сборник. Сборник. сборник задач по теории вероятностей и математической статистике
 Скачать 1.15 Mb.
|
|
Задачи 3.1. Два радиста пытаются принять сигнал передатчика. Первый из них сможет это сделать с вероятностью 60 %, а второй – с вероятностью 80 %, неза- висимо друг от друга. Найти вероятность того, что не менее 3-х ламп из 5 останутся исправными">Найти вероятность, что хотя бы одному из них удастся принять сигнал. Ответ: 0,92. 3.2. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 70 %, а для второго 50 %. Найти вероятность, что оба стрелка попадут в мишень. Ответ: 0,35. 3.3. В партии лампочек в среднем 4 % брака. Найти вероятность, что сре- ди наугад выбранных двух лампочек окажется хотя бы одна неисправная. Ответ: 0,0784. 3.4. Прибор содержит генератор и осциллограф. За время работы генера- тор может выйти из строя с вероятностью 30 %, а осциллограф – с вероятно- стью 20 %. Отказы осциллографа и генератора не связаны друг с другом. Найти вероятность, что прибор будет работать исправно. Ответ: 0,56. 3.5. Радист пытается принять сигналы от трех передатчиков. Сигнал пер- вого передатчика он может принять с вероятностью 50 %, второго – 40 % и тре- тьего – 30 %. Найти вероятность, что ему удастся принять сигналы ото всех пе- редатчиков. Ответ: 0,06. 3.6. В урне имеется 3 белых и 4 черных шара. Из урны вытягиваются 3 шара. Найти вероятность, что хотя бы один из них окажется белым. Ответ: 31/35. 3.7. Игральный кубик бросается 6 раз. Найти вероятность, что выпадет хотя бы одна шестерка. 12 Ответ: 0,6651. 3.8. За прямоугольный стол, у которого стоит по 4 стула слева и справа, в случайном порядке садятся 4 мальчика и 4 девочки. Какова вероятность того, что все мальчики окажутся с одной стороны? Ответ: 1/35 ≈ 0,0286. 3.9. За круглый стол в случайном порядке садятся 4 мальчика и 4 девочки. Какова вероятность того, что все мальчики будут сидеть рядом друг с другом? Ответ: 4/35 ≈ 0,1143. 3.10. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работаю- щих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность то- го, что при аварии сработает только один сигнализатор. Ответ: 0,14. 3.11. Новому работнику предоставляются три попытки проявить свои способности. Вероятность того, что ему удастся это с первой попытки, равна 0,2, со второй – 0,3, с третьей – 0,4. Исходы попыток представляют независи- мые события. Найти вероятность того, что работник оправдает оказанное ему доверие. Ответ: 0,664. 3.12. Сколько раз нужно бросить пару игральных костей, чтобы с вероят- ностью, не меньшей 0,5, хотя бы один раз появилась сумма очков, равная 12? Ответ: 25. n 3.13. При передаче текста 10 % букв искажается и принимается неверно. Какова вероятность того, что все 5 букв данного сообщения будут приняты правильно? Ответ: 0,59. 3.14. Партия из 100 деталей подвергается выборочному контролю. Усло- вием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверенных. Какова вероятность для данной партии быть принятой, если она содержит 5 % неисправных деталей. Ответ: 0,23. 13 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса Допустим, что проводится некоторый опыт, об условиях которого можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез): {H 1 , H 2 , …, H n }, Hi Hj = при i j. Событие A может появляться совместно с одной из гипотез Hi. Тогда пол- ная вероятность события A равна 1 ( ) ( ) ( / ) n i i i p A p H p A H (4.1) Если опыт произведен и произошло некоторое событие А, то определить вероятность гипотезы H k с учетом того, что произошло событие А, можно по формуле Байеса: 1 ( ) ( / ) ( ) / ) ( ) ( / ) k k k n i i i P H P A H P H A P H P A H (4.2) Пример 4.1: В первой урне находится 7 черных и 3 белых шара, а во вто- рой урне – 4 черных и 6 белых шаров. Из наудачу взятой урны достали один шар, который оказался