кружок по математикк. Составители Е. А. Асташов, Я. А. Верёвкин, A. А. Дейч, см. Саулин, А. В. Феклина
 Скачать 0.6 Mb.
|
|
12!, 27!? 8 Докажите, что среди квадратов любых пяти натуральных чисел всегда можно выбрать два, сумма или разность которых делится на Решение. Для начала выпишем все цифры, которыми могут заканчиваться квадраты натуральных чисел. Это будут 0, 1, 4, 9, 6, 5 (чтобы это понять, нужно возвести каждую из цифр от до 9 в квадрат и посмотреть, какие последние цифры встречаются у полученных результатов). У насесть квадратов произвольных натуральных чисел. Если два из них заканчиваются на одну и туже цифру, то их разность оканчивается нулем, что нами нужно. Если же все они различны, то это какие-то 5 из 6 возможных цифр. Значит, из чисел, оканчивающихся на 1,4, 6 и 9, может не быть только какого-то одного. Тогда обязательно найдется пара чисел, сумма которых будет оканчиваться нулем, так как ....1 + ....9 = ....0 и ....4 + ....6 = ....0, а это и есть делимость на 10. ◦ Ученик не знает, что делать Какой цифрой может оканчиваться квадрат натурального числа А в каком случае разность этих чисел делится на 10? А сумма Найдите последнюю цифру числа а) (7 7 ) 7 ; б) 7 Ответа б) Решение. а) Последняя цифра у числа 7 n меняется по циклу длины 4: 7, 9, 3, 1, дальше снова. Значит, 7 оканчивается цифрой 3. Последняя цифра у числа 3 n меняется по циклу длины 3, 9, 7, 1. Значит, ....3 оканчивается цифрой 7. б) Последняя цифра у числа 7 n меняется по циклу длины 4: 7, 9, 3, 1. Нам нужно понять, какой остаток при делении надает. Для этого достаточно посмотреть на последние две цифры числа 7 7 . Оно оканчивается на 43. Значит, дает остаток 3 при делении на 4. И 7 будет оканчиваться на 3. ◦ Ученик не знает, что делать в пункте а Предложить посчитать сначала последнюю цифру числа, стоящего в скобках Ученик не знает, что делать в пункте б На какую цифру заканчивается число 7 n ? А как часто последние цифры повторяются А какой остаток будет у 7 при делении на 4? 21 Листок 6. Календарь В начале занятия у доски следует обсудить а) как определять количество дней в месяце (по кулачкам выпадает на костяшку — 31 день, между ними — 30, февраль — 28 или 29 в високосном году б) сколько вообще дней в году, какие именно годы — високосные (те, которые делятся на 4, ноне делятся на 100, или те, которые делятся на 400). 1 Какое максимальное количество понедельников может быть а) водном месяце б) водном году? Ответ. а) 5; б) Решение. а) В месяце может быть 5 понедельников, например, если январь начинается с понедельника. Больше быть уже не может, так как для этого в месяце должно быть хотя бы полных недель и еще один день(шестой понедельник, то есть 7 × 5 + 1 = 36, а их не бывает больше 31. б) аналогично, 365 = 7 × 52 + 1, 366 = 7 × 52 + 2, то есть целых недель в году 52, а понедельников может быть не больше но и не меньше 52, так как есть 52 целые недели В 2014 году было 53 среды. Каким днем могло быть 20 февраля? Ответ. Вторник. Решение. Так как 2014 год не был високосным, 1 января должно было выпадать на среду, иначе их было бы всего 52. Но тогда 29 января также было средой, 31 — пятницей, 1 февраля субботой, а 20 — четвергом Ученик не знает, что делать Как может получится, что в году 53 среды С какого дня может начинаться такой год? А что тогда будет 20 февраля В марте некоторого года было 4 воскресенья и 4 четверга. Каким днем недели могло быть марта? Ответ. Субботой. Решение. В марте 31 день. Чтобы в нем было 4 воскресенья, он не должен начинаться с воскресенья, субботы и пятницы. Чтобы было 4 четверга — нес четверга, среды и вторника. Значит, он мога начинаться только с понедельника, тогда 20 марта должно быть субботой Ученик не знает, что делать Сколько дней в марте С чего он может начинаться, чтобы в нем было только 4 понедельника А чтобы было 4 воскресенья Бабушка Варя рассказывала, что вей исполнилось 17 лета) Когда она родилась б) Сколько на самом деле сейчас лет бабушке Варе? Ответ. а) 29 февраля 1948 года, б)69. Решение. б) Вей исполнилось 17, сейчас 2017 значит, ей 17 × 4 + 1 = 69 лета родилась она в 2017 − 69 = 1948 году Ученик не знает, что делать Какой день бывает не каждый год В каком году могла родиться бабушка Варя, чтобы ее день рождения мог выпасть именно на этот день Тёма сказал Коле Позавчера мне ещё было 10 лета в следующем году мне исполнится Могли такой разговор состояться в какой-либо день какого-либо года? Ответ. Да, 1 января. Решение. Если у Темы день рождения 31 декабря, такая фраза 1 января могла быть правдой ◦ Ученик не знает, что делать Разобраться в том, что такое могло быть, если позавчера был другой год. Какой тогда сегодня может быть день Когда должен быть день рождения у Темы Как-то раз Вовочка сказал В прошлом месяце воскресений было больше, чем любых других дней недели. В каком месяце это могло произойти? Ответ. В марте(високосного года). Решение. Если воскресений было больше, чем всех остальных дней недели, то остальных должно было быть по 4, а воскресений — 5. Но тогда в месяце всего 29 дней, значит, это должен был быть февраль, причем, обязательно високосного года. Так как Вовочка говорит про предыдущий месяца не про текущий, сейчас должен быть март Ученик не знает, что делать Сколько вообще может быть воскресений в месяце А всех