Чикрин Д.Е. Сети и системы телекоммуникаций. Сети и системы телекоммуникаций
 Скачать 5.32 Mb.
|
|
GOS C = P C (Z, N, T ) = A N N !·(N −A) P N −1 Z=0 A Z Z! + A N N !(N −A) (10.8) Аналогично модели B выведем основные следствия данной формулы: 1 Вероятность того, что вызов будет удержан (поставлен в очередь): P q = A N A N + C! 1 − A C P N −1 Z=0 A Z Z! (10.9) 2 Вероятность того, что все каналы будут свободны: GOS 0 = P 0 Z, N, T = 1 P N −1 Z=0 A Z Z! + A N N !(N −A) (10.10) 3 Вероятность того, что заняты будут K каналов: GOS K = P K (Z, N, T ) = P C0 A K K! (10.11) 101 4 Среднее число занятых каналов: µ C = P C0 N X Z=1 A Z (Z − 1)! (10.12) 5 Вероятность того, что удержанный вызов будет находиться в очере- ди более, чем время T, составляет: P d t>T = e −(N −A)· t tav , (10.13) где t av - среднее время удержания канала в пересчете на одного абонента (в час наибольшей нагрузки). 6 В свою очередь, вероятность того, что любой вызов будетнаходиться в очереди более, чем время T, составляет: P any t>T = P d t>T · e −(N −A)· t tav , (10.14) Данную величину также часто принимают за количественную характеристику качества обслуживания Рассмотренные аналитические выражения являются неудобными, поэто- му на практике используют табулированные значения данных формул. Пример таблицы значений формул Эрланга для распространенных си- стемных параметров приведен далее. Рис. 10.1: Табулированные значения для моделей Эрланг B, C 102 Рассмотренных в данной и предыдущей теме сведений достаточно для проведения упрощенного проектирования АССиПД для заданных эксплуатационных параметров. 103 Тема IV Основы приема и передачи данных по каналам связи 104 Лекция 11 Дискретизация, квантование, низкочастотная модуляция Абсолютное большинство существующих телекоммуникационных си- стем работает с данными в т.н. цифровой форме - их представлением в виде последовательности бит. В свою очередь, все существующие физи- ческие процессы (речь, изображение и пр. типы данных) являются непре- рывными, аналоговыми. Таким образом, первоначальным 1 является во- прос о адекватном преобразовании физических, аналоговых процессов в цифровую форму. 11.1 Преобразование аналоговых процессов в цифровую форму Первоначально введем определение сигнала, являющееся одним из основных для всех отраслей науки и техники, связанной с хранением, передачей и преобразованием информации. 11.1.1 Классификация типов сигналов Сигналом называется функция времени, значениями которой представляют собой состояние некоторого физического процесса в дан- ный момент времени. . Рассмотрим базовую классификацию типов сиг- налов: 1 Аналоговым (непрерывным) сигналом называется сигнал, непрерывный в своей области определения. 1 И одним из самых важных! 105 2 Дискретным сигналом называется сигнал, область определе- ния которого представляет собой конечное множество точек - дискретных значений времени. 3 Квантованным сигналом называется сигнал, об- ласть возможных значений которого представляет собой конечное множество точек - квантованных возможных значений сигнала. 4 Цифровым сигналом называется сигнал, дискретизированный по времени и квантованный по значениям. 11.1.2 Дискретизация непрерывного сигнала Процессом дискретизации называется процесс отображения непре- рывного сигнала в соответствующий ему дискретный, т.е. представленный в виде конечного множества отдельных отсчетов 2 для некоторых момен- тов времени. Равномерной дискретизацией называется дискретизация с фик- сированным временным шагом τ sample между отсчетами. 3 В противном случае дискретизация является неравномерной. Процесс дискретиза- ции непрерывного сигнала отображен на рис. ниже. Рис. 11.1: Процесс дискретизации непрерывного сигнала 2 Мгновенных значений исходнго сигнала; англ. эквивалент - sample. 3 Детально процессы преобразования из непрерывного сигнала в цифровую форму рас- сматриваются в курсе Теория информации и кодирования. 