И. Платона как созерцание стоящих за вещами идей, приходящее внезапно, но предполагающее длительную подготовку ума;
интеллектуальная И. Декарта как понятие ясного и внимательного ума, настолько простое и отчетливое, что не оставляет никакого сомнения в том, что мы мыслим;
И. Спинозы, являющаяся «третьим родом» познания (наряду с чувствами и разумом) и схватывающая сущность вещей;
чувственная И. Канта и его более фундаментальная чистая И. пространства и времени, лежащая в основе математики;
художественная И. Шопенгауэра, улавливающая сущность мира как мировую волю;
И. философии жизни (Ницше), несовместимая с разумом, логикой и жизненной практикой, но постигающая мир как форму проявления жизни;
И. Бергсона как непосредственное слияние субъекта с объектом и преодоление противоположности между ними;
моральная И. Мура как непосредственное видение добра, не являющегося «естественным» свойством вещей и не допускающего рассудочного определения;
чистая И. времени Брауэра, лежащая в основе деятельности мысленного конструирования математических объектов;
И. Фрейда как скрытый, бессознательный первоисточник творчества;
И. Полани как спонтанный процесс интеграции, непосредственного внезапного усмотрения целостности и взаимосвязи в ранее разрозненном множестве объектов.
Этот перечень может быть продолжен. В сущности, едва ли не у каждого крупного философа и психолога имеется свое собственное понимание И. В большинстве случаев эти понимания не исключают друг друга.
И. как «прямое видение истины» не является чем-то сверхразумным. Она не идет в обход чувств и мышления и не составляет особого рода познания. Ее своеобразие состоит в том, что отдельные звенья процесса мышления проносятся более или менее бессознательно и запечатлевается только итог мысли – внезапно открывшаяся истина.
Существует давняя традиция противопоставлять И. логике. Нередко И. ставится выше логики даже в математике, где роль строгих доказательств особенно велика. Чтобы усовершенствовать метод в математике, полагал Шопенгауэр, необходимо прежде всего отказаться от предрассудка – веры в то, будто доказанная истина выше интуитивного знания. Паскаль проводил различие между «духом геометрии» и «духом проницательности». Первый выражает силу и прямоту ума, проявляющиеся в железной логике рассуждений, второй – широту ума, способность видеть глубже и прозревать истину как бы в озарении. Для Паскаля даже в науке «дух проницательности» независим от логики и стоит неизмеримо выше ее. Еще раньше некоторые математики утверждали, что интуитивное убеждение превосходит логику, подобно тому как ослепительный блеск Солнца затмевает бледное сияние Луны.
Неумеренное возвеличение И. в ущерб строгому доказательству неоправданно. Логика и И. не исключают и не подменяют друг друга. В реальном процессе познания они, как правило, тесно переплетаются, поддерживая и дополняя друг друга. Доказательство санкционирует и узаконивает достижения И., оно сводит к минимуму риск противоречия и субъективности, которыми всегда чревато интуитивное озарение. Логика, по выражению математика Г. Вейля, – это своего рода гигиена, позволяющая сохранить идеи здоровыми и сильными. И. отбрасывает всякую осторожность, логика учит сдержанности. Только проведенное шаг за шагом логическое доказательство делает завоевания И. объективно установленным результатом.
Уточняя и закрепляя результаты И., логика сама обращается к ней в поисках поддержки и помощи. Логические принципы не являются чем-то заданным раз и навсегда. Они формируются в многовековой практике познания и преобразования мира и представляют собой очищение и систематизацию стихийно складывающихся «мыслительных привычек». Вырастая из аморфной и изменчивой пралогической И., из непосредственного, хотя и неясного «видения логического», эти принципы всегда остаются связанными с изначальным интуитивным «чувством логического». Не случайно строгое доказательство ничего не значит даже для математика, если результат остается непонятным ему интуитивно.
Логика и И. не должны противопоставляться друг другу, каждая из них необходима на своем месте. Внезапное интуитивное озарение способно открыть истины, вряд ли доступные последовательному и строгому логическому рассуждению. Однако ссылка на И. не может служить твердым и тем более последним основанием для принятия каких-то утверждений. И. приводит к интересным новым идеям, но она нередко порождает также ошибки, вводит в заблуждение. Интуитивные догадки субъективны и неустойчивы, они нуждаются в логическом обосновании. Чтобы убедить в интуитивно схваченной истине как других, так и самого себя, требуется развернутое рассуждение, доказательство (см.: Аргументация контекстуальная).
ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ (от лат. irrationalis – неразумный, бессознательный) – находящееся на пределами разума, противоречащее логике. Обычно противопоставляется рациональному как разумному, целесообразному, обоснованному.
Понимание И. зависит от определения понятия рационального. Если рациональное определяется как соответствующее законам разума, т.е. законам логики, то И. можно назвать то, что нарушает законы логики. Напр., если признается истинной конъюнкция двух предложений «A&B» и признается истинным предложение «A», то это рационально. Если же, наряду с признанием истинности конъюнкции «А&В», признается ложность предложения «A», то данное рассуждение И.: в нем нарушено правило логики, согласно которому из истинности конъюнкции следует истинность каждого ее элемента. Можно дать рациональному более широкое определение – как соответствие не только законам логики, но и некоторым методологическим нормам, правилам, стандартам деятельности и т.п. Соответственно И. будет рассуждение или поведение, нарушающее эти нормы и правила.
