Цифр.обработка сигналов_Лабораторный_практикум. Сигналов
 Скачать 7.16 Mb.
|
|
– модифицированная функция Бесселя нулевого по- рядка первого рода, а ω a – параметр формы окна. Наиболее типичные значе- ния 9 4 2 1 N a ÷ = − ⋅ ω 26 3. ЧАСТОТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Выше мы рассматривали только фильтры нижних частот. При расчете цифровых фильтров верхних частот, полосовых и режекторных используют- ся два подхода, представленных на рисунках 1 и 2. Частотные преобразования фильтров нижних частот Метод 1 Расчет аналогового фильтра нижних частот ( Ω = 1) Преобразование полосы частот (анал. - анал.) Дискретизация фильтра ЦФ с заданными характеристиками Метод 2 Расчет аналогового фильтра нижних частот ( Ω = 1) Дискретизация фильтра (ФНЧ с ω c ) Преобразование полосы частот (цифр. - цифр. ) ЦФ с заданными характеристиками Рассмотрим метод 2. Ниже приведены формулы для преобразований ФНЧ →ФНЧ 1 (с другой полосой), ФНЧ →ФВЧ, ФНЧ→ПФ, ФНЧ→РФ. 1. ФНЧ → ФНЧ 1 1 1 1 z 1 z z − − − ⋅ α − α − → , ω c - частота среза ФНЧ ω u - частота среза ФНЧ 1 [ ] [ ] ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω + ω ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω − ω = α T 2 sin T 2 sin u c u c 2. ФНЧ → ФВЧ 1 1 1 z 1 z z − − − ⋅ α + α + − → , ω c - частота среза ФНЧ ω u - частота среза ФВЧ 27 [ ] [ ] ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω + ω ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω − ω − = α T 2 cos T 2 cos u c u c 3. ФНЧ → ПФ 1 z 1 k k 2 z 1 k 1 k 1 k 1 k z 1 k k 2 z z 1 2 1 2 1 + + α − + − + − + + α − − → − − − − − , ω u , ω l - верхняя и нижняя часто- ты среза ПФ со- ответственно ( ) ( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ω − ω ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ω + ω = α T 2 cos T 2 cos l u l u , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ω ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω − ω = 2 T tg T 2 ctg k c l u . 4. ФНЧ →РФ 1 z k 1 2 z k 1 k 1 k 1 k 1 z k 1 2 z z 1 2 1 2 1 + + α − + − + − + + α − − → − − − − − , ω u , ω l - верхняя и нижняя часто- ты среза РФ со- ответственно ( ) ( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ω + ω ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ω − ω = α T 2 cos T 2 cos l u l u , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ω ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω − ω = 2 T tg T 2 tg k c l u . 28 4. ОШИБКИ, ВЫЗЫВАЕМЫЕ ОКРУГЛЕНИЕМ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФИЛЬТРА При синтезе цифровых фильтров значения коэффициентов (параметров фильтра), получившиеся в результате расчета, приходится округлять с задан- ной степенью точности. В результате этого фактические параметры ЦФ не- сколько отличаются от расчетных. При округлении значений коэффициентов может произойти значительное рассовмещение нулей относительно полюсов либо их полное совмещение. При рассовмещении даже на небольшую вели- чину, вследствие того, что нули и полюса находятся близко относительно единичной окружности в плоскости Z, произойдет резкое изменение характе- ристик фильтра. Поэтому, разработка любого ЦФ обязательно должна сопро- вождаться исследованием влияния неточности задания коэффициентов ЦФ, что особенно важно для рекурсивных фильтров и фильтров высокого поряд- ка. Описание программных модулей Для запуска программного модуля выполните следующие действия: − Запустите среду MathCAD 5.0 дважды щелкнув «мышью» на соответ- ствующую пиктограмму в окне Приложения. − Войдя в среду MathCAD выберите пункт Open Document из меню File. − В появившемся диалоговом окне выберите необходимый модуль и на- жмите <OK>. По окончании работы с модулем выберите пункт Close Document из ме- ню File. Программные