Теория вероятности. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеется материал пяти цветов Решите эту же задачу, если одна из полос должна быть красной
 Скачать 239.61 Kb.
|
|
среди них встретились хотя бы две карты одной масти? 3. На некоторой окружности случайным образом выбирается хорда. Найти вероятность того, что эта хорда длиннее стороны правильного треугольника, вписанного в эту окружность, если одним концом хорды является фиксированная точка на окружности, а другой конец выбирается случайным образом. 4. Шесть рукописей разложены по 18 папкам (на одну рукопись приходится три папки). Найти вероятность того, что в случайно отобранных шести папках не содержится ни одна рукопись. 5. В урне находятся 2 белых и 3 черных шара. Два игрока поочередно берут по одному шару, каждый раз вкладывая его обратно и перемешивая шары. Выигравшим считается тот игрок, который первым вынет белый шар. Найти вероятность того, что выиграет тот игрок, который вынимал шар первым. 6. Техническое устройство состоит из 10 узлов. Каждый узел может выйти из строя во время эксплуатации с вероятностью 0,4. Отдельные узлы отказывают независимо друг от друга. При отказе более трех узлов устройство перестает работать. Найти вероятность того, что устройство будет работать. 7. Из ящика, в котором лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров, вынули три шара. Найти вероятность того, что вынули шары разных цветов, если известно, что среди них нет шаров синего цвета. 8. Из полного набора домино вынимают две кости. Какова вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой? 9. При производстве микросхем в среднем 15% микросхем имеют тот или иной дефект. Микросхемы проверяют контролеры ОТК. С вероятностью 0,95 при контроле дефект обнаруживается, а с вероятностью 0,05 исправная микросхема признается дефектной. Наудачу выбранная микросхема была признана дефектной, Найти вероятность того, что в действительности эта микросхема исправна. 10. Дворцовый чеканщик кладет в каждый ящик вместимостью 100 монет одну фальшивую. Король подозревает чеканщика и проверяет монеты, взятые по одной из каждого ящика. Какова вероятность, что чеканщик не будут разоблачен? 11. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 64 маленьких кубика. Из этих 64 кубиков случайным образом выбирают 4. Случайная величина Х __ число неокрашенных ни с одной стороны кубиков среди выбранных четырех. Составить ряд распределения для СВ Х, найти ее функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию. Какова вероятность, что число неокрашенных кубиков будет больше математического ожидания СВ Х?. Вариант№17 1. Сколько имеется шестизначных чисел, у которых три цифры четные, а три нечетные? Решите ту же задачу, если допускаются и шестизначные числа, начинающиеся с нуля. 2. В гостинице на 6 свободных номеров претендуют 10 человек: 6 мужчин и 4 женщины. Найти вероятности следующих событий: а) номера получат 4 мужчины и 2 женщины; б) все шесть номеров займут мужчины. 3. На бесконечный паркетный пол в форме правильных треугольников со стороной 24см падает монета радиуса 3 r см. Найти вероятность того, что монета целиком попадет во внутрь одного треугольника. 4. Семь человек решили сделать друг другу подарки, для чего каждый из них принес подарок. Все подарки упаковали в одинаковые коробки, тщательно перемешали и случайным образом распределили среди участников. Найти вероятность того, что более половины подарков вернутся к своим владельцам. 5. В лифт девятиэтажного дома вошли двое. Каждый из них с равной вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятность того, что пассажиры лифта выйдут на соседних этажах. 6. Человек, принадлежащий к определенной группе населения, с вероятностью 0,2 может оказаться брюнетом, с вероятностью 0,3 __ шатеном, с вероятностью 0,4 __ блондином и с вероятностью 0,1 __ рыжим. Выбирается наугад группа из шести человек. Найти вероятность того, что в этой группе будет не меньше трех блондинов. 7. Два игрока играют в азартную игру (шансы на победу у обоих одинаковы). Они договорились, что тот, кто первым выиграет шесть партий, получит весь приз. Игру пришлось прекратить, когда первый из них выиграл 5 партий, а второй выиграл 3 партии. Как разделить приз? 8. Вероятность того, что выпущенное изделие является годным, равна 0,96. Система контроля с вероятностью 0,98 подтверждает факт его годности, но с вероятностью 0,05 дает ошибочное заключение о годности дефектного изделия. Какова вероятность того, что изделие два раза выдержавшее контроль является годным? 9. Прибор состоит из двух узлов, надежности которых равны 0,8 и 0,9 соответственно для первого и второго узла. По истечении месяца прибор отказал. Найти вероятность того, причиной неисправности является отказ обоих узлов. 