сборник. Сборник. сборник задач по теории вероятностей и математической статистике
 Скачать 1.15 Mb.
|
|
7. Типовые законы распределения Дискретная СВ Х имеет геометрическое распределение, если она прини- мает значения 0, 1, … , с вероятностями ( ) i i p X i p q p или 1 ( ) i i p X i p q p , (7.1) где p – параметр распределения (0 ≤ p ≤1), q = 1 – p. Числовые характеристики геометрического распределения: 2 ( / или 1/ ), / X X m q p p D q p Дискретная СВX имеет биномиальное распределение, если она принимает значения 0, 1, … , n со следующими вероятностями: ! ( ) !( )! i n i i n p X i p p q i n i , (7.2) где n, p – параметры распределения (0 ≤ p ≤1), q=1 – p. Числовые характеристики биномиального распределения: , X X m np D nqp Дискретная СВ Х имеет распределение Пуассона, если она принимает значения 0, 1, … , со следующими вероятностями: ( ) ! i a i a p X i p e i , (7.3) где a – параметр распределения (a = n×p, a >0). Числовые характеристики пуассоновской СВ: , X X m a D a Непрерывная СВ Х имеет равномерное распределение, если ее плотность вероятности в некотором интервале а ; b] постоянна, т. е. если все значения X в этом интервале равновероятны: 0, , 1 ( ) , , 0, x a f x a x b b a x b 0, , ( ) , , 1, x a x a F x a x b b a x b (7.4) Числовые характеристики равномерно распределенной СВ: 2 ( ) , 2 12 X X a b b a m D Непрерывная СВ T, принимающая только положительные значения, име- ет экспоненциальное распределение, если ее плотность вероятности и функция распределения равны: , 0, ( ) 0, 0, t e t f t t 1 , 0, ( ) 0, 0, t e t F t t (7.5) где – параметр распределения ( > 0 ). Числовые характеристики экспоненциальной СВ: 2 1/ , 1/ T T m D 30 Непрерывная СВ Х имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности и функция распределения равны: 2 2 1 ( ) ( ) exp 2 2 x a f x , ( ) 0.5 , x m F x (7.6) где m, σ – параметры распределения (σ >0), 2 2 0 1 ( ) 2 t x x e dt – функция Лапласа. Значения функции Лапласа приведены в прил. 2. При использовании таб- лицы значений функции Лапласа следует учитывать, что (–x) = –(x), (0)= 0, () = 0,5. Числовые характеристики нормальной СВ: 2 , X X m m D , 2 [ /2] 0 ( / 2) ( ) ! ( 2 )! ! k i i I k k i m x k k i i , / 2 2 0, нечетное, ( ) ! , четное. ( / 2)! 2 k k k x k k k Задачи. 7.1. Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать закон распределения дискретной случайной величины X – числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях, а также определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Ответ: 0,5; 0,875. x x m D 7.2. После ответа студента на вопросы экзаменационного билета экзаме- натор задает студенту дополнительные вопросы. Преподаватель прекращает за- давать дополнительные вопросы, как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный дополнительный вопрос, равна 0,9. Требуется определить закон распределения случайной дискретной величины X – числа дополнительных вопросов, которые задаст преподаватель студенту, а также найти наивероятнейшее число (m) за- данных студенту дополнительных вопросов. Ответ: m = 1. 7.3. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени T равна 0,002. Найти вероятность того, что за время T откажут ровно 3 элемента. Ответ: Р = 0,18. X 0 1 2 p 9/16 6/16 1/16 31 7.4. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего деления. Определить вероятность, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05. Ответ: а) Р(0 < X < 0,04) + Р(0 < X < 0,04) = 0,4; б) Р(0,05 < X < 0,15) = 0,5. 7.5. Минутная стрелка часов двигается скачкообразно в конце каждой минуты. Найти вероятность, что в данное мгновение часы покажут время, от- личающееся от истинного не более, чем на 20 секунд. Ответ: Р(0 < X < 20) + Р(40 < X < 60) = 2/3. 7.6. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально с математическим ожиданием 50 мм. Фактически дли- на изготовленных деталей составляет не менее 32 мм и не более 68 мм. Найти вероятность, что длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм. Ответ: а) Р (55 < X < 68) = 0,0823; б) Р (32 < X < 40) = 0,0027. 7.7. Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если от- клонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина распределена нормально с па- раметром σ = 0,4 мм, определить сколько в среднем будет годных шариков сре- ди 100 изготовленных. Ответ: Р = 0,92. 7.8. Среднее время работы каждого из 3 независимых элементов, входя- щих в техническое устройство равно 750 ч. Для безотказной работы устройства необходима безотказная работа хотя бы одного из трех этих элементов. Опре- делить вероятность того, что устройство будет работать от 450 до 600 ч, если время работы каждого из трех элементов независимо и распределено по показа- тельному закону. Ответ: Р = 0,279. 7.9. Время Т обнаружения цели радиолокатором распределено по показа- тельному закону. Найти вероятность того, что цель будет обнаружена за время от 5 до 15 с после начала поиска, если среднее время обнаружения цели равно 10 с. Ответ: Р = 0,383. 32 8. Функция одного случайного аргумента Если X – непрерывная случайная величина, то плотность вероятности g(y) величины Y определяется по формуле 1 ( ) ( ( )) ( ) k j j j g y f y y , (8.1) где f(х) – плотность вероятности величины X; j (y) – функции, обратные функции (x); k – число обратных функций для данного y. Числовые характеристики функции Y = (X) одного случайного аргумента X определяются по следующим формулам: – начальные моменты: 1 ( ) , для ДСВ, ( ) M[ ] M[ ( )] ( ) ( ) , для НСВ ; n k i i i k k k k x p y Y x x f x dx (8.2) – математическое ожидание: 1 M[ ] M[ ( )] ( ) y m Y x x ; (8.3) – центральные моменты: 1 ( ( ) ) , для ДСВ, ( ) M[( ) ] ( ( ) ) ( ) , для НСВ; n k i y i i k k Y k y x m p y Y m x m f x dx ; (8.4) – дисперсия: 2 2 2 2 ( ) M[( ) ] ( ) Y Y Y D y Y m y m (8.5) Пример 8.1: Случайная величина Х задана плотностью распределения: 2 2 0, 1, 2, ( ) , 1 2. x x x f x x Определить плотность распределения случайной величины 2 Y X , мате- матическое ожидание и дисперсию случайной величины Y. Решение: Определим плотность распределения, воспользо- вавшись формулой (8.1). Для этого построим график 2 Y X на интервале (–1; 2) и определим количество обратных функций на ин- тервалах. Из графика видно, что на интервале (0; 1) у Y суще- ствует две обратные функции, на участке (1; 4) – одна. На 33 оставшихся промежутках обратных функций не существует. ( ;0 (4; ) ( ) 0 y y g y ; 2 1 2 1,2 2( ) 1 1 (0;1 ( ) , ( ) , ( ) ( ) 2 2 2 2 y y y y y y y y g y y y ; 2 3 3 ( ) 1 1 (1;4 ( ) , ( ) ( ) 2 4 2 2 y y y y y y g y y y Мы определили плотность распределения случайной величины Y: 1 2 1 2 0, 0 4, 1 ( ) ,0 1, 2 1 ,1 4. 