Иногда рациональное определяют как целесообразное, т.е. как то, что приводит к намеченной цели. В этом случае И. будет все то, что не приближает нас к цели или даже делает цель еще более недостижимой. При таком понимании квалификация каких-то действий как рациональных или И. в значительной мере зависит от условий деятельности. Напр., в комнате душно, и вы хотите ее проветрить. Для этого вы открываете окно. Если на улице прохладно, то вы достигаете своей цели: свежий воздух ворвется в комнату и дышать станет легче. Но если на улице жарко, то, открыв окно, вы ухудшите положение. В одной ситуации было рационально открыть окно, в другой – И. (см.: Рациональность).
ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ – метафорическое обозначение области исследований, цель которых – создание технических систем, способных решать задачи невычислительного характера и выполнять действия, требующие переработки содержательной информации и считающиеся прерогативой человеческого мозга. К числу таких задач относятся, напр., задачи на доказательство теорем, игровые задачи (скажем, при игре в шахматы), задачи по переводу с одного языка на другой, по сочинению музыки, распознаванию зрительных образов, решению сложных творческих проблем науки и общественной практики. Одной из важных задач И. и. является создание интеллектуальных роботов, способных автономно совершать операции по достижению целей, поставленных человеком, и вносить коррективы в свои действия.
ИСТИНА – мысль или высказывание, соответствующие своему предмету. Мысль соответствует своему предмету, если представляет его таким, каков он есть на самом деле, в реальности. Напр., мысль о том, что Иртыш есть приток Оби, соответствует своему предмету, ибо действительно Иртыш вливается в Обь; а мысль о том, что бананы растут на березе, искажает реальное положение дел, поэтому является ложью.
Вопрос об И. принадлежит сфере философии. Для логики важно иметь в виду следующее.
Реальность, относительно которой наши мысли оцениваются как истинные или ложные, не обязательно должна быть только физической реальностью, это может быть реальность художественного вымысла или идеализированных объектов. Скажем, утверждение «Отелло любил Дездемону» истинно, а утверждение «Гамлет был женат» ложно в мирах, создаваемых текстом шекспировских пьес. Здесь следует обратить внимание на то, что понятие И. говорит о соответствии мысли своему объекту, но никак не касается природы этих объектов.
И. объективна в том смысле, что истинность или ложность некоторой мысли не зависит от воли и желания людей. Даже если все человечество принимает некоторую мысль, считает ее истинной, мысль может оказаться ложной, и наоборот. То, что некоторая мысль соответствует или не соответствует своему предмету, определяется предметом, а не субъектом познания. Я могу горячо верить в то, что на Луне живут разумные существа, при определенных условиях могу увлечь своей верой миллионы других людей, но, если в действительности на Луне нет разумных существ, эта мысль будет ложной.
Логика не занимается установлением истинности и ложности наших мыслей. Это дело конкретных наук. Однако понятие И. играет в логике чрезвычайно важную роль: именно с его помощью определяются фундаментальные для логики понятия логического вывода и логического следования.
ИСТИННОСТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ – одна из возможных характеристик высказывания с точки зрения соответствия его описываемому фрагменту действительности. Если допускается, что каждое высказывание является либо истинным, либо ложным (т.е. что оно либо соответствует действительности, либо не соответствует ей), говорят, что высказывание имеет одно из двух значений истинности. Данное допущение, именуемое двузначности (бивалентности) принципом, лежит в основе логики классической. В многозначной логике допускается, что высказывание может принимать одно из и (n>2) значений истинности. Так, в трехзначной логике, опирающейся, соответственно, на принцип трехзначности, высказывание принимает одно из трех И. з.: истинно, ложно и неопределенно; в разных системах этой логики И. з. «неопределенно» понимается по-разному.
ИСЧИСЛЕНИЕ – основанный на четких правилах формальный аппарат оперирования со знаниями определенного вида, позволяющий дать точное описание некоторого класса задач, а для отдельных подклассов этого класса – и алгоритм решения.
В математической логике понятие об И. подверглось уточнению и более строгой формализации. Логическое И. строится на базе некоторого формализованного языка. Задается набор исходных символов, из которых с помощью четко определенных правил строятся формулы рассматриваемого И. Некоторые из этих формул выбираются в качестве аксиом, из которых с помощью правил преобразования получают новые формулы, называемые теоремами. После того как к И. добавляется интерпретация, придающая значение ее исходным символам и формулам, И. превращается в язык, описывающий некоторую предметную область (см.: Исчисление высказываний, Исчисление классов, Исчисление предикатов и т.п.).
КАВЫЧКИ – в грамматике естественного языка парный знак препинания (обычно ,, " или « »), используемый для выделения прямой речи или отдельных выражений, которые употребляются не в привычном смысле.
