сборник. Сборник. сборник задач по теории вероятностей и математической статистике
 Скачать 1.15 Mb.
|
|
: Определим функцию распределения двумерной случайной величины (X, Y) по формуле (9.3): 1) 0, 0, ( , ) ( , ) 0 0 y y x x x y F x y f x y dxdy dxdy ; 2) 0 0 0 ,0 ( , ) ( , ) 2 2 sin( ) sin sin sin( ) 0 ; 2 2 y x y y x x x y F x y f x y dxdy x y x y x y dxdy dxdy 3) 0 0 2 2 0 0 2 2 , ( , ) ( , ) 2 2 sin( ) 0 0 1. 2 y x y x x y F x y f x y dxdy x y dxdy dxdy dxdy Далее определим математические ожидания составляющих вектора слу- чайных величин по формуле (9.18): 39 2 2 2 0 0 0 sin( ) 1 ( , ) (sin cos ) 2 2 4 x x y m x f x y dxdy x dxdy x x x dx Математическое ожидание Y вычисляется аналогично, т. е. 4 x y m m Определим дисперсии составляющих вектора случайных величин по формуле (9.19): 2 2 2 2 2 2 2,0 0 0 0 2 / 2 2 2 2 0 0 sin( ) 1 ( , ) ( , ) (sin cos ) 2 2 1 ((2cos 2 sin cos ) ( cos cos sin ) ) 2. 2 8 2 x y x y x f x y dxdy x dxdy x x x dx x x x x x x x x x x Таким образом, 2 2 2 ( ) 2 16 2 x x y D x m D Далее определим смешенный начальный момент (1, 1) порядка по (9.18): 2 2 1,1 0 0 2 0 sin( ) ( , ) ( , ) 2 1 (sin cos ) 2. 2 x y x y x y f x y dxdy x y dxdy x y x x dx По формуле (22) получим ковариацию: 2 1,1 1,1 2 ( , ) ( , ) 2 16 XY X Y K x y x y m m Отсюда по формуле (9.23) получим коэффициент корреляции двух слу- чайных величин X и Y: 0, 245 XY XY X Y K R D D Задачи 9.1. Передаются два сообщения, каждое из которых может быть либо ис- кажено, либо не искажено. Вероятность искажения при передаче первого сооб- щения составляет 0,1, вероятность искажения при передаче второго – 0,3. Слу- чайная величина Х принимает значение 1, если первое сообщение искажено, и 0 в обратном случае; случайная величина Y принимает значение 1, если второе сообщение искажено, и 0 в обратном случае (индикаторы событий). Составить одномерные ряды распределения, закон распределения случайных величин X, Y и исследовать их зависимость; описать закон распределения случайной величи- ны (X, Y). 40 Ответ: Одномерные ряды распределения: y i y 1 = 0 y 2 = 1 p i 0,7 0,3 х i х 1 = 0 х 2 = 1 p i 0,9 0,1 Случайные величины X, Y независимы. y 1 = 0 y 2 = 1 x 1 = 0 0,63 0,27 x 2 = 1 0,07 0,03 9.2. Два стрелка независимо друг от друга производят по одному выстре- лу, каждый по своей мишени. Случайная величина Х – число попаданий перво- го стрелка, случайная величина Y – второго стрелка. Вероятность попадания для первого стрелка составляет 60 %, а для второго – 85 %. Построить ряд рас- пределения случайной величины (X, Y). Ответ: y 1 = 0 y 2 = 1 x 1 = 0 0,06 0,34 x 2 = 1 0,09 0,51 9.3. Двухмерная дискретная случайная величина задана законом распре- деления: y 1 = 5 y 2 = 6 x 1 = 1 0,1 0,4 x 2 = 2 0,2 0,3 Определить, являются ли случайные величины X, Y независимыми. Ответ: Случайные величины X и Y являются зависимыми. 9.4. Две игральные кости бросают по одному разу. Обозначим через Х ко- личество очков, выпавшее на первой кости, а через Y – на второй. Определить, являются ли случайные величины X, Y зависимыми. Ответ: Случайные величины X и Y являются независимыми. 9.5. По цели производится 2 независимых выстрела. Вероятность попада- ния в цель при первом выстреле равна 0,4, при втором – 0,7. Х – число попада- ний при первом выстреле, Y – при втором. Построить таблицу распределения системы (X,Y); найти функцию распределения системы; найти числовые харак- теристики системы. Ответ: 0, 4; 0, 24; 0,7; 0, 21. x x y y m D m D x = 0 x = 1 y = 0 0,18 0,12 y = 1 0,42 0,28 9.6. Положение случайной точки (X, Y) равновозможно в любой точке круга радиусом 2, центр которого совпадает с началом координат. Определить 41 плотность распределения и функцию распределения каждой составляющей X и Y. Определить зависимость составляющих. Ответ: 2 2 2 2 0, 4, ( , ) 1 , 4, 4 x y f x y x y 2 2 1 1 ( ) 4 , ( ) 4 2 2 f x x f y y 9.7. Есть две независимые