кружок по математикк. Составители Е. А. Асташов, Я. А. Верёвкин, A. А. Дейч, см. Саулин, А. В. Феклина
 Скачать 0.6 Mb.
|
|
Московский государственный университет имени МВ. Ломоносова Математический кружок класс, I полугодие) Составители: Е. А. Асташов, Я. А. Верёвкин, A. А. Дейч, СМ. Саулин, А. В. Феклина Часть II: методические указания Москва, 2017 Математический кружок (7 класс, I полугодие. Часть II: методические указания / Универсальная методическая разработка для элективного курса по решению нестандартных задач в средних общеобразовательных учреждениях г. Москвы // Сост. Е. А. Асташов, Я. А. Верёвкин, A. А. Дейч, СМ. Саулин, А. В. Феклина. М МГУ, Брошюра разработана в рамках совместной программы Развитие интеллектуальных способностей математически ода- рённых школьников и повышение качества математического образования МГУ и Департамента образования города Москвы. Содержание Общие указания по проведению кружка 4 Листок 1. Письменная работа 6 Листок 2. Задачи для знакомства 10 Листок 3. Кубы и кубики 13 Листок 4. Переправы 16 Листок 5. Последняя цифра 19 Листок 6. Календарь 22 Листок 7. Признаки делимости на 3 и 9 Листок 8. Разрежьте квадрат 28 Листок 9. Двигайся и работай! 32 Листок 10. Рыцари, лжецы и телепаты 35 Листок 11. Переливания 39 Листок 12. Проценты 42 Листок 13. Можно или нельзя? 44 Листок 14. Задачи про часы 47 Листок 15. Шахматные задачи 3 Общие указания по проведению кружка Методическая разработка состоит из тридцати листочков с задачами. Листочки из части предназначены для распечатывания и выдачи участникам кружка. Здесь же, в части II, приведены ответы и решения к задачам, указания, советы, идеи и примеры разного рода, которые могут оказаться полезными при использовании этой разработки. Конечно, мы не предлагаем буквально следовать всем этим советам! На первых двух занятиях кружка руководителю важно примерно понять общий уровень участников и степень их знакомства с отдельными темами. Для этого на нулевом занятии кружка мы предлагаем провести письменную работу с задачами по разным темам, которую затем надо проверить (ниже даются критерии проверки по предложенным задачами подвести статистику решения задач — не только по каждому ученику, но и по каждой задаче. Напер- вом занятии участникам выдаются проверенные работы, проводится разбор задачи типичных ошибок при решении. Затем школьникам выдаётся ещё один листочек с задачами по разным темам (Знакомство, и занятие проводится уже по обычной схеме (см. ниже. На этом занятии школьники привыкают к формату проведения кружка, а руководитель продолжает оценивать знания и способности школьников (в частности, умение излагать свои мысли устно). Занятие по листочку проводится последующей схеме. До занятия руководитель кружка решает сам все задачи, которые он собирается предложить детям. При этом важно подумать о том, как будут подходить к решению этих задач ваши ученики. Если решение задачи требует знаний по школьной программе, которых у ваших учеников пока нет, такую задачу давать на кружке нив коем случае не следует. В начале занятия можно разобрать некоторые задачи предыдущего занятия — если об этом просят школьники или если руководитель кружка считает нужным это сделать Разбирать абсолютно все задачи ненужно лучше обратить внимание нате задачи, при решении которых школьники допускали много ошибок или над которыми школьники долго думали, ноне дошли до полного решения Отдельные задачи, которые являются ключевыми поданной теме, стоит разбирать у доски. Если многие на них застряли, то стоит дать подсказку или даже разобрать эти задачи у доски в середине занятия. Если такую задачу не решило меньшинство школьников — сними можно её обсудить индивидуально или разобрать её у доски в конце занятия Разбор задач, по нашему мнению, лучше проводить именно вначале следующего занятия, а не на том же занятии, на котором задачи были даны так у школьников останется возможность ещё подумать над задачами дома (в качестве необязательного домашнего задания). Обязательных домашних заданий на кружке мы не советуем задавать. Затем руководитель кружка объясняет новую тему. В комментариях к каждому листочку написано, что мы рекомендуем рассказывать школьникам вначале каждого занятия Если тема близка к школьной программе и не требует никаких дополнительных знаний, всё равно