сборник. Сборник. сборник задач по теории вероятностей и математической статистике

• Название: сборник задач по теории вероятностей и математической статистике
• Анкор: сборник
• Дата: 24.03.2022
• Размер: 1.15 Mb.
• Имя файла: Сборник.pdf
• Тип: Сборник; #412871
• страница: 3 из 7

6. Случайная величина. Закон распределения
и числовые характеристики
Под случайной величиной (СВ) понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение, причем, зара- нее, до опыта, неизвестно, какое именно. Случайные величины в зависимости от вида множества значений могут быть дискретными (ДСВ) или непрерывны-
ми (НСВ).
Закон распределения случайной величины – это любая функция, таблица, правило и т. п., устанавливающая соответствие между значениями случайной величины и вероятностями ее наступления.
Функцией распределения случайной величины X называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем аргумент функции x:
F(x) = p{X < x}.
(6.1)
Свойства функции распределения:
1. F(–) = 0.
2. F(+) = 1.
3. F(x
1
)  F(x
2
), при x
1
< x
2 4. p(a  X < b) = F(b)– F(a). (6.2)
Рядом распределения дискретной СВ X называется таблица, в верхней строке которой перечислены все возможные значения СВ x
1
, x
2
, ..., x
n
(x
i
–
1
< x
i
), а в нижней – вероятности их появления p
1
, p
2
, ... , p
n
, где p
i
= p{X = x
i
}.
x
i
x
1
x
2
x
n
p
i
p
1
p
2
p
n
Так как события {X = x
1
}, ... , {X = x
n
} несовместны и образуют полную группу, то справедливо контрольное соотношение
p
1
+ p
2
+ ... + p
n
= 1.
(6.3)
Функция распределения любой дискретной СВ есть разрывная ступенча- тая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возмож- ным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений:
( )
(
)
i
i
x
x
F x
p X
x




(6.4)
Плотностью распределения (плотностью вероятности) f(x) непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения:
0 0
{
}
(
)
( )
( )
( )
lim lim
( )
x
x
P x
X
x
x
F x
x
F x
dF x
f x
F x
x
x
dx
 
 

  
  







. (6.5)
Основные свойства плотности распределения:
1. Плотность распределения неотрицательна: f(x)  0.
2. Условие нормировки:
( )
1.
f x dx




(6.6)
3. Вероятность попадания случайной величины X на произвольный уча- сток [a, b[ равна

21
{
}
( )
b
a
p a
X
b
f x dx




(6.7)
4. Функция распределения F(x) случайной величины X выражается через ее плотность:
( )
{
}
{
}
( )
x
F x
p X
x
p
X
x
f x dx




 



(6.8)
Математическое ожидание характеризует среднее значение СВ и опре- деляется по формуле:
1
[ ]
( )
N
i
i
i
X
x
p
для
ДСВ,
m =M X
x f x dx
для
НСВ.







 





(6.9)
Свойства математического ожидания:
1. M[c] = c.
2. M[X+c] = M[X] + c.
3. M[c  X] = c  M[X].
Начальный момент k-го порядка СВ X есть математическое ожидание k-й степени этой случайной величины:
1
для
ДСВ,
( )
[
]
( )
для
НСВ.
N
k
i
i
i
k
k
k
x
p
x
M X
x
f x dx









 





(6.10)
Центрированной случайной величиной X называется СВ, математиче- ское ожидание которой находится в начале координат (в центре числовой оси)
[
]
0
M X 
Операция центрирования (переход от нецентрированной величины Х к центрированной X ) имеет вид
X
X
X
m
 
Центральный момент порядка k СВ X есть математическое ожидание k-й степени центрированной случайной величины X :
1
(
)
,
( )
[
]
(
)
( )
N
k
i
X
i
i
k
k
k
X
x
m
p
для
ДСВ
x
M X
x
m
f x dx
для
НСВ.










