ряды фурье. Ряды.Ряды Фурье.Сборник задач. Сборник задач по высшей математике. РостовнаДону 2008г. 1
![]()
|
![]() Филиал ФТОУ ВПО « Морская Государственная Академия имени Адмирала Ф.Ф. Ушакова » в г. Ростове-на-Дону Ряды. Ряды Фурье. Сборник задач по высшей математике. Ростов-на-Дону 2008г. §1. Числовые ряды. Достаточные признаки сходимости ряда и его суммы. Определение ряда и его суммы. Определение 1. Пусть задача бесконечная последовательность чисел. u1, u2, u3,..., un,... Выражение u1+u2+…..+un+…. называется числовым рядом При этом числа u1, u2,..., un,... называются членами ряда. Коротко ряд записывается так : ![]() Выражение для n-го члена ряда при произвольном n называется общим членом ряда. Ряд считается заданным, если известно правило, по которому для любого номера n можно записать соответствующий член ряда. Чаще всего общий член ряда задается формулой ![]() ![]() ![]() Определение 2. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда: ![]() Образуем последовательность частичных сумм ряда: ![]() Определение 3. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм членов данного ряда при n ![]() ![]() то ряд называется сходящимся, а число S-его суммой. Это записывается так. ![]() Если последовательность ![]() Если последовательность ![]() ![]() Если последовательность ![]() В качестве простого примера рассмотрим сумму членов бесконечной геометрической прогрессии: ![]() Сумма n первых членов ![]() Если ![]() ![]() ![]() При ![]() ![]() a значит, ряд расходится. Если ![]() ![]() и т.д., т.е. ![]() Следовательно, бесконечная геометрическая прогрессия представляет ряд, который сходится при ![]() ![]() 1.2. Свойства сходящихся рядов. Теория 1. Если ряд ![]() ![]() ![]() где С - какое-либо фиксированное число, также сходится и его сумма равна ![]() Теория 2 Если сходятся ряды ![]() и их суммы, соответственно, равны ![]() ![]() ![]() причем их суммы, соответственно, равны ![]() ![]() Теория 3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем приписывания или отбрасывания любого конечного числа членов, т.е на сходимость ряда не влияет отбрасывания конечного числа его членов. Необходимый признак сходимости ряда. Гармонический ряд Теорема. Если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при неограниченном возрастание n: ![]() Следствие. Если n-й член ряда не стремится к нулю при n ![]() Например, ряд ![]() ![]() Рассмотрим гармонический ряд: ![]() ![]() Напишем гармонический ряд подробнее: ![]() Напишем вспомогательный ряд: ![]() Обозначим ![]() ![]() Так как каждый член ряда (1) больше или равен соответствующему члену уряда (2), то для ![]() ![]() Подсчитаем частичные суммы ряда (2) для n, равных ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, ![]() При достаточно большом ![]() ![]() ![]() то тогда, поскольку ![]() ![]() 1.4 Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости. Будем рассматривать ряды с положительными членами, или, так называемые знакоположительные ряды: ![]() 1. Признаки сравнения. Теорема 1. Пусть имеем двазнакоположительных ряда: ![]() Если хотя бы начиная с некоторого номера n члены ряда (1) не больше соответствующих членов ряда (2): ![]() и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1). Пример. Исследуем на сходимость ряд: ![]() Рассмотрим вспомогательный ряд: ![]() Он сходится как сумма геометрической прогрессии со знаменателем ![]() ![]() Очевидно, что ![]() Теорема 2. Если члены знакоположительного ряда ![]() начиная хотя бы с некоторого номера не меньше соответствующих членов расходящегося знакоположительного ряда. ![]() т.е. ![]() Пример. Исследуем на сходимость ряд ![]() ![]() Рассмотрим вспомогательный ряд: ![]() Этот ряд расходится, т.к. это гармонический ряд( то, что отброшен первый член, на сходимость не влияет). ![]() Члены ряда (1) не меньше соответствующих членов расходящегося ряда (2), следовательно, по теореме 2 ряд (1) расходится. Теорема 3. (Предельный признак сравнения.) Если знакоположительные ряды ![]() ![]() ![]() то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (1). Предельный признак сравнения чаще всего применяется к рядам, общие члены которых является отношениями многочленов. При использовании признаков сравнения исследуемый ряд часто сравнивается или с бесконечной геометрической прогрессией (см. п. 1.1), или с обобщенным гармоническим рядом: ![]() который сходится при ![]() ![]() Пример. Исследовать на сходимость ряды. 1) ![]() ![]() 1) Рядом сравнения будет гармонический ряд ![]() ![]() ![]() ![]() следовательно, ряды ведут себя одинаково, а т.к. гармонический ряд расходится, то и данный ряд также расходится. 2) В качестве ряда сравнения выберем обобщенный гармонический ряд ![]() ![]() ![]() ( ![]() Из примеров следует вывод: Чтобы выбрать ряд сравнения, нужно разделить старшую степень числителя на старшую степень знаменателя; образовавшийся после сокращения обобщенный гармонический ряд и есть ряд сравнения. 