модули для синтеза режекторного контура : Программный модуль res_1.mcd В данном программном модуле реализуется сравнение различных мето- дов синтеза цифровых фильтров. Задавая центральную частоту контура, его добротность и частоту дискретизации можно наблюдать на графиках АЧХ и ФЧХ реализацию нескольких методов аппроксимации аналоговых цепей. В программном модуле обозначены: HB, HI, HO, HZ – передаточные функции ЦФ; AB, AI, AO, AZ – амплитудно-частотные характеристики ЦФ; βB, βI, βO, βZ – фазочастотные характеристики ЦФ. Рекомендуемые значения параметров: 29 Q:=(1 ÷ 5); F 0 :=(0.5 ÷ 3)·10 6 Гц; F:=(5 ÷ 10)·F 0. Программный модуль bilin.mcd Данный модуль осуществляет синтез режекторного контура методом би- линейного преобразования с коррекцией частоты и без нее. Таким образом возможно наблюдать качественный характер расстройки частоты при БЛП сравнивая ЧХ ЦФ. В программном модуле обозначены: HB и Н – передаточные функции ЦФ; AB и A– амплитудно-частотные характеристики ЦФ; βB и β – фазочастотные характеристики ЦФ. Рекомендуемые значения параметров: Q:=(1 ÷ 5); F 0 :=(0.5 ÷ 3)·10 6 Гц; F:=(5 ÷ 10)·F 0. Программные модули для синтеза ЦФ НЧ Программные модули batter.mcd, bessel.mcd, chebysh.mcd Данные модули реализуют нормированные цифровые фильтры Баттер- ворта, Бесселя и Чебышева нижних частот. Задавая порядок N аналогового фильтра-прототипа, получаем его ЧХ, а затем дискретизируя его методом би- линейного преобразования, сравниваем АЧХ и ФЧХ синтезированного ЦФ и аналогового фильтра-прототипа. Далее предлагается найти коэффициенты и построить структуру ЦФ. Для этого запишите системную функцию фильтра в развернутом виде по данному в модуле примеру. Все последующие действия производятся с ис- пользованием символьного процессора. Для этого выберите пункт Load Symbolic Processor из меню Symbolic. Выделив преобразуемое выражение си- ней рамкой произведите следующие действия выбирая соответствующие пункты из меню Symbolic: − «Symplify»- упрощение всего выражения; − «Expand Expression»- разложение выражения выделив числитель; − «Expand Expression» - разложение выражения выделив знаменатель. 30 Полученное выражение будет представлять собой дробно-рациональное выражение , ) z ( N ) z ( M ) z ( H = M(z) и N(z) - полиномы от z в положительных сте- пенях z. Приведите полученную системную функцию к виду, удобному для реа- лизации ЦФ. Для этого: − поделите числитель и знаменатель на z N , где N – максимальная сте- пень в выражении; − пронормируйте знаменатель таким образом, чтобы коэффициент при z 0 стал равным единице; − поделите число перед всем выражением на значение нормировки; − выделите все выражение синей рамкой и выполните пункт из меню Symbolic – «Evaluate»- «Floating Point Evaluation…» при точности представ- ления числа – 10 -6 ; − приведите числитель и знаменатель к удобному виду в порядке убы- вания степеней z -n Программные модули l_f_filt.mcd, u_f_filt.mcd, b_f_filt.mcd и r_f_filt.mcd В данных программных модулях выполняются частотные преобразова- ния ФНЧ в ФНЧ 1 , ФВЧ, ПФ и РФ, соответственно задавая коэффициенты, полученные ранее и частоты рассчитываемого фильтра, можно вычислить АЧХ исходного и преобразованного фильтров. Нормированные частоты перехода рекомендуется выбирать в пределах 0 ÷ π. Программные модули оценки ошибок при изменении коэффициентов Программный модуль o10.mcd Модуль реализует расчет и отображение ошибок в представлении рекур- сивных коэффициентов цифрового фильтра в процентном соотношении. За- давая коэффициенты фильтра и погрешность отображения коэффициентов (в %), в результате будем наблюдать изменения АЧХ вследствие погрешно- сти задания одного из коэффициентов и функцию ошибки. В этом же модуле коэффициенты фильтра квантуются на определенное число двоичных разря- дов после запятой. Порядок выполнения работы 1. Изучите блок «Описание программных модулей». 