случайные величины: Х распределена по нор- мальному закону распределения с параметрами m x = 0, σ x = 1/√2. Случайная величина Y распределена равномерно на интервале (0; 1). Описать плотность распределения f(X, Y) и функцию распределения F(X, Y) для системы (X, Y). Ответ: 2 1 , при (0,1), ( , ) 0, при (0,1), x e y f X Y y 1 2 0, при 0, ( , ) ( ) ( ) ( 2), при 0 1, ( 2), при 1. y F X Y F x F y yФ x y Ф x y 9.8. Двухмерная случайная величина задана функцией распределения sin *sin , 0 , 0 , ( , ) 2 2 0, 0 или 0. x y x y F X Y x y Определить вероятность попадания случайной точки (X, Y) в прямоуголь- ник, ограниченны прямыми 0, , , 4 6 3 x x y y Ответ: р = 0,26. 9.9. Плотность вероятности двухмерной случайной величины (X, Y) равна , 0, 0, 2, ( , ) 0, иначе. C x y x y f x y Найти константу C и коэффициент корреляции X и Y. Ответ: С = 0,5; R XY = –0,5. 9.10. В первом квадранте задана функция распределения системы двух случайных величин: ( , ) 1 2 2 2 x y x y F X Y Определить: а) двухмерную плотность системы; б) вероятность попада- ния случайной точки (X, Y) в треугольник с вершинами А (1, 3), В (3, 3) и С (2, 8). 42 Ответ: а) 2 ln 2 2 ,в первом квадранте, ( , ) 0,вне квадранта. x y f X Y ; б) р = 5/13˙2 12 9.11. Задана плотность совместного распределения двухмерной случай- ной величины (X, Y) 2 2 ( ) 2 , 0, 0, ( , ) 0, 0, 0. x y xye x y f X Y x y Определить плотности распределения составляющих X, Y, математиче- ские ожидания и дисперсии X, Y, а также определить коэффициент корреляции между случайными величинами X и Y. Ответ: 2 2 , 0, , 0, ( ) ( ) 0, 0, 0, 0, x y xe x ye y f x f y x y 8 , , 0 4 16 x y x y xy m m D D R . 9.12. Заданы плотности распределения независимых составляющих не- прерывной двумерной случайной величины (X, Y): 5 2 0, 0, 0, 0, ( ) ( ) 5 , 0, 5 , 0. x y x y f x f y e x e y Определить плотность совместного распределения и функцию распреде- ления системы. Ответ: (5 2 ) 0, 0, 0, ( , ) 10 , 0, 0, x y x y f x y e x y 5 2 0, 0, 0, ( , ) (1 )(1 ), 0, 0. x y x y F x y e e x y 9.13. Две независимые случайные величины X и Y распределены по рав- номерному закону (1 < X < 3; 2 < Y < 6). Найти вероятность, что X > Y. Ответ: 1/16 = 0,0625. 9.14. Случайная величина Х задана функцией распределения 2 0, 0, ( ) 0, 25 ,0 2, 1, 2. x F x x x x Определить коэффициент корреляции случайных величин Х и 2 5 Y X Ответ: 1 xy R 43 10. Оценка закона распределения. Точечные и интервальные оценки численных характеристик Генеральной совокупностью называется множество объектов, из которых производится выборка. Каждый из объектов задает фиксированное значение случайной величины. Выборка – множество {x 1 , x 2 , ..., x n } случайно отобранных объектов (зна- чений) из генеральной совокупности. Объемом выборки n называется число входящих в нее объектов. Вариационным рядом называется выборка { 1 2 ˆ ˆ ˆ , ,..., n x x x }, полученная в ре- зультате расположения значений исходной выборки в порядке возрастания. Значения ˆ i x называются вариантами. Эмпирическая функция распределения определяется формулой 1 * 1 ˆ 0, , ˆ ˆ ( ) , , ˆ 1, i i n x x i F x x x x n x x (10.1) Эмпирическая функция распределения F*(x) является наилучшей оценкой функции распределения F(x) (несмещенной, состоятельной, эффективной). Если анализируемая СВ Х является дискретной с известным множеством значений 1 2 , ,..., m x x x , то по исходной выборке объемом n определяется ста- тистический ряд распределения вероятностей: x j х 1 х 2 х m * j p k 1 k 2 k m где * j p – частота появления j-го значения( * j j k p n ); k j – число значений x j в выборке. Если анализируемая СВ Х является непрерывной, то по исходной выборке строится интервальный статистический ряд вероятностей: j A j B j h j j * j p * j f 1 A 1 B 1 h 1 1 * 1 p * 1 f … … … … … … … M A M B M h M M * M p * M f где j – номер интервала; M – число непересекающихся и примыкающих