остальных дней Сколлько тогда должно было быть дней в предыдущем месяце «Кубиковый календарь состоит из двух кубиков, на каждой из граней которых написано по одной цифре. При этом поставив рядом два кубика, можно получить любое число месяца. Какие цифры написаны на гранях? Решение. Заметим, что цифры 0, 1, 2 должны стоятьв паре со всеми остальными цифрами. Также заметим, что 6 и 9 можно обозначать одной и той же стороной кубика, потому что они никогда не встречаются одновременно и получаются друг из друга путем переворачивания. Тогда расположим на каждом кубике цифры 0, 1 и 2. На оставшихся гранях первого напишем, 4 и 5, второго — 6, 7 и 8. Легко убедиться, что такой вариант подходит Ученик не знает, что делать Попробовать явно выписать те числа, которые мы должны уметь составлять. Сколько всего цифр нам потребуется Какие цифры встречаются чаще других Какой день недели будет а) через 100 дней б) через 100 лет в) 13 октября Ответа) текущий день недели плюс два б) текущий день недели плюс 5; в) среда. Решение. а) 100 = 14 × 7 + 2, то есть через 98 дней будет тот же день недели, что и сегодня, остается прибавить еще два. б) 365 = 52 × 7 + 1, значит, за один невисокосный год день недели сдвигается на 1 вперед, за високосный — на два. Из ближайших 100 лет високосных будет так как 2100 год високосным не будет, а невисокосных — 76. Поэтому день недели сдвинется на 76 + 24 × 2 = 124 = 17 × 7 + 5, то есть день недели будет тот же, что и сейчас, плюс 5. в) Сначала посчитаем, какой день будет ровно через 10 лет. Это будет текущий день плюс 5. А затем посчитаем, каким днем будет 13 октября 2017. Получим среду Ученик не знает, что делать Попробуй понять, какой будет день недели ровно через год. А что изменилось бы,если бы этот или следующий год был високосным Оля записала дату своего рождения (в формате дд.мм.гггг), сложила все цифры этой записи и получила 48. Когда Оля родилась? Ответ. 29 сентября Решение. Максимальная возможная сумма цифр дня — 11 = 2 + 9, месяца — 9 = 0 + 9, года — 28 = 1 + 9 + 9 + 9. Причем, эти суммы достигаются только на приведенных числах. Получаем как раз 48 = 11 + 9 + 28, значит, нив какой другой день Оля родиться не могла Ученик не знает, что делать Какой может быть сумма цифр дня А месяца и года А какие суммы нам подходят, чтобы вместе получилось 48? 10 Когда в следующий раз пригодится календарь на а) 2017; б) 2016 год Ответа б) Решение. 1 января 2016 была пятница, 2017 — воскресенье, 2018 — понедельник, 2019 — вт, 2020 — ср, 2021 — пт, 2022 — сб, 2023 — вс, итак далее. После обычного года дни недели сдвигаются на 1, после високосного — на 2. Ближайший год, начинающийся с воскресенья — 2023, он нам подходит а вот с пяницы — 2021, но он не високосный, а календарь сна високосный год, поэтому придется ждать аж до 2044 года Ученик не знает, что делать С какого дня начинался этот года А соседние Ас какого тогда начнется следующий А на сколько дней недели должно сдвинуться начало года, чтобы нам снова подошел календарь Листок 7. Признаки делимости на 3 и Признаки делимости на 3 и 9: целое число делится на 3 (на 9) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (на Вначале занятия сформулируйте/напомните признаки делимости на 3 и 9. Расскажите доказательство на каком-нибудь примере. Обратите внимание школьников, что на самом деле доказано больше сумма цифр числа даёт такие же остатки при делении на 3 и 9, как само число. Можно разобрать примеры а) проверить, делится ли какое-нибудь большое число на или наб) написать большое число с пропущенной цифрой и попросить её вставить так, чтобы полученное число делилось на 3 (это всегда можно сделать тремя или четырьмя способами). Для сильных школьников можно разобрать полные доказательства данных признаков Известно, что число 65349_0712 делится а) наб) на 3. Какая цифра может стоять на месте пропуска Укажите всевозможные варианты! Ответ. а) 8; б) 2, 5, Решение. Сумма известных цифр числа равна 37. а) Чтобы число делилось на 9, на месте "должна стоять цифра 8. б) Чтобы число делилось на 3, на месте звездочки должна стоять одна из цифр 2, 5, 8. ◦ Ученик не знает, что делать Вспомнните признаки делимости на 3 и на 9. Примените их Запишем подряд цифры от 1 дополучим число 123456789. Простое оно или составное (то есть делится ли оно нацело на что-нибудь, кроме единицы и самого себя Изменится ли ответ в задаче, если каким-то образом поменять порядок цифр в этом числе? Ответ. Составное, делится на 9; Не изменится. Решение. Сумма цифр этого числа равна 45, поэтому число делится на 9 и остается составным при любой перестановке цифр Ученик не знает, что делать Попробуйте проверить делимость данного число на 3 или на 9. Меняется ли свойство делимости на эти числа при перестановке цифр числа Делится ли число 32561698 на 12? Решите эту задачу ас помощью признака делимости наб) с помощью признака делимости на Ответ. Не делится. Решение. Число не делится на 12, так как оно а) не делится наб) не делится на 3. ◦ Ученик не знает, что делать Вспомните признак делимости на 4 и 3 и примените их. Если у учащегося совсем ступор, можно сесть рядом и подталкивать его мысли к каждому шагу решения а) Даша и Таня по очереди выписывают на доску цифры шестизначного числа. Сначала Даша выписывает первую цифру, затем Таня — вторую, и