4 y y g y y y y y Далее определим математическое ожидание, начальный момент второго порядка и дисперсию случайной величины Y: 1 4 1 4 3 3 1 1 2 2 2 2 0 1 0 1 1 4 5 5 2 2 0 1 1 1 1 1 = ( ) 3 6 3 6 1 2 1 2 2 1 11 (1 0) (32 1) , 3 5 6 5 15 15 5 y m y g y dy y y dy y y dy y dy y dy y y 1 4 1 4 5 5 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 0 1 1 4 7 7 2 2 0 1 1 1 1 1 (y)= ( ) 3 6 3 6 1 2 1 2 2 1 43 (1 0) (128 1) , 3 7 6 7 21 21 7 y g y dy y y dy y y dy y dy y dy y y 2 2 228 ( ) 175 y y D y m Задачи 8.1. Случайная величина Х равномерно распределена на интервале (0; 2). Случайная величина Y = X 2 . Определить функцию распределения случайной ве- личины Y. Ответ: 0, 0, 0, 4 ,0 4, ( ) 2 , 4 9, 5 1, 9. y y y F y y y y 34 8.2. Случайная величина Х задана плотностью распределения 0, 0, , 2 ( ) 2 ,0 2 x x f x x Определить плотностью распределения случайной величины Y = sin(X). Ответ: 2 0, 0, 1, 2 ( ) ,0 2 1 y y f y x y 8.3. Случайная величина Х задана плотностью распределения: 0, 0, , 2 ( ) cos ,0 2 x x f x x x Определить математическое ожидание случайной величины Y = X 2 Ответ: 2 ( 8) 2 y m 8.4. Ребро куба измерено приблизительно, причем 0 0, 2 х . Рассматри- вая ребро куба как случайную величину, равномерно распределенную в интер- вале (0; 0,2) определить математическое ожидание объема куба. Ответ: 0,002 y m 8.5. Случайная величина Х равномерно распределена с числовыми харак- теристиками: 1, 3 3 x m . Определить закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины sign Y X Ответ: y –1 1 p 4/9 5/9 1 / 9, 80 / 81 y y m D 8.6. Закон распределения ошибок при измерении радиуса r круга – нор- мальный с математическим ожиданием m = 50 и дисперсией D = 0,25. Опреде- лить закон распределения ошибок при вычислении площади круга. Ответ: 2 ( 50 ) 2 0, 0, ( ) 1 2 y y f Y e y 8.7. Случайная величина Х распределена по нормальному закону распре- деления m = 2 и средним квадратическим отклонением σ = 1. Определить закон распределения случайной величины Y X 35 Ответ: 2 ( 50 ) 2 0, 0, ( ) 1 2 y y f Y e y 8.8. Случайная величина Х равномерна распределена в интервале (0; 1). Определить закон распределения случайной величины Y = 4X 3 , математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y. Ответ: 2 3 0, 0или 4, 1 ( ) ,0 4, 3 4 y y f Y y y 9 1, 7 y y m D 8.9. Случайная величина Х задана функцией распределения 2 0, 0, ( ) 0, 25 ,0 2, 1, 2. x F x x x x Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины 2 5 Y X Ответ: 23 8 , 3 9 y y m D . 8.10. Случайная величина Х имеет плотность распределения f(x), задан- ную графиком: Случайная величина Y связана с Х зависимостью 2 1 Y X Определить плотность распределения случайной величины Y. Ответ: 1 1 (1 ),0 1, 4 1 ( ) 0, 0;1 . y y f y y 36 9. Векторные случайные величины Функцией распределения двухмерной случайной величины называется ве- роятность совместного выполнения двух событий {Х < х} и {Y < у}: ( , ) { } { } F x y p X x Y y (9.1) Свойства двухмерной функции распределения: 1. 0 F(x, y) 1. 2. F(x, +) = F X (x); F(+ , y) = F Y (у); F(+ ,+) = 1. 3. F(–, y) = F(x, – ) = F(– , – ) = 0. 4. F(x 1 , y) F(x 2 , y), если x 2 > x 1 ; F(x, y 1 ) F(x, y 2 ), если y 2 > y 1 Функция распределения может задаваться для непрерывных и дискрет- ных случайных величин. Для непрерывной двухмерной случайной величины (X, Y) существует двухмерная плотность распределения: 2 0 0 ({ } { } ( , ) ( , ) lim x y p x X x x y Y y y F x y f x y x y x y (9.2) Свойства двухмерной плотности: 1. f(x, y) 0. 