друг к другу интервалов, на которые разбивается диапазон значений 1 ˆ ˆ , n x x : 44 int , 100, int 2 4 lg , 100, n n M n n (10.2) где int(x) – целая часть числа x( желательно, чтобы n без остатка делилось на M); A j , B j – левая и правая границы j-го интервала (Aj+1 = Bj), причем 1 1 ˆ A x , ˆ M n B x ; hj = Bj – Aj – длина j-го интервала; j – количество чисел в выборке, попадающих в j-й интервал; * j j p n – частота попадания в j-й интервал; * * j j j j j p f h nh – статистическая плотность вероятности в j-м интервале. При построении интервального статистического ряда вероятностей ис- пользуют следующие методы разбиения диапазона значений на интервалы: 1) равноинтервальный, т. е. все интервалы одинаковой длинны: 1 ˆ ˆ , n j x x h h j M , (10.3) 1 ˆ ( 1) , 2, j A x j h j M (10.4) 2) равновероятностный, т. е. границы интервалов выбирают так, чтобы в каждом интервале было одинаковое число выборочных значений (необходимо, чтобы n без остатка делилось на M): * 1 , j j n p j M M , (10.5) ( 1) ( 1) 1 ˆ ˆ , 2, 2 j j j x x A j M (10.6) Гистограмма – статистический аналог графика плотности вероятности * ( ) f x СВ и она строится по интервальному статистическому ряду. Гистограмма представляет собой совокупность прямоугольников, построенных, как на осно- ваниях, на интервалах hj статистического ряда с высотой, равной статистиче- ской плотности вероятности * j f в соответствующем интервале. Для равноин- тервального метода все прямоугольники гистограммы имеют одинаковую ши- рину, а для равновероятностного метода – одинаковую площадь. Сумма площа- дей всех прямоугольников гистограммы равна единице. Статистической оценкой ˆ Q параметра Q распределения называется при- ближенное значение параметра, вычисленное по результатам эксперимента (по выборке). Точечной называется оценка, определяемая одним числом. 45 Оценка ˆ Q называется состоятельной, если при увеличении объема вы- борки n она сходится по вероятности к значению параметра Q: ˆ ˆ lim ( ( )) 1, 0 p n n Q Q P Q Q . Оценка ˆ Q называется несмещенной, если ее математическое ожидание точно равно параметру Q для любого объема выборки: ˆ [ ] , M Q Q n . Несмещенная оценка ˆ Q является эффективной, если ее дисперсия мини- мальна по отношению к дисперсии любой другой оценки этого параметра. Состоятельная несмещенная оценка математического ожидания, назы- ваемая выборочным средним x , вычисляется по формуле * 1 1 n X i i m x x n (10.7) Числовые характеристики x : M[ ] , D[ ] X X D x m x n Состоятельная несмещенная оценка дисперсии равна 2 * 2 2 2 0 1 1 1 1 1 1 1 n n X i i i i n D S x x x x n n n (10.8) Числовые характеристики 2 0 S : 2 2 2 4 0 0 ( ) 3 [ ] , [ ] ( 1) X X x n M S D D S D n n n Состоятельная несмещенная оценка среднего квадратического от- клонения: 2 0 0 S S (10.9) Состоятельная оценка начального момента k-го порядка определяется по формуле 1 1 ˆ ( ) n k k i i x x n (10.10) Состоятельная оценка центрального момента k-го порядка равна 1 1 ˆ ( ) n k k i i x x x n (10.11) Несмещенная состоятельная и эффективная оценка вероятности случай- ного события A в схеме независимых опытов Бернулли: * ( ) m p A n (10.12) где m – число опытов, в которых произошло событие A; n – число проведенных опытов. Числовые характеристики * * ( ) p A p : * * (1 ) [ ] ( ) , [ ] p p M p p A p D p n 46 Доверительным называется интервал, в который с заданной вероятностью (надежностью) попадают значения параметра Q. Вероятность выбирается близкой к единице: 0,9; 0,95; 0,975; 0,99. Доверительный интервал надежностью для математического ожида- ния случайной величины X с неизвестным законом распределения: 0 0 , X S z S z x m x n n (10.13) где z – значение аргумента функции Лапласа Ф(z ) = 2 ( arg ( ) 2 z ). Доверительный интервал надежностью для математического ожидания нормально распределенной случайной величины X: 0 , 1 0 , 1 , n n X S t S t x m x n n (10.14) где , 