10. В одном учебном заведении обучаются 730 студентов. День рождения наудачу выбранного студента приходится на определенный день года с вероятностью 365 / 1 для каждого из 365 дней года. Найти вероятность того, что найдутся три студента , имеющие один и тот же день рождения. 11. В ящике со 100 игрушечными автомобилями 10 дефектных. Из этих 100 игрушек случайным образом выбирают 5. Случайная величина Х __ число автомобилей с дефектами среди выбранных пяти. Составить ряд распределения для СВ Х, найти ее функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию. Какова вероятность, что число дефектных автомобилей будет не меньше двух и не больше четырех? Вариант№18 1. Сколько шестизначных нечетных чисел можно составить из цифр числа 132 132? Сколько из этих чисел будут читаться одинаково как справа налево, так и слева направо? 2. Из полной колоды карт (36 листов, 4 масти) наудачу выбирают 9 карт. Найти вероятность того, что: а) среди этих 9 карт будет ровно 4 туза; б) будет ровно одна шестерка, одна семерка и т.д. до одного туза. 3. На отрезок AB длиной 10см наудачу брошены две точки M и L . Найти вероятность того, что точка L будет ближе к точке M , чем к точке . A 4. Собрание сочинений Ф.М.Достоевского в семи томах случайным образом расставляется на книжной полке. Найти вероятность того, что хоты бы для одного тома порядковый номер расположения его на полке совпадет с номером тома. 5. Передается сообщение, состоящее из четырех двоичных символов “0” или ”1”. Каждый из символов искажается (заменяется на противоположный) с вероятностью 0,05. Для “перестраховки” сообщение передается дважды. Если оба сообщения совпали, информация считается правильной. Найти вероятность того, что несмотря на совпадение сообщений, оба они оказались ошибочными. 6. Производится 10 независимых выстрелов по мишени. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,25. Какова вероятность попасть в цель по крайней мере дважды? 7. Брошены три игральные кости. Рассматриваются события: А={на первой и второй костях выпало одинаковое число очков}, В={на второй и третьей костях выпало одинаковое число очков}, С={на первой и третьей костях выпало одинаковое число очков}. Определить являются ли события А, В, С независимыми: а) попарно; б) в совокупности. 8. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, три шара вынимают и перекладывают во вторую урну, содержащую 5 белых и 5 черных шаров. Затем из второй урны извлекается наудачу один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется черным? 9. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность поражения мишени равна 0,3 для первого стрелка и 0,2 для второго. В результате трех выстрелов, сделанных стрелками, мишень была поражена только один раз. Какова вероятность того, что первый стрелок сделал один выстрел? 10. Какова вероятность того, что при 14 400 бросаниях монеты герб выпадет более, чем 7377 раз? 11. Продавец получает 10 радиоприемников, среди которых 4 дефектных. Он будет проверять их до тех пор, пока не найдет приемник, который работает хорошо. СВ Х __ общее число проверенных радиоприемников. Найти закон распределения СВ Х, ее функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию, вероятность того, что число проверенных радиоприемников будет больше математического ожидания СВ Х. Вариант№19 1. Сколькими способами три человека могут разделить между собой 6 одинаковых яблок, 1 грушу и 1 персик? Сколькими способами можно осуществить этот раздел, чтобы каждый получил по три фрукта? 2. В купейный вагон (9 купе по 4 места) семи пассажирам продано семь билетов. Найти вероятность, что оказались занятыми: а) ровно два купе; б) ровно три купе. 3. На бесконечный паркетный пол в форме правильных треугольников со стороной 24см падает монета радиуса 3 r см. Найти вероятность того, что монета пересечет две стороны треугольника. 4. Десять шариков случайным образом разбрасываются по четырем лункам. Найти вероятность того, что ровно две лунки окажутся пустыми. 5. На сборочной линии завода производится сборка четырех изделий. Вероятность бездефектной сборки изделия равна 0,8. После выпуска двух изделий линию перенастроили, что повысило вероятность бездефектной сборки на 0,05. Найти вероятность того, что ровно три изделия собраны без дефектов. 6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 5 / 4 . Сколько необходимо сделать выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 25? 7. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8, если известно, что сумма выпавших очков кратно четырем? 8. Из 25 экзаменационных билетов студент знает только 5. В каком случае вероятность вынуть “счастливый” билет выше: когда он берет билет первым или вторым? 9. Четыре грани игральной кости А окрашены в красный и две в белый цвет. У кости В три грани красные и три грани белые. Один раз бросают монету. Если выпал герб, то все время бросают кость А, если выпала решка __ кость В. В результате первых трех испытаний красная грань выпала дважды. Какова вероятность, что все время бросалась кость В? 10. Машина состоит из 10000 деталей. i p __ вероятность отказа деталей i .