В логике К. используются для того, чтобы отличить автономное употребление выражений от обычного. Напр., в предложениях «Москва расположена на Москве-реке» и «Москва состоит из шести букв» слово «Москва» в первом предложении употребляется обычно, а во втором – автонимно, т.е. в качестве имени самого себя. Чтобы избежать смешения обычного и автонимного употребления выражений, используются К., т. наз. «кавычковые имена». Второе предложение следует записать так: «"Москва" состоит из шести букв». В естественном языке несложно различить обычное употребление выражений и их автонимное употребление. Однако в логике, когда приходится говорить о выражениях некоторого языка, возможна путаница, приводящая к ошибкам.
КАТЕГОРИЧЕСКОЕ СУЖДЕНИЕ (в традиционной логике) – суждение, в котором предикат утверждается или отрицается относительно субъекта без формулирования к.-л. условий и при этом исключаются к.-л. альтернативные предикаты. К.с. имеют вид: «S есть (не есть) Р» и относятся к классу простых суждений. К. с. обычно противопоставляются условным и разделительным суждениям.
КАТЕГОРИЯ (от греч. kategoria – высказывание, обвинение, признак) – предельно общее фундаментальное понятие, отражающее наиболее существенные, закономерные связи и отношения реальной действительности и познания. Будучи формами и устойчивыми организующими принципами процесса мышления, К. воспроизводят свойства и отношения бытия и познания во всеобщем и наиболее концентрированном виде.
Характеристику некоторых особенностей К. можно дать, опираясь на операцию обобщения понятий. Почти для каждого видового понятия можно найти более широкое по объему родовое понятие, напр. «береза» – «дерево», «человек» – «млекопитающее», «медь» – «металл». Эти родовые понятия могут включаться в еще более широкие по объему понятия: «дерево» – «растение», «млекопитающее» – «животное», «металл» – «вещество» и т.п. К К. относятся предельно широкие по своему объему понятия, т.е. те, для которых нельзя найти более широкие родовые понятия. Как правило, К. являются философские понятия – «бытие», «субъект», «сущность», «качество», «количество», «материя», «сознание» и т.п.
В каждой конкретной науке имеется своя система К. В логике к числу наиболее общих и фундаментальных понятий относятся понятия логического вывода, суждения, умозаключения, индукции, дедукции и др. К. изменяются вместе с развитием нашего познания: обогащается их содержание, изменяются взаимосвязи между К., меняется их состав и т.п.
КЛАСС, МНОЖЕСТВО (В ЛОГИКЕ И МАТЕМАТИКЕ) – конечная или бесконечная совокупность объектов, выделенная по общему для них признаку (свойству или отношению), мыслимая как нечто целое. Объекты, составляющие К., называются его элементами. Примером К. (м.) могут быть следующие: «реки России», «четные числа». Первый К. является конечным, второй – бесконечным. Элементами первого К. являются отдельные реки – Волга, Ока, Енисей и др. Элементами второго К. являются числа – 0, 2, 4, 6, 8 и т.д. до бесконечности. Элементами К. могут быть, в свою очередь, К. Так, элементами К. «типы животных» являются К. простейших животных, губок, кишечнополостных и т.д. К. бывают единичными, общими и нулевыми (пустыми). Единичные К. состоят из одного элемента (напр., «самая большая река в Европе»); общие К. состоят из двух и более элементов (напр., «химический элемент», «машина»); нулевые К. не включают в свой состав ни одного элемента (напр., «круглый квадрат», «число меньше двух и больше трех»).
Объект определенной области принадлежит данному К., является его элементом, если он обладает признаками, по которым образован К. В противном случае он исключается из К. Так, если нам дана область натуральных чисел и мы хотим выделить те из них, которые являются элементами К. простых чисел, то в К.. простых чисел войдет, напр., число 7, т.к. оно обладает свойством простых чисел («7 – простое число» – истина), а число 8 не войдет (т.к. «8 – простое число» – ложь). Образуя К. к.-л. объектов, мы начинаем их рассматривать лишь под углом зрения некоторых свойств, от иных же свойств абстрагируемся. Так, образуя К. квадратов, мы учитываем такие свойства плоских многоугольников, как «быть четырехугольником», «иметь равные углы», «иметь равные стороны». Площадь, длина сторон и т.п. не учитываются. Это означает, что отдельные квадраты, составляющие К. квадратов, отождествляются нами, становятся неразличимыми в некоторых свойствах (см.: Абстракция).
Общее понятие о К. возникает как результат абстракции не только от природы его элементов, но и от их порядка.
КЛАССИФИКАЦИЯ – многоступенчатое, разветвленное деление логического объема понятия. Результатом К. является система соподчиненных понятий: делимое понятие является родом, новые понятия – видами, видами видов (подвидами) и т.д. Наиболее сложные и совершенные К. дает наука, систематизирующая в них результаты предшествующего развития к.-л. отраслей знания и намечающая одновременно перспективу дальнейших исследований. Блестящим примером научной К. является периодическая система элементов Д. И. Менделеева, фиксирующая закономерные связи между химическими элементами и определяющая место каждого из них в единой таблице. Эта система позволила сделать подтвердившиеся вскоре прогнозы относительно неизвестных еще элементов. Большую роль в развитии биологии сыграла К. животных и растений К. Линнея. Хорошо известна К. элементарных частиц, даваемая современной физикой.
