Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду
 Скачать 3.42 Mb.
|
|
б) А всегда ли можно одним проектированием? Зачетные задачи 1 б 2 a); 3 а)–в); 4 а 5 а 7 а, б 8 б 9 б а. Из них письменно 3 а 9 б). Инверсия 8) (9–10) Do you believe, wrong is right, When you turn the world upside down. Accept and Пусть на плоскости Π дана окружность S с центром O и радиусом. Инверсией относительно окружности S называют преобразование, переводящее произвольную точку A, отличную отв точку A ∗ , лежащую на луче OA на расстоянии OA ∗ = = R 2 /OA от точки O. Инверсию относительно S будем также называть инверсией с центром O и степенью R 2 , а окружность S — окружностью инверсии. Докажите, что треугольник BOA подобен треугольнику A ∗ OB ∗ (28.1) 2. Во что переходят а) точки, лежащие внутри б) точки, лежащие вне в) прямые и окружности, проходящие через г) другие прямые и окружности? Обобщенная окружность — это окружность или прямая. а) Касание обобщенных окружностей сохраняется при инверсии. б) В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек касания. в) Пусть даны прямая a, окружность S и такая точка X на окружности такая, что радиус XO перпендикулярен a. Две прямые, проходящие через X, пересекают a ив точках A, B, C и D. Докажите, что точки A, B, C, D лежат на одной окружности. г) Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку первой окружности провели прямые KA и KB, пересекающие вторую 8) См. также Розенфельд Б. А. , Сергеева Н. Д. Стереографическая проекция. М.: Наука, 1973; http://plm.mccme.ru/ann/a53.htm. Гл. 6. Миникурс по геометрическим преобразованиям окружность в точках P и Q. Докажите, что хорда P Q второй окружности перпендикулярна диаметру KM первой окружности. д) Дана окружность ω и хорда AB. Две окружности касаются хорды и ω и пересекаются в точках C и D. Докажите, что CD делит дугу противоположную той, которой касаются окружности) пополам. е) Даны две непересекающиеся окружности a и b. Две окружности c и d касаются их внешним образом и, кроме того, касаются в точке Найдите ГМТ ж На окружности S выбраны точки A и B. Точка C — середина одной из дуга некоторая точка отрезка AB. Окружность касается отрезков BD (в точке B 1 ), CD и окружности S. Окружность касается продолжения отрезка AB заточку (в точке B 2 ), окружности (в точке K) и продолжения отрезка CD заточку. Докажите, что угол B 1 KB 2 прямой. Пусть две окружности пересекаются в точке A. Углом между окружностями называют угол между касательными к окружностям в точке A. (Ясно, что если окружности пересекаются в точках A и то угол между касательными в точке A равен углу между касательными в точке B.) Аналогично определяется угол между прямой и окружностью. Перпендикулярность и вообще углы между обобщенными окружностями сохраняются при инверсии. б) Угол между обобщенными описанными окружностями треугольников и ABD равен тому же углу для треугольников ACD ив) Обобщенные окружности α и β, β и γ, γ и δ, δ и α пересекаются в точках и A 2 , и B 2 , и C 2 , и D 2 , соответственно. Докажите, что если точки A 1 , B 1 , C 1 , лежат на обобщенной окружности, то и точки A 2 , B 2 , C 2 , лежат на обобщенной окружности. а) A ∗ B ∗ = AB · R 2 OA · OB б) Теорема Птолемея. Для вписанного угольника ABCD имеем · AC = DC · AB + BC · AD. 6. Задача Аполлония. Постройте окружность, а) проходящую через 2 заданные точки и касающуюся данной окружности; б) проходящую через данную точку и касающуюся 2 данных окружностей в касающуюся трех данных окружностей. Построения с помощью одного циркуля. а) Разделите отрезок пополам Инверсия 195 б) Постройте образ данной точки A при инверсии относительно данной окружности. в) Постройте окружность, проходящую через три данные точки. г) Докажите, что все, что можно построить с помощью циркуля или- нейки, можно построить и с помощью одного циркуля. задачи из § 3.) 8. а) Две непересекающиеся окружности и или окружность и прямую) можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей. б) Поризм Штейнера. Если существует цепочка окружностей S 1 , S 2 , . . . , S n , каждая из которых касается двух соседних (S n касается S n−1 и S 1 ) и двух данных непересекающихся окружностей и R 2 , то таких цепочек бесконечно много. А именно, для любой окружности касающейся и одинаковым образом, если и не лежат одна в другой, внешними внутренним в противоположном случае, существует аналогичная цепочка из n касающихся окружностей T 1 , T 2 , . . . . . . , T n 9. Сфера с центром в плоскости основания ABC тетраэдра проходит через вершины A, B и C и вторично пересекает ребра SA, SB ив точках A 1 , и соответственно. Плоскости, касающиеся сферы в точках A 1 , и C 1 , пересекаются в точке O. Докажите, что — центр сферы, описанной около тетраэдра SA 1 B 1 C 1 10. Пусть ω — сфера единичного радиуса с центром в точке E = = (0, 0, 1). Рассмотрим отображение сферы ω на плоскость α = {z = точка A переходит в точку пересечения луча N A и α, где N (0, 0, 2) точка, диаметрально противоположная точке касания