сборник. Сборник. сборник задач по теории вероятностей и математической статистике

• Название: сборник задач по теории вероятностей и математической статистике
• Анкор: сборник
• Дата: 24.03.2022
• Размер: 1.15 Mb.
• Имя файла: Сборник.pdf
• Тип: Сборник; #412871
• страница: 1 из 7

7
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»
Факультет информационных технологий и управления
Кафедра вычислительных методов и программирования
«СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ»
Рекомендовано УМО по образованию в области информатики и радио-
электроники для специальностей 1 ступени высшего образования, закреплен-
ных за УМО, в качестве учебно-методического пособия
Минск БГУИР 2017

2
УДК 519.2 (076.1)
ББК 22.171я7+22.172я7
С 23
Р е ц е н з е н т ы : кафедра современных методик и технологий государственного учрежде- ния образования «Академия последипломного образования»
(протокол № 9 от 02.11.2015); доцент кафедры автоматизированных систем управления производством учреждения образования «Белорусский государственный аграрный техниче- ский университет», кандидат технических наук, доцент И.П. Матвеенко.
А в т о р ы :
А.В. Гуревич, И.Е. Зайцева, Т.М. Кривоносова, Т.А. Рак, О.О. Шатилова
С 23
«Сборник задач по теории вероятностей и математической стати- стике: пособие / А. В. Гуревич [и др.] Минск, БГУИР, 2017. – 68 с.: ил.
ISBN 978-985-543-303-4.
Содержит задачи, рекомендуемые для решения на практических занятиях по дисци- плине «Теория вероятностей и математическая статистика». Темы практических занятий со- ответствуют типовой рабочей программе. Во всех разделах приводятся необходимые теоре- тические сведения и примеры решения типовых задач.
УДК 519.2 (076.1)
ББК 22.171я7+22.172я7
ISBN 978-985-543-303-4.
© УО «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники», 2017

3
1. Случайные события. Вероятность события
Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.
Достоверным называется событие , которое происходит в каждом опы- те.
Невозможным называется событие , которое в результате опыта про- изойти не может.
Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно.
Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, AB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т. е. A или B, или оба одновременно.
Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается AB,
A  B) называется такое событие, которое заключается в том, что оба события
A и B происходят вместе.
Противоположным событию A называется такое событие
A
, которое за- ключается в том, что событие A не происходит.
События A
k
(k = 1, 2, ..., n) образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие.
Свойства операций над событиями:
1)
A
A
  
;
2)
A
A
  
;
3) A     ;
4) A
A
   ;
5)
A A
  
;
6)
A    
;
7)
A
B
A B
  
;
8)
A B
A
B
  
Пример 1.1: Два шахматиста играют подряд две партии. Под исходом опы- та будем понимать выигрыш одного из них в i -й партии или ничью. Построить пространство  элементарных исходов.
Решение. Обозначим события
i
A
– в i -й партии выиграл первый игрок,
i
B
– второй,
i
C – ничья. Тогда возможные исходы игры:
1. Обе партии выиграл первый игрок
1 2
A A

2. Обе партии выиграл второй игрок
1 2
B B

3. Обе партии закончились вничью
1 2
C C

4. В первой партии выиграл первый игрок, во второй – второй
1 2
A B

5. В первой выиграл первый игрок, во второй – ничья
1 2
A C

6. В первой партии победа второго игрока, во второй – первого
1 2
B A

7. В первой – победа второго игрока, во второй – ничья
1 2
B C

8. В первой – ничья, во второй – победа первого игрока
1 2
C A

9. В первой – ничья, во второй – победа второго игрока
1 2
C B


4
Ответ:  

1 2
A A

,
1 2
B B

,
1 2
C C

,
1 2
A B

,
1 2
A C

,
1 2
B A

,
1 2
B C

,
1 2
C A

,

1 2
C B

Пример 1.2: Пусть A , B ,
C
– три произвольных события. Найти выра- жения для событий, состоящих в том, что из A , B ,
C
:
1. Произошло только A .
2. Произошли A и B , но
C
не произошло.
3. Все три события произошли.
4. Произошло, по крайней мере, одно из событий.
5. Произошли, по крайней мере, два события.
6. Произошло одно и только одно событие.
7. Произошли два и только два события.
8. Ни одно событие не произошло.
9. Произошло не более двух событий.
Решение.
1. Обозначим
B
и
C
, что события B и
C
не произошли, тогда событие
«произошло только A » можно записать в виде
A B C
 
