кружок по математикк. Составители Е. А. Асташов, Я. А. Верёвкин, A. А. Дейч, см. Саулин, А. В. Феклина
 Скачать 0.6 Mb.
|
|
какой момент эта сумма будет наибольшей б) Электронные часы показывают время в формате ЧЧ:ММ:СС (например, 14 : 23 : 57). Каких секунд в сутках больше тех, когда часы показывают, что минут больше, чем секунд (например, 04 : 45 : 14), или тех, когда минут меньше, чем секунд (например, 23 : 37 : 59)? в) На городских электронных часах высвечивается время (часы и минуты) от 00 : 00 до 23 : 59. Сколько времени в сутки на этих часах хотя бы водном месте высвечивается цифра Ответа б) поровну в часов 30 минут. Решение. а) Третья цифра на часах всегда не больше 5, а четвёртая всегда не больше 9. Если первая цифра 2, то вторая не больше 3, а сумма первой и второй цифр не больше 5. Если же первая цифра 0 или 1, то вторая может быть от 0 до 9. Сумма первой и второй цифры будет наибольшей, когда первая цифра 1, а вторая 9. Таким образом, наибольшая сумма цифр будет в 19 : 59. б) Допустим, мы нашли такую секунду, когда часы показывают, что минут больше, чем секунд (например, 04 : 45 : 14). Будем называть все такие секунды секундами первого типа. Поменяв местами минуты и секунды, получим такую секунду, когда на часах больше секунд, чем минут (в нашем примере 04 : 14 : 45). Все такие секунды будем называть секундами второго типа. Аналогичным образом каждой секунде второго типа можно подобрать в пару секунду первого типа (например, парой для 23 : 37 : 59 будет 23 : 59 : 37). Поэтому те секунды, когда минут и секунд на часах не поровну, разбились на пары в каждой паре одна секунда первого типа, а другая — второго. А значит, секунд обоих типов поровну. в) Цифра 2 всё время присутствует на часах с 02 : 00 до 02 : 59, с 12 : 00 дои с 20 : 00 до 23 : 59 — в общей сложности уже 6 часов. В каждый из остальных 18 часов она присутствует на й, 12-й, 32-й, й и й минутах, а ещё с й пою минуту. Это ещё 15 минут в часто есть четыре с половиной часа. Итого получаем 10 часов 30 минут Ученик не знает, что делать в пункте а Какие цифры могут стоять на первых двух позициях Какие из них доставляют максимальную сумму Ученик не знает, что делать в пункте б Верно ли, что число часов на циферблате можно не учитывать Ученик не знает, что делать в пункте в Сколько времени находится на циферблате двойка, если она присутствует на позиции часов А если на позиции минут Какой угол образуют часовая и минутная стрелка в 3 часа 5 минут Ответ. Решение. Часовая стрелка проходит одно (часовое) деление за 60 минут. Поэтому за 5 минут она пройдет 1/12 деления. То есть, в 3 часа 5 минут часовая стрелка будет показывать 3 часа. Так как градусная мера угла между двумя соседними часовыми деления составляет 360 ◦ : 12 = то искомый угол равен 30 ◦ + 30 ◦ + 30 ◦ : 12 = 62,5 ◦ ◦ Ученик не знает, что делать Какую часть циферблата проходит часовая стрелка за 5 минут Придворный астролог царя Гороха называет время суток хорошим, если на часах с центральной секундной стрелкой при мгновенном обходе циферблата походу часов минутная стрелка встречается после часовой и перед секундной. Какого времени в сутках больше хорошего или плохого? Ответ. Поровну. Решение. Основная идея если стрелки показывают хорошее время, то их зеркальное отражение показывает плохое, и наоборот (см. рис.). В полночь стрелки совпадают. Если пустить часы назад, то стрелки, будут показывать какое-то вчерашнее время, а их расположение будет зеркально симметричным расположению стрелок на обычных часах. Итак, каждому хорошему моменту сегодня соответствует плохой момент вчера. Причем интервалу хорошего времени соответствует интервал плохого. Значит, хорошего времени сегодня столько же, сколько было плохого вчера. Поэтому хорошего и плохого времени в сутках поровну Ученик не знает, что делать Нарисуйте показание часов в хорошее и плохое время суток. Что произойдет с показаниями часов в плохое время суток, если поменять местами часовую и секундные стрелки На рисунке приведены три примера исправных электронных часов. Сколько палочек могут перестать работать, чтобы время всегда можно было определить однозначно? Ответ. 13 палочек Решение. На первой позиции требуется различить три цифры 0, 1 и 2. Для этого можно обойтись двумя палочками, например, верхней и средней если они горят обе, то это 2, если только верхняя, то это 0, а если не горит ни одна — это 1. Одной палочкой, очевидно, обойтись нельзя. На второй и на четвёртой позициях надо уметь различать все 10 цифр. Обязаны работать пять палочек верхняя, иначе мы спутаем 7 и 1; средняя, иначе спутаем 8 и 0; левая верхняя, иначе спутаем 9 и 3; левая нижняя, иначе спутаем 6 и 5; правая верхняя, иначе спутаем 9 и Палочки нижняя и правая нижняя могут не работать — несложно проверить, что путаницы в цифрах не будет. Осталась третья позиция, на которой нужно уметь различать цифры от 0 до 5. Две