белым. Какова вероятность того, что этот шар был вы- нут из первой урны? Решение. Предварительно вычислим вероятность события A (вынутый наудачу шар – белый) по формуле полной вероятности: 1 1 2 2 ( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ). P A P B P A B P B P A B Здесь 1 ( ) P B – вероятность того, что шар извлечен из первой урны; 2 ( ) P B – вероятность того, что шар извлечен из второй урны; 1 ( / ) P A B – услов- ная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из первой ур- ны; 2 ( / ) P A B – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из второй урны. Тогда 1 3 1 6 9 ( ) 0,45. 2 10 2 10 20 P A Теперь вычислим условную вероятность того, что этот шар был извлечен из первой урны, по формуле Байеса: 1 1 1 ( ) ( / ) 1 / 2 3 / 10 1 ( ) ( ) 9 / 20 3 A P B P A B P B P A Задачи. 4.1. В двух коробках находятся однотипные диоды. В первой – 20 шт., из них 2 неисправных; во второй – 10 шт., из них 4 неисправных. Наугад была вы- брана коробка, а затем из нее наугад был выбран диод. Он оказался неисправ- ным. Найти вероятность того, что он был взят из второй коробки. 14 Ответ: 0,8. 4.2. Два радиста пытались принять сигнал передатчика. Первый из них может это сделать с вероятностью 60 %, а второй – с вероятностью 80 %, неза- висимо друг от друга. Известно, что как минимум одному из радистов удалось принять сигнал. Найти вероятность, что это удалось обоим радистам. Ответ: 12/23 ≈ 0,5217. 4.3. В двух коробках однотипные конденсаторы. В первой – 20 штук, из них 3 неисправных; во второй – 40 штук, из них 2 неисправных. Наугад была выбрана коробка, а затем из нее наугад был выбран конденсатор. Он оказался неисправным. Найти вероятность того, что он был взят из первой коробки. Ответ: 0,75. 4.4. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка составляет 70 %, а для второго 60 %. После стрельбы в мишени обна- ружена одна пробоина. Найти вероятность, что попал первый стрелок. Ответ: 14/23 ≈ 0,6087. 4.5. На базе находятся лампы, изготовленные на двух заводах. Из них 70 % изготовлено на первом заводе, а 30 % – на втором. Известно, что 90 % ламп, изготовленных на первом заводе, соответствуют стандарту, а среди ламп, изготовленных на втором заводе, соответствуют стандарту лишь 80 %. Найти вероятность, что взятая наугад лампа с базы будет соответствовать стан- дарту. Ответ: 0,87. 4.6. Радиосообщение может быть передано днем (с вероятностью 3 / 4 ), либо ночью (с вероятностью 1 / 4 ). Из-за помех вероятность его успешного при- ема составляет днем 60 %, а ночью 80 %. Найти вероятность, что сообщение будет принято. Ответ: 0,65. 4.7. В ящике 4 белых и 5 черных шаров. Наугад вынимаются 3 шара. Найти вероятность, что они окажутся одинакового цвета. Ответ: 1/6. 4.8. На шахматную доску наугад ставятся два короля – черный и белый, в разные клетки. Какова вероятность, что при этом получится допустимая пози- ция? Недопустимой считается позиция, когда короли стоят в соседних (в том числе и по диагонали) клетках. Ответ: 3612/4032 ≈ 0,8958. 4.9. Элементы соединены в цепь с одним входом и одним выходом по следующей схеме: 15 Отказы элементов являются независимыми событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно рав- ны q 1 = 0,1; q 2 = 0,2; q 3 = 0,3; q 4 = 0,4; q 5 = 0,5. Найти вероятность того, что сиг- нал пройдет со входа на выход. Ответ: 0,846. 4.10. Элементы соединены в цепь с одним входом и одним выходом по следующей схеме: Отказы элементов являются независимыми событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Изначальные вероятности отказа элементов 1, 2, 3 соответ- ственно равны q 1 = 0,2; q 2 = 0,4; q 3 = 0,6. Посланный сигнал не прошел со входа на выход. Найти вероятность того, что: а) элемент 1 отказал; б) только элемент 1 отказал; в) элемент 2 отказал; г) только элемент 2 отказал. Ответ: а) 200/392 ≈ 0,5102; б) 48/392 ≈ 0,1224; в) 272/392 ≈ 0,6939; г) 0. 