Теория вероятности. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеется материал пяти цветов Решите эту же задачу, если одна из полос должна быть красной
 Скачать 239.61 Kb.
|
|
Вариант№1 1. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеется материал пяти цветов? Решите эту же задачу, если одна из полос должна быть красной. 2. Из колоды игральных карт в 54 листа одновременно извлекают 6 карт. Найти вероятность того, что из этих шести карт: а) пять карт окажутся одной масти; б) будет пиковая дама. 3. Два студента договорились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами. Пришедший первым ждет второго не более 10 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если любой из них может прийти на место встречи в любой момент времени в течение указанного часа? 4. Агент страховой компании написал пяти клиентам письма. В каждый конверт он положил по одному письму, но адрес на конверте он написал случайным образом. Найти вероятность того, что хотя бы одно письмо попадет по назначению. 5. Монету бросают до тех пор пока не появятся подряд два герба или две решки. Найти вероятность того, что для этого понадобится не более трех бросаний. 6. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает в среднем 12 дождливых дней. Найти вероятность того, что из 8 случайно взятых в сентябре дней не менее трех окажутся дождливыми. 7. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что на первой кости выпало 4 очка, если известно, что на второй кости выпало больше очков, чем на первой? 8. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, два шара вынимают и перекладывают во вторую урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Затем из второй урны извлекается наудачу один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется белым? 9. Прибор состоит из двух узлов. Надежность первого узла 0,9, а второго 0,8. Прибор испытывался в течение некоторого времени, после чего обнаружилось, что он вышел из строя. Найти вероятность того, что прибор вышел из строя из-за поломки первого узла, а второй узел исправен. 10. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,001. Для поражения цели требуется не менее двух попаданий. Найти вероятность поражения цели, если сделано 5000 выстрелов. 11. Производится независимых 5 выстрелов по мишени. Вероятность поражения мишени не меняется от выстрела к выстрелу и равна 0,7. Рассматривается случайная величина Х __ число попаданий в мишень в серии из пяти выстрелов. Написать ряд распределений для СВ Х, найти ее функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и вероятность того, что мишень будет поражена не менее двух раз. Вариант№2 1. У одного человека 7 книг по математике, а другого их 9. Сколькими способами они могут обменять одну книгу одного на одну книгу другого? Сколькими способами две книги одного могут быть обменяны на две книги другого? 2. Из колоды игральных карт в 54 листа одновременно извлекают 3 карты. Найти вероятность того, что: а) среди них окажется ровно один туз; б) это будут тройка, семерка и туз. 3. Два студента Петров и Сидоров договорились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Петров ждет Сидорова не более 10 минут, после чего уходит. Сидоров ждет Петрова не более 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если любой из них может прийти в любое время в течение указанного часа? 4. В урне имеются 6 билетов с номерами от 1 до 6. Билеты вынимаются по одному без возвращения до опустошения урны. Чему равна вероятность того, что хотя бы один раз номер вынутого билета совпадет с номером извлечения. 5. Уходя из квартиры. пятеро гостей надевают калоши в темноте. Каждый из них может отличить правую калошу от левой, но не может отличить свою калошу от чужой. Найти вероятность того, что каждый гость наденет калоши, относящиеся к одной паре (может и не свои). 6. Какова вероятность получить не менее трех единиц при бросании шести игральных костей? 7. Брошены три игральные кости. Чему равна вероятность того, что на одной из них выпала единица, если известно, что на всех трех костях выпали разные числа? 8. Из урны, содержащей 5 белых и 5 черных шара, три шара вынимают и перекладывают во вторую урну, содержащую 1 белых и 6 черных шара. Затем из второй урны извлекается наудачу один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется белым? 9. Имеются пять урн следующего состава: в первой и второй урнах по 2 белых и 3 черных шара, в третьей и четвертой содержится по одному белому и 4 черных шара, в пятой урне 4 белых и 1 черный шар. Из наудачу выбранной урны извлекли белый шар. Какова вероятность, что это была пятая урна? 10. В среднем 1% студентов носит очки. Какова вероятность того, что среди 100 студентов, присутствующих на лекции более двух будут в очках? 11. Два стрелка стреляют по одной мишени, делая, независимо друг от друга, по два выстрела. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,7, а для второго 0.8. Случайная величина Х __ суммарное числа попаданий в мишень Написать ряд распределений для СВ Х, найти ее функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию, вероятность поражения мишени от одного до трех раз. Вариант№3 1. Из урны, в которой находятся жетоны с числами от одного до десяти, наудачу извлекают три жетона. Во скольких случаях сумма написанных на них чисел будет равна девяти? Во скольких случаях эта сумма будет не меньше девяти? 2. 2Из колоды игральных карт в 54 листа одновременно извлекают 6 карт. Найти вероятность того, что из этих шести карт: а) окажутся хотя бы две карты бубновой масти; б) окажется король пик. 3. На отрезок [0,1] наудачу брошены три точки. Найти вероятность того, что из отрезков, соответствующих расстояниям от точки 0 до точек попадания, можно составить треугольник. 4. Четыре человека решили сделать друг другу подарки, для чего каждый из них принес подарок. Все подарки упаковали в одинаковые коробки, тщательно перемешали и случайным образом распределили среди участников. Найти вероятность того, что хотя бы один подарок вернется к своему владельцу. 5. Уходя из квартиры трое гостей, имеющих одинаковые размеры обуви, надевают калоши в темноте. Ни один из них не может отличить правую калошу от левой и просто берут первые попавшиеся калоши. Найти вероятность того, что каждый гость наденет свои калоши. 6. Известно, что при бросании 10 игральных костей выпала, по крайней мере, одна единица. Какова вероятность того, что при этом выпали две и более единицы? 7. Что вероятнее: выиграть в шахматном турнире у равносильного противника не менее 3 партий из 4 или не менее 5 из 8? 8. Из урны, содержащей 5 белых и 10 черных шаров, наудачу извлекают один шар. Затем этот шар возвращают в урну и добавляют в нее еще пять шаров такого же цвета, что и извлеченный шар. Шары тщательно перемешивают и вновь из урны извлекают один шар. Какова вероятность, что этот шар окажется белым? 9. Четыре грани игральной кости А окрашены в красный и две в белый цвет. У кости В две грани красные и четыре белые. Один раз бросают монету. Если выпал герб, то все время бросают кость А, если выпала решка, то бросают кость В. Первые три испытания дали красные грани. Какова вероятность, что бросалась кость А? 10. Вероятность выпуска отдельного сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0,02. Сколько нужно купить сверл, чтобы вероятность обнаружить в покупке хотя бы одно бракованное сверло была не более 0,99? 11. С целью привлечения покупателей компания «Кока-кола» проводит рекламную акцию, в которой каждая десятая бутылка, выпущенная компанией, является призовой Случайная величина Х __ число призовых среди трех приобретенных покупателем бутылок. Написать ряд распределений для СВ Х, найти ее функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию, вероятность покупки не менее двух призовых бутылок. Вариант№4 1. Сколькими способами можно составить из различных 9 согласных и 7 гласных букв слова, в которые входят три согласные и две гласные буквы? Во скольких из этих слов никакие две гласные буквы не стоят рядом? 2. Колоду карт в 36 листов наудачу разделяют на две равные пачки. Чему равна вероятность того, что: а) в одной из пачек окажутся все четыре туза; б) в пачках окажется по равному числу красных карт? 3. Стержень длины 10см наудачу разламывают на две части, после чего большая из этих частей снова разламывается надвое в случайно выбранной точке. Найти вероятность того, что из полученных частей можно сложить треугольник. 4. 4 апельсина и 2 лимона случайным образом размещаются по четырем пакетам. Найти вероятность того, что ни один пакет не окажется пустым. 5. Только один из пяти ключей на связке подходит к данной двери. Найти вероятность того, что придется опробовать четыре ключа, чтобы открыть дверь. 6. Батарея дала 14 выстрелов по объекту. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,2. Найти наивероятнейшее число попаданий и вероятность этого числа попаданий. 7. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8, если известно, что сумма выпавших очков есть четное число. 8. Группа из 3 самолетов совершает налет на объект, который защищен четырьмя батареями зенитных ракет. Каждая батарея простреливает угловой сектор 60 , так, что из полного угла 360 вокруг объекта оказываются защищенными 240 . Самолет, проходящий через защищенный сектор, обстреливается и поражается с вероятностью 0,6, через незащищенный сектор самолет проходит беспрепятственно. Каждый самолет, подошедший к объекту, сбрасывает бомбу и поражает объект с вероятностью 0,7. Найти вероятность поражения объекта, несли все три самолета идут по одному направлению. 9. 96% изделия некоторого производства удовлетворяют стандарту. Предлагается упрощенная схема проверки испытаний, которая признает стандартное изделие стандартным с вероятностью 0,98 и с вероятностью 0,05 нестандартное изделие может быть признано стандартным. Какова вероятность того, что изделие, выдержавшее проверку, является стандартным? 10. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка разобьется, равна 0,001. Найти вероятность того, что при перевозке хотя бы одна бутылка будет разбита. 