К. подразделяется на естественную и искусственную. В качестве основания первой берутся существенные признаки, из которых вытекают многие производные свойства упорядочиваемых объектов. Искусственная К. использует для упорядочивания объектов несущественные их признаки, вплоть до ссылки на начальные буквы имен этих объектов (алфавитные указатели, именные каталоги в библиотеках и т. п.).
Было время, когда естественная К. объявлялась высшей целью изучения природы и венцом научного ее познания. В XX в. представление о роли К. в процессе познания заметно изменилось. Противопоставление естественной и искусственной К. во многом утратило свою остроту. Далеко не всегда удается существенное четко отделить от несущественного, особенно в обществе и живой природе; кроме того, существенное в одном отношении может оказаться гораздо менее важным в другом отношении. Поэтому роль К., в том числе естественной, не должна переоцениваться, тем более не должно преувеличиваться ее значение в области сложных и динамичных социальных объектов и явлений. Как стало очевидным еще в прошлом веке, абсолютно резкие разграничительные линии несовместимы с теорией развития.
КОНВЕНЦИЯ (от лат. conventio – соглашение) – договор, соглашение, условие. Разнообразные К. играют значительную роль в науке и в повседневной жизни. Спор, дискуссия, коллективное обсуждение к.-л. проблем всегда опираются на соглашение относительно значений используемых слов, терминов, выражений. При построении аксиоматических систем символической логики аксиомы часто принимаются конвенционально в зависимости от удобства, простоты или конкретных целей построения. Для описания пространственных свойств объективного мира ученые часто по соглашению используют ту или иную систему геометрии.
КОННОТАЦИЯ (от лат. connotatio – добавочное значение) – дополнительные черты, оттенки, сопутствующие основному содержанию понятия, суждения. В обыденной речи и в художественном творчестве к основному семантическому значению понятий и суждений часто добавляются дополнительные оттенки, служащие для выражений эмоционального или оценочного отношения говорящего к предмету речи. Напр., слова «военные» и «военщина» совпадают по своему семантическому значению, однако во втором слове присутствует негативный оттенок, которого нет в первом слове.
КОНСТРУКТИВНАЯ ЛОГИКА – одно из направлений современной логики, изучающее рассуждения о конструктивных объектах и процессах. Конструктивные объекты представляют собой или отдельные, ясно отличаемые друг от друга знаки, или последовательности таких знаков, получаемые посредством некоторого конструктивного процесса, протекающего по четким дискретным правилам. Примером конструктивного объекта могут служить легко отождествляемые и различаемые буквы к.-л. алфавита; конструктивный процесс – построение из них слов по однозначно определенным правилам. В конструктивном процессе используется абстракция потенциальной осуществимости, позволяющая отвлекаться от реальных конструктивных возможностей человека, связанных с ограниченностью его деятельности в пространстве и времени. Можно, напр., рассуждать о сколь угодно длинных, но конечных формулах, которые реально никогда не смогут быть записаны. Вместе с тем в таком процессе не используется абстракция актуальной бесконечности, когда невозможность полного обозрения к.-л. бесконечного образования не учитывается. Бесконечное множество, напр. множество всех натуральных чисел, нельзя рассматривать как единый, завершенный объект. Существование конструктивного объекта считается доказанным лишь в том случае, если указан способ потенциально осуществимого его построения (конструирования).
Ограничение рассуждений конструктивными объектами и процессами ведет к отказу от закона исключенного третьего в применении к бесконечным множествам. Отвергаются также закон снятия двойного отрицания, закон Клавия, некоторые варианты косвенного доказательства и др.
Термином «К. л.» иногда обозначается интуиционистская логика. Чаще под К. л. понимается логическая теория, совпадающая по классу доказуемых формул с интуиционистской логикой, но не обращающаяся к представлению об «изначальной интуиции» и использующая при задании смысла логических операций понятие алгоритма и некоторые особые положения о конструктивных процессах (А.А. Марков, Н.А. Шанин и др.).
КОНТЕКСТ (от лат. contextus – сцепление, соединение, связь) – относительно законченный по смыслу отрывок текста или устной речи, в пределах которого наиболее точно и конкретно выявляется смысл и значение отдельного входящего в него слова, фразы, совокупности фраз. В логике и методологии научного познания К. понимается как отдельное рассуждение, фрагмент научной теории или теория в целом. В дополнение к основному семантическому значению, которым обладает слово или предложение, взятые сами по себе, К. придает им добавочное значение, более того, он может существенно изменить это основное значение слов и предложений. Поэтому в разных К. слова и предложения могут приобретать различные значения. Иногда К. целиком придает значение некоторому термину. В таких случаях говорят о контекстуальном определении термина (см.: Определение контекстуальное). Вопрос о контекстуальном значении научных терминов привлекает широкое внимание в методологии научного познания в связи с анализом развития научного знания, переходом терминов из старой теории в новую и изменением их значений при таких переходах.
