определить количество решений уравнения а) x 4 − x + r = б) x 4 + qx + r = в) x n + qx + r = г x 4 ± x 2 + qx + r = Можете попытаться разобрать частные случаи напрямую, однако общий случай вам вряд ли удастся сделать без правила Штурма. д) x 4 + px 2 + qx + r = 0? (Сведите к пункту г).) е) px 4 + qx 3 + rx 2 + sx + t = 0? (Сведите к пункту д).) Правило знаков Декарта. Число положительных решений уравнения не превосходит числа перемен знака в последовательности, из которой вычеркнуты нули. Переменой знака в конечной последовательности b 0 , . . . , b ненулевых чисел называется такой индекс i ∈ {1, . . . , k}, что числа b и b имеют разные знаки. а) Можно ли в правиле знаков Декарта заменить не превосходит на равно (для многочленов без кратных корней)? б) Докажите правило знаков Декарта для n 6 в Как аналогично правилу знаков Декарта оценить количество корней заданного многочлена на заданном промежутке [a, b]? Гл. 2. Миникурс по анализу Производной P ′ (x) многочлена P (x) называется многочлен, полученный подстановкой y = x в многочлен (y) − P (x) y − x от двух переменных x, Например, уравнение касательной к графику многочлена P в точке a есть y = P ′ (a)(x − a) + P (a). 4. а) (x n ) ′ = nx б) (p n x n + . . . + p 1 x + p 0 ) ′ = np n x n−1 + (n − 1)p n−1 x n−2 + . . . + это 0 при n = 0). в) Формула Лейбница. (P Q) ′ = P ′ Q + P Q ′ 5. Пусть дано число а) Для любого числа ε > 0 и многочлена P существует такое δ = = δ(P, ε), что (a + h) − P (a) h − P ′ (a) < ε при любом h ∈ (−δ, δ). б) Теорема Ферма. Если a — точка локального экстремума многочлена, тов) Верно ли обратное? г) Если многочлен P нестрого возрастает на интервале, то производная неотрицательна на этом интервале. Верно ли, что производная положительна при условии строгого возрастания? д) Если производная многочлена P неотрицательна на интервале, то многочлен P нестрого возрастает на этом интервале. Указание: если не получается, то см. далее. а) Теорема Ролля. Между любыми двумя корнями многочлена лежит корень его производной. б) Докажите правило знаков Декарта для произвольного n. в) Теорема Лагранжа. Для любых a, b и многочлена P существует такое c ∈ (a, b), что P ′ (c) = P (a) − P (b) a − Контрольные вопросы. Сколько действительных решений имеет уравнение x 3 − 12x + а) б) в) г) д) 4. II. Сколько положительных решений имеет уравнение x 5 − 4x 4 + + 6x − 2 = а) б) в) 5. III. Существует ли такой многочлен P (x), что P (x) − P (y) = (x − y) 2 тождественно? а) Существует; б) не существует Число корней многочлена правило Штурма 49 Указания и решения. а) Если x 1 > x 2 , то x 3 1 + x 1 + q > x 3 2 + x 2 + q. Поэтому уравнение x 3 + x + q = 0 имеет не более одного решения. (Другое доказательство этого факта. Предположим, что уравнение x 3 + x + q = 0 имеет два различных решения и x 2 . Тогда x 3 1 + x 1 + q = = 0 и x 3 2 + x 2 + q = 0. Вычитая первое равенство из второго, получим x 3 2 − x 3 1 + x 2 − x 1 = 0. Поскольку x 1 6= x 2 , то отсюда x 2 1 + x 1 x 2 + x 2 2 + 1 = = 0. Выделяя полный квадрат, получим 2 x 2 2 + 3 4 x 2 2 = Получаем, что сумма квадратов двух действительных чисел равна что невозможно. Полученное противоречие доказывает нужное утвер- ждение.) Докажем теперь, что уравнение x 3 + x + q = 0 имеет хотя бы одно решение. Если q = 0, то x = 0 — решение. В дальнейшем будем считать, что q 6= 0. Рассмотрим многочлен P (x) = x 3 + x + q. Заметим, что (−q) = и P (q) = q 3 + 2q. Поэтому на концах отрезка [−|q|; |q|] многочлен) принимает значения разных знаков. По теореме о промежуточном значении найдется такое c ∈ [−|q|; |q|], что P (c) = Поэтому при любом q уравнение x 3 + x + q = 0 имеет ровно одно решение. е) Ответа) Ответ 1 − sgn r 3 3 − q 4 4 3. в) Указание. Используйте правило Декарта и начните с b = +∞. 