11. Среди купленных театральных билетов три билета в партер. Наудачу из семи билетов выбирают 4. Случайная величина Х __ число билетов в партер среди выбранных четырех. Написать ряд распределений для СВ Х, найти ее функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию, вероятность того, что билетов в партер будет больше половины. Вариант№5 1. Сколькими способами можно переставить буквы в слове ЮПИТЕР так, чтобы гласные шли в алфавитном порядке? Во скольких из этих слов все три гласные не стоят рядом? 2. В прошлые века была популярна так называемая «генуэзская лотерея». Из мешка, содержащего жетоны с числами от 1 до 90, в день выигрыша вынимали 5 жетонов. Участники лотереи покупали билеты, на которых стояли числа от 1 до 90. Можно было купить билеты, на которых стояли сразу 2 , 3, 4 или 5 чисел. Выигрывали те, у которых все числа на билете были среди вынутых.. Найти вероятность выигрыша для человека, купившего билет : а) с одним числом.; б) с двумя числами. 3. На окружности наудачу выбирают три точки: А, В, С. Какова вероятность того, что треугольник АВС будет остроугольным. 4. Десять рукописей разложены по 30 папкам (на одну рукопись три папки). Найти вероятность того, что в случайно отобранных 6 папках не содержится целиком ни одна рукопись. 5. Имеются три урны следующего состава: в первой урне 2 белых и 3 черных шара, во второй 2 белых и 2 черных шара, в третьей урне содержатся 3 белых и 1 черный шар. Из первой урны во вторую переложили один шар, а затем из второй урны в третью переложили еще один шар. С какой вероятностью состав шаров в урнах не изменится? 6. Считая вероятность рождения мальчика равной 0,5, найти вероятность того, что в семье с десятью детьми число мальчиков не меньше 4 и не больше 7. 7. Четыре шара размещают в четырех ячейках. Найти вероятность того, что один из ящиков будет содержать ровно три шара, если известно, что первые два шара оказались в разных ящиках. 8. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и аварийном. Нормальный режим работы наблюдается в 80% случаев, а аварийный в 20%. Вероятность выхода прибора из строя при работе в нормально режиме равно 0,1, а в аварийном 0,7. Найти полную вероятность выхода прибора из строя. 9. В среднем 5 мужчин из 100 и 25 женщин из 10000 страдают дальтонизмом. Наугад выбранное лицо является дальтоником. Какова вероятность того, что это мужчина? 10. Оценить вероятность того, что число выпадений единицы при 12000 бросаниях игральной кости заключено между 1900 и 2150. 11. В группе из 25 человек 4 отличника. Для участия в тестировании случайным образом выбирают 6 человек. Случайная величина Х __ число отличников среди выбранных шести студентов. Написать ряд распределений для СВ Х, найти ее функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию, вероятность того, что отличников будет больше половины. Вариант№6 1. Сколькими способами можно переставить буквы в слове ОГОРОД таким образом, чтобы три буквы О не стояли подряд? Решите ту же задачу, если две буквы О не должны стоять подряд. 2. На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Опыт состоит в выборе трех карточек и раскладывании их в ряд в порядке извлечения. Определить вероятность того, что: а) появится четное число; б) появится число, содержащее хотя бы одну из цифр 2 или 3. 3. На окружности наудачу выбирают три точки: А, В, С. Какова вероятность того, что треугольник АВС будет тупоугольным. 4. В урне имеются 8 билетов с номерами от 1 до 8. Билеты вынимаются по одному без возвращения до опустошения урны. Чему равна вероятность того, что номера первых четырех билетов будут идти в порядке возрастания. 5. Жюри состоит из трех судей. Первый и второй судья принимают правильное решение с вероятностью 0,7 и 0,8 соответственно, а третий судья для принятия решения бросает монету. Жюри принимает решение большинством голосов. Какова вероятность того, что такое жюри примет правильное решение? 6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Сколько необходимо произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий равнялось 20? 7. В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров. Наудачу извлекают два шара. Найти вероятность того, что будут извлечены шары разного цвета, если известно, что среди них нет синего шара. 8. Четыре грани игральной кости А окрашены в красный и две в белый цвет. У кости В три грани красные и три белые. Один раз бросают монету. Если выпал герб, то все время бросают кость А, если выпала решка, то бросают кость В. Какова вероятность получить красную грань при одном бросании? 9. Производительности станков А, В, С, производящих болты, относятся как 5:7:8. Брак в продукции станков составляет 5, 4 и 2 процента соответственно. Случайно выбранный болт оказался дефектным. Какова вероятность, что он был изготовлен на станке А? 10. Известно, что вероятность рождения мальчика составляет 0,515. Какова вероятность, что из 10000 новорожденных мальчиков будет не меньше, чем девочек? 11. В ящике лежат 7 лампочек, среди которых 3 неисправные, на вид неотличимые от исправных. Наудачу из этих семи лампочек выбирают четыре и вставляют в четыре патрона. Случайная величина Х __ число лампочек, которые будут работать. Написать ряд распределений для СВ Х, найти ее функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию, вероятность того, что работающих лампочек будет больше половины. Вариант№7 1. Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17? Сколькими способами это можно сделать, если два конкретные человека не могут быть выбраны вместе? 2. Имеется 8 букв: А, А, И, К, К, Р, Л . Какова вероятность того, что: а) из букв можно получить слово КАРАКУЛИ; б) из этих букв можно получить слово, в котором никакие две гласные не идут подряд? 3. Точка ) , ( b a выбирается наудачу в квадрате ], 1 , 0 [ a ] 1 , 0 [ b . Какова вероятность того, что уравнение 0 2 b ax x имеет действительные корни? 4. В гардеробе школьник собрал в кучу все курточки, а потом развесил их в случайном порядке. Какова вероятность, что хотя бы одна курточка попадет на свое место, если всего в гардеробе 10 крючков и на них висело 10 курточек? 5. В шкафу стоит девять новых однотипных приборов. Для временной эксплуатации выбирают случайным образом три прибора и возвращают их после работы обратно в шкаф. Какова вероятность того, что после троекратного выбора и эксплуатации в шкафу останется не более одного нового прибора? 6. Вероятность получения удачного результата при проведении сложного химического опыта равна 2/3. Найти наивероятнейшее число опытов, если их общее число равно 5. 7. Игральная кость бросается до тех пор, пока не выпадет единица. Известно, что для этого потребовалось четное число бросаний. Найти вероятность того, что единица выпадет впервые при втором бросании. 8. Имеются три ящика с мячами. В первом ящике 5 теннисных и 5 резиновых мячиков, во втором 10 теннисных и 5 резиновых, в третьем ящике только теннисные мячи. Дрессированная собачка подходит к одному из ящиков и приносит своему хозяину мячик. Найти вероятность того, что она принесла ему теннисный мяч. 9. Объект может находиться с вероятностью 0,3 в состоянии 1 H и с вероятностью 0,7 в состоянии 2 H . Состояние объекта было измерено с помощью двух приборов. Первый прибор, который дает правильный ответ в 90% случаев, сообщил, что объект находится в состоянии 1 H , а второй прибор, надежность которого 30%, показал, что объект находится в состоянии 2 H . Найти вероятность того, что объект действительно находится в состоянии 1 H 10. Рыбак забросил спиннинг 80 раз. Какова вероятность того, что он поймал хотя бы одну рыбу, если в среднем на 200 забрасываний приходится лишь одна пойманная рыбка. 11. В урне лежат 5 белых 10 черных шаров. Наудачу из урны выбирают четыре шара Случайная величина Х __ число белых шаров среди четырех извлеченных.. Написать ряд распределений для СВ Х, найти ее функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию, вероятность того, что белых шаров будет от одного до трех. Вариант№8 1. Сколькими способами можно переставить буквы в слове ОПОССУМ? Сколькими способами это можно сделать таким образом, чтобы буква П шла непосредственно после буквы О? 2. Окрашенный куб распилили на 125 одинаковых кубиков, которые тщательным образом перемешали. Найти вероятность того. что среди пяти наудачу извлеченных из этих 125 кубиков: а) по крайней мере два кубика будут иметь три окрашенных грани; в) среди кубиков окажутся кубики всех видов окраски. 3. Точку А выбирают в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. Найти вероятность того, что расстояние от точки А до ближайшей стороны прямоугольника не превосходит 0,25. 4. В урне имеется пять шаров с номерами от 1 до 5. Шары вынимают по одному до полного опустошения урны. Найти вероятность того, что по крайней мере три раза номер вынутого шара совпадет с номером испытания. 5. В урне лежат 5 белых, 5 черных и 10 красных шаров. Одновременно из урны вынимают три шара наугад. Найти вероятность того, что по крайней мере два из этих трех шаров будут одноцветными. 6. Студент носит с собой в кармане два коробка спичек, в каждом из которых первоначально было по 5 спичек. Когда ему нужна спичка, он выбирает наудачу один из коробков. Найти вероятность того, что когда студент первый раз вынет пустой коробок, в другом будет три спички. 7. Игральная кость бросается до тех пор, пока не выпадет единица. Известно, что для этого потребовалось нечетное число бросаний. Найти вероятность того, что единица выпадет впервые при пятом бросании. 8. Сообщение может передаваться по любому из пяти каналов, находящихся в различных состояниях. Из этих пяти каналов два находятся в отличном состоянии, один в хорошем , один в посредственном и один в плохом. Вероятности правильной передачи сообщения для различных состояний каналов равны соответственно 1, 0,8, 0,6, 0,2. Для повышения достоверности передачи сообщения, оно передается по двум различным каналам, которые выбираются наугад. Найти вероятность того, что хотя бы по одному каналу оно будет передано правильно. 9. Пылесосы определенной марки, продаваемые в магазине, выпускаются на двух заводах. Объем поставок пылесосов, изготавливаемых на втором заводе, в три раза больше, чем пылесосов первого завода. Доля брака у первого завода составляет 2%, а у второго завода |