Теория вероятности. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеется материал пяти цветов Решите эту же задачу, если одна из полос должна быть красной
 Скачать 239.61 Kb.
|
|
5%. Приобретенный пылесос оказался бракованным. Какова вероятность того, что он был изготовлен на втором заводе? 10. В некоторой группе дальтоники составляют 1%. Какова должна быть случайная выборка, чтобы вероятность присутствия в ней хотя бы одного дальтоника составляла не меньше 0,95? 11. Монету бросили 5 раз. Случайная величина Х __ число выпадений герба. Написать ряд распределений для СВ Х, найти ее функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию, вероятность того, что СВ Х примет значение от 2 до 5. Вариант№9 1. Сколькими способами можно переставить буквы в слове ПАСТУХ? Сколькими способами это можно сделать так, чтобы между двумя гласными буквами были две согласные? 2. Из колоды игральных карт в 54 листа одновременно извлекают 3 карты. Найти вероятность того, что из этих трех карт: а) среди них окажется хотя бы две карты одной масти; б) среди них окажется ровно один туз. 3. Два студента договорились встретиться в определенном месте между 11 и 12 часами дня. Найти вероятность того, что пришедший первым будет ожидать второго менее двадцати минут, если любой из них может прийти на место встречи в любой момент времени в течение указанного часа , но ждет второго не долее, чем до полудня. 4. Студент хочет послать своим друзьям 9 различных фотографий, раскладывая их случайным образом по трем различным конвертам. Найти вероятность того, что каждый из его друзей получит по три фотографии. 5. Какова вероятность угадать с третьей попытки пятизначный двоичный код (цифры 0 и 1 распределены по пяти позициям). 6. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает в среднем 12 дождливых дней. Что вероятнее: из 10 наудачу выбранных дней в сентябре дождливыми окажутся 4 или 5 дней? 7. Вероятность того, что письмо находится в одном из восьми ящиков письменного стола, равна 0,5. В семи ящиках письма не нашли. Какова вероятность того, что письмо находится в восьмом ящике письменного стола? 8. В маршрутке едут 5 пассажиров. На следующей остановке каждый из них может выйти с вероятностью 0,25; кроме того, в маршрутку с вероятностью 0,1 может войти один пассажир и с вероятностью 0,9 никто не войдет. Найти вероятность того, что когда маршрутка снова тронется в путь после следующей остановки, в ней по-прежнему будет 5 пассажиров. 9. Из урны, в которой находились 5 белых и 15 черных шаров, был потерян один шар неизвестного цвета. После этого из нее вынули наудачу два шара, которые оказались разноцветными. Какова вероятность того, что был потерян шар черного цвета? 10. Монета брошена 1000 раз. При каком значении k число выпадений герба лежит между 490 и k с вероятностью 0,5? 11. Автомобиль проходит техосмотр и обслуживание. Число неисправностей, обнаруженных во время техосмотра, подчиняется распределению Пуассона с параметром 1 Если неисправностей не обнаружено, техническое обслуживание автомобиля продолжается в среднем 2 часа. Если обнаружены одна или две неисправности, то на устранение каждой из них в среднем тратится еще по полчаса. Если обнаружено более двух неисправностей, то машина ставится на профилактический ремонт, где она находится в среднем 4 часа. Определить закон распределения среднего времени обслуживания и ремонта автомобиля, найти функцию его распределения, математическое ожидание и дисперсию. Вариант№10 1. Лифт, в котором находятся 8 пассажиров, может остановиться с равной вероятностью на любом этаже девятиэтажного дома, начиная со второго. Сколькими способами могут распределиться пассажиры между этими остановками? Решите ту же задачу, учитывая только количество пассажиров, вышедших на данном этаже. 2. Из букв слова ТЕОРЕМА выбирают 5. Какова вероятность того, что из этих пяти букв можно составить: а) слово МОРЕ; б) слово ТЕРЕМ? 