палочки дают четыре комбинации, значит, необходимы, как минимум, три работающие палочки. Идей- ствительно, можно обойтись верхней, левой верхней и левой нижней палочками. Тогда цифры на этой позиции будут выглядеть так Цифре 1 соответствует пустое изображение) Таким образом, на первой позиции может не работать 5 палочек, на второй и на четвертой — по две и на третьей — 4. Итого 5 + 2 + 2 + 4 = 13. ◦ Ученик не знает, что делать Сколько палочек можно убрать, чтобы цифры 0, 1 и 2 можно было отличить Листок 15. Шахматные задачи На этом занятии мы поговорим про задачи на шахматной доске. Они бывают очень разного формата. Где-то нужно расставить фигуры, какие-то задачи связаны скорее с раскраской, но все они будут умещаться на доске 8 × 8. Вначале занятия стоит напомнить детям, как ходят фигуры, обсудить, как раскрашена доска и как обозначаются клетки шахматной доски. Также стоит напомнить, что главными диагоналями называются диагонали из восьми клеток Какое наибольшее количество а) ладей б) слонов в) королей г) коней д) ферзей можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга? Ответ. а) 8; б) 14; в) 32; г) 16; д) Решение. а) Ясно, что в строке не может стоять больше одной ладьи, так как в этом случае они будут бить друг друга. Поэтому больше 8 ладей расставить нельзя. Пример для восьми: расставим их на главной диагонали. б) Проведем диагонали сверху вниз и слева направо(не только главные, первая будет состоять из одной клетки, вторая — из двух, итак далее, 8-ая — из восьми, следующая снова из семи, и так далее. Их получится 15 штук. Нина какой из них нельзя поставить двух слонов. Также заметим, что две крайние диагоали(по факту — угловые клетки) состоят из одной клетки и сами лежат на одной главной диагонали, а значит, из них можно занять только одну. Следовательно, нельзя расставить больше 14 слонов. Пример поставим 7 ладей в левые 7 клеток верхней строки и еще 7 в левые 7 клеток нижней строки. в) Доску можно разбить на 16 квадратов 2 × 2. В каждый из них можно поставить не более одного короля. С другой стороны, по одному королю поставить можно например, в левые верхние углы всех квадратов. г) Разобьём доску на 8 прямоугольников 4 × 2, а каждый из них — на четыре пары клеток, соединенных ходом коня. Всего получим 32 пары клеток, ив каждой из них может стоять не более одного коня. 32 коня можно поставить, например, на все белые клетки. д) Как и ладей, ферзей не может быть больше восьми, так как ферзь бьет все клетки строки, на которой стоит. Пример поставим ферзей в клетки a2, b4, c6, d8, e3, f 1, g7, h5. ◦ Ученик не знает, что делать в пунктах аи д Можно ли поставить две ладьи(двух ферзей) на одной строчке Почему А сколько всего строчек Отлично, мы получили оценку. А можно теперь для нее придумать пример Ученик не знает, что делать в пункте б Можно ли поставить двух слонов на одной диагонали А сколько у нас всего диагоналей?(Давай выберем какое-то одно направление для диагоналей, которые считаем) А можно одновременно занять слонами клетки в двух самых маленьких(одноклеточных) диагоналях Ученик не знает, что делать в пункте в Сколько минимум клеток бьет король Еще одну занимает сам. Сколько всего клеток он тогда "занимает Давай разобьем все полена такие части, что в каждой именно столько клеток и нельзя поставить больше ожного короля. Сколько их получается Тогда можно ли поставить королей больше Ученик не знает, что делать в пункте г Давай попробуем разбить все клетки на такие пары, что из одной клетки пары в другую можно попасть ходом коня. Сколько будет пар А можно ли в какой-нибудь паре занять конями обе клетки А можно построить пример именно для такого количества коней Можно ли ходом коня обойти все клетки шахматной доски, начав с клетки a1, закончив в клетке h8 и на каждой клетке доски побывав ровно один раз? Ответ. Нет, нельзя. Решение. Чтобы обойти все клетки шахматной доски, надо сделать 63 хода. После каждого нечётного хода конь находится на белой клетке, после каждого чётного – нач рной. Значит нам ходу конь обязательно встанет в белую клетку. Но начинаем мыс белой клетки a1, а клетка h8 — чёрная, следовательно, после последнего хода на этой клетке конь оказаться не может Ученик не знает, что делать Как ходит конь А сколько холов ему нужно сделать С клетки какого цвета мы начинаем? Цвет меняется, когда конь делает ход На клетке какого цвета мы должны финишировать Какое наименьшее число ладей нужно поставить на шахматную доску 8×8, чтобы все белые клетки были подбоем этих ладей (Подбоем ладьи считаются все клетки строки и столбца, в которых находится ладья.) Ответ. Решение. Находясь на белой клетке, ладья бьёт 7 белых клеток, а находясь нач рной клетке 8, а белых клеток на доске 32, поэтому трех ладей точно не хватит. Пример достаточно поставить четыре ладьи на поля a1, c3, e5 и g7. ◦ Ученик не знает, что делать Какое наибольшее количество