КОНТРАДИКТОРНАЯ ПРОТИВОПОЛОЖНОСТЬ (от лат. contradictorius – противоречащий) – отношение между противоречащими друг другу суждениями. В традиционной логике противоречащими друг другу считаются общеутвердительные и частноотрицательные суждения, имеющие один и тот же субъект и предикат («Все цветы красивы» и «Некоторые цветы некрасивы»), а также общеотрицательные и частноутвердительные суждения («Ни один цветок не красив» и «Некоторые цветы красивы»).
К. п. характеризуется следующими особенностями: 1) суждения не могут быть одновременно истинными; 2) они не могут быть одновременно ложными; 3) из двух противоречащих друг другу суждений одно непременно истинно, а другое ложно, третьего не дано. Последнее свойство контрадикторных суждений широко используется в процессах рассуждения и доказательства. Если нам удалось показать ложность некоторого суждения, то мы можем с уверенностью утверждать, что противоречащее ему суждение истинно, и наоборот.
КОНТРАПОЗИЦИИ ЗАКОН – общее название для ряда логических законов, позволяющих с помощью отрицания менять местами основание и следствие (антецедент и консеквент) условного высказывания.
Один из этих законов, называемый иногда законом простой контрапозиции, звучит так: если первое влечет второе, то отрицание второго влечет отрицание первого. Напр.: «Если верно, что число, делящееся на шесть, делится на три, то верно, что число, не делящееся на три, не делится также на шесть».
С использованием символики логической (р, q – некоторые высказывания; -> – импликация, «если, то»;
– отрицание «неверно, что») данный закон представляется формулой:
(p->q)->(
q->
р),
если дело обстоит так, что если р, то q, то если не-q, то не-р. Другой К. з.:
(
p->
q)->(q->p).
если верно, что если не-р, то не-q, то если q, то р. Напр.: «Если верно, что рукопись, не оцененная рецензентом положительно, не публикуется, то верно, что публикуемая рукопись оценивается рецензентом положительно».
Еще два К. з.:
(p->
q)->(q->
p),
если дело обстоит так, что если р, то не-q, то если q, то не-р. Напр.: «Если квадрат не является треугольником, то треугольник не квадрат»;
(
p->q)->(
q->p), если верно, что если не-р, то q, то если не-q, то р. Напр.: «Если не являющееся очевидным сомнительно, то не являющееся сомнительным очевидно».
Закон сложной контрапозиции представляется формулой (&– конъюнкция, «и»):
(p&q->r)->(p&
r->
q),
если дело обстоит так, что если р и q, то r, то если р и не-r, то не-q. Напр.: «Если верно, что монотонная и ограниченная последовательность сходится, то монотонная и не сходящаяся последовательность неограниченна».
КОНТРАРНАЯ ПРОТИВОПОЛОЖНОСТЬ (от лат. contrarius – противоположный) – отношение между противными, или противоположными, суждениями (см.: Логический квадрат).
КОНЦЕПТ (от лат. conceptus – понятие) – содержание понятия, то же, что и смысл. В семантической концепции Р. Карнапа между языковыми выражениями и соответствующими им денотатами, т.е. реальными предметами, имеются еще некоторые абстрактные объекты – К.
КОНЪЮНКЦИЯ (от лат. conjunctio – союз, связь) – логическая операция, с помощью которой два или более высказываний объединяются в новое сложное высказывание. Это новое высказывание называется конъюнктивным высказыванием или просто К.
Символически конъюнктивная связка обозначается знаками « ∙ », «&», «». Если А, В, С... представляют простые высказывания, то конъюнктивное высказывание выглядит следующим образом: А&В или А&В&С и т.п. В обыденной речи К. соответствует союз «и», поэтому К. читается так: А и В. Напр.: «Пассажиры заняли свои места, и поезд тронулся».
Значение истинности сложного конъюнктивного высказывания зависит от истинностных значений входящих в него простых высказываний и определяется на основе следующей таблицы истинности:
А
|
В
|
А&В
|
и
|
и
|
и
|
и
|
л
|
л
|
л
|
и
|
л
|
л
|
л
|
л
|
Эта таблица говорит о том, что конъюнктивное высказывание истинно только в одном случае, когда все входящие в него простые высказывания истинны. Напр., высказывание «Киев стоит на Днепре, и Киев – столица Украины» истинно, а высказывание «Киев стоит на Днепре, и Киев – столица Белоруссии» ложно. Следует иметь в виду, что К. учитывает только истинностные значения простых высказываний и не учитывает смысловые связи между ними. Поэтому К. может соединять высказывания, между которыми нет никакой содержательной связи. Напр., «Дважды два четыре, и снег бел» и т.п. Для К. справедлив закон коммутативности: А&В эквивалентно В&А, хотя в высказываниях с союзом «и» этот закон действует далеко не всегда. Напр., если в высказывании «Подул ветер, и деревья закачались» поменять местами члены К., высказывание станет бессмысленным с точки зрения здравого смысла.
КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – доказательство, в котором истинность тезиса устанавливается путем показа ошибочности противоположного ему допущения.