полезно бывает напомнить необходимые определения и факты Вначале занятия стоит не только объяснять теорию, но и разбирать две-три несложные задачи по теме у доски для разгона (примеры таких задач мы тоже приводим в комментариях, новы можете подобрать и свои — по своему вкусу ив зависимости от уровня ваших учеников. Эти задачи следует подбирать так, чтобы на сравнительно простых примерах проиллюстрировать применение нового метода или использование нового понятия В листочках по некоторым темам есть формулировки теорем, которые надо обсуждать и разбирать на примерах вначале занятия. Доказывать эти теоремы вначале занятия необязательно и иногда даже вредно (на это уходит много времени от занятия. Часть этих теорем доказывается в школьном курсе математики. Некоторые теоремы предлагается доказать в качестве одной из задач листочка (иногда для решения этой задачи нужно сначала решить несколько предшествующих ей наводящих задач, поэтому такие задачи обычно стоят ближе к концу листочка. Однако в первую очередь (особенно для не очень сильных школьников) важнее не досконально разобраться в доказательстве самой теоремы, а научиться её применять при решении задач. После объяснения новой темы каждому участнику кружка выдаётся распечатанный листок с условиями задач школьники самостоятельно думают над задачами руководитель кружка и его помощники (если они есть) индивидуально принимают решения задач если решение неверно, школьнику предлагается подумать ещё и исправить недочёты; • если решение верно, школьник получает «плюсик» и поздравления (Молодец ненужно ставить оценки. Мы категорически не советуем делать занятия кружка обязательными для посещения проводить на кружке проверочные и контрольные работы стремиться подготовить детей к определённому виду соревнований / олимпиад стремиться объяснить детям решения абсолютно всех задач разработки читать указания и решения к задачам, не прорешав их самостоятельно. Плюсики за решённые задачи обычно записываются в специальную табличку. Без неё вполне можно и обойтись, но, во-первых, она даёт возможность руководителю кружка анализировать статистику решения задача во-вторых — детям приятно получить «плюсик». Основная цель каждого занятия кружка в том, чтобы дети самостоятельно придумали решения нескольких нестандартных задачи испытали радость. Поэтому не стоит расстраиваться, если некоторые задачи вы не успеете разобрать или никто из детей не дойдёт до самых последних задач. Мы считаем, что если участник кружка за занятие самостоятельно решит задачи и ещё по 1-2 задачам у него будут какие-то полезные соображения, то это уже хороший результат. Что делать, если задачи окажутся слишком сложными для ваших учеников Мы нив коем случае не советуем превращать занятие кружка в разбор всех задачу доски. Иногда можно давать подсказки (как индивидуально, таки у доски) — некоторые конкретные советы мы приводим ниже. Если большинство предложенных задач слишком трудны, мы советуем подбирать к каждому занятию несколько задач попроще. При выборе задач в первую очередь руководствуйтесь собственным вкусом и силами ваших детей — задачи должны нравиться вами должны пусть и не сразу, но без существенных подсказок получаться у ваших детей. Желаем успеха Листок 1. Письменная работа Основная цель письменной работы — получить представление о том, какие темы ив какой степени знакомы школьникам. Если у большинства учащихся нет опыта в решении олимпиадных задач, то рекомендуется пропустить письменную работу и начать занятия сразу со Знакомства. В этом случае письменную работу можно провести в середине учебного года для проверки того, насколько хорошо и полно учащиеся способны изложить свои решения самостоятельно. После письменной работы (наследующем занятии кружка) все задачи стоит разобрать у доски Известно, что a + b = 20 и b − c = 10. Найдите a + Ответ. Решение. Самый изящный, на наш взгляд, способ a+b−(b−c) = a+b−b+c = a+c = 20−10 = Другой способ, который, скорее всего, предложат школьники из второго условия следует, что b = c + 10, значит, a + b = a + c + 10 = 20, откуда a + c = 10. • Подбородной подходящей тройки чисел (a, b, c) не является решением, поскольку возникает вопроса если подобрать другую подходящую тройку чисел, для неё ответ будет таким же или необязательно На это нужно обратить внимание