4. б) Указание. Используйте пункта+ Ив б. Указание. Докажите сначала для P = x n . Докажите, что если утверждение верно для P и Q, то верно и для bP и P + Q (для любого числа b). 6. б) Указание. Индукция пос применением теоремы Ролля. Число корней многочлена правило Штурма (Настоящий цикл задач посвящен правилу (более научно, алгоритму) Штурма нахождения количества (вещественных) решений (те. корней без учета кратности) произвольного уравнения p n x n + . . . + p 1 x + p 0 = с вещественными коэффициентами p n , . . . , p 1 , p 0 Гл. 2. Миникурс по анализу. а) Любой многочлен с вещественными коэффициентами разлагается в произведение многочленов первой и второй степени с вещественными коэффициентами. Указание: см. тему применения комплексных чисел (гл. б) Если P (x) = (x − a 1 ) . . . (x − a n ) с различными a 1 , . . . , a n , тов) Если P (x) = (x − a 1 ) k 1 . . . (x − a n ) k с различными a 1 , . . . , a n , то (x) = k 1 x − a 1 + . . . + k n x − a То есть количество корней такого многочлена P (без учета кратности) равно количеству вертикальных асимптот графика функции P ′ P г) Сформулируйте и докажите аналог утверждений б) ив) для многочленов, представленных в виде произведения многочленов й и й степени. а) Если P — многочлен, отличный от константы, то для любого числа a количество решений уравнения P (x) = a конечно. б) Если f = P/Q — непостоянная дробно-рациональная функция (т. е. отношение многочленов, то для любого числа a количество решений уравнения f (x) = a конечно. в) Если a — корень многочлена P , то существуют такие натуральное число k и многочлен G, что P = (x − a) k G и G(a) 6= Точка x ∈ R называется точкой подъема функции f, если существует такое ε > 0, что f (t) < y при x − ε < t < x и f(t) > y при x < t < x + Точка x ∈ R называется точкой спуска функции f, если существует такое ε > 0, что f (t) > y при x − ε < t < x и f(t) < y при x < t < x + Например, для f (x) = точка x = 1 есть точка подъема, точка x = = −1 есть точка спуска, а точка x = 0 не есть ниточка подъема, ниточка спуска. Фиксируем следующие обозначения. Пусть P = p n x n + . . . + p 1 x + и Q = q m x m + . . . + q 1 x + q 0 — многочлены, не имеющие общих непостоянных множителей (те. общих множителей положительной степени n q m 6= 0 и f = Алгебраическим числом прообразов значения y функции f называется число a(f, y) = p − s, где p и s — количества точек подъема и спуска среди прообразов точки y. Например, a(x 2 , 1) = 0, a(x 2 , 0) = = 0, a(x 2 , −1) = 0. Число корней многочлена правило Штурма 3. Найдите a(f, y) для аи б) f (x) = x 3 − 3x + 1 ив и y = гид и y = е) f (x) = 1/x и y = ж) f (x) = a n x n + . . . + a 1 x + a 0 , y — достаточно большое число. Для многочлена P количество решений уравнения P (x) = 0 равно, y) для достаточно большого y. 5. Если n < m, то пусть y 6= 0, а если n = m, то пусть p n 6= yq Тогда число a(f, y) не зависит от выбора y. Поэтому это число будет обозначаться a(f Этой задачей можно пользоваться в дальнейшем без доказательства. Найдите a(f) для f(x), равной а) 1 x ; б) 1 x 3 − 3x + в) x где. а) Если P и Q — многочлены, то a Q P = б) Если G, P и Q — многочлены, причем deg P > deg Q, тов) Используя предыдущие задачи, выведите правило нахождения количества решений уравнения a n x n + . . . + a 1 x + a 0 = г) Как аналогично найти количество корней заданного многочлена на заданном промежутке [a, д) Как находить количество вещественных корней многочлена с учетом кратности? Знаменитая нерешенная проблема