При прямом доказательстве задача состоит в том, чтобы найти убедительные аргументы, из которых логически вытекает тезис. В К. д. рассуждение идет как бы окольным путем. Прямые аргументы для выведения из них доказываемого положения не отыскиваются. Вместо этого формулируется антитезис, отрицание этого положения, и тем или иным способом показывается его несостоятельность.
Поскольку К. д. использует отрицание доказываемого положения, оно называется также доказательством от противного. Напр., врач, убеждая пациента, что тот не болен малярией, может рассуждать так: «Если бы действительно была малярия, имелся бы ряд характерных для нее симптомов, в частности общая слабость и озноб. Однако таких симптомов нет. Значит, нет и малярии».
К. д. проходит, таким образом, следующие этапы: выдвигается антитезис и из него выводятся следствия с намерением найти среди них ложное; устанавливается, что в числе следствий действительно есть ложное; делается вывод, что антитезис неверен; из ложности антитезиса делается заключение, что тезис является истинным.
В зависимости от того, как устанавливается ложность антитезиса, можно выделить несколько вариантов К. д. Иногда ложность антитезиса удается установить простым сопоставлением вытекающих из него следствий с фактами, эмпирическими данными. Так, в приведенном примере рассуждение идет по схеме: если неверно первое, то второе; но второе неверно, значит, верно первое.
Нередко анализ самой логической структуры следствий антитезиса позволяет сделать вывод, что он ошибочен. Так, если в числе следствий встретились и утверждение, и отрицание одного и того же, можно сразу заключить, что антитезис неверен. Ложным будет он и в том случае, если из него выводится внутренне противоречивое высказывание о тождестве утверждения и отрицания.
Напр., для доказательства тезиса «Квадрат – это ромб с прямыми углами» выдвигается антитезис: «Неверно, что квадрат есть ромб с прямыми углами». Из последнего выводится как то, что у квадрата все углы прямые (т.к. быть квадратом значит иметь четыре прямых угла), так и то, что у квадрата углы не являются прямыми. Раз из антитезиса вытекает и утверждение, и отрицание одного и того же, значит, он неверен, а правильным является противоположное утверждение – тезис.
Рассуждение здесь идет в соответствии с законом косвенного доказательства: если из отрицания высказывания вытекает логическое противоречие, само высказывание истинно.
Существует разновидность К. д., когда прямо не приходится искать ложных следствий антитезиса. Согласно закону Клавия, если из отрицания высказывания вытекает это высказывание, оно является истинным. Напр., из отрицательного высказывания «Ни одно суждение не является отрицательным» вытекает: «Некоторые суждения являются отрицательными»; значит, истинно это утвердительное высказывание, а не исходное отрицательное.
К. д. – эффективное средство обоснования выдвигаемых положений. Однако его специфика в определенной мере ограничивает сферу применения. Эта специфика состоит в том, что из антитезиса, являющегося ложным, выводятся следствия до тех пор, пока не будет получено ложное утверждение или логическое противоречие. Имея дело с К. д., приходится все время сосредоточиваться не на верном положении, справедливость которого необходимо обосновать, а на ошибочных утверждениях. Более серьезные возражения против К. д. связаны с использованием в нем закона (снятия) двойного отрицания. Этот закон не признается универсальным, неограниченно приложимым интуиционистской логикой.
КРУГ В ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ (лат. – circulus in demonstrando) – логическая ошибка в доказательстве, заключающаяся в том, что истинность доказываемого положения (тезиса) обосновывается с помощью аргумента, истинность которого обосновывается с помощью доказываемого тезиса. Данную ошибку называют также «порочным кругом». В качестве примера можно привести доказательство конечности и ограниченности Вселенной, приводившееся противниками учения Коперника. Защитники геоцентризма доказывали конечность Вселенной, опираясь на утверждение о том, что Вселенная в течение суток совершает полный оборот вокруг неподвижного центра, совпадающего с центром Земли. В свою очередь, истинность этого аргумента они доказывали, опираясь на утверждение о конечности Вселенной, т.к. при условии ее бесконечности нельзя понять, каким образом бесконечная Вселенная могла бы в течение одних суток совершить полный оборот около своего центра. Иными словами, тезис (положение о конечности мира) доказывался посредством аргумента (суточное вращение мира вокруг центра), который сам доказывался при помощи доказываемого тезиса (положения о конечности мира).
В относительно коротких рассуждениях К. в д. сравнительно нетрудно обнаружить. Однако в доказательствах, включающих в себя длинные цепи умозаключений, круг может остаться незамеченным. Доказательство, содержащее в себе круг, не достигает своей основной цели – оно не обосновывает истинности доказываемого тезиса.
КРУГ В ОПРЕДЕЛЕНИИ – логическая ошибка, связанная с нарушением одного из правил определения и состоящая в том, что при определении некоторого понятия в определяющей части используется понятие, которое, в свою очередь, определяется с помощью данного определяемого понятия. Напр., в определении «Вращение есть движение вокруг своей оси» будет допущена ошибка круга, если понятие «ось» само определяется через понятие «вращение»: ось есть прямая, вокруг которой происходит вращение. Частным случаем этой ошибки является тавтология – повторение в определяющей части самого определяемого понятия, хотя, быть может, в несколько ином словесном выражении, напр.: «Фильтрование – процесс разделения с помощью фильтра».