го типа. Для 1000 1 n деталей 0003 , 0 i p , для 2000 i n деталей 0002 , 0 2 p , для 7000 3 n деталей 0001 , 0 3 p Машина не работает, если у нее откажут хотя бы две детали. Найти вероятность того, что машина не будет работать. 11. Производится ряд попыток включить двигатель. Каждая попытка заканчивается успехом (включением двигателя) с вероятностью 0,6 и занимает 30 секунд. Случайная величина Х __ общее время, которое было затрачено на запуск двигателя. Составить ряд распределения для СВ Х, найти ее функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию, если было сделано не более, чем четыре попытки. Какова вероятность, что Х будет больше математического ожидания СВ Х? Вариант№20 1. Сколькими способами можно разбить 15 рабочих на три бригады по 5 человек в каждой? На пять групп по 3 человека в каждой? 2. В шкафу лежит 6 пар ботинок. Из них случайным образом выбирают 4 ботинка. Какова вероятность того, что: а) среди них не окажется ни одной пары; б) будет ровно одна пара? 3. На плоскость с нанесенной на нее квадратной сеткой со стороной квадрата равной 10см многократно бросается монета диаметра 10 d см. Было установлено, что в 40% случаев монета не пересекает ни одной стороны квадрата. Оценить диаметр монеты. 4. 10 неразличимых шариков случайным образом распределяются по пяти лункам. Найти вероятность того, что в двух лунках ( неважно в каких) будет по 4 шарика. 5. За время Т с вероятностью 1/4 амеба может погибнуть, с такой же вероятностью она может разделиться на две и с вероятностью 2 / 1 с ней ничего не случится. Найти вероятность того, что спустя время 2Т в пробирке, где первоначально находилась одна амеба, будет 3 амебы. 6. Вероятность получения удачного результата при проведении сложного химического опыта равна 0,4. Какова вероятность того, что в серии из 10 опытов удачных будет более половины. 7. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что на первой кости выпало 5 очка, если известно, что на второй кости выпало меньше очков, чем на первой? 8. Из колоды в 36 карт вынимают поочередно две карты. Какова вероятность того, что второй картой можно покрыть первую? 9. Пассажир может купить билет в одной из трех касс. Вероятности обращения в кассу зависят от ее местоположения и равны 0,2, 0,3, 0,5. Вероятности того, что к приходу пассажира билеты будут распроданы равны 0,6, 0,2, 0,9. Пассажир обратился в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что он обратился в первую кассу. 10. Вероятность угона автомобиля в течение года равна 0,006. Страховая компания застраховала 10 000 автомобилей от угона. Причем каждый автовладелец внес 1200 рублей страховых взносов за год. Какова вероятность того, что к концу года доход компании превысит 4 000 000 рублей, если она выплачивает автовладельцу 100 000 рублей в случае угона его автомобиля? 11. Бросают две игральные кости. Случайная величина Х __ сумма выпавших очков. Построить ряд распределения для СВ Х, найти ее функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию. Чему равна вероятность того, что СВ Х примет значение большее, чем ее математическое ожидание. Вариант№21 1. Сколькими способами можно вынуть 4 карты из полной колоды в 36 карт так, чтобы были две масти? Так, чтобы были три масти? 2. Из группы студентов, в которой учатся 15 человек, в том числе 3 отличника, наугад для тестирования выбирают 6 человек. Какова вероятность того, что среди них окажется не менее двух отличников? Отличников не будет? 3. Два студента Петров и Сидоров договорились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Петров ждет Сидорова не более 15 минут, после чего уходит. В течение какого времени Сидоров должен ждать Петрова, чтобы встреча состоялась с вероятностью большей, чем 5/8? 4. Четыре открытки случайным образом разложили по четырем конвертам с адресами. Найти вероятность того, что более половины открыток попадут по адресу. 5. В урне 3 белых, 5 черных и 2 красных шара. Два игрока поочередно вынимают по шару (без возвращения). Выиграет тот, кто первым вынет белый шар. Если будет вынут красный шар, то объявляется ничья. Найти вероятность того, что выиграет игрок, начинавший игру. 6. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Найти вероятность того, что сообщение из 10 знаков будет содержать не более трех искажений. 7. Брошены две игральные кости. Найти условную вероятность того, что выпали две пятерки, если известно, что сумма выпавших очков делится на 5. 8. В первой урне находятся 1 белый и 9 черных шаров, во второй __ 1 черный и 5 белых. Из каждой урны вынули по шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность вынуть белый шар из третьей урны. 9. В стройотряде 70% первокурсников и 30% студентов второго курса. Среди первокурсников 10% девушек, а среди второкурсников 5% девушек. Все девушки по очереди дежурят на кухне. Найти вероятность того, что в случайно выбранный день на кухне будет дежурить первокурсница. 