Цифр.обработка сигналов_Лабораторный_практикум. Сигналов
 Скачать 7.16 Mb.
|
|
часть 1. СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ОДНОМЕРНЫХ ДАННЫХ Проектирование цифровых фильтров включает пять основных этапов. 1. Решение задачи аппроксимации с целью определения коэффициентов цифрового фильтра, при которых фильтр удовлетворяет требованиям к вре- менным либо частотным характеристикам. 2. Выбор структуры (формы реализации) цифрового фильтра. 3. Задание разрядностей коэффициентов фильтра, входного и выходного сигналов и арифметических устройств. 4. Проверка с помощью математического либо имитационного модели- рования соответствия характеристик разработанного ЦФ заданным. 5. Аппаратная либо программная реализация цифрового фильтра. Подобно расчету аналоговых фильтров, расчет цифровых фильтров включает в себя процесс нахождения подходящей передаточной функции, которая должным образом удовлетворяет предъявленным требованиям. Расчет цифровых ЦФ состоит из следующих двух этапов. 1. Получение подходящей передаточной функции аналогового фильтра- прототипа Ha(p). 2. Создание процедуры перехода, которая преобразует функцию Ha(p) в соответствующую передаточную функцию H(z). Назовем основные методы преобразования аналогового фильтра в циф- ровой: • инвариантного преобразования импульсной характеристики; • отображения дифференциалов; • билинейного преобразования; • Z-форм. Представим краткое описание некоторых из этих методов. 18 Метод билинейного Z- преобразования Билинейное преобразование представляет собой конформное отображе- ние точек p-плоскости в точки на z-плоскости и использует замены вида: 1 z 1 z T 2 p + − ⋅ ⇒ (1) Использование подстановки (1) обеспечивает однозначное преобразова- ние передаточной функции H(p) аналогового фильтра-прототипа в переда- точную функцию H(z) цифрового фильтра: 1 z 1 z T 2 p ) p ( H ) z ( H + − ⋅ = = Рассмотрим преобразование (1). Каждой точке комплексной p-плоскости (p = σ + jω) ставится в соответ- ствие определенная точка z-плоскости (z = exp( σ + jω)T). Мнимая ось p-плоскости (p = j ω для -∞ < ω < ∞) отображается в единич- ную окружность в z-плоскости (z = exp(j ω T)). Левая половина p-плоскости отображается в часть z-плоскости внутри единичного круга ( |z| < 1). Очень важными являются два обстоятельства: Во-первых, поскольку все полюсы устойчивого аналогового фильтра расположены в левой половине p-плоскости, то при преобразовании аналого- вого фильтра к цифровому получится также устойчивый фильтр. Во-вторых, так как мнимая ось p-плоскости отображается на единичную окружность z-плоскости, то все максимумы и минимумы АЧХ |H(j ω )|анало- гового фильтра сохранятся и в АЧХ |H(e j ω T )| цифрового фильтра. Сохраняет- ся также и неравномерность АЧХ для соответствующих диапазонов частот. Таким образом, избирательные аналоговые фильтры преобразуются в соответствующие цифровые фильтры. Так, соотношение между «аналоговыми» частотами Ω и «цифровыми» частотами ω, которое можно получить из (1), является нелинейным: ( ) , w tg T 2 2 T tg T 2 ⋅ π ⋅ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ω ⋅ = Ω где d ω ω w = – нормированная цифровая частота. 