ЛЕММА (от греч. lemma – предположение) – в математике вспомогательное предложение, употребляемое при доказательстве одной или нескольких теорем. В логике – условно-разделительное, или лемматическое, умозаключение (см.: Дилемма).
«ЛЖЕЦА» ПАРАДОКС – один из наиболее известных логических парадоксов. В простейшем его варианте человек произносит одну фразу: «Я лгу». Или говорит: «Высказывание, которое я сейчас произношу, является ложным». Или: «Это высказывание ложно». Если высказывание ложно, то говорящий сказал правду и, значит, сказанное им не является ложью. Если же высказывание не является ложным, а говорящий утверждает, что оно ложно, то его высказывание ложно. Оказывается, таким образом, что, если говорящий лжет, он говорит правду, и наоборот.
Традиционная лаконичная формулировка парадокса гласит: если лгущий говорит, что он лжет, то он одновременно лжет и говорит правду.
В ср. в. была распространенной такая формулировка «Л.» п.: «Сказанное Платоном – ложно, – говорит Сократ. – То, что сказал Сократ, – истина, – говорит Платон». Возникает вопрос: кто из них высказывает истину, а кто – ложь?
Открытие «Л.» п. приписывается древнегреческому философу Евбулиду (IV в. до н.э.). Оно произвело громадное впечатление. Философ-стоик Хрисипп (ок. 281-208 до н.э.) посвятил ему три книги. Некто Филет Косский, отчаявшись разрешить парадокс, покончил с собой. Предание говорит, что известный древнегреческий логик Диодор Кронос (ум. ок. 307 до н.э.) уже на склоне лет дал обет не принимать пищу до тех пор, пока не найдет решение «Лжеца», и вскоре умер, ничего не добившись. В древности «Лжец» рассматривался как хороший пример двусмысленного выражения. В ср. в. «Л.» п. был отнесен к т. наз. «неразрешимым предложениям» и сделался объектом систематического анализа.
Особым вниманием «Л.» п. пользуется в современной логике. Нередко он именуется «королем логических парадоксов», ему посвящена обширная научная литература. И тем не менее, как и в случае многих других парадоксов, остается неясным, какие именно проблемы скрываются за данным парадоксом и как следует избавляться от него.
Чаще всего «Л.» п. считается характерным примером тех трудностей, к которым ведет смещение двух языков: языка предметного, на котором говорится о лежащей вне языка действительности, и метаязыка, на котором говорят о самом предметном языке. В повседневности нет различий между этими языками: и о действительности, и о языке говорится на одном и том же языке. Если язык и метаязык разграничиваются, утверждение «Я лгу» уже не может быть сформулировано.
Проблемы, связывавшиеся на протяжении веков с «Л.» п., радикально менялись в зависимости от того, рассматривался ли он как пример двусмысленности, или же как выражение, внешне представляющееся осмысленным, но по своей сути бессмысленное, или же как образец смешения языка и метаязыка. И нет уверенности в том, что с этим парадоксом не окажутся связанными в будущем и другие проблемы (см.: Антиномия).
ЛОГИКА (от греч. logos – слово, понятие, рассуждение, разум), или: Формальная логика, – наука о законах и операциях правильного мышления. Согласно основному принципу Л., правильность рассуждения (вывода) определяется только его логической формой, или структурой, и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. Различие между формой и содержанием может быть сделано явным с помощью особого языка, или символики, оно относительно и зависит от выбора языка.
Отличительная особенность правильного вывода в том, что от истинных посылок он всегда ведет к истинному заключению. Такой вывод позволяет из имеющихся истин получать новые истины с помощью чистого рассуждения, без обращения к опыту, интуиции и т.п. Неправильные выводы могут от истинных посылок вести как к истинным, так и к ложным заключениям.
Л. занимается не только связями высказываний в правильных выводах, но и многими иными проблемами: смыслом и значением выражений языка, различными отношениями между терминами (понятиями), операциями определения и логического деления понятий, вероятностными и статистическими рассуждениями, парадоксами и логическими ошибками и т.д. Но главные темы логических исследований – анализ правильности рассуждения, формулировка законов и принципов, соблюдение которых является необходимым условием получения истинных заключений в процессе вывода.
Правильным является, напр., рассуждение, следующее схеме: «Если есть первое, то есть и второе; есть первое, значит, есть и второе» (см.: Модус поненс). По этой схеме из высказываний «Если сейчас день, то светло» и «Сейчас день» вытекает высказывание «Сейчас светло». Какие бы конкретные истинные высказывания ни подставлялись в указанную схему, заключение обязательно будет истинным.
В правильном рассуждении заключение вытекает из посылок с логической необходимостью, общая схема такого рассуждения выражает логический закон. Рассуждать логически правильно – значит рассуждать в соответствии с законами Л.