как находить количество комплексных корней многочлена (с учетом кратности, лежащих в верхней полуплоскости Гл. 2. Миникурс по анализу Контрольные вопросы. Какой точкой является точка x = 0 для функции f(x) = а) Точкой подъема; б) точкой спуска; в) ниточкой подъема, ниточкой спуска. Пусть f(x) = 1 x − 1 − 1 x + 1 . Найдите a(f а) б) в) г) д) 2. III. Какое из следующих утверждений верно для произвольного многочлена P (x) с действительными коэффициентами, неравного нулю тождественно? а) Уравнение P (x) = 0 имеет не меньше действительных решений, чем уравнение (x) = б) Уравнение P (x) = 0 имеет не больше действительных решений, чем уравнение (x) = в) Ни одно из предыдущих утверждений, вообще говоря, не верно. Указания и решения. Указание. Используйте теорему Безу и ее следствия) Предположим, что уравнение P (x) = a имеет бесконечное число решений. Тогда по определению многочлен Q(x) = P (x) − a имеет бесконечно много корней. Согласно задаче 4 а) из пункта Деление многочленов с остатком, многочлен Q(x) равен нулю тождественно. Значит, многочлен P (x) равен a тождественно, те постоянный многочлен. Указание. В обозначениях задачи 2 в) верно равенство (x) = k x − a + G ′ G 7. в) Ответ. Теорема Штурма в формулировке Хованского. Для многочленов F (x) и P (x) = p n x n + . . . + p 1 x + p 0 , p n 6= 0, обозначим a(P ) при n четном, 1 при n нечетном и p n > 0, −1 при n нечетном и p n < и. . . + 1 q с некоторыми многочленами q 1 , . . . , q k . Тогда количество решений уравнения равно a(q 1 ) − a(q 2 ) + . . . + (−1) k+1 a(q k ). Конечные суммы и разности 53 Конечные суммы и разности (Последовательностью сумм последовательности {a n } называется последовательность b n = P a n := a 0 + . . . + a n . Последовательностью разностей — последовательность c n = ∆a n := a n+1 − a n . Например и 2 n+1 − 1. Обозначим ∆ 2 a n := ∆∆a и т. д. (Сумма и разность являются аналогами интеграла и производной. Найдите а) ∆n для целого k > б) ∆ cos в) ∆(n · 2 n ). 2. Найдите а б + 1) . . . (n + для любого натурального Указание начните с k = 1, 2; разложите дробь на простейшие. а) Найдите для k = 0, 1, 2, 3, Указание ∆n k+1 = (k + 1)n k + . . ., значит, n k+1 = (k + 1) P n k + + P (. . б) Если f (n) — ненулевой многочлен, то (n) — многочлен степени на 1 большей, чем f (n). 4. а) Найдите ∆ l n k для l > б) Докажите, что я разность многочлена й степени есть постоянная, а (k + я равна в) Докажите, что ∆ l a n = 0 ⇐⇒ a n — многочлен от n степени не выше l − г) Выразите ∆ l a n через a n , a n+1 , . . . , a n+l д) Найдите ∆(n k λ n ). е) Формулы Лейбница. ∆(a n b n ) = a n+1 ∆b n + b n ∆a ж Выведите аналогичную формулу для ∆ l (a n b n ). 5. а) Найдите · б) Если f (n) — многочлен и λ — число, то (n)λ n ) = g(n)λ n + где C — число и g(n) — многочлен, причем deg g(n) = deg f (n) при λ 6= и deg g(n) = deg f (n) + 1 при λ = 1. в) Преобразование Абеля. Сформулируйте и докажите формулу для суммирования произведения, которая получается суммированием формулы Лейбница 4 е. (Аналог формулы интегрирования по частям для конечных сумм.) Контрольные вопросы. Какие из указанных равенств могут выполняться при всех n для непостоянной последовательности a n ? Гл. 2. Миникурс по анализу а) ∆a n = б) ∆a n = в) ∆a n = a где. Чему равно а) n 1/2 − (n − 1) 1/2 ; б + √ n + 1 ; в 2 III. Какие из следующих равенств верны для любой последовательности а n = a n+1 ; б) ∆ P a n = a в) ∆ 2 a n = a n+2 − 2a n+1 + a Указания и решения. а) Для k > 0 по определению k = (n + 1) k − n k = C 1 k n k−1 + C 2 k n k−2 + . . . + C k−1 k n + Очевидно, ∆n 0 = 0. Для k = −1 имеем ∆ 1 n = − 1 n(n + б) По определению ∆ cos n = cos(n + 1) − cos n = −2 sin 1 2 sin n + 1 в) По определению ∆(n2 n ) = (n + 1)2 n+1 − n2 n = (n + 2)2 n 2. а) Ответ 2 − cos(n + 1 2 ) 2 sin 1 Решение. По задаче 1 б cos n = −2 sin 1 2 sin n + 1 2 , поэтому ∆ cos n − 1 2 = −2 sin 1 2 sin Применим к обеим частям равенства суммирование. Получим cos n + 1 2 − cos 1 2 = X − 2 sin 1 2 sin Отсюда вытекает ответ. б) Ответ + 2)(k + 2)! + 1 (k + 1)! − 1 (k − 1)n(n + 1) . . . (n + k + Решение. Непосредственно проверяется, что для натурального k ∆ 1 n(n + 1) . . . (n + (k + 1)) = −(k + 2) (n + 1)(n + 2) . . . (n + k + Применив к обеим частям суммирование, получаем + 1)(n + 2) . . . (n + k + 2) − 1 (k + 2)! = −(k + 2) X 1 (n + 1)(n + 2) . . . (n + k + 1) Линейные рекурренты 55 Заметим, что й член последовательности + 1)(n + 2) . . . (n + k + равен (m + 1)-му члену последовательности + 1)! + X 1 n(n + 1) . . . (n + Поэтому + 1)... (n + k + 1) − 1 (k + 2)! = −(k + 2) − 1 (k + 1)! + X 1 n(n + 1)... (n + Разделив обе части на k + 2, получим ответ. Линейные рекурренты (В этом разделе используется материал предыдущего. В следующих задачах найдите означает найдите в виде формул, содержащих многочлены от n, a си. Найдите все последовательности, для которых a 0 = 1, a 1 = 3 и а) a n+2 = 3a n+1 − 2a б) a n+2 = 2a n+1 + 2a в) a n+2 = 2a n+1 − a г) a n+2 = 4a n+1 − 4a д a n+3 = 6a n+2 − 11a n+1 + 6a Указание (метод вариации постоянной найдите решение (безначальных условий) вида a n = λ n и рассмотрите b n = a n /λ n , c n = b n+1 − b n 2. Найдите все такие последовательности, что a 1 = 5 и a n+1 − 2a равно а) б) в) где Указание (метод вариации постоянной a n = b n λ n 3. Тоже с заменой a n+1 − 2a на a n+2 − 5a n+1 + 6a n 4. а) Если λ — корень кратности l характеристического уравнения x k = p k−1 x k−1 + . . . + p 0 , то функция f (где f (n) — произвольный многочлен степени меньше l) является решением соответствующего линейного однородного рекуррентного уравнения a n+k = p k−1 a n+k−1 + . . . . . . + p 0 a б) Сформулируйте и докажите теорему о решениях линейного однородного рекуррентного уравнения го порядка. в) Тоже для линейного НЕоднородного рекуррентного уравнения a n+k = p k−1 a n+k−1 + . . . + p 0 a n + g(n), где g(n) — произведение многочлена на c 1 a n + c 2 cos(ωn + ϕ). Гл. 2. Миникурс по анализу. Найдите производящую функцию 2) последовательности чисел Фибоначчи F 0 = F 1 = 1, F n+2 = F n + б) Тоже для чисел Каталана: c 0 = 1, c n+1 = n P k=0 c k c n−k в) Выведите изб) явную формулу для чисел Каталана (найдите сначала явно коэффициенты ряда − 4t). 6. Докажите правила дифференцирования формальных степенных рядов: а) (f + g) ′ = f ′ + б) (f g) ′ = f ′ g + f в g ′ = f ′ g − f г) (f (g)) ′ = Задача предназначена тем, кто понимает ее условие. Пусть a n+k = p k−1 a n+k−1 + . . . + p 0 a n (p 0 6= 0) при всех n > а) Производящая функция последовательности a имеет вид (x)/Q(x), где Q(x) = 1 − p k−1 x − . . . − p 0 x и P (x) — многочлен степени не выше k − б) Если Q(x) = m Q i=1 (1 − λ i x) k i , то найдутся такие коэффициенты c где 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 k i , что a n = P 16j6k i c ij n j−1 λ n в) Если a n , b удовлетворяют некоторым линейным рекуррентам, то и a n b удовлетворяет некоторой линейной реккурренте. 8. Найдите все такие дифференцируемые функции, что y(0) = и y ′ − 2y равно а) б) в) где Указание (метод вариации постоянной y = ze λx 9. Тоже для y ′ − 2y → y ′′ − 5y ′ + 6y. 10*. а) Если λ — корень кратности l характеристического уравнения, то функция f (где f (x) — произвольный многочлен степени меньше l) является решением соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения y (k) = = p k−1 y (k−1) + . . . + б) Сформулируйте и докажите теорему о решениях линейного однородного дифференциального уравнения го порядка. в) Тоже для линейного НЕоднородного дифференциального урав- нения. 