4.11. Найти вероятность отгадать пин-код телефона с первого раза если в нем используются 4 строго возрастающие цифры. Ответ:0,5. 4.12. Каждый из трех котов спит в одной из трех коробок. Найти вероят- ность того, что все коты будут спать в одной коробке, если они выбирают каж- дую коробку равновероятно и независимо друг от друга. Ответ:0,012. 4.13. Три гимнаста стоят друг на друге. Вероятность падения нижнего со- ставляет 0,08, второго – 0,5, третьего – 0,31. Найти вероятность того, что трюк не удастся. Ответ:0,683. 4.14. Двое соперников участвует в олимпиаде. Вероятность того, что пер- вый решит все задачи верно равна 0,89. Для второго эта вероятность равна 0,92. Найти вероятность того, что только один займет первое место. Ответ: 0,1724. 4.15. В город поступило 3000 л молока с первого завода и 3500 – со вто- рого завода. Известно, что средний процент непригодного молока среди про- дукции первого завода равен 1,5 %, второго – 1 %. Найти вероятность того, что купленный литр молока в этом городе окажется непригодным. Ответ: 0,012. 4.16. Для каждого из трех друзей вероятности провала экзамена равны соответственно 0,01; 0,03; 0,1. Найти вероятность того, что только двое из них сдадут экзамен. Ответ: 0,131. 16 4.17. Два датчика посылают сигнал в общий канал связи, причем первый из них посылает вдвое больше сигналов, чем второй. Вероятность получить ис- каженный сигнал от первого датчика равна 0,06, от второго – 0,03. Какова веро- ятность получить неискаженный сигнал в общем канале связи? Ответ: 0,95. 4.18. На складе имеется 12 телевизоров, из которых 8 импортного произ- водства. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад телевизоров: а) окажется более двух импортных; б) все будут отечественного производства. Ответ: а) 0,986; б) 0. 4.19. Вероятности правильного определения химического состава про- дукта для каждого из 3 контролеров равны 4/5, 3/4, 2/3. При одновременном контроле 3 проб тремя контролерами химический состав оказался правильно определенным для 2 проб (что подтвердилось на окончательной проверке в ла- боратории). Найти вероятность того, что ошибся третий контролер. Ответ: 0,46. 17 5. Повторение независимых опытов. Формула Бернулли Пусть производится n независимых одинаковых опытов. В результате каждого опыта событие A появляется с вероятностью р. Вероятность P(n,k) то- го, что в последовательности из n опытов событие А произойдет ровно k раз (формула Бернулли), равна ! ( , ) ,0 ! ( )! k k n k k n k n n P n k C p q p q k n k n k , (5.1) где q = 1 – р – вероятность того, что событие А не произойдет в одном опыте. Вычисление вероятностей ( , ) P n k при больших значениях n по формуле Бернулли проблематично. Поэтому вычисление соответствующих вероятностей проводится с помощью следующих приближенных формул: 1) Если количество испытаний велико n , а вероятность события ма- ла 0 p , так что , 0 np a a и 1 p n , то используется формула Пуассо- на: ( , ) , 0, ! k a a P n k e k n k ; (5.2) 2) Если количество испытаний n велико, вероятности p и q не малы, так что выполняются следующие условия: 0 3 , 3 np npq np npq n , то применяются приближенные формулы Муавра – Лапласа: – локальная ( ) ( , ) , x P n k npq (5.3) где 2 1 ( ) exp , 2 2 x x k np x npq ; – интегральная 2 1 1 2 ( ) ( ) ( , ) k np k np P n k k k npq npq , (5.4) где 2 0 1 ( ) exp 2 2 x x x dx – функция Лапласа. Функции ( ) x и ( ) x табулированы (прил. 1, 2). При использовании таб- лиц следует помнить, что ( ) x является четной ( ( ) ( ) x x ), а функция Лапласа – нечетной ( ( )= ( ) x x ). Пусть производится серия из n независимых испытаний, в результате каждого из которых может появиться одно из событий A 1 , A 2 , ... , A r с вероятно- стями p 1 , p 2 , ... , p r