106 11.1.3 Квантование сигнала Кроме операции дискретизации для представления исходного непре- рывного сигнала в виде дискретного сообщения производится также опе- рация квантования: Квантование - операция разбиения диапазона значений непрерыв- ного или дискретного сигнала на конечное число интервалов. Простейшим видом квантования является равномерное квантова- ние, когда область значения исходной функции разбивается на конеч- ное множество равных интервалов, величина которых называется шагом квантования и для каждого входного значения выбирается ближайшее квантованное. Результат совместного использования операций дискрети- зации и квантования и позволяет получить цифровое представление ис- ходного аналогового сигнала. Рис. 11.2: Представление аналогового сигнала в цифровой форме 11.2 Правомерность представления аналогового сигнала в цифровой форме Исходный, аналоговый сигнал, представляет собой бесконечно боль- шое множество значений, определенных на бесконечном количестве то- чек временной оси. Существует ли способ адекватного и правомерного представления аналогового сигнала в цифровой форме? Да, существует; при этом критерий правомерности представления, а также один из спосо- бов обратного преобразования (из дискретного сигнала в исходный ана- логовый) представлен в одной из основных теорем теории связи - Теоре- ме Котельникова . Для дальнейшей формализации указанной теоремы определим такой термин, как спектр сигнала. 107 11.2.1 Спектральная (частотная) форма представле- ния сигнала В ряде случаев является полезным возможность разложения про- извольной непрерывной функции в новом базисе 4 . Так, разложение та- ких функций (сигналов) в ортогональный тригонометрический базис - ряд Фурье - дает т.н. спектральное представление исходного сиг- нала - его представление в частотной области; разложение по т.н. материнским вейвлет-функциям - вейвлет-представление и пр. Преооб- разование исходного непрерывного сигнала S(t) в спектральную форму - S(f) называется преобразованием Фурье 5 и обозначается S(f) = F (S(t)) ; обратное преобразование - обратным преобразованием Фу- рье - S(t) = F −1 (S(f )) . При этом исходный непрерывный сигнал преоб- разуется в линейную комбинацию 6 элементарных составляющих на всех частотах спектра: S(t) = S 0 + F max X F min a k · cos(f 0 t) + b k · sin(f 0 t), (11.1) где S 0 - постоянная составляющая спектра сигнала, не несущая информа- ционного значения. Пример внешнего вида сигнала и его спектрального представления приведены на рис. ниже. Рис. 11.3: Типичный сигнал и его спектр Cпектральное представление сигнала позволяет: • Обеспечить наглядное и эффективное представление сигнала в фор- мате существующего радиоресурса - в частотной области. 4 По сути, новой системе координат для исходной функции. 5 Англоязычный эквивалент - Fourier Transform. 6 Совокупность линейных операций - сложения, умножения - над составляющими. 108 • Обеспечивает представление сигнала сколь угодно сложной формы в виде совокупности элементарных сигналов различных частот - гармоник или тонов. • Дает возможность работать непосредственно с информационной со- ставляющей сигнала, независимо от того, на какой частоте сосредо- точена его энергетическая составляющая. 11.2.2 Теорема Котельникова Теорема 1 (Теорема Котельникова 7 ). Если аналоговый сигнал u(t) име- ет ограниченный спектр (т.е. ограничен верхней частотой F max , что при присутствии сигнала на всех частотах соответствует ширине полосы W = F max ), то данный сигнал может быть восстановлен однозначно и без по- терь по дискретному сигналу, сформированному из исходного; при этом частота дискретизации должна быть более удвоенной F max : f s ≥ 2 · F max ; 4t < 1 2 · F max (11.2) , при этом непрерывный сигнал возможно восстановить по отсчетам име- ющегося дискретного сигнала в виде ряда следующей формы: X u(k · 4t) sin(πf s (t − k4t)) πf s (t − k4t) (11.3) Указанная теорема справедлива для идеального случая бесконечного сигнала, не имеющего во временной характеристике точек разрыва. Для реальных сигналов из теоремы Котельникова следует два следствия: 1 Любой реальный непрерывный сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчетам, взятым с частотой f s > 2 · F max 2 Если максимальная частота в сигнале превышает половину часто- ты прерывания, то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует. 7 В англоязычной литературе - теорема Найквиста-Шеннона. Изначально теорема была сформулирована Гарри Найквистом в 1928 г. в работе Certain topics in telegraph transmission theory и является одной из основополагающих теорем в теории и технике цифровой