ω и α. Докажите, что окружности (на сфере) данное преобразование переводит в обобщенные окружности. а) Можно ли замостить пространство окружностями, те. построить такое семейство окружностей {ω α } α∈R , чтобы любая точка пространства лежала бы ровно на одной окружности семейства? б) Построить семейство непересекающихся окружностей равного радиуса, покрывающих куб со стороной Указание для задач 9–11 полезна пространственная инверсия. Найдите все плоские кривые, которые при пространственной инверсии с любым центром переходят в плоские кривые ГЛАВА АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Материал этой главы рекомендуется изучать после заключительных разделов предыдущей. Также может оказаться полезной рекомендованная в предыдущей главе литература. Буря на Массовом поле (А. А. Гаврилюк Центром масс системы нагруженных точек (A 1 , m 1 ), . . . , (A n , m n ) (A i — точки плоскости, m i — массы, те. числовые коэффициенты, приписанные этим точкам, называется такая точка O плоскости, что m 1 # OA 1 + . . . + m n # OA n = # 0 . (При этом считается, что m 1 + . . . + m n 6= 6= 0.) 1. На плоскости дана система нагруженных точек из предыдущего определения. а) Докажите, что для этой системы существует единственный центр масс б) Докажите, что для любой точки X верно XO = m 1 # XX 1 + . . . + m n # XX n m 1 + . . . + m n 2. Даны 2 системы нагруженных точек (X 1 , a 1 ), . . . , (X n , a и (Y 1 , b 1 ), . . . , (Y m , b m ). Точки X и Y — их центры масс соответственно. Докажите, что центр масс этих m + n точек совпадает с центром масс системы двух точек (X, a 1 + . . . + a n ) и (Y, b 1 + . . . + b m ). 3. Теорема Чевы. Пусть в треугольнике ABC точки A 1 , B 1 , лежат соответственно на сторонах BC, AC, AB, тогда отрезки AA 1 , BB 1 , пересекаются водной точке ⇐⇒ AC 1 · BA 1 · CB 1 AB 1 · CA 1 · BC 1 = 1. 4. Пусть в условии предыдущей задачи точка T — точка пересечения чевиан (указанных в теореме Чевы отрезков. Докажите, что B 1 = = BA 1 A 1 C + BC 1 C 1 A Буря на Массовом поле 5. Точки K, L, M, N — середины сторон четырехугольника Докажите, что точка пересечения отрезков LN и KM делит пополам их, а также отрезок, соединяющий середины диагоналей ABCD. 6. Пусть A 1 , . . . , F 1 — середины сторон AB, BC, . . . , F A шестиугольника. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников и совпадают. Три одинаковые мухи ползают по периметру треугольника так, что их центр масс неподвижен. Известно, что одна из мух проползла всю границу. Докажите, что центр масс мух совпадает с центром масс ABC. 8. На окружности дано n точек. Через центр масс n − 2 точек проводится прямая, перпендикулярная хорде, соединяющей оставшиеся точки. Докажите, что все такие прямые пересекаются водной точке. В углы треугольника ABC вписаны попарно касающиеся окружности. Точки касания A 1 , B 1 , этих окружностей лежат соответственно против вершин ABC. Докажите, что отрезки AA 1 , BB 1 , пересекаются водной точке. Зачетные задачи Контрольные вопросы. В вершины треугольника поместили равные массы. Что будет центром масс получившейся системы? а) Центр описанной окружности; б) центр вписанной окружности; в) точка пересечения высот; г) точка пересечения медиан. Длины сторон треугольника ABC равны a, b, c. Какие массы надо поместить в точках A, B, C, чтобы их центром масс был центр вписанной окружности треугольника? а) a, b, б) a 2 , b 2 , в) b + c, c + a, a + Указания и решения. а) Существование центра тяжести является очевидным следствием б. Докажем единственность. Предположим, что O 1 , O 2 — центры тяжести. Тогда m 1 # O 1 A 1 + . . . + m n # O 1 A n = # 0 , m 1 # O 2 A 1 + . . . + m n # O 2 A n = # 0 . Гл. 7. Аффинная и проективная геометрия Вычитая из первого равенства второе, получаем+ . . . + m n ) # O 1 O 2 = # 0 Так как m 1 + . . . + m n 6= 0, из этого равенства следует, чтоб) Имеем m 1 # XX 1 + . . . + m n # XX n = = m 1 ( # OX 1 + # XO) + . . . + m n ( # XX n + # XO) = (m 1 + . . . + m n ) # XO, ч.т. д. Пусть O — центр масс системы (X, a 1 + . . . + a n ) и (Y, b 1 + . . . + b Тогда+ . . . + a n ) # OX + (b 1 + . . . + b m ) # OY = # 0 Кроме того XA 1 + . . . + a n # XA n = b 1 # Y B 1 + . . . + b m # Y B m = # 0 Вычитая из первого равенства два других, получим утверждение задачи. Указание. Точка пересечения чевиан является центром масс системы, где x : y = BC 1 : AC 1 , y : z = CA 1 : BA 1 , z : x = = AB 1 : CB 1 4. Указание. Воспользуйтесь утверждениями задачи. Указание. Поместите в вершины четырехугольника равные массы и найдите центр масс полученной системы. Указание. Поместите в вершины шестиугольника равные массы и найдите центр масс полученной системы. Указание. Выясните, где может находиться центр масс, когда одна из мух находится в вершине треугольника. Указание. Докажите, что все такие прямые пересекают прямую , где O — центр окружности, а M — центр масс всех точек, водной и той же точке. Немного о двойных отношениях (А. А. Гаврилюк Двойным отношением четырех точек A, B, C