19 Таким образом, имеет место деформация шкалы частот при переходе от аналогового фильтра к цифровому. Деформация шкалы частот для частотно-избирательных фильтров (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ), аппроксимируемая АЧХ которых имеет вид кусочно- постоянной функции, не приводит к нарушению избирательных свойств фильтра при билинейном преобразовании. Деформацию шкалы частот можно скомпенсировать с помощью уточнения значений отдельных частот в анало- говом фильтре. Метод Z- форм По определению Z-преобразования - T p e z ⋅ = , и левая полуплоскость p- плоскости отображается внутрь единичного круга z-плоскости (|z| = 1), а пра- вая полуплоскость – вне ее, при этом окружность соответствует мнимой оси j ω p-плоскости. Преобразование T p e z ⋅ = имеет нелинейный характер. Для ап- проксимации такого преобразования с целью получения линеаризованных соотношений между операторами z и p были получены приближенные ана- литические соотношения, называемые Z-формами. Суть метода получения Z-форм заключается в следующем. Логарифми- руя соотношение T p e z ⋅ = , имеем z ln T p 1 = − (2) Представляя функцию ln z в виде ряда, получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⋅ + − + + + ⋅ − + + ⋅ − + + − ⋅ = + ⋅ + ⋅ 1 z 1 n 2 1 z 1 z 5 1 z 1 z 3 1 z 1 z 1 z 2 z ln 1 n 2 1 n 2 5 5 3 3 (3) С учетом (3) соотношение (2) принимает вид ( ) , u 945 44 u 45 4 u 3 1 u 1 2 T u 1 n 2 1 u 5 1 u 3 1 u 1 2 T p 5 3 1 n 2 5 3 1 ⎥ ⎦ ⎤ + ⋅ − ⋅ − ⎢⎣ ⎡ ⋅ − ⋅ = = + ⋅ + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ − (4) где ( ) ( ) 1 z 1 z u + − = . Учитывая, что ряд (4) быстро сходится, ограничимся его главной частью в виде 20 1 z 1 z 2 T u 1 2 T p 1 − + ⋅ = ⋅ = − (5) Выражение (5) и есть Z-форма, соответствующая оператору p -1 Возводя обе части выражения (4) в соответствующую степень, мы мо- жем получить Z-форму оператора p -k более высокого порядка: ( ) ( ) k k k 1 z z N p − = − , (6) где N k (z) – полином от z . Дальнейшая методика преобразования состоит в следующем. Переда- точная функция известного аналогового фильтра записывается по отрица- тельным степеням p -1 вместо p. Затем каждая степень p -1 заменяется соответ- ствующим рациональным z - выражением из таблицы Z-форм. Оператор p- плоскости Соответствующая «Z-форма» p -1 1 z 1 z 2 T − + ⋅ p -2 ( ) 2 2 2 1 z 1 z 10 z 12 T − + ⋅ + ⋅ p -3 ( ) ( ) 3 3 1 z 1 z z 2 T − + ⋅ ⋅ p -4 ( ) ( ) 120 T 1 z 1 z 4 z z 6 T 4 4 2 4 − − + ⋅ + ⋅ ⋅ p -5 ( ) ( ) 5 2 3 5 1 z 1 z 11 z 11 z z 24 T − + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ p -6 ( ) ( ) 30240 T 1 z 1 z 26 z 66 z 26 z z 120 T 6 6 2 3 4 6 + − + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ Поскольку значительная часть проектируемых цифровых БИХ-фильтров требуют понимания методов расчета фильтров в непрерывном времени, при- ведем расчетные формулы для нескольких стандартных типов аналоговых фильтров: Баттерворта, Бесселя и Чебышева типа 1. 21 Фильтры Баттерворта Квадрат амплитудной характеристики нормированного (т.е. имеющую частоту среза 1 рад / с ) фильтра Баттерворта равен: n 2 2 1 1 ) j ( H ω + = ω , (7) где n - порядок фильтра. Аналитически продолжая функцию (7) на всю p - плоскость, получим: ( ) n 2 2 p 1 1 ) p ( H − + = (8) Все полюсы (8) находятся на единичной окружности на одинаковом рас- стоянии друг от друга в p - плоскости. Выразим передаточную функцию H(p) через полюсы, располагающиеся в левой полуплоскости p : ( ) ∏ = − = n 1 k k 0 p p k ) p ( H , где ( ) n .., , 2 , 1 k , n 2 1 k 2 2 1 j exp p k = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − ⋅ + ⋅ π = , k 0 – константа нормирования. Сформулируем основные свойства нормированного фильтра Баттервор- та нижних частот. 