10. Брак при изготовлении изделий кустарным способом составляет 20%. Найти вероятность того, что в партии из 22 500 изделий число бракованных изделий заключено между 4380 и 4560. 11. Среди поступивших в ремонт 10 часов 6 часов нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в общей чистке механизма, рассматривает их поочередно, и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Случайная величина Х __ количество просмотренных часов. Найти закон распределения для СВ Х, ее функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию. Вероятность того, что СВ Х принимает значение большее, чем ее математическое ожидание. Вариант№22 1. За круглым столом короля Артура сидят 12 рыцарей, причем каждый из них враждует со своими соседями. Надо выбрать 5 рыцарей для участия в поединке. Сколькими способами это можно сделать, чтобы среди рыцарей не было врагов? Сколькими способами это можно сделать, если рыцари сидят в ряд? 2. Из карточек разрезной азбуки составлено слово СТАТИСТИКА. Затем из этих 10 карточек случайным образом выбирается пять. Найти вероятность того, что из отобранных карточек можно составить слова: ТАКСИ, ТИСКИ, СКИТ. 3. Пассажир может воспользоваться трамваями двух маршрутов, следующих с интервалами 10мин. и 15 мин. Найти вероятность того, что пассажир, пришедший на остановку, будет ждать не более пяти минут. 4. В электропоезд, состоящий из пяти вагонов, входят 10 человек, которые выбирают вагоны случайным образом. Найти вероятность того, что в каждый вагон войдет хотя бы один пассажир. 5. В урне имеются 5 белых, 10 черных и 3 синих шара, которые извлекаются по одному без возвращения. Найти вероятность того, что белый шар будет извлечен раньше черного. 6. Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,4, независимо от заявок других магазинов. Найти наивероятнейшее число заявок в день и вероятность получения этого числа заявок. 7. Среди коконов некоторой партии пряжи 30% цветных. Какова вероятность того, что среди 10 случайно отобранных из партии коконов будет не более трех цветных? 8. Одновременно бросают три кости. Какова вероятность того, что хотя бы на одной выпадет одно очко, если известно, что на всех трех костях выпали разные грани. 9. Два завода производят электролампы. Производительность первого завода вдвое выше производительности второго завода. В среднем на каждую сотню ламп в продукции первого завода приходится 5 бракованных, а в продукции второго завода __ 3 бракованных. Приобретены 5 ламп, произведенных одним из заводов. Найти вероятность того, что среди них будет ровно две бракованных. 10. В тире имеется 9 ружей, из которых пристрелянными являются только два. Вероятность поразить мишень из пристрелянного ружья равна 0,8, а из непристрелянного __ 0,1. Выстрелом из случайно выбранного ружья стрелок попал в мишень. Что более вероятно: он стрелял из пристрелянного или из непристрелянного ружья? 11. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, извлекают шары по одному без возвращения до тех пор, пока не появится белый шар. Случайная величина Х __ число извлеченных черных шаров. Написать закон распределения для СВ Х, найти ее функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию, вероятность того, что СВ Х примет значение большее, чем ее математическое ожидание. Вариант№23 1. Укротитель хищных зверей хочет вывести на арену 5 львов и 4 тигра. Сколькими способами он может это сделать? Сколькими способами он может расположить зверей на арене, если нельзя, чтобы два тигра следовали друг за другом? 2. Из полного набора домино извлекают 5 костей. Найти вероятность того, что среди них: а) будет хотя бы одна с шестеркой; б) не будет ни одного дубля. 3. Два студента договорились встретиться в определенном месте между двенадцатью и четвертью первого. Пришедший первым ждет второго не более 10 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если любой из них может прийти на место встречи в любой момент времени в течение указанного часа? 4. 6 приятелей купили 6 билетов на балет ”Лебединое озеро”. Все билеты были на один ряд с номерами мест с первого по шестое. Придя в зал, они заняли эти шесть мест случайным образом. Какова вероятность того, что более половины лиц окажутся сидящими на местах, соответствующих номеру места, указанному в их билете. 5. Два стрелка стреляют по мишени поочередно до первого попадания. Вероятность попадания для стрелявшего первым равна 0,2, а для стрелявшего вторым __ 0,3. Найти вероятность того. что стрелявший первым стрелок сделает больше выстрелов. 6. Среди коконов некоторой партии пряжи 30% цветных. Какова вероятность того, что среди 10 случайно отобранных из партии коконов будет не более трех цветных? 7. Известно, что при бросании 10 костей появилась, по крайней мере, одна единица. |