3. Имеется магнитофонная лента длиной 200 метров, на обеих сторонах которой записаны сообщения; на одной стороне сообщение длины 30 метров, на другой стороне длина сообщения равна 50м; местоположение записей неизвестно. В связи с повреждением ленты пришлось удалить ее участок длины 10м, начиная с расстояния 80м от начала ленты. Найти вероятность того, что при этом ни одна из записей не пострадала. 4. Найти вероятность того, что при случайном распределении 6 различных предметов по 6 ящикам ровно один ящик окажется пустым. 5. Производится обстрел ракетами некоторого объекта. Вероятность попадания по объекту равна 0,5. При попадании ракеты в объект он поражается с вероятностью 0,9. Стрельба ведется до поражения цели или до израсходования боезапаса из пяти ракет. Найти вероятность того, что не весь боезапас будет израсходован. 6. Студент носит с собой в кармане два коробка спичек, в одном из которых первоначально было 5, а в другом 7 спичек. Когда ему нужна спичка, он выбирает наудачу один из коробков. Найти вероятность того, что когда студент первый раз вынет пустой коробок, в другом будет одна спичка 7. Бросили три монеты. Зависимы ли события: А={выпал герб на первой монете} и В={выпала хотя бы одна решка}? 8. В шкафу находятся 10 новых приборов и 5 уже были в эксплуатации. Наудачу выбирается два прибора, которые после их использования возвращаются на место. Затем вторично выбирают два прибора. Найти вероятность того, что эти вторично выбранные приборы окажутся новыми. 9. Имеются три ящика с мячами. В первом ящике 5 теннисных и 5 резиновых мячиков, во втором 10 теннисных и 10 резиновых, в третьем ящике 30 теннисных мячей. Дрессированная собачка подходит к одному из ящиков и приносит своему хозяину теннисный мячик. Найти вероятность того, что этот мяч был вынут из третьего ящика. 10. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,03. Сколько нужно купить билетов, чтобы вероятность выиграть хотя бы по одному из них превышала 0,9? 11. В партии деталей 20% бракованных. Из нее для проверки отбирается 5 деталей. Контролер принимает партию по следующей схеме: он проверяет детали по одной, если будет обнаружено три бракованных детали, проверка прекращается и партия изделий не принимается. Случайная величина Х __ число качественных деталей, среди отобранных пяти. Написать ряд распределений для СВ Х, найти ее функцию распределения , математическое ожидание, дисперсию, вероятность того, что такая партия изделий будет принята. Вариант№11 1. Двое ребят собрали 10 ромашек, 15 васильков и 14 незабудок. Сколькими способами они могут разделить эти цветы? Сколькими способами это можно сделать, если каждый из них должен получить не менее трех цветков каждого вида? 2. В шкафу находится 5 пар ботинок. Из них случайным образом извлекают четыре ботинка. Найти вероятность того, что: а) из этих четырех ботинок нельзя составить ни одной пары; б) среди них окажется ровно одна пара. 3. В промежуток времени (0,1) передается два сигнала длительностью 3 / 1 Начало любого из этих сигналов попадает в промежуток времени ). 1 , 0 ( Если сигналы перекрывают друг друга, то они искажаются. Найти вероятность того, что сигналы будут приняты без искажений. 4. Агент страховой компании написал пяти клиентам письма. В каждый конверт он положил по одному письму, но адрес на конверте написал случайным образом. Найти вероятность того, что более половины писем попадет по назначению. 5. Два стрелка делают по два выстрела каждый по своей мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,7, а для второго 0,5. Выигрывшим считается стрелок, поразивший мишень большее число раз. Найти вероятность того, что выиграет второй стрелок. 6. Для отражения налета пяти самолетов в воздух поднимаются истребители-перехватчики по два истребителя на каждый самолет. Каждый истребитель поражает цель с вероятностью 0,3. Найти вероятность того, что во время налета будет поражено не менее двух самолетов. 7. Брошены две игральные кости. Рассматриваются события: А={на первой кости выпало четное число очков}, В={на второй кости выпало нечетное число очков}, С={сумма очков на обеих костях нечетная}. Определить являются ли события А, В, С независимыми: а) попарно; б) в совокупности. 