2. Признак Даламбера. Если для знакоположительного ряда ![]() ![]() то при 1) L<1 ряд сходится; 2) L>1 ряд расходится; 3) L=1 признак ответа не дает. Признак Даламбера обычно применяется в том случае, когда общий член ряда содержит факториалы, показательную функцию от n, синус или тангенс бесконечно малого аргумента. Пример. Исследовать на сходимость: 1) ![]() ![]() 1) Т.к. ![]() ![]() ![]() 2) ![]() ![]() ![]() 3. Интегральный признак Коши. Пусть члены ряда u1, u2, u3,..., un,... положительны и не возрастают, т.е. u1 ≥u2≥ u3≥... и пусть ![]() f(1)=u1; f(2)=u2;...; f(n)=un Тогда: если несобственный интеграл ![]() если же ![]() Пример. Исследовать на сходимость: ![]() ![]() Заменяем в заданном выражении общего члена ряда ![]() ![]() является непрерывной и убывающей на всем бесконечном интервале изменения x. Затем находим несобственный интеграл от ![]() ![]() Несобственный интеграл расходится, следовательно, и данный ряд также расходится. 2) ![]() Несобственный интеграл сходится, следовательно, и рассматриваемый ряд также сходится. 4. Радикальный признак Коши. Если для знакоположительного ряда ![]() ![]() то при l<1 ряд сходится, а при l>1 расходится; при l=1 признак ответа не дает. Пример. Исследовать на сходимость: 1) ![]() ![]() Решение: ![]() ![]() Следовательно, исходный ряд расходится. 2) ![]() ![]() следовательно, рассмотренный ряд является сходящимся. Задачи для решения. В задачах 1-10 написать формулу n-ого члена ряда. 1) ![]() 2) ![]() 3) ![]() 4) ![]() 5) ![]() 6) ![]() 7) ![]() 8) ![]() 9) ![]() 10) ![]() В задачах 11-16 написать 5 первых членов ряда 11) ![]() 12) ![]() 13) ![]() 14) ![]() 15) ![]() 16) ![]() В задачах 17-24 1) найти сумму n первых членов ряда (Sn), 2) доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости и 3) найти сумму ряда (S): 17) ![]() 18) ![]() 19) ![]() 20) ![]() 21) ![]() 22) ![]() 23) ![]() 24) ![]() В задачах 25-30 выяснить, сходится ли данный ряд. Для сходящегося ряда найти его сумму: 25) ![]() 26) ![]() 27) ![]() 28) ![]() 29) ![]() 30) ![]() В задачах 31-45 исследовать сходимость рядов с помощью признаков сравнения и необходимого признака. 31) ![]() 32) ![]() 33) ![]() 34) ![]() 35) ![]() 36) ![]() 37) ![]() 38) ![]() 39) ![]() 40) ![]() 41) ![]() 42) ![]() 43) ![]() 44) ![]() 45) ![]() В задачах 46-58 исследовать сходимость рядов с помощью признака Даламбера: 46) ![]() 47) ![]() 48) ![]() 49) ![]() 50) ![]() 51) ![]() 52) ![]() 53) ![]() 54) ![]() 55) ![]() 56) ![]() 57) ![]() 58) ![]() В заданиях 59-65 вопрос о сходимости рядов решить с помощью интегрального признака Коши: 59) ![]() 60) ![]() 61) ![]() 62) ![]() 63) ![]() 64) ![]() 65) ![]() В задачах 66-72 исследовать сходимость рядов с помощью радикального признака Коши: 66) ![]() 67) ![]() 68) ![]() 69) ![]() 70) ![]() 71) ![]() 72) ![]() В задачах 73-98 исследовать на сходимость ряды: 73) ![]() 74) ![]() 75) ![]() 76) ![]() 77) ![]() 78) ![]() 79) ![]() 80) ![]() 81) ![]() 82) ![]() 83) ![]() 84) ![]() 85) ![]() 86) ![]() 87) ![]() 88) ![]() 89) ![]() 90) ![]() 91) ![]() 92) ![]() 93) ![]() 94) ![]() 95) ![]() 96) ![]() 97) ![]() 98) ![]() §2. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Признак сходимости знакочередующегося ряда. Определение. Знакопеременный ряд (с членами разных знаков) ![]() называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений его членов: ![]() Знакопеременный сходящийся ряд (1) называется условно сходящимся, если ряд (2) расходится. Всякий абсолютно сходящийся ряд, есть ряд сходящийся. Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд ![]() ![]() сходится, если его члены убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю, т.е., если ![]() ![]() При этом сумма ряда положительна и не превосходит первого члена. Пример. Исследовать на сходимость: 1) ![]() ![]() ![]() ![]() 1) Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю: ![]() ![]() Поэтому, согласно признаку Лейбница, данный ряд сходится. Чтобы установить, сходится ли абсолютно или условно, исследуем ряд с положительными членами ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, ряд из абсолютных значений членов ряда расходится, а значит, исходный ряд сходится условно. 2) Заменим члены данного знакопеременного ряда, где ![]() ![]() Сравним его с геометрической бесконечно убывающей прогрессией ![]() ![]() Поэтому согласно признаку сравнения ряд с положительными членами также сходится, а заданный знакопеременный ряд сходится абсолютно. 3) Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю: ![]() ![]() Поэтому согласно признаку Лейбница, он сходится. Ряд ![]() ![]() Следовательно, данный ряд абсолютно сходится. 4) Для данного знакопеременного ряда не выполняется необходимое условие сходимости: ![]() ![]() Следовательно, ряд расходится. Задачи для решения. В задачах 99-128 выяснить, сходится ли абсолютно, условно или расходится ряд: 99) ![]() 100) ![]() 101) ![]() 102) ![]() 103) ![]() 104) ![]() 105) ![]() 106) ![]() 107) ![]() 108) ![]() 109) ![]() 110) ![]() 111) ![]() 112) ![]() 113) ![]() 114) ![]() 115) ![]() 116) ![]() 117) ![]() 118) ![]() 119) ![]() 120) ![]() 121) ![]() 122) ![]() 123) ![]() 124) ![]() 125) ![]() 126) ![]() 127) ![]() 128) ![]() 1>1> |