1. При любом n справедливы такие соотношения: |H(j0)| 2 = 1, |H(j1)| 2 = 0,5 и |H(j ∞)| 2 = 0. Отсюда вытекает, что частота среза по уровню 3 дБ равна 1 рад / с 2. Функция модуля передачи фильтров Баттерворта монотонно убывает при ω ≥ 0. Следовательно, |H(j ω )| имеет максимальное значение при ω = 0. 3. Фильтры Баттерворта характеризуются тем, что имеют максимально плоскую амплитудно-частотную характеристику в начале координат в p - плоскости. 4. Крутизна АЧХ фильтра Баттерворта n-го порядка на высоких частотах составляет 20 ⋅n дБ/декаду. 22 Фильтры Чебышева Квадрат модуля функции передачи фильтра Чебышева можно записать в виде ) ( T 1 1 ) j ( H 2 n 2 2 ω ε + = ω , где ε представляет собой параметр, который устанавливает величину нерав- номерности передачи, а T n ( ω ) – полином Чебышева, определяемый выраже- нием: ( ) ( ) ω ⋅ = ω −1 cos n cos T Нормированный фильтр нижних частот Чебышева n-го порядка обладает следующими основными свойствами. 1. Для | ω | ≤ 1 значения функции |H(j ω )| 2 колеблются между двумя преде- лами 2 1 1 ε + и 1. В общей сложности на интервале 0 ≤ ω ≤ 1 имеется n крити- ческих точек, в которых функция |H(j ω )| 2 достигает максимального значе- ния, равного 1, или минимального значения, равного 2 1 1 ε + 2. При ω ≥ 1функция |H(j ω )| 2 монотонно убывает и стремится к нулю. Крутизна спада на высоких частотах составляет 20 ⋅n дБ/декаду. 3. Функция |H(j ω )| 2 удовлетворяет следующим условиям: |H(j1)| 2 = 2 1 1 ε + , и |H(j0)| 2 = 1, если n нечетно, или |H(j0)| 2 = 2 1 1 ε + , если n четно. Функция фильтра Чебышева имеет только полюсы – числитель ее пред- ставляет собой постоянную величину. Полюсы фильтра Чебышева распола- гаются на эллипсе. Большая ось этого эллипса проходит по мнимой оси p - плоскости, тогда как малая ось – вдоль вещественной оси. Передаточную функцию фильтра Чебышева определяют следующим об- разом: ( ) ∏ = − = n 1 k k 0 p p k ) p ( H , 23 где k 0 – константа нормирования, p k – полюсы : n ..., , 2 , 1 k , j p k k = ξ + σ = . Здесь π ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ε ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = σ n 2 1 k 2 sin 1 arcsh n 1 sh k , π ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ε ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ξ n 2 1 k 2 cos 1 arcsh n 1 ch k Главным отличием фильтров Чебышева является то, что они обладают свойством оптимальности. Другими словами, если какой-либо фильтр n-го порядка, содержащий только полюсы, имеет в полосе пропускания лучшие характеристики по сравнению с фильтром Чебышева порядка n, то в полосе непропускания характеристики этого фильтра наверняка будут хуже. Фильтры Бесселя Фильтры Бесселя характеризуются максимально гладкой характеристи- кой группового времени задержки в начале координат в p-плоскости. Пере- ходная характеристика фильтров Бесселя имеет весьма малый выброс (обыч- но менее 1 %), причем и импульсная и