8. В группе из 15 студентов два студента учатся на отлично, 10 человек могут получить на экзамене хорошую или отличную оценку с равной вероятностью, три студента учатся слабо, то есть они могут получить на экзамене 4, 3 или 2 тоже с равной вероятностью. Какова вероятность того, что наудачу выбранный студент получит на экзамене повышенную отметку? 9. Из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шара, наудачу извлекли один шар. Затем этот шар вернули в урну и добили в нее еще три шара такого же цвета, что и извлеченный шар. Шары тщательно перемешали и вновь из урны извлекли шар, который оказался того же цвета, что и первый .Какова вероятность того, что оба раза извлекали белый шар? 10. Найти вероятность того, что среди 10000 случайных цифр цифра 7 появится не более 968 раз? 11. Вероятность попадания в мишень для стрелка равна 0,8. Имея 4 патрона, он стреляет в мишень до первого попадания Случайная величина Х __ число израсходованных патронов. Найти закон распределения для СВ Х, функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию, вероятность того, что стрелок истратит не более трех патронов. Вариант№12 1. Сколькими способами можно переставить буквы в слове АБАКАН? Сколькими способами это можно сделать при дополнительном условии, чтобы две буквы А не шли подряд? 2. Из колоды игральных карт в 54 листа наудачу выбирают 13 карт. Какова вероятность того, что: а) среди этих карт будет ровно один туз; в) среди них окажутся ровно 5 карт пиковой масти? 3. Имеется магнитофонная лента длиной 100 метров, на обеих сторонах которой записаны сообщения; на одной стороне сообщение длины 15 метров, на другой стороне длина сообщения равна 25м; местоположение записей неизвестно. В связи с повреждением ленты пришлось удалить ее участок длины 5м, начиная с расстояния 40м от начала ленты. Найти вероятность того, что при этом обе записи были повреждены. 4. В кондитерском магазине продавали пирожные четырех сортов: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Покупатель купил 7 пирожных. Найти вероятность того. что им были куплены пирожные одного сорта. 5. Имеется четыре лунки, расположенные одна за другой вдоль прямой. Два шарика забрасываются в эти лунки. Вероятность того, что шарик попадет в лунку, равна 4 / 1 Найти вероятность того, что эти шарики окажутся в соседних лунках. 6. Из урны, содержащей 5 белых и 15 черных шаров, вынимают один шар, записывают его цвет и снова опускают в урну. Найти вероятность того, что среди десяти извлеченных таким образом шаров белых будет больше, чем черных. 7. Монету бросают два раза. Найти вероятность того, что оба раза выпал герб, если известно, что при этих двух бросаниях герб выпал хотя бы один раз. 8. Студент, сдающий зачет, знает 24 вопроса из 30. На зачете студент отвечает на два вопроса из программы. Зачет ставится, если ему удастся ответить хотя бы на один вопрос из двух. Найти вероятность того, что студент сдаст зачет. 9. Изделие может иметь дефект с вероятностью 0,9. В цехе оно проверяется одним из двух контролеров. Первый контролер обнаруживает дефект с вероятностью 0,9, а второй с вероятностью 0,7. Если изделие не забраковано контролерами, то оно поступает в ОТК, где имеющийся дефект обнаруживается с вероятностью 0,95. Изделие было забраковано. Найти вероятность того, что его забраковало ОТК, 10. Сколько случайных цифр нужно взять, чтобы вероятность появления среди них цифры 7 была не менее 0,9? 11. В распоряжении электрика имеется 5 лампочек, каждая из которых с вероятностью 0,1 неисправна. Лампочка ввинчивается в патрон и включается ток. Дефектная лампочка сразу же заменяется следующей. Случайная величина Х __ число лампочек, которое будет испробовано. Построить ее ряд распределения, найти функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию, вероятность того, что СВ Х примет значение меньшее, чем ее математическое ожидание. Вариант№13 1. Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1,2,3,4,5, если каждая цифра может встречаться в записи числа только один раз? Решите эту же задачу в предположении, что каждая цифра может встречаться в записи числа несколько раз. 2. Человек купил карточку “Спортлото “ и отметил в ней 6 из имеющихся 49 номеров. После чего в день розыгрыша из барабана были извлечены 6 шариков с выигравшими номерами. Найти вероятность того, что: а) ни один из номеров не был угадан; б) были угаданы два номера из 6. 3. Из отрезка ] 2 , 1 [ взяты наудачу два числа. Какова вероятность, что их сумма больше единицы, а произведение меньше единицы. 4. Ячейка автоматической камеры хранения на железнодорожном вокзале закрывается с помощью трехзначного шифра. Найти вероятность открыть ячейку камеры с помощью случайного набора цифр в результате 101-ой попытки. 5. В кондитерском магазине продавали пирожные четырех сортов: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Покупатель купил 7 пирожных. Найти вероятность того, что им были куплены пирожные двух сортов. 6. По каналу связи передается 6 сообщений, каждое из которых независимо от других может быть искажено с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что более половины сообщений будут искажены. 7. Два игрока играют в азартную игру (шансы на победу у обоих одинаковы). Они договорились, что тот, кто первым выиграет шесть партий, получит весь приз. Игру пришлось прекратить, когда первый из них выиграл 5 партий, а второй выиграл 4 партии. Как разделить приз? 8. Имеется две партии однородных изделий; первая партия состоит из 100 изделий, среди которых 10 дефектных, а вторая партия из 500 изделий, среди которых 25 дефектных. Из первой партии случайным образом берется 5, а из второй 15 изделий. Эти 20 изделий тщательным образом перемешиваются, и из них выбирается одно изделие. Найти вероятность того, что оно окажется дефектным. 9. Имеются две игральные кости: одна обычная, а другая со смещенным центром. При подбрасывании кости со смещенным центром цифра “два” появляется с вероятностью 2/3, а цифра “три “с вероятностью 1/9. Наудачу выбранная кость была подброшена и на ней выпала “шестерка”. Найти вероятность того, что была подброшена кость со смещенным центром. 10. Сколько изюминок должны содержать в среднем булочки, чтобы с вероятностью большей 0,9 в каждой булочке была по крайней мере одна изюминка. 11. Человек покупает билеты мгновенной лотереи до первого выигрыша, вероятность которого равна 0,1.Случайная величина Х __ число купленных билетов. Составить ряд распределения для СВ Х, найти ее функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию, если ему хватит денег на покупку не более, чем четырех билетов. Какова вероятность, что число купленных им билетов будет больше математического ожидания СВ Х?. Вариант№14 1. Сколькими способами можно из фразы “Око за око, зуб за зуб” выбрать три буквы, если порядок букв не учитывается? Сколькими способами это можно сделать, если учесть порядок букв? 2. Из телефонной книги случайным образом выбирают семизначный номер телефона. Найти вероятность того, что: а) число, образованное первыми двумя цифрами, равно числу, образованному последними двумя цифрами; б) в выбранном телефонном номере ровно три одинаковые цифры. В городе только пять АТС. Следовательно, на первом месте в телефонном номере может быть только 1,2,3,4, или5. 3. Точка А выбирается случайным образом внутри прямоугольника со сторонами 1 и 2. Найти вероятность того, что расстояние от точки А до диагонали прямоугольника не превышает 0,25. 4. Из, урны в которой находятся шары с номерами от 1 до 6, вынимают по одному шару до опустошения урны без возвращения. Найти вероятность того, что номер вынутого шара совпадет с номером испытания менее, чем в двух случаях. 5. Жюри состоит из трех судей. Первый и второй судья принимают правильное решение с вероятностью 0,9. Если первые двое принимают одинаковое решение, то третий судья присоединяется к ним, если же решения первых судей не совпадают, то он бросает монету. Жюри принимает решение большинством голосов. Какова вероятность того, что такое жюри примет правильное решение? 