т. д. Таня хочет, чтобы полученное в результате число делилось на 3, а Даша хочет ей помешать. Кто из них может добиться желаемого результата независимо отходов соперника б) Тот же вопрос, нос делимостью на 9. Ответ. Всегда выигрывает Таня. Решение. Какой бы ни была сумма цифр числа после хода Даши, Таня может своим ходом сделать её кратной 3 или 9. Причем она может делать это как при каждом своем ходе, таки только последним ходом ◦ Ученик не знает, что делать Кто делает последний ход Что этот игрок может сделать этим ходом В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в томи только в том случае, если двузначное число, составленное из цифр — названий этих городов, делится на 3. Можно ли добраться из города в город Ответ. Нельзя. Решение. Города 3, 6, 9 соединены друг с другом и не соединены ни с какими другими городами. Поэтому добраться из города 1 в город 9 невозможно Ученик не знает, что делать Посмотрите, с какими городами соединён город 9. А город 6? 6 У числа 100500! вычислили сумму цифр. Затем у полученной суммы снова вычислили сумму цифр, потом ещё рази так до тех пор, пока не получилось однозначное число. Какое это число? Ответ. Решение. Исходное число делится на 9. Поэтому сумма цифр на каждом шаге тоже будет делиться на 9. Значит, однозначное число может быть или 0, или 9, но 0 — это сумма цифр только самого нуля. Поэтому в конце получится 9. ◦ Ученик не знает, что делать Попробуйте применить признак делимости на 9. Делится ли исходное число на 9? А сумма его цифр А сумма суммы цифр Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — семизначное число, состоящее из двоек и троек. Сейф откроется, если двоек в коде больше, чем троек, асам код делится и на 3, и на 4. Какой код может открывать сейф? Ответ. Решение. В силу признака делимости на 4 последние две цифры кода могут быть только Если в коде четыре двойки и три тройки, то сумма цифр равна 17, и код не делится на 3. По той же причине код не может состоять из пяти двоек и двух троек (тогда сумма цифр равна Значит, код может состоять только из одной тройки и шести двоек (тогда сумма цифр равна и код делится на 3). Место единственной тройки мы уже определили. Значит, подходит только код 2222232. ◦ Ученик не знает, что делать Какие должны быть две последние цифры числа, если вспомнить признак делимости на А дальше попробуйте перебрать количество двоек и троек в числе В каждом пункте укажите всевозможные варианты ответа. а) Число 2 ? 45 делится на 9. Какую цифру заменили звёздочкой? б) Число 29 ? 45 ? делится на 18. Какие цифры заменили звёздочками? в) Число 72 ? 4 ? делится на 45. Какие цифры заменили звёздочками? г) Число 1 ? 456 ? делится на 36. Какие цифры заменили звёздочками? Ответ. а) 7; б) 5 и 2, 3 и 4, 1 и 6, 8 ив и 0, 0 и 5, 9 и 5; г) 2 и 0, 7 и 4, 3 и 8. ◦ Ученик не знает, что делать Попробуйте перебрать, используя признаки делимости а) Может ли произведение числа и суммы его цифр равняться 4704? б) Может ли натуральное число, записываемое с помощью 10 нулей, 10 единиц и 10 двоек, быть квадратом некоторого другого натурального числа? Ответ. Нет в обоих пунктах Решение. а) Произведение числа и его суммы цифр либо не делится на 3, либо делится на А 4704 делится на 3, ноне наб) Такое число делится на 3, ноне на 9, а квадрат либо не делится на 3, либо делится сразу на 9. ◦ Ученик не знает, что делать Может ли произведение числа и суммы его цирф делиться на 3, ноне делиться на 9? 10 а) Верно ли, что если натуральное число делится на 27, то и его сумма цифр делится наб) Докажите, что любое целое число, которое втрое больше суммы своих цифр, делится на 27. Ответ. а) Нет. Решение. а) Контрпример — само число 27. б) Такое число делится назначит, и его сумма цифр делится на 3. Но если оно ещё втрое больше этой суммы цифр, то оно делится на 9. Тогда и его сумма цифр делится на 9. А само число ещё втрое больше суммы цифра значит, делится на 27. ◦ Ученик не знает, что делать а) Попробуйте придумать простой контрпример. б) Делится ли такое число на 3? А сумма его цифр А если оно втрое больше суммы цифр, тона что оно ещё должно делиться А дальше? 11 Натуральное число обладает следующим свойством для любого числа A, которое делится на , на также делятся и все числа, полученные из перестановкой цифр. Докажите, что может быть равно только 1, 3 или Решение. Пусть число В — k-значное. Тогда среди чисел от до 10 k+1 + B ровно одно делится на B. Это число имеет вид 10m k m k−1 . . . это цифры. Раз делимость на B не зависит от порядка цифр, тона делятся также числа m k m k−1 . . . m 1 10 и m k m k−1 . . . m 1 01. Значит, их разность, равная 9, делится на B. Тогда B = 1, B = 3 или B = От детей ненужно требовать настолько формальной записи решения Ученик не знает, что делать Второе предложение из решения учащимся лучше подсказывать Листок 8. Разрежьте квадрат По этой теме ничего особенного рассказывать не требуется Разрежьте квадрат на а) 4; б) 8; в) 11 равных по форме и по площади частей. Ответ. см. рис. а) б) в) ◦ Ученик не знает, что делать Необязательно разрезать на квадраты Разрежьте квадрат на а) 6; б) 7; в) 8 квадратов. Ответ. см. рис. а) б) в) ◦ Ученик не знает, что делать Как разрезать квадрат на 9 квадратов А на 16? А можно ли теперь в этих разрезаниях сделать так, чтобы квадратов стало