соответственно. Вероятность того, что в серии из n испытаний событие A 1 наступит ровно k 1 раз, событие A 2 – k 2 раз, ..., событие A r – k r раз (k 1 + ... + k r = n) равна 18 1 2 1 1 2 1 ! ( , , ..., ) !... ! r k k k r r r n P n k k p p p k k (5.5) Наивероятнейшее число наступления события A – m – вычисляется по формуле n p q m n p p Пример 5.1: В среднем 70 % студентов группы сдают зачет с первого ра- за. Определить вероятность того, что из 5 человек, сдававших зачет, с первого раза сдадут ровно 3 студента. Решение. Воспользуемся формулой Бернулли: 3 3 5 3 3 2 5 5! ( , ) (5,3) 0,7 0,3 0,3087. 2! 3! P n k P C p q Пример5.2: Банк выдал шесть кредитов. Вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, равна 0,2. Определить вероятность того, что в срок не будут погашены четыре кредита. Решение. Воспользуемся формулой Бернулли: 4 4 6 4 4 2 6 6! ( , ) (6,4) 0,2 0,8 0,01536. 2! 4! P n k P C p q Задачи 5.1. Кубик бросается 5 раз. Найти вероятность, что шестерка выпадет 2 раза. Ответ: 1250/7776 ≈ 0,1608. 5.2. Бросается 10 монет. Найти вероятность, что число выпавших гербов будет равно шести. Ответ: 210/1024 ≈ 0,2051. 5.3. Бросается 12 монет. Найти вероятность, что гербов выпадет больше, чем решек. Ответ: 1586/4096 ≈ 0,3872. 5.4. Монета бросается 100 раз. Найти вероятность, что количество вы- павших гербов будет лежать в интервале: а) от 40 до 60; б) от 30 до 70. Ответ: а) ≈ 0,96 (по приближенной формуле Муавра – Лапласа: 0,9545; по точной формуле Бернулли: 0,9648); б) ≈ 0,9999. 5.5. Вероятность попадания в мишень игроком за каждый бросок равна 0,6. Всего было совершено 5 бросков. Определить вероятность попадания в мишень: а) 3 раза; б) не менее половины бросков; в) не более 2 раз. Ответ: а) 0,3456; б) 0,6825; в) 0,31744. 5.6. На автовокзале есть 10 автобусов. Для каждого из них вероятность поломки за день составляет 30 %. Определить вероятность того, что за день: а) выйдет из строя 7 автобусов; б) останется рабочим хотя бы один из них. Ответ: а) 0,009; б) 0,999994. 5.7. Врач ставит верный диагноз с вероятностью 85 %. Найти вероятность того, что из 6 диагнозов верный будет поставлен большей части пациентов. 19 Ответ:0,9526. 5.8. Из школы с вероятностью 40 % выпускаются двоечники. На одну и ту же специальность пытаются поступить 7 выпускников этой школы. Найти наивероятнейшее число двоечников среди них и определить вероятность того, что именно столько двоечников будет поступать на эту специальность. Ответ: 3; 0,29. 5.9. Найти вероятность 4 точных из 7 независимых измерений, если веро- ятность точного измерения равна 0,3. Ответ: 0,097. 5.10. Мимо пункта наблюдения пробегают ежи. Наблюдатель обнаружи- вает пробегающего ежа с вероятностью 0,1. Сколько ежей должно пробежать, чтобы с вероятностью 0,99 наблюдатель зафиксировал бы не менее 5 ежей? Ответ: 113. 5.11. Два стрелка стреляют по очереди до первого попадания по мишени. Для Ивана вероятность попадания при одном выстреле равна 0,2, для Петра – 0,3. Найти вероятность того, что Иван сделает больше выстрелов, чем Петр (первый выстрел разыгрывается по жребию). Ответ: 0,45. 5.12. Сколько раз надо подбросить игральную кость, чтобы наивероят- нейшее число выпадений пятерки было равно 55? Ответ: 329 335 n 5.13. Пара игральных костей бросается 7 раз. Какова вероятность собы- тий: А = (сумма очков, равная 7, выпадет дважды); В = (сумма очков, равная 7, выпадет по крайней мере один раз)? Ответ: а) 0,23; б) 0,72. 5.14. Студент выполняет тестовую работу, состоящую из трех задач. Для получения положительной отметки достаточно решить две. Для каждой задачи предлагается 5 вариантов ответа, из которых только один правильный. Студент плохо знает материал и поэтому выбирает ответы для каждой задачи наудачу. Какова вероятность, что он получит положительную оценку? Ответ: 0,104. |