6. Геологические условия местности таковы, что вероятность обнаружить нефть при бурении скважины равна 0,7. Найти вероятность того, что из пробуренных 10 скважин нефть будет обнаружена более, чем в половине случаев. 7. Из колоды в 36 карт вынули последовательно две карты. Найти условную вероятность того, что вторая карта является тузом, если известно, что первая карта туз. 8. Производится четыре независимых выстрела по резервуару с горючим. Если в резервуар попадает один снаряд, то горючее воспламеняется с вероятностью 0,8. Если в резервуар попадает более одного снаряда, то он воспламеняется с вероятностью 1. Найти вероятность того, что резервуар с горючим воспламенится. 9. Вероятность зарегистрировать частицу счетчиком равна 4 10 . Какое наименьшее число частиц должно вылететь из источника, чтобы с вероятностью более 0,99 счетчик зарегистрировал хотя бы одну частицу? 10. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, два человека вынимают поочередно по два шара без возвращения. Какова вероятность того, что первый вынул хотя бы один черный шар, если второй человек разноцветные шары? 11. Стрелок стреляет по мишени, имея в своем распоряжении 7 патронов. Стрельба ведется до троекратного поражения мишени или до полного израсходования патронов Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,4. Случайная величина Х __ число израсходованных патронов. Составить закон распределения Х, найти ее функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию Вариант№15 1. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр числа 12 312 343? Во скольких случаях это можно сделать таким образом, чтобы три цифры 3 не следовали друг за другом? 2. Колоду из 36 карт разделяют на две равные пачки. Чему равна вероятность того, что: а) в каждой пачке окажется по два туза; б) по равному числу красных карт? 3. На плоскости начерчены параллельные прямые на расстоянии 10см друг от друга. На эту плоскость бросают монету радиуса 2см. С какой вероятностью это монета пересечет одну из прямых? 4. На книжной полке стоят 7 книг. Чтобы протереть пыль на полке, хозяйка снимает книги, а потом случайным образом снова расставляет их. Найти вероятность того, что по крайней мере 4 книги окажутся на своем прежнем месте. 5. В урне 2 белых и 3 черных шара. Два игрока поочередно вынимают по шару (без возвращения). Выиграет тот, кто первым вынет белый шар. Найти вероятность того, что выиграет игрок, начинавший игру. 6. Два человека подбрасывают монету по 4 раза каждый. Найти вероятность того, что у них выпадет по одинаковому числу гербов. 7. Из колоды карт в 54 листа вынимают 4 карты. Одну из этих четырех карт смотрят. Она оказалась королем. После этого ее перемешивают с остальными вынутыми картами. Найти вероятность того, что повторный выбор из этих четырех карт снова даст короля. 8. В первой коробке из 50 сверл 2 дефектных, а во второй коробке 10 дефектных из 100 сверл. Токарь берт из первой коробки 5 сверл, а из второй 10 сверл. Найти вероятность того, что сверло, наудачу выбранное из этих 15 сверл, окажется дефектным. 9. Три стрелка выстрелили по одному разу по мишени. Вероятности поражения мишени для первого второго и третьего стрелка равны 0,5, 0,7, 0,9 соответственно. Из трех стрелков в мишень попал только один. Найти вероятность того, что первый стрелок промахнулся. 10. Некоторая система состоит из 10000 одинаковых элементов, которые могут выйти из строя в течение определенного времени независимо друг от друга с вероятностью 0,0003. Сколько необходимо взять элементов, чтобы все вышедшие из строя элементы заменить новыми с вероятностью, не меньшей, чем 0,9? 11. Пять раз бросают по две кости. Рассматривается событие А={появление одинакового числа очков на обеих костях}. Случайная величина Х __ число появлений события, противоположного событию А в серии из пяти испытаний. Составить закон распределения для СВ Х, найти ее функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию, вероятность того, что СВ Х примет значение меньшее, чем ее математическое ожидание. |