 






(6.11)

22
Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания (раз- броса) значений случайной величины относительно ее математического ожида- ния и определяется по формуле:
2 2
2 2
2 2
1 1
2 2
2
[ ]
( )
(x)
(
)
для ДСВ,
(
)
( )
( )
для НСВ.
x
X
N
N
i
X
i
i
i
X
i
i
X
X
D
D X
x
m
x
m
p
x p
m
x
m
f x dx
x f x dx m



















 









(6.12)
Свойства дисперсии:
1. D[c] = 0.
2. D[X + c] = D[X].
3. D[cX] = c
2
D[X].
Средним квадратическим отклонением (СКО) СВ X называется характе- ристика
[ ]
[ ]
X
X
D X




(6.13)
СКО измеряется в тех же физических единицах, что и СВ, и характеризу- ет ширину диапазона значений СВ.
Правило 3

. Практически все значения СВ находятся в интервале
[m
X
–3

X
; m
X
+ 3

X
].
(6.14)
Модой(Mo) случайной величины называется ее наиболее вероятное зна- чение, т. е. то значение, для которого вероятность p
i
(для дискретной СВ) или
f(x) (для непрерывных СВ) достигает максимума.
Медианой(Me) случайной величины X называется такое ее значение, для которого выполняется условие p{X < Me} = p{X  Me}. Медиана, как правило, существует только для непрерывных случайных величин.
Пример 6.1: В коробке 7 шаров, из которых 4 красные. Из этой коробки наудачу извлекают 3 шара. Найти закон распределения случайной величины 𝑋, равной числу красных шаров в выборке.
Решение. В выборке из трех шаров может не оказаться ни одного красно- го шара, может появиться один, два или три красных шара. Следовательно, случайная величина X может принимать только четыре значения: х
1
= 0, х
2
= 1,
х
3
= 2, х
4
= 3.
Найдем вероятности этих значений.
Первый способ.
0 3
4 3
0 4
7 1
35
C C
p
C


;
1 2
4 3
1 4
7 12 35
C C
p
C


2 1
4 3
2 4
7 18 35
C C
p
C


3 0
4 3
3 4
7 4
35
C C
p
C


Второй способ.
Обозначим событие A – появление красного шара, следовательно
A
– появление не красного.

23 0
3 2 1 1
(
)
7 6 5 35
p AAA 
  
;
1 4 3 2 3 4 2 3 2 4 12
(
)
7 6 5 7 6 5 7 6 5 35
p AAA
AAA
AAA


         
;
2 4 3 3 3 4 3 4 3 3 18
(
)
7 6 5 7 6 5 7 6 5 35
p AAA
AAA
AAA


         
;
3 4 3 2 4
(
)
7 6 5 35
p AAA 
  
Следовательно, данная случайная величина 𝑋 имеет следующий закон распределения:
х
0 1
2 3
p 1/3512/3518/354/35
Проверка:
1 12 18 4
1 35 35 35 35



 .
Пример 6.2: Вероятность того, что в магазине будет в наличии необходи- мая студенту книга, равна 0,3. Составить закон распределения числа посещен- ных магазинов, которые последовательно посетит студент, чтобы купить книгу, если в городе 3 магазина. Найти числовые характеристики случайной величи- ны.
Решение. В качестве случайной величины X выступает количество мага- зинов, которые посетит студент, чтобы купить книгу. Возможные значения, ко- торые примет случайная величина X : 1, 2, 3.
Обозначим через событие A
1
– в первом магазине есть книга, A
2
– книга есть во второй, A
3
– в третьей. Тогда
1 2
3
(
)
(
)
(
)
0,3
p A
p A
p A



. Вероятность противоположного события, что книга занята
1 2
3
(
)
(
)
(
)
1 0,3 0,7
p A
p A
p A


 

Для составления закона распределения рассчитаем соответствующие ве- роятности:
1
( )
0,3
p A 
;
1
(
)
0,7 0,3 0, 21
p AA 


;
1
(
)
0,7 0,7 0,3 0,7 0,7 0,7 0, 49
p AAA
AAA








Проверка:
0,3 0, 21 0, 49 1



Запишем закон распределения в виде таблицы.
х
1 2
3
p
0,3 0,21 0,49
Вычислим математическое ожидание случайной величины и ее диспер- сию:
1
( )
n
x
i
i
i
M X
m
x p





1 0,3 2 0, 21 3 0, 49 2,19

 
 

;

24 2
2 1
( )
n
i
i
x
i
D X
x p
m





2 2
2 2
1 0,3 2
0, 21 3 0, 49 2,19 0,7539.