2. ( , ) ( , ) y x F x y f x y dxdy . (9.3) 3. ( ) {( , ) }= ( , ) D p X Y D f x y dxdy (9.4) 4. Условие нормировки ( , ) 1 f x y dxdy (9.5) 5. 1 ( ) ( , ) f x f x y dy ; 2 ( ) ( , ) f y f x y dx (9.6) Для дискретных случайных величин (X, Y) закон распределения задается матрицей распределения, содержащей вероятности p ij появления всех возмож- ных пар значений (xi, yj): pij = p(X = x i , Y = y j ), (9.7) удовлетворяющих условию 1 1 1 n m ij i j p (9.8) Одномерные ряды вероятностей, составляющих X, Y, определяются по формулам: 1 ( ) , 1, ..., m i i ij j p p X x p i n , (9.9) 37 1 ( ) , 1, ..., n j j ij i p p Y y p j m (9.10) Условным законом распределения называется распределение одной слу- чайной величины, найденное при условии, что другая случайная величина при- няла определенное значение. Условные плотности для непрерывных составляющих X и Y определяют- ся по следующим формулам: f(x/y) = f(x, y)/f Y (y), для f Y (y) 0; (9.11) f(y/x) = f(x, y)/f X (x), для f X (x) 0. (9.12) Условные ряды распределения для дискретных составляющих Х и Y опре- деляются по следующим формулам: pi/j = p(X = xi/Y = yj) = pij/p(Y = yj), i= 1, ..., N, (9.13) pj/i = p(Y = yj/X = xi) = pij/p(X = xi), j = 1, ..., M. (9.14) Величина Х независима от величины Y, если ее закон распределения не зависит от того, какое значение приняла величина Y. Для независимых величин выполняются следующие соотношения: 1) F(x,y) = p(X < x, Y < y) = p(X < x)p(Y < y) = F X (x)F Y (y), x, y; (9.15) 2) для непрерывных – f(x, y) = f X (x)f Y (y), x, y; (9.16) 3) для дискретных – pij = pi pj, дляi, j. (9.17) Смешанный начальный момент порядка k + s равен математическому ожиданию произведения Xk и Ys: , 1 1 , для ДСВ, ( , ) M[ ] ( , ) для НСВ. n m k s i j i j i j k S k s k s x y p x y X Y x y f x y dxdy (9.18) Смешанный центральный момент порядка k + s равен математическому ожиданию произведения центрированных величин k X и k Y : , , 1 1 ( , ) M[( ) ( ) ] ( ) ( ) для ДСВ, ( ) ( ) ( , ) для НСВ, k s k s X Y n m k s i x j y i j i j k s x y x y X m Y m x m y m p x m y m f x y dxdy (9.19) где pij – элементы матрицы вероятностей дискретной величины (X, Y); f(x, y) – совместная плотность вероятности непрерывной величины (X, Y). Рассмотрим наиболее часто используемые начальные и центральные мо- менты: 1,0 0,1 ( , ), ( , ) X Y m x y m x y , (9.20) 38 2 2 2,0 2,0 0,2 0,2 ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) X X Y Y D x y x y m D x y x y m . (9.21) Корреляционный момент K XY характеризует степень тесноты линейной зависимости величин X и Y и рассеивание относительно точки (m X , m Y ): 1,1 1,1 ( , ) ( , ) XY X Y K x y x y m m (9.22) Коэффициент корреляции R XY характеризует степень линейной зависи- мости величин: XY XY XY X Y X Y K K R D D (9.23) Для любых случайных величин | R XY | 1. Если величины X и Y независимы, то R XY = 0. Пример 9.1: Плотность вероятности двумерной случайной величины (X, Y) равна: 0, 0, , 0, , 2 2 ( , ) sin( ) ,0 ,0 2 2 2 x x y y f x y x y x y Определить функцию распределения случайной величины (X, Y) и коэф- фициент корреляции случайных величин X и Y. Решение |