ряды фурье. Ряды.Ряды Фурье.Сборник задач. Сборник задач по высшей математике. РостовнаДону 2008г. 1

• Название: Сборник задач по высшей математике. РостовнаДону 2008г. 1
• Анкор: ряды фурье
• Дата: 03.05.2023
• Размер: 1.93 Mb.
• Имя файла: Ряды.Ряды Фурье.Сборник задач.doc
• Тип: Сборник задач; #1106375
• страница: 3 из 5

§4 Ряды Тейлора.
Определение. Рядом Тейлора для функции в окрестности точки называется степенной ряд.



Обозначим многочлен - ой степени, представляющий - ую частичную сумму ряда Тейлора:



Ряд Тейлора функции сходится к самой этой функции, если . Остаточным членом ряда Тейлора называется разность

Если ряд Тейлора в области сходимости имеет своей суммой , то остаточный член этого ряда при стремится к нулю и обратно.

Величина дает как раз ту ошибку, которую мы делаем, заменяя функцию многочленом .

Для выяснения, стремится ли к нулю при или нет, полезна следующая теорема, устанавливающая структуру остаточного члена:

Теорема: Если функция во всех точках некоторого интервала, содержащего точку , имеет ую производную , то остаточный член для любой точки этого интервала имеет вид:

, где

можно записать и так:

, где

Это остаточный член в форме Лагранжа.

Для разложения данной функции в ряд Тейлора нужно

1) написать ряд Тейлора для данной функции, т.е. вычислить значения этой функции и ее производных при и подставить их в общее выражение ряда Тейлора;

2) Исследовать остаточный член формы Лагранжа для данной функции и определить совокупность значений , при которых полученный ряд сходится к данной функции (т.е. при которых ).

Пример. Разложить в ряд Тейлора функции:

1) при ; 2) при

Решение:

1) Вычисляем значения данной функции и ее производных при :



___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___



Подставляем эти значения в ряд Тейлора (1) для произвольной функции, получим:



Исследуем сходимость полученного ряда по признаку Даламбера.

; ; ;

, если . Решая это неравенство, находим интервал: . Границы интервала исследуем особо. Подставляя в ряд , затем , получим числовые ряды и , которые расходятся, так как у них не выполняется необходимое условие сходимости ряда

Следовательно, интервал сходимости полученного ряда Тейлора для данной функции есть ( ). Внутри этого интервала, т.е. при , ряд является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, т.е. сумма ряда.

,

что доказывает сходимость ряда именно к данной функции.

2)



___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___



___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___



Исследуем соответствующий остаточный член формулы Тейлора:



Каково бы ни было значение , всегда найдутся такие два последовательных положительных числа и , между которыми заключается , т.е. . Исходя из этого, получим очевидное неравенство:



Первый множитель не зависит от и при любом данном значении является постоянным; второй множитель при будет величиной бесконечно малой, ибо . Следовательно, , а

Поэтому при любом , т.е. полученный ряд Тейлора для сходится к при любом .

Определение. Если в ряде Тейлора положить x₀=0, получим частный случай ряда Тейлора, который называется рядом Маклорена. Он имеет вид:



Остаточный член ряда Маклорена в форме Лагранжа имеет вид:

.

Чтобы он стремился к нулю, достаточно ограниченности производной .

Разложения стандартных функций в ряды Маклорена имеют вид:

1) (сходится при любом x);

2) (сходится при любом x);

3) (сходится при любом x);

4) биномиальный ряд:



(сходится при -1
5) (сходится при -1
6) (сходится при -1≤x≤1).

Пример. Разложить в ряды Маклорена функции:

1) ; 2) ; 3) .

Решение:

1)

Т.к. ряд Маклорена e^x сходится на всей числовой оси, то и полученный ряд сходится к данной функции, при всех значениях x.

2) Преобразуем функцию к виду и воспользуемся биномиальным рядом, в котором положим :



Заменяя в этом выражении x на 3x, получаем:



Окончательно.



Биномиальный ряд сходится при -1 .

3) Преобразуем данную функцию:

. Пишем ряд Маклорена для полученных слагаемых функций





(второй ряд получен из первого путем замены x на 2x) и складывая их почленно, имеем:

.
Задачи для решения:
171) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=1 (при x₀=1).

172) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=1.

173) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=-1.

174) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=3.

175) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=1.

176) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=4.

177) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=1.

178) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=2.

179) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=5.
В задачах 180- 186 найти первые пять членов ряда Тейлора для данной функции в окрестности точки x₀:

180)

181)

182)

183)

184)

185)

186)

В задачах 187-201 разложит данные функции в окрестности точки x=0, пользуясь формулами разложения в ряд Маклорена функций e^x, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)^mи arctgx:

187)

187)

188) .

189)

190) .

191)

192) .

193) .

194) .

195) .

196) .

197) .

198) .

199) .

200) .

201) .

202) Пользуясь разложением функции в ряд Тейлора, найти значение:

1) седьмой производной функции при x=0,

2) пятой производной функции при x=0,

3) десятой производной функции при x=0.