Пример 6.3: Случайная величина X распределена по закону, определяе- мому плотностью вероятности вида
1 ,
3 3,
( )
0,
3.
c x
x
f x
x


  

 


Определить константу с, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию величины Х, а также вероятность ее попадания в интер- вал
[ 0,5;1,5)

Решение. Вначале вычислим значение константы с из условия нормиров- ки. Для этого определим значение интеграла в левой части условия нормиров- ки. Так как
1
x 
в точке -1 обращается в нуль, то на интервале
[ 3; 1)
 
функ- ция раскрывается со знаком «-», а на
[ 1;3]

– со знаком «+».
3 1
3 1
3 3
1 3
( )
1
(
1)
(
1)
(
1) (
1)
f x dx
c x
dx
c
x
dx
c
x
dx
c
x
d x










 



 

 





1 3
2 2
3 1
3 1
(
1)
(
1)
(
1) (
1)
2 8
10 1
2 2
c x
c x
c
x
d x
c
c
c










 






Из условия нормировки следует, что
1 10 1
10
c
c
  
Плотность вероятности примет вид
0,
3,
1
( )
1 ,
3 3,
10 0,
3.
x
f x
x
x
x
 




  




Определим функцию распределения F(x). Так как плотность вероятности задана различными формулами на разных интервалах, то и ее первообразную – функцию распределения – для каждого интервала определим в отдельности.
1.
3
x  
:
( )
( )
0 0
x
x
F x
f t dt
dt







2.
3 1
x
   
:




3 3
3 1
1
( )
0 1
0 1
(
1)
10 10
x
x
F x
dt
t
dt
t
d t







 

 







2 2
1 4
1 1
3 10 2
20
x
t
x



 


3.
1 3
x
  
:






2 3
1 3
1 4
1 1 1
1
( )
0 1
1 0
10 10 20
x
F x
dt
t
dt
t
dt





  





 





25


2 2
1 1
1 4
(
1)
4
(
1)
1
(
1)
10 20 20 20
x
x
t
x
t
d t







 



4.
3
x 
:




3 1
3 3
1 3
1 1
( )
( )
0 1
1 0
10 10
x
F x
F x
dt
t
dt
t
dt
dt


















 

2 2
4 1 1 3 1 0
0 0 1 0 1 20 20
  

 

     .
Окончательно имеем
2 2
0,
3,
4 (
1)
,
3 1,
20
( )
4
(
1)
, 1 3
20 1,
3.
x
x
x
F x
x
x
x
 


 

   

 



  




График функции распределения имеет вид, приведенный на рис. 6.1:
Рис. 6.1. График функции распределения
Вычислим вероятность
( 0,5 1,5)
p
X



:
2 2
4 (1,5 1)
4 ( 0,5 1)
3
{ 0,5 1,5}
(1,5)
(0,5)
20 20 10
p
X
F
F


 









Вычислим математическое ожидание случайной величины:
3 1
3 3
3 1
1 1
1
( )
1
(
1)
(
1)
10 10 10
X
m
x f x dx
x x
dx
x
x
dx
x
x
dx









 
 
 

 






26 14 4
13 30 3
15
 
 
Вычислим дисперсиюслучайной величины:
2 3
1 2
2 2
2 3
3 1
13 1
( )
1
(
1)
10 15 10
x
X
D
x f x dx m
x
x
dx
x
x
dx










 

 
 








2 2
3 2
1 1
13 61 13
(
1)
0,8667.
10 15 15 15
x
x
dx






 













Задачи
6.1. Бросается игральный кубик. Обозначим через N число выпавших оч- ков. Рассматривая N как случайную величину, построить ее ряд распределения и функцию распределения. Найти вероятность того, что N < 5.
Ответ: P(N<5) = 2/3.
6.2. Карлсон решил продолжить знакомство с Малышом, но забыл, в ка- кое из пяти раскрытых окон он влетал накануне. Х – число исследованных
Карлсоном комнат. Выписать закон распределения дискретной случайной ве- личины Х; Найти М[x], D[x]. Построить график функции распределения F(x).
Ответ: M[X] = 3; D[x] = 2.
6.3. Бросаются две монеты. Случайная величина Х – число выпавших гер- бов. Найти математическое ожидание M[X] и среднеквадратичное отклонение
σ[x].
Ответ: M[X] = 1; σ[x] ≈ 0,7071.
6.4. В конверте 18 марок, среди которых 7 чистых, остальные проштем- пелеванные. Наудачу достают 3 марки. Найти закон распределения, математи- ческое ожидание и дисперсию числа чистых марок среди отобранных. Постро- ить функцию распределения. Определить вероятность того, что среди отобран- ных имеется хотя бы одна чистая марка.
Ответ:
7 / 6,
385 / 612, (
1)
217 / 272
x
x
m
D
p X