связи. Приблизительно такие же результаты были опубликованы в том же году в Германии Карлом Купфмюллером. В СССР и России данная теорема традиционно связывается с именем Ко- тельникова, независимо опубликовавшего аналогичные результаты в 1933 г. в своей работе О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи 109 11.3 Модуляция После получения сигнала в цифровом представлении следующей за- дачей является адаптация данного представления к возможностям канала связи, а также приемо-передающих устройств и тракта обработки. Про- цесс данной адаптации и называется модуляцией. Более строго: Модуляция - это процесс преобразования исходной информации в вид, совместимый с характеристиками системы передачи информации. 11.4 Низкочастотная модуляция Низкочастотная модуляция 8 представляет собой процесс преобразо- вания исходного информационного сигнала к виду, пригодному для пере- носа на более высокие частоты с дальнейшей передачей по каналу связи. Результатом применения низкочастотной модуляции является т.н. видео- сигнал - сигнал, спектр которого начинается с нулевой частоты - именно видеосигнал анализируется в большинстве случаев в тракте обработки ин- формации. 11.4.1 Импульсно-кодовая модуляция Импульсно-кодовая модуляция - ИКМ 9 представляет собой процесс преобразования исходного информационного сигнала в последователь- ность информационных бит: 1 Исходный сигнал U(t) квантуется в один из L уровней (L уровней могут быть описаны в рамках двоичного формата представления l = log 2 L битами). 2 Квантованный сигнал U q (t) дискретизируется с шагом τ. 3 Каждый отсчет результирующего цифрового сигнала U q (n · τ ) пре- образуется в последовательность из l бит. 4 Представление данной последовательности бит в виде видеосигнала с заданными характеристиками. 8 Англоязычный термин - baseband modulation. 9 PCM (англ.) - Pulse-Code Modulation. 110 11.4.2 Сигналы ИКМ Результатом применения ИКМ к информационному сигналу явля- ется последовательность бит, которую требуется привести к виду видео- сигнала (в виде электрических импульсов, например логическая единица- наличие импульса; ноль - отсутствие), необходимому для физической пе- редачи данных. В пределе (при максимально возможной ширине импуль- са) последовательность указанных импульсов представляет собой непре- рывный сигнал (при этом часто используют биполярные сигналы - отцен- трированные по уровню относительно нулевого значения напряжения). Примеры представления ИКМ-последовательности в виде электрических сигналов приведены на рис. ниже. Рис. 11.4: Представление ИКМ-последовательности в виде видеосигнала 11.4.3 M-арные импульсно-модулированные сигналы Существует возможность кодирования в виде электрических сигна- лов не отдельные биты, а их совокупности по m бит, соответствующие M = 2 m возможным состояниям итогового сигнала. Для представления различных состояний итогового электрического сигнала такого вида воз- 111 можно варьировать амплитуду, положение, либо длительность импульсов, что и дало название соответствующим видам модуляции: 1 Варьирование (модуляция) амплитуды импульсов - амплитудно- импульсная модуляция - АИМ 10 2 Модуляция длительности импульсов - широтно-импульсная модуля- ция ШИМ 11 3 Модуляция положения импульсов - фазово-импульсная модуляция ФИМ 12 Указанные виды модуляции (сверху вниз) приведены на следующем ри- сунке. Рис. 11.5: АИМ, ШИМ и ФИМ-модуляция. При этом, если исходный информационный сигнал квантуется, как было указано в разделе выше, данные типы модуляции называются циф- ровой манипуляцией 13 , а если ФИМ, ШИМ или АИМ производится с отсчетами неквантованного сигнала - аналоговой модуляцией 14 . Рассмот- 10 PAM (англ.) - Pulse-Amplitude Modulation. 11 PWM (pulse-width modulation) или PDM (pulse-duration modulation). 12 PPM (англ.) - Pulse-Position Modulation. 13 Англ. - digital manipulation. 14 Аналогичные обозначения справедливы и для высокочастотных видов модуляции - все виды модуляции, имеющие дело с цифровыми сигналами обозначаются как манипуляция. 112 ренные выше сигналы ИКМ представляют собой частный случай АИМ с M = 2 Все виды низкочастотной модуляции достаточно просто реализуемы - так, -арная ФИМ осуществляется путем внесения задержки появления импульса на время, соотв. кодируемой информационной последователь- ности; ШИМ - посредством изменения ширины импульса на величину, соответствующую кодируемому значению; АИМ - выбору различных зна- чений амплитуды импульса. 