и D на прямой l называется выражение (A, B, C, D) = ( # AC, # BD) ( # AD, # BC) Немного о двойных отношениях 199 Комментарий. Считается, что на этой прямой выбрано фиксированное направление. Тогда для точек P , Q этой прямой P Q — направленное расстояние. Оно равно |P Q|, если вектор сонаправлен с выделенным направлением прямой, и равно −|P Q| в противном случае. Двойным отношением четырех прямых a, b, c и d на плоскости называется выражение (ab; cd) = sin ∠(a, c) · sin ∠(b, d) sin ∠(a, d) · sin ∠(b, Комментарий. Считается, что в плоскости выбрано положительное направление поворота, а на каждой из прямых выбрано положительное направление движения. Тогда для прямых p, q на плоскости, q) — направленный угол. Он равняется минимальному углу поворота в положительном направлении прямой p, совмещающего положительное направление p с положительным направлением q. Неочеви- ден факт, что такая величина не меняется при другом выборе положительных направлений. Это несложное упражнение. Двойным отношением четырех точек A, B, C и D на окружности называется выражение (A, B, C, D) = (XA, XB, XC, XD) для произвольной точки окружности X, не совпадающей ни с одной из точек, B, C, Комментарий. (XA, XB, XC, XD) — это ранее определенное двойное отношение четырех прямых. Кроме того, неочевиден факт, что эта величина не зависит от выбора точки X на окружности. Это несложное упражнение. Говорят, что несколько прямых конкурентны, если все они имеют общую точку. Говорят, что несколько точек коллинеарны, если все они лежат на некоторой прямой. Прямые a, b, c, d проходят через точку O и пересекают прямую l в точках A, B, C, D. Докажите, что (A, B, C, D) = (ab; cd). 2. На двух пересекающихся в точке A прямых m и n выбраны точки. На m — B 1 , C 1 , D 1 , на n — B 2 , C 2 , D 2 . Докажите, что прямые B 1 B 2 , C 1 C 2 , D 1 D 2 конкурентны ⇐⇒ (A, B 1 , C 1 , D 1 ) = (A, B 2 , C 2 , D 2 ). 3. Пусть (A, B, C, D) = k. Найдите двойные отношения точек A, B, C, D, записанных в другом порядке. В четырехугольнике ABCD прямые AB и CD пересекаются в точке G, AD ив точке E. Прямые DB и EG пересекаются в точке H, AC ив. Докажите, что (E, G, F, H) = −1. Гл. 7. Аффинная и проективная геометрия Четверка точек или прямых p, q, r, s с условием (p, q, r, s) = −1 называется гармонической. а) Если какие-то два числа из (A, B, C, D), (C, D, A, B), (B, A, C, D), (A, B, D, C) равны, то (A, B, C, D) 2 = б) Если (A, B, C, D) 2 = 1, то (A, B, C, D) = (C, D, A, B) = (B, A, C, D) = = (A, B, D, C). 6. а) Пусть M B — середина стороны AC треугольника ABC. Докажите, чтоб) Пусть BL B — внутренняя биссектриса треугольника ABC, внешняя. Докажите (AB, BC, BL B , BK B ) = −1. 7. Прямые l 1 , l 2 , l 3 , на плоскости таковы, что (l 1 l 2 , l 3 l 4 ) = Докажите, что а) если точка O ∈ l 1 , l 2 , l 3 , то эти прямые высекают равные отрезки наб) если прямые и перпендикулярны, то они параллельны биссектрисам углов между и l 4 8. Точки A, B, C, D лежат на одной окружности. Для любой точки этой окружности обозначим как касательную к этой окружности, проведенную в а) Докажите, что CD, k A , k B конкурентны ⇐⇒ (A, B, C, D) = б) Докажите, что CD, k A , k B конкурентны ⇐⇒ AB, k C , конку- рентны. 9. Точки A, B — основания касательных, проведенных к окружности из точки X. Прямые c, d содержат X и пересекают эту окружность в точках C 1 , и D 1 , соответственно. и пересекаются в Y а) Докажите, что A, B, Y коллинеарны. б) Пусть M — середина C 1 C 2 . Докажите, что ∠AM X = ∠BM X. 10. Пусть AB, CD — параллельные хорды окружности ω. M — середина. Прямая CM повторно пересекает ω в точке K, P — середина. Докажите, что ∠BP K = ∠KP A. 11. В треугольнике ABC H B — основание высоты, проведенной к стороне AC; K B — точка касания вписанной окружности со стороной AC; L B — основание биссектрисы, проведенной к стороне AC; T B — точка касания вневписанной окружности со стороной Аналогично определены точки H A , K A , L A , T A . Докажите, что а) (T B , K B , L B , H B ) = б) CT B = AK B = AC + AB − BC 2 ; Немного о двойных отношениях 201 в) CH B = BC 2 + AC 2 − AB 2 г) (C, H B , T B , K B ) = (C, H A , T A , д) T A T B , L A L B , K A K B , H A H B конкурентны. Зачетные задачи Контрольные вопросы Во всех вопросах A, B, C, D — точки на прямой. Какое утверждение является следствием равенства (A, B, C, D) = = а) A = B; б) C = D; вили г) никакое. Какое из следующих равенств всегда верно? а) (A, B, C, D) = (B, A, C, б) (A, B, C, D) = (B, A, D, в) (A, B, C, D) = (A, C, B, D). III. Пусть (A, B, C, D) = k. Чему равно (B, A, C, а) 1 − k; б в) 1 − 1 k ; г 1 − Решения. Имеем равенство (отрезки и площади ориентированы ∠AOC sin Используя его и аналогичное равенство для отношения BD/AD, получаем утверждение задачи. Если прямые B 1 B 2 , C 1 C 2 , пересекаются в точке O, тора- венство двойных отношений следует из утверждения предыдущей задачи, примененного к прямым OA, OB 1 , OC 1 , OD 1 . Обратно, пусть двойные отношения равны. Тогда обозначим точку (возможно, бесконечно