2. Произведите синтез режекторного фильтра различными методами: − инвариантного преобразования импульсной характеристики; 31 − отображения дифференциалов; − билинейного преобразования; − Z-форм. Задайте центральную частоту, добротность контура и частоту дискрети- зации. Сделайте выводы об отличии методов синтеза цифровых фильтров и области их применимости. 3. Для метода билинейного преобразования при синтезе режекторного фильтра произведите коррекцию частоты, объясните необходимость и физи- ческий смысл ее смещения. 4. Произведите синтез заданного ЦФ НЧ 3-го или 4-го порядка методом билинейного преобразования. Зарисуйте амплитудную и фазовую частотные характеристики и характеристику группового времени задержки. 5. Перейдите от H(p) кH(z), заменяя 1 z 1 z T 2 p + − ⋅ → и подставляя числен- ные значения T и корней знаменателя; выполните символьную обработку и рассчитайте коэффициенты a i и b j , нарисуйте структуру фильтра. 6. Выполните все частотные преобразования для заданного фильтра (см. разд.3) и зарисуйте полученные АЧХ исходного и преобразованного фильт- ров. 7. Произведите анализ влияния ошибок задания коэффициентов цифро- вого ФНЧ на АЧХ (изменяя один из коэффициентов b j ). Опишите характер изменения ЧХ. Сделайте вывод о влиянии изменения одного из коэффициен- тов на поведение фильтра. 8. Проквантуйте коэффициенты цифрового фильтра на такое число дво- ичных разрядов, чтобы максимальное отклонение АЧХ от исходной состав- ляло порядка 10 - 20%. Зарисуйте АЧХ и опишите характер ее изменения. Таблица заданий № варианта Название фильтра НЧ № порядка 1 Баттерворта 3 2 Баттерворта 4 3 Чебышева 3 4 Чебышева 4 5 Бесселя 3 6 Бесселя 4 32 Содержание отчета 1. Графики АЧХ и ФЧХ и групповой задержки цифровых фильтров. 2. Структурная схема ЦФ НЧ полученного в п. 5. 3. Графики, характеризующие влияние ошибок задания коэффициентов фильтра на АЧХ. 4. Выводы по работе. Список литературы 1. Гольденберг Л.М., Матюшкин В.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов.- М.: Радио и связь, 1990.- 256 с. 2. Мизин И.А., Матвеев А.А. Цифровые фильтры.- М.: Связь, 1979.- 240 с. 3. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сиг- налов.- М.: Мир, 1978.- 848 с. 4. Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры. Расчет и реализация.- М.: Мир, 1982. - 592 с. 33 РАБОТА № 3 ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА ДВУМЕРНЫХ СИГНАЛОВ Цель работы: оценка качества линейной и нелинейной (ранговой) фильтрации изображений, изучение основных алгоритмов обработки изо- бражений. 1. ВВЕДЕНИЕ Двумерный дискретный сигнал – это функция, определенная на сово- купности упорядоченных пар целых чисел: x={x(n 1 , n 2 ), 0 ≤ (n 1 , n 2 ) < ∞}. Для обработки изображений в настоящее время широко применяют дву- мерные фильтры, соответствующие пространственной структуре изображе- ния. Для линейных двумерных фильтров, физически реализуемых и инвари- антных во времени, выходной сигнал записывается в виде двумерной дис- кретной свертки [1] ∑ ∑ ∞ = ∞ = − − ⋅ = 0 i 0 i 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 ), i n , i n ( h ) i , i ( x ) n , n ( y (1) где h(n 1 , n 2 ) – импульсная характеристика фильтра. Функцию передачи двумерного линейного фильтра можно записать в виде: ∑ ∑ ∑ ∑ = = − − = = − − ⋅ ⋅ − ⋅ = 1 N 0 j 2 N 0 j j 2 j 1 j j 1 M 0 i 2 M 0 i i 2 i 1 i i 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 z z b 1 z z a ) 2 z , 1 z ( H , (j 1 , j 2 ) ≠(0,0) где значения 2 1 i i a и 2 1 j j b определяют параметры фильтрации. Введем понятие опорных областей фильтра (набор