11.4.4 Относительная модуляция Кроме обыкновенной модуляции исходного информационного сигна- ла используется также т.н. относительная модуляция. Если в обычных методах модуляции сигнал модулируется непосредственно последователь- ностью бит, то в относительных - изменением состояния i-й последова- тельности бит по отношению к i − 1-й. Относительные методы модуляции в некоторых случаях позволяют уменьшить избыточность исходного сиг- нала и обеспечить дополнительное сжатие используемой полосы частот. 113 Лекция 12 Полосовая модуляция. Визуальные формы представления 12.1 Высокочастотная (полосовая) модуляция Модуляция - это процесс преобразования исходной информации в вид, совместимый с характеристиками канала передачи данных. Если низкочастотная модуляция представляет собой процесс пре- образования исходной информации в последовательность импульсов, то полосовая модуляция 1 представляет собой изменение высокочастотной несущей волны 2 под действием указанных импульсов. В общем случае определение полосовой модуляции (одно из самых важных определений в радиотехнике и телекоммуникациях) возможно записать в следующем виде: Полосовая модуляция - это процесс изменения несущего сигнала C(t) по закону информационной составляющей (модулирующего сигнала) U (t) . Результатом полосовой модуляции является модулированный сигнал S(t) 12.1.1 Модуляция по синусоидальной несущей В большинстве случаев телекоммуникациях рассматривается модуля- ция по синусоидальному (косинусоидальному) сигналу - в данном случае в качестве переносчика информации используется гармоническое колеба- ние. В этом случае, аналогично низкочастотной импульсной модуляции, 1 Англ. - passband modulation. 2 Далее - просто несущей - carrier (англ.). 114 возможно рассматривать изменение трех возможных параметров данного сигнала по закону информационной составляющей - амплитуды, частоты и фазы: S(t) = A(t)cos((ω 0 + ω(t))t + φ(t)). (12.1) В данном выражении встречаются новые обозначения - круговая частота ω , равная частоте сигнала, умноженной на 2π: ω(t) = 2πf(t) и централь- ная частота - ω 0 = 2πf 0 , определяющая центральную частоту сигнала после проведения операции модуляции. При рассмотренни данного выражения тип модуляции с изменением амплитуды синусоиды A(t) называется амплитудной модуляцией - АМ 3 ; изменением частоты ω(t) - ЧМ 4 ; изменением фазы φ(t) - ФМ 5 12.2 Визуальные форматы представления модулированного сигнала 12.2.1 Сигнальное созвездие При использовании АМ, ФМ и совмещенных (АФМ) методов модуля- ции в телекоммуникациях широко используется концепция сигнального созвездия , позволяющего более наглядно отображать состояния сигнала и общую помехоустойчивость системы. Суть данного понятия заключает- ся в следующем: для АФМ при модулирующем сигнале U(t) результирующее колеба- ние S(t) возможно записать в следующем виде: S(U (t)) = A(U (t))cos(2πf 0 t + φ(U (t))). (12.2) Поставим в соответствие реальному синусоидальному сигналу некоторую абстракцию - так называемый комплексный сигнал следующего вида: S(U (t)) = A(U (t))cos(2πf 0 t + φ(U (t)) + i · A(U (t))sin(2πf 0 t + φ(U (t))), (12.3) где i - мнимая единица. Как известно, у комплексных чисел существует три формы записи: алгебраическая (z = a + b · i), тригонометрическая (z = cos φ + i · sin φ) 3 Англ. - также AM - amplitude modulation. 4 Англ. - FM - frequency modulation. 5 Англ. - PM - phase modulation. 115 и показательная (экспоненциальная) - (z = r · e iφ ). Далее, как опять же известно из высшей математики, эспоненциальная форма записи может быть отражена на декартову плоскость (или, если быть более точным, на комплексную плоскость) как радиус-вектор 6 . Данный радиус-вектор со- ставляет угол 7 φ по отношению к оси абсцисс (реальной оси комплексной плоскости) и имеет длину (модуль) r. Данный формат представления так- же называется векторным (геометрическим) представлением комплексно- го числа. Рис. 12.1: Геометрическое представление комплексного числа. В свою очередь, в показательной форме комплексный сигнал S(U(t)) может быть записан следующим образом: |