Л. не просто перечисляет некоторые схемы правильного рассуждения. Она выявляет различные типы таких схем, устанавливает общие критерии их правильности, выделяет исходные схемы, из которых по определенным правилам могут быть получены другие схемы данного типа, исследует проблему взаимной совместимости схем и т.д.
В современной Л. логические процессы изучаются путем их отображения в языках формализованных, или логических, исчислений. Построение исчисления отличается тщательностью, с которой формулируются его синтаксические и семантические правила, отсутствием исключений, характерных для естественного языка. Исследованием формального строения логических исчислений, правил образования и преобразования входящих в них выражений занимается логический синтаксис. Отношения между исчислениями и содержательными областями, служащими их интерпретациями или моделями, исследуются семантикой логической.
Современная Л. слагается из большого числа логических систем, описывающих отдельные фрагменты, или типы, содержательных рассуждений. Эти системы принято делить на Л. классическую, включающую классические Л. высказываний и Л. предикатов, и Л. неклассическую, в которую входят модальная Л., интуиционистская Л., многозначная Л., неклассические теории логического следования, паранепротиворечивая Л., Л. квантовой механики и др. Каждая из этих Л. также включает, как правило, соответствующие Л. высказываний и Л. предикатов. Таким образом, хотя Л. как наука едина, она слагается из множества более или менее частных систем, ни одна из которых не может претендовать на выявление логических характеристик мышления в целом. Единство Л. проявляется прежде всего в том, что входящие в нее «отдельные» Л. пользуются при описании логических процессов одними и теми же методами исследования. Все они отвлекаются от конкретного содержания высказываний и умозаключений и оперируют только их формальным, структурным содержанием. В каждой применяется язык символов и формул, строящийся в соответствии с общими для всех систем принципами. И наконец, «сконструированная» Л. вызывает ряд вопросов, характерных для любой системы: нет ли в ней противоречий, охватывает ли она все истины рассматриваемого рода и др. (см.: Непротиворечивость, Полнота, Разрешения проблема). Между разными логическими системами имеются определенные связи. Одни системы могут быть эквивалентны другим, или включаться в них, или быть их обобщением и т.д. Единство Л. проявляется также в том, что разные Л. не противоречат друг другу: законами одной из них не являются отрицания законов, принятых в другой.
История Л. насчитывает около двух с половиной тысячелетий и разделяется на два основных этапа. Первый начался с трудов Аристотеля (384-322 до н.э.) и продолжался до второй половины XIX-начала XX в., второй – с этого времени до наших дней. На первом этапе Л. развивалась очень медленно, это дало И. Канту повод заявить, что она является с самого начала завершенной наукой, не продвинувшейся после Аристотеля ни на один шаг. Ошибочность такого представления была ясно показана в последние сто с небольшим лет, когда в Л. произошла научная революция и на смену традиционной Л. пришла современная Л., называемая также математической или символической Л. В основе последней – идеи Г. Лейбница (1646-1716) о возможности представить доказательство как математическое вычисление. Д. Буль (1815-1864) истолковал умозаключение как результат решения логических равенств, в результате чего теория умозаключения приняла вид своеобразной алгебры, отличающейся от обычной алгебры лишь отсутствием численных коэффициентов и степеней. С работ Г. Фреге (1848-1925) начинается применение Л. для исследования оснований математики. Значительный вклад в развитие Л. в дальнейшем внесли Б. Рассел (1872-1970), А.Н. Уайтхед (1861-1947), Д. Гильберт (1862-1943) и др. В 30-е годы ХХ века фундаментальные результаты получили К. Гёдель (1906-1978), А. Тарский (1901-1983), А. Чёрч (р. 1903).
На первых порах современная Л. ориентировалась почти всецело на анализ только математических рассуждений. Это поддерживало иллюзию, что развитие Л. не зависит от эволюции теоретического мышления и не является в к.-л. смысле отображением последней.
В 20-е годы XX в. предмет логических исследований существенно расширился. Начали складываться многозначная Л., предполагающая, что наши утверждения являются не только истинными или ложными, но могут иметь и другие истинные значения; модальная Л., рассматривающая понятия необходимости, возможности, случайности и т.п.; деонтическая Л., изучающая логические связи нормативных высказываний, и др. Все эти новые разделы не были непосредственно связаны с математикой, в сферу логического исследования вовлекались уже естественные и гуманитарные науки.
В дальнейшем сложились и нашли интересные применения: Л. времени, описывающая логические связи высказываний о прошлом и будущем; паранепротиворечивая Л., не позволяющая выводить из противоречий все что угодно; эпистемическая Л., изучающая понятия «опровержимо», «неразрешимо», «доказуемо», «убежден», «сомневается» и т.п.; оценок Л., имеющая дело с понятиями «хорошо», «плохо», «безразлично», «лучше», «хуже» и т.п.; Л. изменения, говорящая об изменении и становлении нового; причинности Л., изучающая утверждения о детерминизме и причинности; парафальсифицирующая Л., не позволяющая отвергать положения, хотя бы одно следствие которых оказалось ложным; релевантная Л. и др. Экстенсивный рост Л. не завершился и сейчас. Основные ее ветви, или разделы, можно сгруппировать так:
|
Скачать 1.81 Mb.