меньше Разрежьте квадрат на 20 одинаковых треугольников. Ответ. см. рис Ученик не знает, что делать Попробуйте разрезать на 10 прямоугольников. А как прямоугольник разрезать натре- угольника 4 Разрежьте квадрат на 5 прямоугольников так, чтобы никакие два прямоугольника не имели целой общей стороны. Ответ. см. рис Ученик не знает, что делать Можно подтолкнуть учащегося к решению, показав один-два прямоугольника Разрежьте квадрат со стороной 4 см на прямоугольники, сумма периметров которых равна см. Ответ. см. рис Ученик не знает, что делать Подскажите, что сумма периметров частей равна периметру квадрата плюс удвоенная длина разрезов Разрежьте квадрат 11 × 11 по сторонам клеток на 11 квадратов. Ответ. см. рис ◦ Ученик не знает, что делать Можно помочь учащемуся, нарисовав часть правильных разрезов Докажите, что квадрат можно разрезать на любое число квадратов (необязательно равных), большее пяти. Решение. Для 6, 7 и 8 частей это сделано в задаче 2. На рисунке ниже показано, как разрезать любой квадрат на 4 квадрата за счёт этой операции всегда можно увеличивать число квадратов на 3 (и вообще на любоей число, кратное 3). ◦ Ученик не знает, что делать Для какого числа частей мы уже умеем это делать А как теперь увеличить это число Разрежьте квадрата) на два равных пятиугольника б) на несколько выпуклых пятиуголь- ников. Ответ. см. рис. а) б) ◦ Ученик не знает, что делать а) Попробуйте мысленно разрезать квадрат пополам параллельно какой-либо стороне. А теперь дополните части до пятиугольников. б) Попробуйте резать симметрично. Если не получается, можно подсказать часть правильных разрезов Изобразите на клетчатой бумаге квадрат с вершинами в узлах сетки площадью а) 5; б) в) 10; г) 13 клеток. Ответ. см. рис. а) б) в) г) ◦ Ученик не знает, что делать Необязательно резать по линиям сетки Листок 9. Двигайся и работай! В начале занятия полезно напомнить определение скорости (при равномерном движении) как отношения пройденного пути ко времени его прохождения, и вытекающие из него формулы для выражения пути через скорость и время и времени через путь и скорость. Можно повторить основные единицы измерение скорости, времени и расстояния и способы перевода этих единиц друг в друга. Также нужно обсудить, что если два объекта движутся навстречу друг другу, то их скорость сближения (то есть скорость, с которой сокращается расстояние между ними) равна сумме их скоростей. Затем имеет смысл провести параллель между задачами на движение и задачами на работу. В последнем случае путь превращается в объём выполненной работы, а скорость — в производительность. Роль скорости сближения в задачах на работу играет производительность совместной работы, которая равна сумме производительностей всех работающих одновременно работников или механизмов Из дома Юра вышел на 5 минут позже Лены, нош л со скоростью в два раза большей, чем она. Через какое время Юра догонит Лену? Ответ. 5 минут. Решение. За 5 минут Юра пройдёт тоже расстояние, что Лена за 10 минут. Поэтому через пять минут после выхода Юры он догонит Лену Ученик не знает, что делать Попробуйте посмотреть на скорости Юры и Лены Собаки Жучка и Полкан увидели друг друга во дворе и одновременно побежали навстречу друг другу. Через 5 с, когда между ними оставалось 6 м, Жучка испугалась и встала как вкопанная, а Полкан ещё через 2 с подбежал к ней и поприветствовал. На каком расстоянии находились собаки, когда увидели друг друга, если Полкан бегает втрое быстрее Жучки? Ответ. 26 метров. Решение. Вычислим скорость Полкана: мс = мс. Вычислим скорость Жучки мс мс. Тогда скорость сближения будет 3 + 1 = мс. Вместе они пробежали мс · с = 20м. Тогда всё расстояние будет мм м Ученик не знает, что делать Вычислите скорости собаки скорость сближения Белка за 20 минут приносит в гнездо орех. Далеко ли от орешника её гнездо, если налегке белка бежит со скоростью 5 мс, ас орехом — со скоростью 3 м/с? Ответ. 2250 метров. Решение. Пусть расстояние от орешника до гнезда метров, тогда от гнезда к орешнику белка бежит /5 секунда от орешника к гнезду /3 секунды. В 20 минутах 1200 секунд. По условию задачи составляем уравнение /5 + /3 = 1200. Его решением будет x = 2250 метров Ученик не знает, что делать Составьте уравнение, приняв за неизвестное расстояние от орешника до гнезда Бенедикт и Франциск красят забор. Каждый из них по отдельности может покрасить забор за 8 часов. Забор начал красить Бенедикта спустя 2 часа к нему присоединился Франциск. За сколько часов был покрашен весь забор? Ответ. За 5 часов. Решение. Если за восемь часов Бенедикт красит весь забор, то за два часа он покрасит четверть забора, и останется покрасить ещё три четверти забора. Работая вдвоём, Бенедикт и Франциск покрасили бы весь забор за 4 часа. Тогда четверть забора они бы покрасили за часа три четверти забора — затри часа. Итого на покраску забора уйдёт 2 + 3 = 5 часов ◦ Ученик не знает, что делать Посмотрите, какую часть забора каждый красит за час На птицеферме Курочка Ряба 8 т корма курам хватает на 20 дней. На птицеферме «Серая Шейка» такого же запаса уткам хватает на 60 дней. Насколько дней хватит 8 т этого корма всем птицам вместе, если птицефермы объединятся? Ответ. На 15 дней. Решение. Задней утки с птицефермы Серая Шейка съедят восемь тонн корма, а куры с птицефермы