2.
A B C
 
3.
A B C
 
4. Событие произошло, по крайней мере, одно из событий можно пред- ставить как сумму этих событий:
A
B
C
 
5. Произошли, по крайней мере, два события – это сумма
A B
B C
C A
    
6. Произошло одно и только одно событие – это сумма событий
A B C
A B C
A B C
       
7. Произошли два и только два события – это можно записать в виде
A B C
A B C
A B C
       
8.
A B C
 
9.
A
B
C
A B C
    
, т. е. три события одновременно не произошли.
Задачи
1.1. Рабочий обслуживает три автоматических станка. Событие A – пер- вый станок потребует внимания рабочего в течение часа, B – второй станок по- требует внимания рабочего в течение часа,
C
– третий станок потребует вни- мания рабочего в течение часа. Что означают события: а)
A B C
 
; б)
A
B
C
 
; в)
A B C
A B C
A B C
       
; г)
A B C
A B C
A B C
       
; д)
A B C
 
?
1.2. Три студента независимо друг от друга решают одну и ту же задачу.
Пусть событие
1
A = {первый студент решил задачу},
2
A = {второй студент ре- шил задачу},
3
A
= {третий студент решил задачу}. Выразить через
i
A
( i  1, 2,

5 3) следующие события: B = {задачу решил хотя бы один студент};
C
= {задачу решил только первый студент }; D = {задачу решил только один студент }.
1.3. Пусть
i
D


1,3
i 
– события, состоящие в том, что i-ый депутат вы- ступил с речью. Назовите события: а)
1 2
3
D
D
D


; б)


2 1
3.
D
D
D


; в)
2 3
D
D

; г)
1 2
3
D
D
D


; д)
1 2
3 1
2 3
1 2
3
D D D
D D D
D D D








; е)
1 2
3
D D
D


; ж)
1 2
3
D D D


1.4. Пусть
i
T


1,3
i 
– события, состоящие в том, i-ое такси стоит на сто- янке. Составьте события: а) можно уехать на такси; б) только одна машина сто- ит на стоянке; в) двух такси нет на стоянке; г) только два такси стоят на стоян- ке; д) только второго такси нет на стоянке; е) какого-то такси нет на стоянке; ж) стоянка пуста.
1.5. Пусть
i
S


1,3
i 
– события, состоящие в том, что i-ый магазин закрыт на обед. Назовите события: а)
1 2
3
S S
S
  ; б)
1 2
1 3
2 3
S S
S S
S
S

  
 ; в)
1 2
3
S S
S
  ; г)
1 2
3
S S
S


; д)
2
S ; е)
1 2
3
S
S
S


; ж)
1 2
3
S S
S



6
2. Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики
Классическое определение вероятности: вероятность случайного события
A определяется по формуле
 
m
p A
n
 ,
(2.1) где n – число равновозможных исходов данного опыта;
m – число равновозможных исходов, приводящих к появлению события.
Геометрическое определение вероятности. Пусть в некоторую область случайным образом попадает точка T, причем все точки области  равноправ- ны в отношении попадания точки T. Тогда за вероятность попадания точки T в область A принимается отношение
 
( )
( )
S A
p A
S


,
(2.2) где S(A) и S() – геометрические меры (длина, площадь, объем и т. д.) областей
A и  соответственно.
Пусть имеется множество X = {x
1
, x
2
, ..., x
n
}, состоящее из n различных элементов. (n, r)-выборкой называется множество, состоящее из r элементов, взятых из множества X.
Упорядоченной называется выборка, для которой важен порядок следова- ния элементов. Если каждый элемент множества X может извлекаться несколь- ко раз, то выборка называется выборкой с повторениями.
Число упорядоченных (n, r)-выборок (размещений) с повторениями
ˆ( , )
A n r и без повторений A(n, r) равно
ˆ( , )
r
A n r
n
 ,
(2.3)
!
( , )
(
)!
n
A n r
n
r


. (2.4)
Если r = n, то размещения без повторений называются перестановками,
т. е. это – расположение элементов исходного множества в определенном по- рядке. Число перестановок из n элементов равно
! 1 ...
n
P
n
n
   
(2.5)
Пустое множество можно упорядочить только одним способом:
P
0
= 0! =1.
Число неупорядоченных (n, r)-выборок (сочетаний) с повторениями ˆ
r
n
C и без повторений
r
n
C равно




1 !
ˆ
!
1 !
r
n
n
r
C
r n
 


,
(2.6)


!
!
!
r
n
n
C
r n
r


( 2.7)