2) Определение см, например, в книге Ландо С. К. Лекции о производящих функциях. М МЦНМО, 2007. Конкретная теория пределов 57 Контрольные вопросы. Какая из указанных последовательностей удовлетворяет рекуррентному уравнению a n+2 − 2a n+1 + a n = а) a n = 5n + б) a n = (2n + 1) · в) a n = cos 2n. II. Какая из указанных последовательностей удовлетворяет рекуррентному уравнению a n+2 − 4a n+1 + 4a n = а) a n = 5n + б) a n = (2n + 1) · в) a n = cos 2n. III. Какая из указанных последовательностей удовлетворяет рекуррентному уравнению a n+3 + (cos 2 1 − 2)a n+2 − cos 2 · a n+1 + cos 2 1 · a n = = а) a n = 5n + б) a n = (2n + 1) · в) a n = cos Конкретная теория пределов (Задачи этого раздела интересны не только как простейший способ разобраться в теории пределов. Похожие задачи о конкретных, хотя и грубых, оценках часто возникают и на олимпиадах, ив прикладной математике, ив теоретической математике. В решении этих задач нельзя пользоваться функциями n √ x, a x , log a x, arcsin x etc. без определения этих функций (поскольку для их определения например, для доказательства существования такого что x 2 = 2, — фактически нужно эти задачи решить. Исключение если некоторая функция используется в условии, то ее можно использовать ив решении. Можно пользоваться без доказательства неравенствами и их свойствами. Найдите хотя бы одно такое N, чтобы для любого n > N выполнялось, если a равно а) √ n; б) n 2 − 3n + в) г) 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + . . . + 1 n 2. Неравенство Бернулли. (1 + x) n > 1 + nx для x > −1 и а) целого n > 0; б) рационального n > 1; в) действительного n > 1. 3. Найдите хотя бы одну пару таких a и N, чтобы для любого n > выполнялось |a n − a| < 10 −8 , если a равно а n + 28 n − б) n r 1 + 1 n − в) n 3 r 1 + 1 n − г) 0,99 n ; Гл. 2. Миникурс по анализу де) ж (1 + з n( n √ 2 − и 1 2 + 1 2 2 + . . . кл. мни. Найдите хотя бы одну пару таких a и δ > 0, чтобы для любого x, 0 < |x| < δ, было выполнено |f(x) − a| < 3 · 10 −9 , если f (x) равно а) б) в) sin где ж) (1 + Указания. Число a не обязано быть равно пределу. ж) Докажите, что + 1 n n < 1 + 1 n + 1 n+1 < 1 + 1 n + 1 n+2 < 1 + 1 n n+1 4. де) Если |f(x) − a| < ε/2 при x ∈ (−δ 1 , δ 1 ) и |g(x) − b| < ε/2 при x ∈(−δ 2 ,δ 2 ), то |f(x)+g(x)−a−b|<ε при x∈(−min Аналогичные утверждения справедливы с заменой суммы на разность, произведение и частное. Методы суммирования рядов (Ньютон считал понятия производной и интеграла не своим главным достижением, а лишь естественным языком для записи дифференциальных уравнений, которыми выражаются законы природы. Своим главным достижением в анализе Ньютон считал метод решения дифференциальных уравнений с помощью (степенных) рядов. С них мы и начнем (а остальные использованные в этом абзаце понятия определим потом). В этом разделе считается, что a n > 0 и b n > 0 (кроме задачи Методы суммирования рядов 59 Число A называется суммой ряда n , если) A > a 1 + . . . + a для любого n и) для любого ε > 0 существует n, для которого A < a 1 + . . . + a n + Обозначение A = ∞ P n=1 a n , сокращенно A = P a n . Если у ряда существует сумма, то он называется сходящимся, в противном случае — расходящимся. Число A n := a 1 + . . . + a называется й частичной суммой ряда Здесь не будет необходима строгая теория действительных чисел. Можно пользоваться без доказательства (только) алгебраическими свойствами действительных