Курочка Ряба за это же время съедят уже 8 · 3 = 24 тонны корма. Поэтому птицы с обеих птицеферм вместе задней съедят 32 тонны корма. Значит, 8 тонн корма они съедят вчетверо быстрее, то есть задней Ученик не знает, что делать Посмотрите, сколько тонн корма тратят фермы вместе задень Мальчик стоит на автобусной остановке им рзнет, а автобуса нет. Мальчик умеет бегать вчетверо медленнее автобуса и может увидеть автобус на расстоянии 2 км. До следующей остановки ровно 1 км. Есть ли смысл идти до следующей остановки, или есть риск упустить автобус? Ответ. Имеет смысл идти. Решение. Пусть мальчик пошел к следующей остановке ив какой-то момент заметил автобус. Скорость автобуса в четыре раза больше скорости мальчика, поэтому заодно и тоже время автобус проезжает расстояние в четыре раза большее. В случае, если они двигаются навстречу друг другу, до встречи с автобусом мальчик пробежит пятую часть от 2 км, то есть 2/5 км. Это означает, что отойдя от остановки не более, чем на 2/5 км, мальчик сможет успеть на автобус, побежав назад. В случае, если автобус догоняет мальчика, мальчик успеет пробежать треть от км (а автобус 4/3), то есть 2/3 км до момента, когда автобус его догонит. Это означает, что он сможет успеть на автобус, если до следующей остановки осталось не более 2/3 км. Так как 2/3 + 2/5 > 1, то у мальчика всегда будет возможность успеть на автобус, и имеет смысл идти Ученик не знает, что делать Рассмотрите случаи, когда мальчик побежит обратно (те. навстречу автобусу) и наследующую остановку (те. от автобуса, вычислите максимальное расстояние в обоих случаях, чтобы мальчик успел Ванна заполняется холодной водой за 6 минут 40 секунд, горячей — за 8 минут. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 минут 20 секунд. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой? Ответ. 5 минут. Решение. Заменим время в секундах временем в минутах 6 минут 40 секунд заменим на или 20/3, а 13 минут 20 секунд — на 40/3. За одну минуту холодной водой заполнится ванны, горячей — 1/8 ванны, а вытечет 3/40 ванны. Следовательно, за одну минуту наполнится + 1/8 − 3/40 = 1/5 ванны. Значит, вся ванна наполнится за 5 минут Ученик не знает, что делать Для удобства замените всё время на минуты. Посмотрите, какая часть ванны за минуту наполняется холодной водой, горячей водой, а также сколько за минуту выливается воды Артели косцов надо было скосить два луга, один из которых вдвое больше другого. Полдня вся артель косила большой луг. После полудня артель разделилась пополам первая половина осталась на лугу и докосила его к вечеру, а вторая половина косила малый луг, на котором к вечеру остался участок, скошенный за целый следующий день одним косцом. Сколько косцов в артели Ответ. 8 косцов. Решение. Обозначим за x часть большого луга, которую половина артели скосила за полдня. Тогда целая артель за полдня скосила 2x, а всего за первый день на большом лугу было скошено. Принимая весь большой луг за единицу, получим уравнение 3x = 1, откуда x = 1/3. То есть за полдня половина артели скосит треть большого луга. Поскольку маленький луг вдвое меньше большого, другая половина артели за те же полдня скосит столько же, то есть две трети маленького луга. Наконец, последнее условие задачи дат, что оставшуюся треть маленького луга один косец скосил задень. Половина артели скосила вдвое больше за вдвое меньшее время, значит, в половине артели 1 · 2 · 2 = 4 человека, а во всей артели 8 человек Ученик не знает, что делать Возьмите за неизвестное часть большого луга, которую половина артели скосила за полдня. Отталкиваясь от этой "величины вычислите все остальные величины (возьмите большой луг за "единицу Два пловца одновременно прыгнули с плывущего по реке плота и поплыли в разные стороны: первый — по течению, второй — против течения. Через пять минут они развернулись и вскоре вновь оказались на плоту. Кто из них вернулся раньше Скорости пловцов в стоячей воде необязательно равны. Ответ. Пловцы вернулись одновременно. Решение. Относительно плота каждый пловец всегда плывет со своей собственной скоростью (независимо оттого, поили против течения он плывет. По условию каждый пловец плыл минут, удаляясь от плота. Значит, ему потребуется ещё 5 минут, чтобы возвратиться обратно Ученик не знает, что делать Сточки зрения человека, находящегося на плоту, каждый пловец всегда плывет со своей собственной скоростью Однажды улитка заползла на вершину бамбука, который растёт так, что каждая его точка поднимается вверх с одной и той же скоростью. Путь вверх занял у улитки 7 часов. Отдохнув на вершине бамбука ровно час, она спустилась на землю за 8 часов. Во сколько раз скорость улитки больше скорости роста бамбука (обе скорости постоянны)? Ответ. В 9 раз. Решение. Всего улитка провела на бамбуке 7+1+8 = 16 часов. Пусть, поднимаясь вверх, улитка проползла расстояние равное x, аза час отдыха и 8 часов спуска улитки бамбук подрос на Тогда, спускаясь вниз, улитка проползла x + y. Составим выражения для определения скорости улитки при движении вверх по бамбуку x/7 и при спуске (x+y)/8. Получим, что x/7 = (те. 8x = 7x + 7y, или x = 7y. Так как бамбук подрос на y за 9 часов, скорость его роста равна y/9. Выполняя деление последнего равенства на 7, получим, что x/7 = 7y/7, откуда x/7 = Значит, скорость