7
Число различных разбиений множества из n элементов на k непересека- ющихся подмножеств (причем в первом подмножестве r
1
элементов, во втором
r
2
элементов и т. д., а n = r
1
+ r
2
+... + r
k
) равно


1 2
1 2
!
, ,...,
! !... !
n
k
k
n
P r r
r
r r
r

(2.8)
Пример 2.1: Бросают 2 игральные кости. Найти вероятности следующих событий: A – сумма числа очков не превосходит 5; B – произведение числа оч- ков не превосходит 4; C – произведение числа очков делится на 8.
Решение. Определим общее число исходов: поскольку в случае подбра- сывания одной кости имеем 6 исходов, то в случае подбрасывания двух костей имеем
6 6 36
n   
исходов. Найдем число благоприятных исходов.
Множество исходов, благоприятных событию A, состоит из 10 исходов:
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}.
Соответственно, вероятность того, что сумма числа очков не превосхо- дит 5 равна
10 5
( )
36 18
m
p A
n



Множество исходов, благоприятных событию B, состоит из 8 исходов:
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 1)}.
Соответственно, вероятность того, что произведение числа очков не пре- восходит 4 равна
8 2
( )
36 9
m
p B
n


 .
Множество исходов, благоприятных событию C, состоит из 5 исходов:
{(2, 4), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 4)}.
Соответственно, вероятность того, что произведение числа очков делится на 8 равна
5
( )
36
m
p С
n


Задачи
2.1. В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбираются 3 фрукта. Ка- кова вероятность, что все три фрукта – апельсины?
Ответ: 0,12.
2.2. Фокусник предлагает троим зрителям задумать любое число от 1 до
10. Считая, что выбор каждым из зрителей любого числа из заданных равно- возможен, найти вероятность того, что у кого-то из них задуманные числа сов- падут.
Ответ: 0,028.
2.3. На карточках написаны числа 201, 202, …, 220. Наудачу извлекают 2 из них. Определить вероятность, что это будут карточки с числами 207 и 213.
Ответ: 1/380.

8 2.4. Устройство состоит и 5 элементов, 2 из которых изношены. При включении устройства случайным образом включаются 2 элемента. Определить вероятность, что включенными окажутся неизношенные элементы.
Ответ: 0,3.
2.5. Пусть в урне имеется N шаров, из них М белых и N – M черных. Из урны извлекается n шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно m белых шаров.
Ответ:
m
n m
M
N M
n
N
С C
C


2.6. Точку наудачу бросили на отрезок [0; 2]. Какова вероятность ее попа- дания в отрезок [0,5; 1,4]?
Ответ: 0,45.
2.7. В урне находится 15 белых, 5 красных и 10 черных шаров. Наугад из- влекается 1 шар, найти вероятность того, что он будет: а) белым; б) красным; в) черным.
Ответ: а) 1/2; б) 1/6; в) 1/3.
2.8. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, но помнит, что одна из них – ноль, а другая – нечетная. Найти вероятность того, что он наберет правильный номер.
Ответ: 0,1.
2.9. На семиместную скамейку случайным образом рассаживается 7 чело- век. Какова вероятность того, что два определенных человека окажутся рядом?
Ответ: 2/7.
2.10. Студент знает ответы на 25 экзаменационных вопросов из 60-ти. Ка- кова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо ответить не менее чем на 2 из 3-х вопросов?
Ответ: 640/1711.
2.11. Четыре шарика разбрасывают по 4 лункам. Шарик попадает в ту или иную лунку с одинаковой вероятностью, независимо друг от друга. Определить вероятность, что в каждой лунке окажется по одному шарику.
Ответ: 3/32.
2.12. Какова вероятность, что взятое наудачу четырехзначное число крат- но 5?
Ответ: 0,2.
2.13. В прямоугольник 5×4 см
2
вписан круг радиусом 1,5 см. Какова веро- ятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга?
Ответ: 9π/80.

