ряды фурье. Ряды.Ряды Фурье.Сборник задач. Сборник задач по высшей математике. РостовнаДону 2008г. 1

• Название: Сборник задач по высшей математике. РостовнаДону 2008г. 1
• Анкор: ряды фурье
• Дата: 03.05.2023
• Размер: 1.93 Mb.
• Имя файла: Ряды.Ряды Фурье.Сборник задач.doc
• Тип: Сборник задач; #1106375
• страница: 5 из 5

§6. Ряды Фурье.
Пусть функция f(x) является периодической с периодом T=2l

Определение. Функциональный ряд вида

,

где ; ; ; n=1,2...

называется рядом Фурье для функции f(x) в интервале [-l;l] .

Определение. Функция f(x) называется кусочно-гладкой в интервале (a;b), если она имеет на этом интервале лишь конечное число точек разрыва 1-го рода; в этих точках функция имеет предельные значения слева и справа: f(x-0) и f(x+0).

Основная теорема о возможности разложения функции f(x) в ряд Фурье формулируется следующим образом:

Теорема (Условия Дирихле) Если функция f(x) кусочно-гладкая в интервале [-l;l], то ее ряд Фурье сходится к функции f(x) во всех точках, в которых она непрерывна. В точках разрыва функции f(x) ряд сходится к среднему арифметическому ее предельных значений слева и справа, т.е. к значению , где x₀ – точка разрыва 1-го рода. В обеих граничных точках интервала сумма ряда равна среднему арифметическому предельных значений функции при стремлении независимой переменно к этим точкам изнутри интервала: .

Условие кусочной гладкости слева и справа, т.е. у арифметическому ее точках разрыва функции ф(ч)дельные значения слева и справаения дифференциала:в теореме может быть заменено на условие непрерывности и существования конечного числа точек экстремума.

Если функция f(x) четна (f(-x)=f(x)), то все коэффициенты b_n=0 и соответствующий ряд Фурье не содержит синусов:

; , n=1,2,....

Для нечетной функции (f(-x)=-f(x)), то все коэффициенты b_n=0 и соответствующий ряд Фурье содержит только синусы:

; , n=1,2,....

Функцию f(x), заданную в интервале [0;l], можно произвольно продолжить в соседний интервал [-l;0) и поэтому ее можно представить различными рядами Фурье. Пользуясь этим, такую функцию обычно представляют неполным рядом Фурье, содержащим только косинусы или только синусы.

Р яд по косинусам получается при четном, а ряд по синусам при нечетном продолжении данной функции на соседней слева интервал [-l;0). В первом случае график данной функции продолжается на интервал [-l;0) симметрично относительно оси ординат, а во втором случае – симметрично относительно начала координат (см. рисунок).
Пример. Разложить в ряд Фурье функции в указанном промежутке

1) ;

2) ;

3) по косинусам.

Решение:

1. 
   Используем общие формулы для ряда Фурье; l=π.
   

Представляя найденные значения коэффициентов в стандартный ряд, получаем разложения функции в ряд Фурье:

2. 
   Функция f(x)=2x является нечетной, поэтому разлагается в ряд по синусам: a₀=0, a_k=0; (l=3)
   

.

Следовательно,

.

3. 
   Данная функция четная, в следствии чего коэффициенты b_n=0, l=π.
   

Следовательно,



При n=1 полученное здесь общее выражение для a_n непригодно, вследствие чего коэффициент a₁ вычисляется отдельно, полагая n=1 в общей формуле.

.

Представив значения коэффициентов в ряд, получим искомое разложение:





Задачи для решения

288)

289)

290)

291)

292)

293)

294) .

295) .

296) .

297) .

298) .

299)

300)

301) - по синусам.

302)

303) - по косинусам

304) - по синусам.

305) - по косинусам.

306) - по синусам.

307) - по косинусам.

308) - в интервале (-1;1)

В задачах 309-320 разложить в ряд Фурье функцию периода T=2l, заданную графиком:

309)

310)

312)

311)




313)

314)



315)


316)


317)

318)

319)

320)



Аннотация

Сборник содержит более 300 задач по разделам «Ряды» и «Ряды Фурье» курса высшей математики. Задачи сгруппированы в шесть параграфов. В начале каждого параграфа содержится краткое изложение теоретического материала и решение некоторых типов задач.

Сборник предназначен для проведения занятий по высшей математике и организации домашней самостоятельной работы курсантов.