значений сигналов, используемых при вы- числениях) по входному и выходному сигналам соответственно: {(i 1 , i 2 ): 0 ≤ i 1 < M1, 0 ≤ i 2 < M2}, {(j 1 , j 2 ): 0 ≤ j 1 < N1, 0 ≤ j 2 , j 2 ) ≠ (0,0)}. При 2 1 j j b = 0 двумерным фильтром реализуются нерекурсивные алгорит- мы обработки данных, причем выражение для дискретной свертки входного сигнала и импульсной характеристики фильтра имеет вид 34 ∑ ∑ = = − − ⋅ = M1 0 i M2 0 i 2 2 1 1 i i 2 1 1 2 2 1 ) i n , i x(n a ) n , y(n Таким образом, отсчеты выходного сигнала двумерного нерекурсивного фильтра представляют собой взвешенную сумму отсчетов входного сигнала в опорной области. При реализации такого фильтра для формирования каждого из входных отсчетов необходимо выполнить (М1+1)(М2+1) умножений и (М1 ⋅М2+М1+М2) сложений над задержанными отсчетами входного сигнала. Считывание видеосигнала в растровых системах производится «элемент за элементом» и «строка за строкой», и в этом случае при обработке видеодан- ных в реальном времени для реализации операторов z 1 -1 и z 2 -1 используются линии задержки. Приведем примеры наиболее часто используемых при обработке инфор- мации в телевизионных измерительных системах нерекурсивных операторов, размером 3х3 элемента разложения. На рис. 1 коэффициенты двумерной фильтрации 2 1 i i a приведены в виде масок, описывающих импульсные харак- теристики соответствующих фильтров [2]. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − 1 1 1 1 8 1 1 1 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 1 2 1 2 4 2 1 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 1 1 1 1 2 1 1 1 1 a) б) в) г) д) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − 1 2 1 1 2 1 1 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − 1 1 1 2 2 2 1 1 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − 2 1 1 1 2 1 1 1 2 е) ж) з) и) к) Рис. 1. – Импульсные характеристики линейных двумерных фильтров Фильтр «скользящее среднее» (двумерный фильтр нижних частот): Фильтр, суммирующий отсчеты входного сигнала с равным весом, реа- лизует алгоритм вычисления «скользящего среднего» (рис. 1а). При исполь- зовании такого фильтра для обработки видеоинформации можно увеличить отношение сигнал/шум в выходном сигнале [2]. Выходной сигнал фильтра типа «скользящее среднее» вычисляется по выражению (1) при коэффициен- тах 1 a 2 1 i i = и имеет вид y 1 (n 1 , n 2 )=x(n 1 , n 2 )+x(n 1 -1, n 2 )+x(n 1 -2, n 2 )+x(n 1 , n 2 -1)+x(n 1 -1, n 2 -1)+ x(n 1 -2, n 2 -1)+x(n 1 , n 2 -2)+x(n 1 -1, n 2 -2)+x(n 1 -2, n 2 -2). 35 Низкочастотные двумерные фильтры типа фильтра на рис.1а оставляют низкочастотные компоненты нетронутыми и ослабляют высокочастотные компоненты. Такие фильтры используются для понижения визуального шу- ма, содержащегося в изображении, а также для удаления высокочастотных компонентов из изображения с тем, чтобы можно было тщательно исследо- вать содержание низкочастотных компонент. Рассмотрим часть изображения, не содержащую высокочастотных компонент. Это означает, что все значения элементов изображения постоянные или медленно меняющиеся. По мере то- го, как низкочастотная маска проходит через область изображения, новое значение преобразуемых элементов изображения вычисляются по выраже- нию (1). Если все значения элементов изображения в области примыкания одинаковы (постоянны), новые значения элементов изображения будут таки- ми же как и исходные.. Таким образом, при обработке сохраняются низко- частотные компоненты, любые быстрые изменения интенсивности усредня- ются с оставшимися элементами изображения в области примыкания и тем самым понижается уровень высокочастотных компонент. Визуальным ре- зультатом низкочастотной фильтрации является слабая нерезкость изображе- ния [3]. |