удаленную) пересечения прямых и через O. По предыдущей задаче прямая пересекает в точке D 2 3. Очевидно равенство (A, B, C, D) = (B, A, D, C) = (C, D, A, B) = = (D, C, B, A), те двойных отношения разбиваются на 6 групп из равных отношений. Кроме того, (B, A, C, D) = 1/k. Чтобы найти остальные отношения, введем на прямой координаты и будем считать, что точки A, B, C, D имеют координаты a, b, c, d. Тогда k = (A, B, C, D) = (a − c)(b − d) (a − d)(b − c) , (A, C, B, D) = (a − b)(c − d) (a − d)(c − b) Гл. 7. Аффинная и проективная геометрия Преобразуем числитель этой дроби − b)(c − d) = ((a − c) + (c − b))((b − d) + (c − b)) = = (a − c)(b − d) + (c − b)(a − Следовательно, (A, C, B, D) = 1 − k. Повторяя приведенные рассуждения, получаем, что остальные отношения равны 1 − 1/k, 1/(1 − и k/(k − 1). Из задачи 1 следует, что этот результат верен также для двойных отношений прямых и точек окружности. Указание. Из задачи 1 следует, что двойные отношения сохраняются при центральной проекции. Поэтому для решения задачи достаточно спроектировать четырехугольник ABCD в параллелограмм. Указание. Используйте результат задачи 2. 6. Указание. Оба утверждения можно доказать как непосредственным вычислением двойного отношения, таки с помощью утверждения задачи 4. 7. Указание. Воспользуйтесь утверждением предыдущей задачи. Указание. Воспользуйтесь центральной проекцией, переводящей данную окружность в окружность, а точку пересечения хорд AB ив ее центр. Полярное соответствие (А. А. Гаврилюк, ПА. Кожевников 1) Чтобы по-настоящему понять природу полярного соответствия, нужно быть знакомым с проективной геометрией. Мы же делаем попытку познакомиться с полярным соответствием и воспользоваться его свойствами без привлечения проективной геометрии. Введем нужные нам определения и обозначения. Пусть на плоскости фиксирована точка O и окружность ω радиуса с центром в Для каждой точки X 6= O на луче OX строим такую точку X ′ , что · OX ′ = R 2 . (Говорят, что и X инверсны относительно окружности) Через точку проведем прямую x, перпендикулярную Прямая x называется полярой точки X, а точка X называется полюсом прямой x. Соответствие X ↔ x является взаимно однозначным соответствием между точками, не совпадающими си прямыми, не 1) Контрольные вопросы написаны А. А. Заславским. Полярное соответствие 203 проходящими через O. Это соответствие и называется полярным соот- ветствием. Из определения легко вытекает, что полярой точки A, лежащей на окружности ω, является касательная к ω, проведенная через A. Если же точка A расположена вне окружности ω, то поляра проходит через точки касания с ω касательных, проведенных через A (это «предельный» вариант свойства П, сформулированного ниже). Вводные задачи Мы обозначаем точки, не совпадающие с O (полюсы, большими латинскими буквами, а их поляры — соответствующими маленькими буквами. Таким образом, A ↔ a, B ↔ b, C ↔ c, . . Установите следующие свойства полярного соответствия. П1. Двойственность. а) A ∈ b ⇐⇒ B ∈ б) Если O, A, B не лежат на одной прямой, тов) Точки A, B, C лежат на одной прямой ⇐⇒ a, b, c проходят через одну точку или параллельны. П2*. Пусть две секущие m и l, проходящие через точку A (A / ∈ пересекают ω в точках M 1 , и L 1 , L 2 . Тогда M 1 L 1 ∩ M 2 L 2 ∈ a или M 2 L 2 k Основные задачи. Даны окружность ω и прямая l, не имеющие общих точек. Из точки X, которая движется по прямой l, проводятся касательные XA, XB к ω. Докажите, что все хорды AB имеют общую точку. а) Симметричная бабочка. Дана точка A на диаметре BC полуокружности. Точки X, Y на ω таковы, что ∠XAB = ∠Y AC. Докажите, что прямые XY проходят через одну точку или параллельны. б) Задача о симедиане. Касательные к описанной окружности треугольника ABC, проведенные через точки B и C, пересекаются в точке P . Докажите, что AP — симедиана (те. прямая, симметричная медиане AM относительно биссектрисы угла в) Точки A и A ′ инверсны относительно окружности ω, причем внутри ω. Через проводятся хорды XY . Докажите, что центры вписанной и одной из вневписанных окружностей треугольника AXY фик- сированны. 3. В окружности фиксирована хорда MN. Для каждого диаметра этой окружности рассмотрим точку, в которой пересекаются прямые и BN , и проведем через нее прямую l, перпендикулярную AB. Гл. 7. Аффинная и проективная геометрия Докажите, что все прямые l проходят через одну точку. (Турнир городов г. Гармонический четырехугольник. Пусть четырехугольник вписан в окружность ω. Известно, что касательные к проведенные в точках A и C, пересекаются на прямой BD или параллельны. Докажите, что касательные к ω, проведенные в точках и D, пересекаются на прямой AC или параллельны AC. 5. Вписанный четырехугольник. Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Диагонали ABCD пересекаются в точке, продолжения сторон AB ив точке R, продолжения сторон ив точке Q. Докажите, что четверка точек O, P , Q, R — ортоцентрическая (те. каждая точка — ортоцентр треугольника с вершинами в оставшихся трех. Описанный четырехугольник. Четырехугольник ABCD описан около окружности K, L, M , N — точки касания с окружностью сторон соответственно. Продолжения сторон AB и пересекаются в точке R, продолжения сторон BC ив точке продолжения сторон KL ив точке S, продолжения сторон ив точке T а) Докажите, что Q, R, S, T лежат на одной прямой. б) Докажите, что AC, BD, KM , LN пересекаются водной точке. Вписанно-описанный четырехугольник. Четырехугольник описан около окружности ω с центром I и вписан в окружность с центром O. Диагонали ABCD пересекаются в точке P продолжения сторон AB ив точке R, продолжения сторон ив точке а) Докажите, что O, I, P лежат на одной прямой. б) Зафиксируем ω и Ω и рассмотрим всевозможные четырехугольники, описанные около окружности ω и вписанные в окружность согласно теореме Понселе, если хотя бы один такой четырехугольник существует, то таких четырехугольников бесконечно много. Докажите, что для всех таких четырехугольников точки P совпадают, а также, что прямые QR совпадают. Дополнительные задачи. Окружности ω 1 , пересекаются в точках A, B, причем центр окружности лежит на ω 2 . Через точку O проводится прямая, пересекающая отрезок AB в точке P , а ω 2 — в C. Докажите, что P лежит на поляре C относительно ω 1 Определение гармонического треугольника можно посмотреть нас Полярное соответствие 9. Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности и секущая, пересекающая окружность в точках D, E. Точка M — середина отрезка BC. Докажите, что а) BM 2 = DM · били в) ∠BEM = ∠DEC. 10. Пусть A 1 , B 1 , C 1 — точки касания вписанной окружности с соответственными сторонами треугольника ABC. Из M — середины AC к вписанной окружности проведена вторая касательная M K. Пусть l прямая, параллельная AC и проходящая через B. Докажите, что прямые, пересекаются водной точке. Зачетные задачи Контрольные вопросы. Дана окружность и ее хорда AB. Где лежит точка пересечения поляр A и а) Внутри окружности б) вне окружности в) на окружности. Пусть C — середина хорды AB. Тогда поляра а) параллельна б) перпендикулярна в) касается окружности. Приполярном соответствии относительно вписанной окружности треугольник переходит а) в серединный треугольник; б) в ортотреугольник; в) в треугольник, образованный точками касания сторон с вписанной окружностью. Указания и комментарии П1. а) Воспользуйтесь подобием треугольников и OBA ′ , где A ′ и B ′ — точки, инверсные соответственно точками Пункты б) ив) следуют из а). П2. Набросок доказательства. Пусть касательные к ω, проведенные через точки M 1 , M 2 , пересекаются в точке M , те. Пусть также L ↔ l, P ↔ L 1 M 1 , Q ↔ L 2 M 2 . Из П получаем, что M L = Теперь доказательство можно получить, применив теорему Менелая к треугольниками (рассмотрите различные случаи расположения точек Гл. 7. Аффинная и проективная геометрия Имеется более естественное доказательство свойства П. Оно использует проективное преобразование, сохраняющее ω и переводящее либо в O (если A внутри ω), либо в бесконечно удаленную точку (если A вне ω). 1. Из П следует, что прямая AB — поляра точки X, а из П — что она проходит через полюс прямой Задачи предлагаемой серии имеют красивые и несложные решения, использующие свойства П, П. Если в свойстве П секущие m и l симметричны относительно (и точки пересечения с ω обозначены так, что M 1 M 2 L 1 L 2 — равно- бокая трапеция, то, с одной стороны, точка A ′ = M 1 L 1 ∩ лежит на AO (из симметрии, ас другой стороны — на поляре a точки A. Таким образом, A ′ — точка, инверсная точке A. К рассмотрению данной конструкции, которую мы назвали симметричной бабочкой, можно свести пункты задачи а) Примените симметрию относительно б) Заметим, что M и P инверсны. Тогда AM и AP пересекают второй разв точках, симметричных относительно P M (достройте до «симметричной бабочки»). в) Вместе с хордой XY будем рассматривать симметричную ей относительно хорду X 1 Y 1 . Искомые центры вписанной и вневписанной окружностей — середины дуги. Докажите (с помощью П, что MN ∩ AB ↔ l. Тогда из П следует, что все прямые l проходят через полюс прямой M N . 4. Полюс прямой BD лежит на AC, так как a, c и BD пересекаются водной точке или параллельны (свойство П1). Можно решить задачу без использования поляр, доказав, что условие задачи эквивалентно равенству AB · CD = BC · DA (если такое равенство выполнено для вписанного четырехугольника ABCD, то он называется гармоническим. Из П вытекает, что R ↔ P Q, P ↔ QR, Q ↔ RP . 