роста бамбука враз меньше скорости улитки Ученик не знает, что делать Сколько часов провела улитка на бамбуке Возьмите за неизвестное x расстояние, что улитка проползла вверх, аза неизвестное y — длину, на которую подрос бамбук за 1 час и часов спуска. Какое тогда расстояние проползла улитка, спускаясь вниз Составьте выражение для определения скорости улитки при движении вверх по бамбуку и при спуске Листок 10. Рыцари, лжецы и телепаты На острове живут аборигены двух племён: рыцари и лжецы Среди представителей обоих племён встречаются телепаты, которые воздействуют на своих соседей Если на рыцаря, не являющегося телепатом, воздействует телепат-лжец (и его действие не нейтрализовано действием соседа телепата-рыцаря с другой стороны, то рыцарь лжёт. В остальных случаях рыцарь говорит правду Если на лжеца, не являющегося телепатом, воздействует телепат-рыцарь (и его действие не нейтрализовано действием соседа телепата-лжеца), то лжец говорит правду. В остальных случаях лжец лжёт. • Телепаты нейтрализуют воздействие на себя соседей-телепатов. • Если телепат-рыцарь и телепат-лжец воздействуют с двух сторон одновременно на аборигена, не являющегося телепатом, то их действия нейтрализуются. Это занятие — с задачами про рыцарей и лжецов, ноне совсем такими, как вы привыкли. Здесь есть ещё и телепаты, которые воздействуют на своих соседей. Идея подобных задач принадлежит, по-видимому, Р. Г. Женодарову. Вначале занятия нужно прочитать и разобрать вместе со школьниками инструкцию выше. Стоит договориться об обозначениях. Например, Р — рыцарь-не-телепат, р — рыцарь-телепат, Л — лжец-не-телепат, л — лжец-телепат. Вот несколько возможных ситуаций для примера Р л — в такой ситуации оба будут лгать р Л — в такой ситуации оба будут говорить правду р л — здесь оба телепаты, они друг на друга не действуют р Р л — действия двух телепатов из разных племён на рыцаря в середине нейтрализуются, и этот рыцарь по-прежнему говорит правду Здесь на рыцаря, стоящего в центре, действуют сразу четыре телепата. Поскольку среди этих телепатов больше лжецов, чем рыцарей, то рыцарь в центре будет лгать. Расположение. р л Р л. л Обратите внимание (свои учащихся под действием телепатов аборигены не меняют свою принадлежность к тому или иному племени, а только временно говорят не так, как свойственно представителям их племени Может ли абориген произнести фразу а) Я лжец б) Я лгу»? Ответ. а) Да б) Нет. Решение. а) Фраза Я лжец может быть произнесена лжецом под действием рыцаря-телепата: он будет вынужден сказать правду (ведь он по-прежнему принадлежит к племени лжецов, хоть сейчас и говорит правду в силу обстоятельств. Тоже самое — для рыцаря-не-телепата под действием лжеца-телепата. б) А вот фраза Я лгуне может быть сказана никем ни при каких обстоятельствах — она характеризует то, что говорится в данный момента не принадлежность говорящего к одному из племён. 35 ◦ Ученик не знает, что делать а) Если ученик думает, что не может, то можно согласиться, что в случае отсутствия телепатов это верно, ну а если есть телепаты, то чтоб) Можно натолкнуть учащегося на мысль, что данная фраза характеризует то, что говорится в данный момента не принадлежность говорящего к одному из племён. 2 Шесть аборигенов встали вкруг. Трое заявили, что в круге чётное число рыцарей, а остальные трое заявили, что в круге нечётное число лжецов. Какое наибольшее число рыцарей может стоять в круге? Ответ. 5 рыцарей. Решение. Ясно, что одна половина утверждений верна, а другая — нет, поскольку суммарное количество рыцарей и лжецов должно быть чётным. Значит, лжецы в круге есть. При этом достаточно одного лжеца-телепата: при расстановке лРРРРР три рыцаря скажут правду про нечётное число лжецов, али два рыцаря рядом с ним солгут проч тное число рыцарей. Поэтому в круге стоит максимум 5 рыцарей Ученик не знает, что делать Есть ли лжецы в круге Какое должно быть суммарное количество лжецов и рыцарей А если лжецы есть, достаточно ли будет одного лжеца 10 аборигенов встали вряд. Каждый сказал Я телепат. Сколько телепатов могло быть среди них Укажите всевозможные варианты. Ответ. 0 телепатов или 10 телепатов. Решение. Заметим, что назваться телепатом может только 1) Л без влияния р 2) р 3) Р под влиянием л. Последний случай невозможен, так как л, если бы он там был, самбы не назвался телепатом. Отсюда следует, что возможны только два очевидных предельных случая: ЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛ (0 телепатов) и рррррррррр (10 телепатов Ученик не знает, что делать Кто ив каком случае может назваться телепатом Перечислите все варианты. Что отсюда следует Вкруг встали несколько аборигенов (больше одного. Сначала все сказали Среди моих соседей есть лжец. Следом все сказали Среди моих соседей есть рыцарь. И, наконец, все сказали Среди моих соседей есть телепат. Сколько аборигенов могло быть в круге Укажите все варианты. Ответ. Любое число, кратное четырём. Решение. Все говорящие должны говорить правду (иначе среди их соседей не будет ни рыцарей, ни лжецов. Значит, у каждого среди соседей есть рыцарь, лжец и телепат. Чтобы выполнялись первые два условия, аборигены должны чередоваться по два РРЛЛРРЛЛ... При этом все рыцари должны быть телепатами, а лжецы — нет (чтобы лжецы под влиянием рыцарей говорили правду. Таким