чисел и принципом Вейерштрасса ряд n } с положительными членами сходится, если последовательность a 1 + . . . + a ограничена (те. если существует число A со свойством (Этот принцип можно доказать, используя десятичную запись. В следующих задачах равенства с рядами являются утверждениями, которые подробно формулируются так если правая часть существует, толевая тоже существует и равна правой. Выражение для любого n» часто опускается. а n + b n ) = P a n + P b б n = λ P a в n = a 1 + . . . + a k + ∞ P n=1 a k+n 1. Явное вычисление частичной суммы (например, через разложение на простейшие дроби. Найдите: а) ∞ P n=1 1 n(n + б 1 n(n + в 1 (3n − 1)(3n + где+ С ней можно ознакомиться, например, по книге Зорич В. А. Математический анализ. Том 1. Гл. 2. Миникурс по анализу. Составление уравнений. Сумму S = ∞ P n=0 1 2 n можно найти из уравнения 1 + S 2 = S (если доказать, что сумма существует. Найдите а) ∞ P n=1 n 2 n ; б)* ∞ P n=1 n 2 2 n 3. Перегруппировка слагаемых. Сумму можно найти и из равенства 2 + 1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + . . . = = 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . + 1 4 + 1 8 + . . . + 1 8 + . . . + . . а) Найдите сумму ряда 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + . . . (выяснив, при каких он сходится). б) Если σ : {0, 1, 2, . . .} → {0, 1, 2, . . .} — перестановка (те. взаимно однозначное соответствие, тов) Найдите n 2 n г) Придумайте ряд (в котором необязательно, для которого б) неверно. Умножение рядов. Сумму можно найти и из равенства + 1 2 + 1 4 + . . . 1 + 1 2 + 1 4 + . . . = = 1 · 1 + 1 1 · 2 + 1 2 · 1 + 1 4 · 1 + 1 2 · 2 + 1 1 · 4 + . . а) Найдите + 1) 2 n б 0! − 1 1! + 1 2! − . . . + (−1) n n! + . . . 1 0! + 1 1! + . . . + 1 n! + . . . = Определение суммы знакопеременного ряда дайте сами или посмотрите ниже.) в) 1 0! + 1 1! + 1 2! + . . . + 1 n! + . . . 2 = 2 0 0! + 2 1 1! + . . . + 2 n n! + . . г n ∞ P n=0 b n = ∞ P n=0 (a 0 b n + a 1 b n−1 + . . . + a д) Верно лиг) без условия a n , b n > Число A называется суммой ряда n , если для любого ε > 0 существует такой номер N , что для любого n > N выполнено неравенство+ . . . + a n − A| < ε. Методы суммирования рядов 5. Преобразование Абеля. Сумму можно найти и из равенства 8 (4 − 3) + . . . а Найдите + 1 2 2 n б n (a n−1 − a n ) = a 0 b 0 − a m b m − m P n=1 a n−1 (b n−1 − b n ) (что получается при m = в) Если b n 6 b и последовательность {a n } монотонно убывает к нулю (тогда a 1 = ∞ P n=1 (a n − a n+1 )), то n (a n−1 − a n ) = a 0 b 0 − ∞ X n=1 a n−1 (b n−1 − b Сформулируйте самостоятельно условия, при которых верно это утверждение. Сумма абсолютно сходящегося ряда (те. ряда, для которого n | сходится) не зависит от перестановки членов этого ряда. Измените порядок членов ряда − 1 2 + 1 3 − 1 4 + . . . + (−1) n+1 1 n + . . . чтобы его сумма стала равна а) б) 7. 8. а) Представьте z 3 + 3z 2 − 2z − 1 в виде многочлена от y = z + б) Найдите такие числа a n , чтобы для любого z, |z| < 1, получилось+ 2z + 2 = ∞ P n=1 a n z n 9*. Для знакомых с производной. а) Найдите n , используя равенство n ′ = ∞ P n=2 nx для < б) Найдите n n для |x| < 1 и целых k. Гл. 2. Миникурс по анализу. Сумма ряда 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + . . . равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, прямыми x = 1 и x = 2 и гиперболой y = Зачетные задачи 1 а 2 а 3 а, б, гав, г 5 б, в 6; 7 а б. Из них письменно 3 б 4 г). Ответы и указания. а) б) в) г) да. а) 1/(1 − при 0 6 x < 1, расходится при x > б) в) (k + га. б) Разложите+ 2z + 2 = 1 (z + 1) 2 + по степенями пере- разложите по степеням Сходимость рядов (11) |