6. а) Пусть P = KM ∩ LN. Согласно задаче 4, имеем P ↔ ST С другой стороны, Q ↔ LN ∋ P и R ↔ KM ∋ P . Из П следует, что ↔ QR. Значит, прямые ST и QR совпадают. б) Вытекает из а. Из задачи вытекает, что P Q — поляра точки P как относительно окружности ω, таки относительно Ω. Отсюда OP ⊥ и IP ⊥ Далее, пусть P ′ — точка, инверсная точке P (относительно ω и относительно. Если зафиксировать точки O, I 6= O и радиусы r Полярное соответствие 207 и R окружностей ω и Ω соответственно, то равенства OP · OP ′ = и IP · IP ′ = однозначно определяют пару точек P и P ′ , лежащих на прямой OI. 8. Хорды OC и AB окружности пересекаются в P , значит · P C = AP · P B. Аналогично AP · P B равно степени точки P относительно первой окружности, те. Таким образом, OP · P C = = R 2 − OP 2 , откуда R 2 = OP · P C + OP · OP = OP · (OP + P C) = = OP · OC. Значит, точка C лежит на поляре точки P (более того, эти точки инверсны относительно первой окружности. Проведем прямую, симметричную прямой DE относительно прямой. Пусть она пересекает окружность в точках и E 1 , причем точки E, лежат водной полуплоскости сточкой относительно прямой BC. Тогда по свойству П прямая пересекается сна поляре точки A, те. на прямой Далее, точка M лежит на прямой AO, где O — центр ω (потому, например, что M — середина диагонали BC дельтоида OBAC). Значит, прямая AO совпадает с прямой AM , те ось симметрии для Но тогда при симметрии относительно AO точка D перейдет в D 1 , точка в E 1 . Поэтому точка пересечения D 1 E с перейдет в себя при такой симметрии, и значит, она лежит на оси симметрии, те. на Таким образом, эта точка, с одной стороны, лежит нас другой на AM , следовательно, это и есть точка M . Теперь пункты задачи решаются следующим образом. а) BM 2 = BM · MC = DM · ME 1 = DM · б) ∠DM E = 1 без точки D) + ⌣ DE (без точки D 1 ) = 1 2 · без точки D 1 ). В зависимости от расположения точек B и C это равно или 2∠DBE, или виз симметрии) = ∠CE 1 D = ∠CED. 10. Пусть X — точка вписанной окружности, диаметрально противоположная точке B 1 , Y — точка пересечения прямых l и B 1 X. Тогда касательная к вписанной окружности в точке X будет параллельна (например, из симметрии относительно центра окружности). Введем следующие обозначения I — центр вписанной окружности, центр вневписанной окружности треугольника ABC, вписанной в угол, B 2 — точка касания этой окружности со стороной AC, A 2 — точка касания с прямой BC, C 2 — точка касания с прямой BA, K — основание биссектрисы треугольника ABC, выходящей из вершины Лемма 1. Точки B, X, лежат на одной прямой Гл. 7. Аффинная и проективная геометрия Доказательство. Точки B, I, L, лежат на биссектрисе угла Отсюда следует, что = ∠LIB 1 = 90 ◦ − ∠ILB 1 = 90 ◦ − ∠B 2 LI 1 = Треугольники и подобны (так как ∠IA 1 B = 90 ◦ = ∠I 1 AB; ∠ IBA 1 = 1 2 ∠ ABC = ∠I 1 BA 2 ). Значит, и из равенства радиусов одной окружности имеем. Из равенства ∠XIB = = ∠B 2 I 2 B следует, что треугольники IXB и I 2 B 2 B подобны. Таким образом, ∠XBI = ∠B 2 BI, и точки B 2 , X лежат водной полуплоскости сточкой относительно биссектрисы. Значит, B, X, лежат на одной прямой. Лемма доказана. Лемма 2. Точки B 2 , симметричны относительно точки Доказательство + CB 2 = BA 2 = BC 2 = BA + AB 2 ⇒ ⇒ BC 2 = BC + CB 2 + BA + AB 2 2 = BC + BA + AC 2 = Имеем AB 2 = p − AB, 2CB 1 = AC − AB 1 + BC − BA 1 = AC + BC − − AC 1 − BC 1 = AC + BC − AB ⇒ CB 1 = (BC + BA + AC − 2AB)/2 = = p − AB ⇒ не умаляя общности, считая AB > AC, получаем = AM − AB 2 = CM − CB 1 = M Лемма 2 доказана. Пусть прямая пересекает вписанную окружность в точках S, об одной из них мы только что говорили. Тогда, т. к. XB 1 — диаметр, поэтому M S = M B 1 = M как медиана в прямоугольном треугольнике. Но тогда M S = M B 1 = M K, и точки, S, лежат на вписанной окружности и на окружности с центром M Следовательно, K = S (т. к. каждая из этих двух точек не совпадает с B 1 ). Значит, пересекает вписанную окружность в точках K, Чтобы доказать, что прямые KB 1 , C 1 A 1 , l пересекаются водной точке, достаточно доказать, что их полюсы лежат на одной прямой. Так как M K, M B 1 , BA 1 , BC 1 — касательные, то полюсом прямой будет точка M , а C 1 A 1 — B. Про L — полюс прямой l — можно сказать, что он, во-первых, лежит на поляре точки B, те. на A 1 C 1 ; во-вторых, он лежит на прямой IX (т. кона проходит через центр окружности и перпендикулярна l). Значит, L — точка пересечения этих двух прямых Полярное соответствие 209 Докажем, что точки M , L, B лежат на одной прямой. Пусть пересекает в точке L 1 . Из теоремы синусов для треугольника следует, что = AM M C = AB · sin(∠ABM) BC · sin(∠MBC) ⇒ sin(∠ABM ) sin(∠M Пользуясь данным равенством и теоремой синусов для треугольника, получаем sin(∠ABM) BA 1 · sin(∠MBC) = BC AB , ∠ C 1 IL = 180 ◦ − ∠C 1 IB 1 = 180 ◦ − (180 ◦ − ∠BAC), ∠ A 1 IL = 180 ◦ − ∠A 1 IB 1 = 180 ◦ − (180 ◦ − ∠BCA) ⇒ в треугольнике A 1 IC 1 : C 1 L LA 1 = C 1 I · sin(∠C 1 IL) IA 1 · Таким образом, значит, точки L, совпадают и точка L лежит на прямой BM . ГЛАВА ПОСТРОЕНИЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК Задачи на построение и ГМТ (АД. Блинков Цифра в скобках после номера задачи означает ее источник в списке литературы, приведенном в разделе Простейшие свойства окружности главы Окружность. Пусть O — центр прямоугольника ABCD. Укажите ГМТ для которых одновременно выполняются неравенства |AM| > |OM|, |BM| > |OM|, |CM| > |OM| и |DM| > |OM|. (См. [9].) 2. Пусть O — центр тяжести равностороннего треугольника Найдите ГМТ M , удовлетворяющих следующему условию любая прямая, проведенная через точку M , пересекает либо [AB], либо См. [9].) 