 
6.5. В кармане имеется 4 монеты по 5 копеек, 2 монеты по 50 копеек.
Пассажир извлекает из кармана по одной монете до появления 5 копеек без возвращения. Построить ряд распределения случайной величины Х (число по- пыток). Найти математическое ожидание и дисперсию. Найти функцию распре- деления.
Ответ:
1,4;
1,037;
x
x
m
D


X
1 2
3
P
2/3 4/15 1/15
X
1
x 
1 2
x
 
2 3
x
 
3
x 
F(x)
0 2/3 14/15 1

27 6.6. Случайная величина X задана рядом распределения:
X –1 0
1 2
P 0,1 0,2 0,3 0,4
Найти математическое ожидание M[X] и среднее квадратическое откло- нение σ[x].
Ответ: M[X] = 1; σ[x] = 1.
6.7. Найти распределение случайной величины Х, если она может прини- мать только одно из двух значений x
1
и x
2
(x
1
< x
2
). Известно, что p
1
= 0,1;
m
x
= 1,9; D
x
= 0,09.
Ответ:
X 1 2
P 0,1 0,9 6.8. Случайная величина Y задана рядом распределения:
Y
1 3
4 7
P 0,4 0,2 0,1 0,3
Построить график функции распределения
( )
F y
. Найти вероятность того, что 2 < Y < 6.
Ответ: P(2 < Y < 6) = 0,3.
6.9. Случайная величина X задана плотностью вероятности:
0, если x
0,
f (x)
x e
, если x
0.


  


Найти математическое ожидание M[X] и среднее квадратическое откло- нение σ[x].
Ответ: M[X] = 1; σ[x] = 1.
6.10. Случайная величина X задана функцией распределения:
0, если x
0,
(x)
, если 0
x 20,
1, если x
20.
F
C x





 




Найти коэффициент C и плотность вероятности
( )
f x
. Построить графики
( )
F x
и
( )
f x
Ответ: С = 0,05;
0, если
0,
( )
0,05, если 0 20,
0, если
20.
x
f x
x
x




 




6.11. Случайная величина X задана плотностью вероятности:
2 0, если
0,
3,
( )
(3
), если 0 3.
x
x
f x
C
x
x
x



 


 


28
Найти коэффициент C и функцию распределения
( )
F x
. Определить ма- тематические ожидание и дисперсию случайной величины Х.
Ответ: С = 2/9;
1,5;
9 / 20.
x
x
m
D


6.12. Случайная величина X равномерно распределена в интервале
[1,5 ; 2,5].
Найти математическое ожидание M[X] и среднее квадратическое откло- нение σ[x].
Ответ: M[X] = 2; σ[x] =
3 / 6
≈ 0,2887.
6.13. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале
–1 ≤ Х ≤ 0,5. Найти ее плотность вероятности
( )
f x
и функцию распределения
( )
F x
. Построить графики
( )
f x
и
( )
F x
Ответ:
0, если
1,
( )
,
2 / 3, если 1 0,5 0, если
0,5.
x
f x
x
x
 



  




0, если
1,
( )
2 / 3 2 / 3, если 1 0,5,
1, если
0,5.
x
F x
x
x
x
 




  




6.14. Случайная величина X задана плотностью вероятности:
0, если
0,
1 , если 0 3,
( )
3 0, если
3.
x
x
f x
x



 
 



Найти математическое ожидание M[X] и среднее квадратическое откло- нение σ[x].
Ответ: M[X] = 1,5; σ[x] =
3 / 2
≈ 0,866.
6.15. Случайная величина Х принимает два возможных значения: 2 и 5,2, образующие полную функцию. Известно математическое задание, равное 3,7.
Найти вероятности p
1
и p
2
и дисперсию случайной величины.
Ответ:
1 2
15 / 32,
17 / 32,
2,55
x
p
p
D




29