9 2.14. Наугад взяты два положительных числа, каждое из которых не больше 3. Какова вероятность того, что их сумма не превзойдет 3, а произведе- ние будет не больше 14/9?
Ответ: 0,4387.
2.15. В урне имеется 20 белых шаров и 5 черных. Наудачу последователь- но, без возвращения извлекают по одному шару до появления белого. Найти вероятность, что придется производить третье извлечение.
Ответ: 1/30.
2.16. Наудачу выбирается 4-значное число. Какова вероятность следую- щих событий: а) число читается одинаково как слева направо, так и справа налево (например, 1551); б) число кратно пяти; в) число состоит из нечетных цифр; г) число состоит из четных цифр.
Ответ: а)
0,01
p 
; б)
0, 2
p 
; в)
0,069
p 
; г)
0,06
p 
2.17. Колода карт (36 карты) делится пополам. Найти вероятность того, что количество черных и красных карт в обеих пачках будет одинаковым.
Ответ:
0, 26.
p 
2.18. Числа 1, 2, 3, 4, 5 написаны на пяти карточках. Наугад последова- тельно выбираются три карточки, и вытянутые таким образом цифры ставятся слева направо. Найти вероятность того, что полученное при этом трехзначное число будет четным.
Ответ:
0, 4.
p 
2.19. Десять студентов условились ехать определенным электропоездом, но не договорились о вагоне. Какова вероятность того, что ни один из них не встретится с другим, если в составе электропоезда 10 вагонов. Предполагается, что все возможные распределения студентов по вагонам равновероятны.
Ответ:
0,00036.
p 
2.20. Два друга договорились о встрече между 16 и 17 часами дня. При- шедший первым ждет второго в течение 20 мин, а после уходит. Определить вероятность, что друзья встретятся.
Ответ:
0,31.
p 

10
3. Теоремы сложения и умножения
Вероятность суммы несовместных событий A
1
, ... , A
n
равна сумме веро- ятностей этих событий


 
1 2
1
n
n
i
i
p A
A
A
p A


 


…
(3.1)
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей каждого из событий минус вероятность их совместного появления:
p(A+B) = p(A)+p(B) - p(A

B),
(3.2)
Вероятность суммы трех совместных событий вычисляется по следую- щей формуле:
p(A+B+C) = p(A) + p(B) + p(C) - p(A

B) - p(B

C) - p(A

C) + p(A

B

C). (3.3)
Вероятность суммы n событий A
1
, ..., A
n
равна
1 1
2 1
1 2
1 2
1 1
1 1
1 1
1 1 2 1
1
(
)
(
)
(
) ...
... ( 1)
(
) ... ( 1)
(
).
k
k
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
n
n
k
n
i
i
i
n
i
i
p
A
p A
p A A
p A A
A
p A A
A











 
  


 
 
С учетом того, что
( )
1
( )
p A
p A
 
, вероятность суммы n событий (ес- ли n > 3) удобнее вычислять по формуле
1 2
1 2
(
)
1
(
)
n
n
p A
A
A
p A A
A

 
 

 
…
…
(3.4)
Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого.
(
)
( ) (
/
)
( ) (
/
)
p AB
p A p B A
p B p A B


.
(3.5)
Для независимых событий
(
)
( ) ( )
p AB
p A p B

.
(3.6)
Вероятность произведения n событий
(
1, 2,
,
)
i
A i
n

…
равна
1 2
1 2
1 3
1 2
1 2
1
(
)
(
)
(
/
)
(
/
)
(
/
),
n
n
n
p A A
A
p A
p A
A
p A
A A
p A
A A
A


 




 

 
…
…
…
(3.7) где
1 1
(
/
)
k
k
p A
A
A

 
…
) – вероятность появления события A
k
, при условии, что события
1 2
1
,
,
,
k
A
A
A

…
в данном опыте произошли.
В случае независимых событий данная формула упрощается:
1 2
1 2
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
p A A
A
p A
p A
p A

 


 
…
…
(3.8)
Пример 3.1: В ящике находится 10 деталей, из которых только 4 окраше- ны. Наудачу извлекают 3 детали. Определить вероятность, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.
Решение. Пусть событие А состоит в том, что изъята хотя бы одна окра- шенная деталь. Тогда
А
– ни одна из изъятых деталей не окрашена.
Воспользуемся утверждением
( )
1
( )
p A
p A
 
По классическому определению вероятности определим
( )
p A
:
 
m
p A
n
 .

11
Рассчитаем количество благоприятных исходов (изъято 3 детали из не- окрашенных деталей):
3 3
10 4 6
6!
6 5 4 20.
3!3!
3 2 1
m
C
C

 





 
Далее определим количество всевозможных исходов (общее количество вариантов для изъятия 3 деталей из 10 возможных):
3 3
10 10 10!
10 9 8 120.
7!3!
3 2 1
n
C
C
 





 
Отсюда получаем, что
20 1
( )
120 6
m
p A
n



А подставляя в
( )
1
( )
p A
p A
 
, получаем, что
1 5
( ) 1 6
6
p A  