амплитудно-частотная характеристики стремятся к гауссовской кривой по мере увеличения порядка фильтра. Передаточная функция фильтров Бесселя записывается в виде: ) p ( B d ) p ( H n 0 = , где B n (p) – функция Бесселя n-го порядка, а ! n 2 )! n 2 ( d n 0 ⋅ ⋅ = , d 0 – константа нормирования. Функцию Бесселя можно представить в виде: ( ) ∑ = ⋅ = n 0 k k k n p d p B , где ( ) ( ) ! k n ! k 2 ! k n 2 d k n k − ⋅ − ⋅ = − , k=0, 1, ..., n. Фильтры Бесселя имеют только полюсы, которые расположены на ок- ружности с центром на действительной положительной полуоси p-плоскости. 24 В отличие от фильтров Баттерворта частота среза фильтров Бесселя зависит от порядка фильтра n. 2. СИНТЕЗ КИХ-ФИЛЬТРОВ МЕТОДОМ ВРЕМЕННЫХ ОКОН Поскольку частотная характеристика H(e j ω ) любого ЦФ представляет со- бой периодическую функцию частоты ω , она может быть разложена в ряд Фурье: ∑ ∞ −∞ = ω − ω ⋅ = n n j j e ) n ( h ) e ( H (9) Одним из возможных способов получения цифровых КИХ-фильтров яв- ляется усечение бесконечного ряда (9) до конечного числа членов. Однако из хорошо известного явления Гиббса следует, что усечение ря- да (9) вызывает выбросы и колебания в требуемой частотной характеристике до и после любой точки разрыва. Величина выброса составляет около 9% амплитуды в точке разрыва. Метод взвешивания используется для получения конечных весовых по- следовательностей W(n), называемых окнами, которые модифицируют коэф- фициенты Фурье в уравнении (9)для получения требуемой импульсной ха- рактеристики h 0 (n) конечной длительности. При этом h 0 (n) = h(n) ⋅ W(n), где W(n) – последовательность конечной длительности, т.е. W(n) = 0 для n < 0 и n > N - 1, а h(n) – коэффициенты ряда Фурье, представляющие собой импульсную ха- рактеристику ЦФ ( ) ( ) ω ⋅ π = ⋅ ω π ω ∫ d e e H 1 n h n j 0 j . Поскольку умножение двух последовательностей во временной области эквивалентно свертке их спектров в частотной области, метод взвешивания обеспечивает значительное сглаживание выбросов исходной частотной ха- рактеристики ЦФ. В завершение приведем некоторые часто используемые на практике функции временных окон. 25 Окно Дирихле ( прямоугольное окно ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ − > < − ≤ ≤ = 1 N n , 0 n , 0 , 1 N n 0 , 1 n W Окно Бартлетта ( треугольное окно ) ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − > < − ≤ ≤ − < ≤ = − − ⋅ − − ⋅ 1 N n , 0 n , 0 , 1 N n , 2 , n 0 , n W 2 1 N 1 N n 2 2 1 N 1 N n 2 где N - 1 – четное число. Окно Ханна ( ) ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ − > < − ≤ ≤ − ⋅ = − ⋅ π 1 N n , 0 n , 0 , 1 N n 0 , cos 1 n W 1 N n 2 2 1 Окно Хэмминга ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ − > < − ≤ ≤ ⋅ − = − ⋅ π 1 N n , 0 n , 0 , 1 N n 0 , cos 46 , 0 54 , 0 n W 1 N n 2 Окно Блэкмана ( ) ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ − > < − ≤ ≤ ⋅ + ⋅ − = − ⋅ π − ⋅ π 1 N n , 0 n , 0 , 1 N n 0 , cos 08 , 0 cos 5 0 42 , 0 n W 1 N n 4 1 N n 2 Окно Кайзера ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − > < − ≤ ≤ ω ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − ⋅ ω ⋅ = − − − , 1 N n , 0 n , 0 , 1 N n 0 , I n I n W 2 1 N a 0 2 2 1 N 2 2 1 N a 0 где ( ) ( ) ∑ ∞ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = 1 k 2 k 0 ! k 2 x 1 x I |