белых клеток может бить одна ладья А сколько всего белых клеток Сколько тогда ладей точно понадобится Давай проверим, этого хватит В некоторых клетках шахматной доски стоят фигуры. Известно, что на каждой горизонтали стоит хотя бы одна фигура, причём в разных горизонталях — разное число фигур. Докажите, что всегда можно отметить 8 фигур так, чтобы в каждой вертикали и каждой горизонтали стояла ровно одна отмеченная фигура. Решение. На горизонтали может стоять от одной до восьми фигур. Так как на разных горизонталях разное число фигур, на некоторой горизонтали стоит ровно одна фигура, на некоторой другой — две фигуры, итак далее, наконец, некоторая горизонталь заполнена восемью фигурами. Пронумеруем горизонтали в соответствии с количеством стоящих на них фигур. Отметим на первой горизонтали ее единственную фигуру. Так как на второй горизонтали две фигуры, хотя бы одну из них можно отметить. Поскольку на третьей горизонтали три фигуры, хотя бы одну из них можно отметить, итак далее Ученик не знает, что делать Сколько вообще фигур может стоять в строке А сколько строк Есть ли строка, в которой мы точно знаем, какую фигуру выбрать А из какой строки стоит выбирать дальше Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на каждой горизонтали, вертикали и диагонали (не только на главных) находилось чётное число фишек? Ответ. Решение. Заметим, что на шахматной доске имеется ровно 16 диагоналей, содержащих нечётное число клеток и не имеющих между собой общих клеток. Следовательно, число фишек не может быть больше, чем 64 − 16 = 48, ведь на нечетной диагонали не могут быть заняты все клетки, в этос случае их было бы нечетное количество. Пример можем расставить фишки на все клетки, кроме клеток главных диагоналей Ученик не знает, что делать Сколько у насесть диагоналей с нечетным количеством клеток А они могут оказаться полностью занятыми А они пересекаются Сколько тогда клеток точно придется освободить А можно освободить именно столько Давай попробуем построить пример. Какие клетки точно свободны Расставьте на шахматной доске 32 коня так, чтобы каждый из них бил ровно двух других Решение. Если в квадрате 3 × 3 поставить коней на все клетки, кроме центральной, то каждый конь будет бить ровно двух других. Теперь расположим четыре таких квадрата(без коня в центре) в углах шахматной доски. Легко проверить, что в этом случае каждый конь бьет только двух коней из своего квадрата Ученик не знает, что делать Давай сначала расставим не 32, а поменьше, но так, чтобы правило выполнялось Например. А можно их уместить на маленькой доске, например, 3 × 3? А как тогда на ахматной разместить 32? 7 Шахматный король обошёл всю доску 8 × 8, побывав на каждой клетке по одному разу, вернувшись последним ходом в исходную клетку. Докажите, что он сделал чётное число диагональных ходов. Решение. При каждом недиагональном короля ходе меняется цвет поляна котором он стоит; при диагональном не меняется. Поскольку король обошёл всю доску и вернулся обратно, цвет поля менялся с белого нач рный столько же раз, сколько сч рного на белый, значит, недиагональных ходов король сделал чётное количество. А всего он должен был сделать 64 хода, чтобы обойти все клетки по одному разу и вернуться в исходную. Поэтому число диагональных ходов равно 64 минус число недиагональных ходов — тоже чётное число Ученик не знает, что делать Сколько всего король сделал ходов Ас какого цвета он начал А каким законцил? Тогда сколько раз он мог менять цвет Может ли это количество быть нечетным А он меняет цвет, когда ходит на соседнюю по стороне клетку А когда ходит по диагонали На шахматной доске расставили n белых и n черных ладей так, чтобы ладьи разного цвета не били друг друга. Найдите наибольшее возможное значение Ответ. Решение. Докажем, что при n > 16 осуществить указанную расстановку невозможно. Заметим, что на каждой горизонтали и на каждой вертикали могут располагаться ладьи только одного цвета (либо она может оказаться свободной от ладей. Будем называть строку или столбец доски черной или белой, если на ней стоят фигуры данного цвета. Так как ладей больше 16, то белых горизонталей не меньше трех. Если белых горизонталей ровно три, тов одной из них не менее ладей, то есть белых вертикалей не менее шести, а черных не больше двух. Но это невозможно, так как черных ладей тоже n. Итак, белых горизонталей не меньше четырех, а значит, черных не больше четырех. Это верно и для черных вертикалей. Следовательно, черных ладей не больше 16. Противоречие. Пример возможной расстановки при n = 16: расставим белые ладьи квадратом 4 × 4 в нажнем левом углу, а черные — в правом верхнем Ученик не знает, что делать Сколько строчек могут занимать белые ладьи А столбцов А сколько тогда останется черным А их можно переставить так, чтобы белые ладьи занимали столько же строк, сколько черные занимают строк или столбцов |