образом, количество аборигенов в круге может быть любым, кратным четырём (в противном случае круг не замкнётся). ◦ Ученик не знает, что делать Может ли кто-то из говорящих лгать Что отсюда следует Кандидатами в президенты острова были выдвинуты 4 аборигена два рыцаря, один из которых обладает телепатическими способностями, а другой — нет, и два лжеца, один из которых обладает телепатическими способностями, а другой — нет. После выборов они выстроились вряд, и каждый сказал Я или мой сосед — президент. Затем первый сказал Мой сосед лжец, второй сказал Оба моих соседа — рыцари, третий сказал Оба моих соседа — лжецы, а четвёртый сказал Мой сосед — лжец. Определите, кто стал президентом и где он стоит Ответ. Президентом стал второй, он лжец-не-телепат. Решение. Пусть второй говорит правду. Тогда он Лине телепат, иначе он бы лгал, первый и третий — Родин из них телепат, четвёртый — л. Так как третий говорит правду, находясь под влиянием четвёртого, он должен быть р. В этом случае первые трое говорят правду, значит, президент — второй, ион Л (не телепат). Пусть теперь второй лжёт. Тогда президентом может быть только четвёртый, и значит, они третий говорят правду. Тогда лжецами должны быть второй, третий и четвёртый, чего быть не может. Значит, такая ситуация невозможна Ученик не знает, что делать Попробуйте рассмотреть случаи, когда второй говорит правду, и когда неправду В каждой клетке доски 4 × 4 стоит абориген. Какое наибольшее число из них может произнести фразу Я лжеца) Соседями считаются соседи по стороне и по диагонали, то есть если клетки имеют хотя бы одну общую точку. б) Соседями считаются соседи только по стороне. Ответ. а) 12; б) Решение. Из задачи №1 следует, что для максимального количества ответов Я лжец все не телепаты (а только они могут такое сказать) должны говорить Я лжец под влиянием телепатов из другого племени. Эту фразу произнесут все Л, на которых действуют р. а) Ставим четырёх р в центральные клетки, а в остальные ставим лжецов. Теперь 12 лжецов говорят «Я лжец. Докажем, что больше таких утверждений получить не удастся. Разделим доску на квадрата 2 × 2. Тогда в каждом квадрате утверждений Я лжец может быть не больше трёх (либо в этом квадрате есть телепат, который так не скажет, либо на угловую клетку не действуют телепаты, и стоящий там тоже так не скажет. Кстати, в этом случае примерна можно построить с помощью трёх и даже двух телепатов. б) 12 утверждений Я лжец» можно получить при такой расстановке, как на рисунке ниже. Докажем, что больше таких утверждений получить не удастся. Пусть их больше. Тогда на доске не более трёх телепатов. Каждый телепат действует максимум на 4 других аборигенов. Значит, всего под действием трёх телепатов максимум 12 других аборигенов скажут Я лжец. Тогда наго аборигена никто не действует, ион не скажет Я лжец Ученик не знает, что делать Попробуйте посмотреть на задачу №1. Кто должен говорить Я лжец для максимального количества этих ответов Если ученик не понимает, можно подсказать, что ответ 12 в обоих пунктах. От учащегося будет требоваться доказать, что больше нельзя По кругу в некотором порядке стоят пять рыцарей и пять лжецов. Каждый сказал Среди моих соседей есть рыцарь. При каком наименьшем числе телепатов среди них это возможно? Ответ. Два телепата (рыцаря). Решение. Совсем без телепатов обойтись нельзя обязательно будет лжец, стоящий рядом с рыцарем, ион должен сказать правду под действием р. Более того, лжецов, стоящих рядом с рыцарями, будет минимум два, причём если их ровно два, тона них должны действовать разные телепаты-рыцари (иначе не удастся разместить всех лжецов. Поэтому рыцарей-телепатов должно быть минимум два. Легко построить пример с двумя телепатами рРРРрЛЛЛЛЛ. 37 ◦ Ученик не знает, что делать Можно ли обойтись совсем без телепатов Может ли быть около рыцаря менее двух лжецов Листок 11. Переливания В задачах на переливания нельзя переливать жидкости на глазок. К примеру, нельзя быть уверенным, что мы наполнили в точности половину ёмкости. Поэтому, если в ёмкость наливается жидкость, то она наливается до краёв; если мы жидкость выливаем/переливаем, то выливаем всю, без остатка, а переливаем до тех пор, пока не опорожнится первая ёмкость либо не наполнится вторая (если в условии задачи явно не написано иное Имеются два ведра одно ёмкостью 4 литра, другое — 9 литров. Можно ли набрать из реки ровно 6 литров воды? Ответ. Можно. Решение. Действуем следующим образом наливаем воду в литровое ведро переливаем в литровое, остается 5 литров, выливаем литровое в реку переливаем в литровое ведро, остается 1 литр в литровом, выливаем литровое в реку переливаем 1 литр в литровое ведро наливаем литровое и опять переливаем в литровое, в котороем есть уже 1 литр. В итоге литра выльется, а в литровом ведре останется 9 − 3 = 6 литров Школьник не знает, что делать Попробуйте получить 1 литр в 9-ти литровом ведре Можно ли отмерить 8 литров воды, находясь у реки и имея два ведра одно вместимостью литров, другое — вместимостью 16 литров? Ответ. Можно. Решение. Действуем следующим образом Наливаем воду в литровое ведро и переливаем всё в литровое. Остаётся 1 литр Выливаем всё из литрового и выливаем в него 1 литр, который оставался в литровом Снова набираем литровое ведро и переливаем всё в литровое. Сейчас