3. Две окружности одинакового радиуса пересекаются в точках и B. Произвольная прямая, проходящая через точку B, пересекает эти окружности еще в точках X и Y . Найдите геометрическое место середин отрезков XY . (См. [12].) 4. Найдите множество середин всех отрезков, концы которых лежат на фигуре, являющейся объединением диагоналей квадрата. (См. [8].) 5. Дана хорда AB окружности. Рассматриваются всевозможные треугольники ABC, вписанные в эту окружность. Найдите геометрическое место точек пересечения а) высот б) биссектрис треугольника. (См. [9].) 6. Точка P перемещается по описанной окружности квадрата Прямые AP и BD пересекаются в точке Q, а прямая, проходящая через точку Q параллельно AC, пересекает прямую BP в точке M . Найдите ГМТ M . (См. [9].) 7. Даны три вершины вписанного и описанного четырехугольника. Постройте его четвертую вершину. (См. [9].) Задачи на построение и ГМТ 211 Зачетные задачи Контрольные вопросы. Дано A(1; 0), B(−1; 2). Укажите уравнения ГМТ: а) равноудаленных от точек A и б) удаленных от точки A на расстояние, равное |AB|. II. Задайте уравнениями или неравенствами ГМТ: а) удаленных от начала координат на расстояние, большее б) равноудаленных от осей координат; в) удаленных от осина расстояние, не большее 1,5. III. Определите геометрическое место точек, из которых данный отрезок AB длины виден под углом а) объединение двух больших дуг окружностей радиуса 1, проходящих через точки A и б) окружность с диаметром в) объединение двух меньших дуг окружностей радиуса 1, проходящих через точки A и г) определить невозможно. Дана окружность с центром O и радиусом R. Определите геометрическое место середин всех хорд, имеющих длину а) окружность с центром O и радиусом б) хорда данной окружности, удаленная от центра на расстояние в) окружность с центром O и радиусом г) определить невозможно. Дана окружность с центром O и радиусом R и точка M на этой окружности. Определите геометрическое место середин всех хорд, проходящих через точку M а) окружность с центром O и радиусом б) окружность с диаметром OM в) полуокружность с диаметром OM г) определить невозможно. Решения 1. Ответ границы и внутренние точки ромба NKP L, стороны которого лежат на серединных перпендикулярах к [OA], [OB], [OC] и см. рис. Решение. Точка M обладает свойством, сформулированным в условии, тогда и только тогда, когда находится водной полуплоскости вместе сточкой относительно каждого из указанных серединных перпендикуляров Гл. 8. Построения и геометрические места точек A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L N O Рис. Рис. 2 2. Ответ четырехугольник OKCP (см. рис. Решение. Пусть точка M принадлежит указанной фигуре, тогда она лежит либо на [CO], либо водном из треугольников OCP или Выполнение условия в первом случае — очевидно. Если же M лежит, например, в треугольнике OCP и прямая, проходящая через нее, не пересекает, то эта прямая пересекает [CP ] и [P O]. Значит, эта прямая не пересекает [AP ], но она пересекает сторону [BP ] треугольника ABP следовательно, должна пересечь сторону Для любой точки, не принадлежащей указанной фигуре, несложно привести пример прямой, проходящей через нее и не пересекающей ни, ни [CO]. 3. Ответ окружность с диаметром Решение. Возможны два случая взаимного расположения точек B, X и Y : B ∈ [XY ] (см. риса) или X ∈ [BY ] (см. рис. 3 б ). B обоих случаях △XAY — равнобедренный, так как ∠AXY = ∠AY X. В первом случае эти углы вписанные и опираются на одинаковые дуги в равных окружностях. Во втором случае ∠AXY = 180 ◦ − ∠AXB = ∠AY X, так как вписанные углы AXB и AY X опираются на дуги, дополняющие друг друга до окружности. Таким образом, M — середина [XY ] тогда и только тогда, когда B = 90 ◦ . Полученное условие равносильно тому, что точка M лежит на окружности с диаметром AB. 4. Ответ граничные и внутренние точки квадрата MP KL, вершины которого являются серединами сторон данного квадрата, за исключением точек, лежащих на диагоналях данного квадрата (см. рис. 4 а). Решение. Пусть ABCD — данный квадрат, диагонали которого пересекаются в точке O. Рассмотрим декартову систему координат, заданную базисными векторами # OA и OD (см. рис. 4 б ). Пусть E ∈ тогда E(x; 0), где x ∈ [−1; 1]. Аналогично если F ∈ [BD], то F (0; y), Задачи на построение и ГМТ 213 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M а A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M б Рис. где y ∈ [−1; 1]. Точка N — середина [EF ], значит, N(0,5x; 0,5y), причем 6 0,5x 6 0,5; −0,5 6 0,5y 6 0,5. Эти неравенства задают единичный квадрат с центром O, стороны которого параллельны осям. Пусть H — произвольная точка такого квадрата, не лежащая на осях координат (см. рис. 4 в. Проведем лучи отложим на нем такую точку G, что |GH| = |OH|. Если G(x; y), то x ∈ [−1; 1] и y ∈ [−1; 1]. Из точки G опустим перпендикуляры GE и GF на координатные оси, тогда — середина [EF ], где |OE| 6 1 и |OF | 6 1. Таким образом, точка является