ряды фурье. Ряды.Ряды Фурье.Сборник задач. Сборник задач по высшей математике. РостовнаДону 2008г. 1
![]()
|
§3. Функциональные ряды. Область сходимости функциональности ряда. 3.1 Основные определения. Определение. Ряд ![]() ![]() ![]() При различных значениях ![]() Определение. Совокупность значений ![]() В области сходимости ряда его сумма является некоторой функцией от ![]() ![]() Пример. Функциональный ряд ![]() ![]() ![]() В интервале сходимости сумма ряда ![]() При всех ![]() Обозначим ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() Поэтому ![]() Т.е. остаток ![]() 3.2 Степенные ряды. Из всех функциональных рядов простейшими и наиболее употребительными являются степенные ряды вида. ![]() Или более общего вида ![]() Где ![]() Ряд (2) подстановкой ![]() Теорема Абеля. Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении ![]() ![]() ![]() Если ряд расходится при некотором значении ![]() ![]() ![]() Из теоремы Абеля следует, что для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Определение. Радиусом сходимости степенного ряда (1) называется такое число ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3.3. Определение интервалов сходимости степенных и функциональных рядов. Пусть имеем ряд ![]() Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов. ![]() Для определения сходимости этого ряда с положительными членами применим признак Даламбера. Допустим, что существует предел: ![]() По признаку Даламбера ряд (2) сходится, если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Интервалом сходимости ряда (1) является интервал ![]() ![]() При исследовании вопроса о сходимости ряда на концах интервала сходимости признак Даламбера не применим т.к. соответствующий предел здесь равен единице, поэтому здесь надо применить какой-либо другой признак. Пример. Определить интервал сходимости степенного ряда: ![]() Составляем ряд из модулей: ![]() Как следует из ряда, ![]() ![]() Далее, используя признак Даламбера, ищем предел ![]() И определяем, при каких значениях ![]() ![]() ![]() Согласно признаку Даламбера, при любом значении ![]() ![]() Граничные точки ![]() ![]() При ![]() ![]() ![]() При ![]() ![]() ![]() 3.4 Свойства степенного ряда. 1. Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале сходимости ряда. 2. Если степенной ряд ![]() имеет интервал сходимости ( ![]() ![]() полученный почленным дифференцированием ряда (1), имеет тот же интервал сходимости ( ![]() ![]() ![]() 3. Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости ![]() Задачи для решения. В задачах 129-150 найти область сходимости степенных рядов: 129) ![]() 130) ![]() 131) ![]() 132) ![]() 133) ![]() 134) ![]() 135) ![]() 136) ![]() 137) ![]() 138) ![]() 139) ![]() 140) ![]() 141) ![]() 142) ![]() ![]() 143) ![]() 144) ![]() ![]() 145) ![]() 146) ![]() 147) ![]() 148) ![]() 149) ![]() 150) ![]() В задачах 151-166 найти область сходимости заданных функциональных рядов: 151) ![]() 152) ![]() 153) ![]() 154) ![]() 155) ![]() 156) ![]() ![]() 157) ![]() 158) ![]() 159) ![]() 160) ![]() 161) ![]() 162) ![]() 163) ![]() ![]() 164) ![]() 165) ![]() ![]() ![]() 166) ![]() Используя интегрирование и дифференцирование степенных рядов, найти сумму заданных рядов: 167) ![]() 168) ![]() ![]() 169) ![]() 170) ![]() |