в литровом осталось уже 2 литра воды (так как в литровом ведре уже был 1 литр воды Выливаем из литрового всё и заливаем туда 2 литра из литрового Повторяем так ещё несколько раз, пока не накопится 8 литров Школьник не знает, что делать Попробуйте получить 1 литр в литровом. А 2 литра Есть три бидона ёмкостью 14 литров, 9 литров и 5 литров. В самом большом бидоне 14 литров молока, остальные бидоны пусты. Как с помощью этих сосудов разлить молоко пополам? Решение. Действуем последующей схеме (первое число - сколько литров в литровом бидоне, второе - сколько в литровом, третье - сколько в литровом 14,0,0 − 9,0,5 − 9,5,0 − 4,5,5 − 4,9,1 − 13,0,1 − 13,1,0 − 8,1,5 − 8,6,0 − 3,6,5 − 3,9,2 − 12,0,2 − 12,2,0 − 7,2,5 − 7,7,0. ◦ Школьник не знает, что делать Получите сначала 1 литра затем 2 литра в литровом бидоне В бакене менее 10 литров бензина (но неизвестно, сколько именно. Можно ли отлить из бака 6 литров бензина с помощью девятилитрового ведра и пятилитрового бидона Решение. Действуем следующим образом (порядок бак, литровое ведро, литровый бидон 10, 0, 0− > 5, 0, 5− > 5, 5, 0− > 0, 5, 5− > 0, 9, 1− > 9, 0, 1− > 9, 1, 0− > 4, 1, 5− > 4, 6, 0. ◦ Школьник не знает, что делать Попробуйте получить один литр. Это можно сделать в литровом бидоне Таня стоит на берегу реки. У неё есть два глиняных кувшина один на 5 литров, а про второй Таня помнит лишь то, что он вмещает то ли 3, то ли 4 литра. Помогите Тане определить ёмкость второго кувшина. (Заглядывая в кувшин, нельзя понять, сколько в нём воды). Решение. Первый способ. Пусть Таня нальёт из полного малого кувшина речную воду в большой, а затем наполнит малый и из него дольёт большой доверху. Далее Тане надо опорожнить большой сосуд и вылить в него остаток из малого. Если малый был на 3 литра, то сейчас в большом 1 литр, иначе — 3 литра. Теперь пусть Таня снова попытается перелить воду из полного малого кувшина в большой. Если это ей удастся, то малый был трёхлитровым, если вода польётся через край, — четырёхлитровым. Второй способ. Если бы у Тани большой кувшин вмещал 10 литров, то достаточно было бы попытаться налить в него воду из малого трижды. Если вода польётся через край, то малый на 4 литра, если нетто на 3. С пятилитровым кувшином такая проверка возможна, если Таня опорожнит пятилитровый кувшин, когда тот заполнится Школьник не знает, что делать Если бы у Тани большой кувшин вмещал 10 литров, то достаточно было бы попытаться налить в него воду из малого трижды Имея два полных литровых бидона молока и пустые 4 и литровые кастрюли, отлейте по 2 литра молока в каждую кастрюлю. Решение. Действуем следующим образом (в первом 10 литров, во втором 10 литров, третий (объемом в 5 литров) — пуст, четвертый (4 литра) — также пуст → 10,5,5,0 → 10,5,1,4 → 10,9,0,1 → 10,4,5,1 → 10,4,2,4 → 10,8,2,0 → 10,8,0,2 → 10,3,5,2 → 10,3,3,4 → 10,7,3,0 → 6,7,3,4 → 6,7,5,2 → 6,10,2,2. ◦ Школьник не знает, что делать Попробуйте получать 1 литр в разных бидонах Есть три одинаковых больших сосуда. Водном литра сиропа, в другом — 20 литров воды, третий — пустой. Можно выливать из одного сосуда всю жидкость в другой или в раковину. Можно выбрать два сосуда и доливать в один из них из третьего, пока уровни жидкости в выбранных сосудах не сравняются. Как получить 10 литров разбавленного го сиропа? Решение. Обозначим сосуды с сиропом, с водой и пустой соответственно A, B и C. Перельём изв литра воды, а затем выльем эти 3 литра в раковину повторим эту операцию несколько раз, пока вне останется 5 литров воды, причём в последний раз перельём воду из C не в раковину, а в A. Теперь в A — 6 литров смеси, а C снова пуст. Перельем 5 литров изв. Теперь можно перелить 4 литра воды изв, а оставшийся в B литр вылить в раковину. Осталось вернуть 5 литров смеси изв, где образуется 10 литров смеси 3 литра сиропа и литра воды, то есть процентный сироп Школьник не знает, что делать Попробуйте отмерить 5 литров воды. Слейте 3 литра воды в сироп. Какая смесь уже получена На столе стоят восемь стаканов с водой. Разрешается взять любые два стакана и уравнять в них количества воды, перелив часть воды из одного стакана в другой. Докажите, что с помощью таких операций можно добиться того, чтобы во всех стаканах было поровну воды Решение. Разделим стаканы на пары A - A 0 , B - B 0 , C - C 0 , D - D 0 , и уравняем количества воды в каждой паре стаканов. Теперь у нас две совершенно одинаковые четверки A, B, C, D и, B 0 , C 0 , D 0 . Уравняем количество воды впервой четверке, а затем точно таким же способом во второй четверке. Итак, мы свели нашу задачу к той же самой задаче, но уже для четырех стаканов. Точно также разделим четыре стакана по парами, уравняв количества воды в этих парах, сведем задачу к случаю двух стаканов. Нов двух стаканов количества воды можно уравнять по условию Школьник не знает, что делать 8 — это степень двойки. Решите эту задачу сначала для четырех стаканов, а затем — для восьми Листок 12. Проценты В начале занятия нужно напомнить, что такое проценты и разобрать у доски а) как посчитать процент от числа x; б) как увеличить или уменьшить число x на сколько-то процентов в) что значит, что x — это сколько-то процентов от числа y. 1 На что нужно умножить данное число, чтобы оно а) возросло наб) уменьшилось на 78%? Ответ. а) 1,27; б) 0,22. |