1 n t – значение, взятое из таблицы распределения Стьюдента. Доверительный интервал надежностью для дисперсии случайной вели- чины X с неизвестным законом распределения: 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 1 1 X S z S D S z S n n , (10.15) где arg ( ) 2 z – значение аргумента функции Лапласа Ф(z ) = 2 Доверительный интервал надежностью для дисперсии нормально рас- пределенной случайной величины X: 2 2 0 0 2 2 1 1 , 1 , 1 2 2 ( 1) ( 1) , X n n n S n S D (10.16) где 2 2 1 1 , 1 , 1 2 2 , n n – значения, взятые из таблицы распределения 2 (прил. 4). Доверительный интервал надежностью для вероятности события A в схеме независимых опытов Бернулли: * ( ) m p A n , (10.17) где * p – частота появления события A в n опытах( * * ( ) m p p A n ); m – число опытов, в которых произошло событие A; n – число проведенных опытов. Пример 10.1: С помощью измерительного прибора, практически не име- ющего систематический ошибки, было сделано восемь независимых измерений некоторой величины. Результаты замеров приведены в таб. 10.1: 47 Таблица 10.1. Результаты замеров для примера 10.1 Номер измерения 1 2 3 4 5 6 7 8 x i 2504 2486 2525 2495 2515 2528 2492 2494 Определить несмещенные оценки математического ожидания и диспер- сии случайной величины Х. Решение: Для определения несмещенной оценки математического ожида- ния воспользуемся формулой (10.7): 8 * 1 1 1 1 1 (2504 2486 2525 2495 2515 2528 2492 8 8 2494) 2504,875. n X i i i i m x x x n Для расчета несмещенной оценки дисперсии воспользуемся формулой (10.8): 8 2 * 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 1 1 8 254, 41. 1 1 1 8 1 8 1 n n X i i i i i i n D S x x x x x x n n n Пример 10.2: В отделе ОТК были измерены диаметры 300 шариков, изго- товленных станком-автоматом. Отклонения измеренных диаметров от номина- ла приведены в табл. 10.2: Таблица 10.2. Результаты замеров Границы отклонений Середина интервала Число шариков Границы отклонений Середина интервала Число шариков -30 … -25 -27,5 3 0 … 5 2,5 55 -25 … -20 -22,5 8 5 … 10 7,5 30 -20 … -15 -17,5 15 10 … 15 12,5 25 -15 … -10 -12,5 35 15 … 20 17,5 14 -10 … -5 -7,5 40 20 … 25 22,5 8 -5 … -0 -2,5 60 25 … 30 27,5 7 Определить несмещенные оценки и доверительные интервалы надежно- стью 96 % для математического ожидания и дисперсии случайной величины. Построить гистограмму. Решение: На основании полученной информации построим интервальный статистический ряд вероятностей (таблица 10.3). Таблица 10.3. Равноинтервальный ряд для примера 10.2. j Aj Bj X Среднее hi i 1 –30 –25 –27,5 5 3 0,0100 0,0008 2 –25 –20 –22,5 5 8 0,02667 0,0533 48 Окончание табл. 10.3 j Aj Bj X Среднее hi i 3 –20 –15 –17,5 5 15 0,0500 0,0042 4 –15 –10 –12,5 5 35 0,1167 0,0097 5 –10 –5 –7,5 5 40 0,1333 0,0111 6 –5 0 –2,5 5 60 0,2000 0,0167 7 0 5 2,5 5 55 0,1833 0,0153 8 5 10 7,5 5 30 0,1000 0,0083 9 10 15 12,5 5 25 0,0833 0,0069 10 15 20 17,5 5 14 0,0467 0,0039 11 20 25 22,5 5 8 0,0267 0,0022 12 25 30 27,5 5 7 0,0233 0,0019 На основании построенного интервального ряда построим статистиче- ский аналог графика плотности распределения случайной величины Х, отобра- зим значения * * j j j j j p f h nh на рис. 10.1: Рис. 10.1. Равноинтервальная гистограмма Далее по формулам (10.7) и (10.8) определим несмещенные оценки мате- матического ожидания и дисперсии: 12 * * 1 1 0, 4 300 X iср j i m x x p * 2 * 2 2 0 1 1 300 128, 423 300 1 300 1 n X i iср i D S p x x Далее по формуле (10.13) определим доверительный интервал надежно- стью 96 % для математического ожидания: 49 0 0 X S z S z x m x n n Определим arg 2 z , которое вычисляется как Ф(z) = 2 : 0,96 0, 48 ( ) 0, 48 2,06 2 Ф z z , * 0 11,3 X S D , 128, 423 128, 423 0, 4 2,06 0, 4 2,06, 300 300 1,7478 0,9478. x x m m Аналогично, по формуле (10.15) определим доверительный интервал для дисперсии: 2 2 128, 423 1 2,06 128, 423 1 2,06 ; 300 1 300 1 106,7867 150,6. X X D D |