серединой отрезка, концы которого лежат на диагоналях данного квадрата. Пусть меньшая из дуг AB окружности имеет величину α. Тогда при любом положении точки C (кроме ее совпадения сточкой или точкой B) угол ACB вписан в окружность и опирается на одну из дуг AB, поэтому ∠ACB = α (см. риса, вили (см. рис. 5 б, га) Пусть [AA 1 ] и [BB 1 ] — высоты треугольника ABC; H = AA 1 ∩ ∩ BB 1 . Тогда точки и лежат на окружности с диаметром поэтому ∠AHB = ∠A 1 HB 1 = 180 ◦ − α (см. рис. 5 били (см. риса Гл. 8. Построения и геометрические места точек Следовательно, искомое геометрическое место точек — множество точек, из которых [AB] виден под этими углами, те. окружность, симметричная данной относительно AB за исключением точек, лежащих на прямых, проходящих через A и B и перпендикулярных б) Вычислим величину угла AOB между биссектрисами углов и ABC данного треугольника = 180 ◦ − 0,5 · (∠BAC + ∠ABC) = 90 ◦ + 0,5 те или ∠AOB = а б y в Рис. Следовательно, искомое геометрическое место точек — множество точек, из которых отрезок AB виден под этими углами, те. все точки соответствующих окружностей, исключая точки A и B. 6. Ответ Решение. Пусть O = AC ∩ BD и точка M обладает указанным в условии свойством (см. риса. Так как ∠BOC = и QM k AC, то QD = 90 ◦ . Так как ∠DP B — вписанный в окружность и опирается на ее диаметр BD, то ∠DP M = ∠DP B = 90 ◦ . Следовательно, точки и Q лежат на окружности с диаметром DM . Значит, ∠QDM = = 180 ◦ − ∠QP M = ∠BP A = ∠BCA = 45 ◦ . Таким образом, M ∈ [DC). Задачи на построение и ГМТ 215 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H а A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O в A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B 1 H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H б A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O г Рис. При другом расположении точки P на окружности получится, что лежит на луче, дополнительном к [DC) (см. рис. 6 б ). A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P а A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P б Рис. 6 Гл. 8. Построения и геометрические места точек Пусть M ∈ DC, BM пересекает данную окружность в точке P , AP ∩ ∩ BD = Q (см. риса, б ). Докажем, что MQ k AC. Так как ∠BP A = = ∠BCA = 45 ◦ , то ∠QP M = см. риса) или ∠QP M = 45 ◦ (см. рис. 6 б ). В обоих случаях точки P , M , D и Q лежат на одной окружности, так как ∠QP M + ∠QDM = или ∠QP M = ∠QN M , причем M = ∠DP B = 90 ◦ , поэтому [DM ] — ее диаметр. Значит, ∠M QD = = 90 ◦ , те. Пусть A, B и C — три данные вершины вписанного и описанного четырехугольника ABCD (см. рис. 7), те. стороны и углы треугольника можно считать известными. Тогда искомая точка D лежит на окружности, описанной около треугольника Рис. Кроме того, |AD| + |BC| = |AB| + |CD|. Без ограничения общности можно считать, что |AB| 6 |BC|, тогда |AD| 6 |CD|, значит, ∃M ∈ ∈ [CD], для которой |MD| = |AD|. В треугольнике CAM: |AC| = c; |MC| = |CD| − |AD| = |BC| − |AB| = m; ∠AMC = 90 ◦ + 0,5 ∠ADC = = 90 ◦ + 0,5 · (180 ◦ − ∠ABC) = 180 ◦ − 0,5 ∠ABC = γ. Значит, по этим данным (по двум сторонами и углу γ, противолежащему стороне этот треугольник можно построить, а искомая точка D лежит на луче Таким образом, точка D является пересечением продолжения стороны вспомогательного треугольника CAM и окружности, описанной около треугольника Задачи на построение и ГМТ, связанные с площадями (АД. Блинков При решении задач этого раздела желательно избегать алгебраических методов Задачи на построение и ГМТ, связанные с площадями 1. Через точку, лежащую на стороне треугольника, проведите прямую, разбивающую данный треугольник на две равновеликие части. (См. [4].) 2. Укажите геометрическое место таких точек M, лежащих внутри треугольника ABC, что S ACM + S BCM = S ABM . (См. [4].) 3. а) Укажите геометрическое место таких точек M, лежащих в плоскости треугольника ABC, что S ACM = S BCM . (См. б) Укажите геометрическое место таких точек M , лежащих в плоскости треугольника ABC, что S ACM = S BCM = S ABM 4. Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметра) треугольника б) описанного многоугольника, проходит через центр вписанной окружности. Укажите способ построения такой прямой. (См. [9].) 5. а) Внутри выпуклого четырехугольника ABCD укажите какую- нибудь точку M так, чтобы ломаная AM C разбивала его на две равновеликие части. (См. б) Через вершину выпуклого четырехугольника проведите прямую, разбивающую его на две равновеликие части. (См. в) Выпуклая фигура ограничена углом ABC и дугой BC. Постройте прямую, разбивающую ее на две равновеликие части. (См. [6].) 6. Внутри параллелограмма ABCD дана точка P . На границе параллелограмма постройте точку Q так, чтобы ломаная AP Q разбивала его на две равновеликие части. (См. [4].) 7. а) Внутри трапеции ABCD c основаниями AD и BC найдите множество таких точек M , что S ADM + S BCM = 0,5 S ABCD . (См. б) Внутри выпуклого четырехугольника ABCD найдите множество таких точек M , что S ABM + S CDM = S ADM |