школьников при разборе задач Трое преподавателей спорили, кто из них самый строгий. Андрей сказал Я самый строгий. Даниил не самый строгий. Николай сказал Андрей не самый строгий. Я самый строгий». Даниил сказал Я самый строгий. Оказалось, что все утверждения самого строгого преподавателя истинны, а все утверждения остальных преподавателей ложны. Так кто же из них самый строгий? Ответ. Андрей. Решение. Пусть сначала Андрей самый строгий. Тогда он говорит правду, а остальные лгут, и всё сходится. Этот случай возможен. Пусть теперь Николай самый строгий. Но тогда Даниил не самый строгий, то есть второе утверждение Андрея истинно, чего быть не может. Значит, Николай не самый строгий. Наконец, пусть Даниил самый строгий. Но тогда Андрей не самый строгий, то есть первое утверждение Николая истинно, чего быть не может. Значит, Даниил не самый строгий. Таким образом, первый из разобранных случаев — единственно возможный Решение, в котором разобран только первый случай и не доказано, что остальные два случая невозможны, решением не является, так как не доказывает, что найденный случай единственно возможный Решение, в котором разобраны два невозможных случая и не проверяется, что оставшийся случай возможен, также формально не является полным. По письменной работе вряд ли удастся понять, была ли проведена проверка для оставшегося случая (поскольку школьники вполне справедливо считают такую проверку очевидной и не считают нужным о ней упоминать в письменном решении, поэтому такие решения стоит засчитать как верные, нона необходимость проверки нужно указать вовремя разбора задач Три одинаковых игральных кубика уложены друг на друга так, как показано на рисунке 1. Соседние кубики приложены друг к другу одинаковыми гранями. Сколько точек на нижней грани самого нижнего кубика Ответ обоснуйте. Примечание: в этой задаче сумма чисел на противоположых гранях кубиков необязательно равна 7, как на правильных игральных кубиках. Ответ. Одна. Рис. 1. К задаче Решение. На грани, противоположной шестёрке (то есть на нижней грани верхнего кубика, не может находиться ни четвёрка, ни пятёрка — на верхнем кубике они соседствуют с шестёркой. На верхней грани среднего кубика такое же число, как на нижней грани верхнего кубика, и это не может быть ни двойка, ни тройка. Значит, на этой грани может быть только единица. Тогда на нижней грани среднего кубика и верхней грани нижнего кубика — шестёрки (напротив единицы, а на нижней грани нижнего кубика — единица Заметим, что для ответа на вопрос задачи видимые грани нижнего кубика не понадобились По картинке можно однозначно восстановить устройство кубиков напротив четвёрки располагается двойка, а напротив тройки — пятёрка. 4 В июле некоторого года было четыре понедельника и четыре пятницы. Каким днём недели могло быть 15 июля указанного года Перечислите всевозможные варианты и докажите, что других нет. Ответ. Вторником. Решение. В июле 31 день, аи июля приходятся на тот же день недели, что и 1 июля. Если июля — понедельник, суббота или воскресенье, тов июле 5 понедельников. Если 1 июля среда, четверг или пятница, тов июле 5 пятниц. Значит, июль может начинаться только со вторника. В этом случаев нём ив самом деле 4 понедельника и 4 пятницы, а 15 июля приходится на тот же день недели, что и 1 июля, то есть на вторник Если школьник доказал только, что 1 июля может быть вторником, ноне доказал, что оно не может быть другим днём недели, то задача не решена, потому что не доказано отсутствие других вариантов. Вовремя разбора задач стоит сказать школьникам, что на самом деле условия очень многих задач по математике подразумевают фразу Перечислите всевозможные варианты и докажите, что других нет. Поэтому, найдя один подходящий ответ, нужно всегда проверять, есть ли другие Есть 20 роз, 9 тюльпанов и 8 астр. Сколько существует способов составить букет из цветка Ответ обоснуйте. Ответ. 89 способов. Решение. Чтобы составить букет, достаточно выбрать, сколько в нём будет тюльпанов и сколько астра недостающие до 21 цветы сделать розами. Есть 10 способов выбрать количество тюльпанов (от 0 до 9). Для каждого способа выбрать количество тюльпанов есть по 9 способов выбрать количество астр (от 0 до 8). Итого получаем 10 · 9 = 90 способов выбрать количество тюльпанов и астр. Однако один из этих способов (когда тюльпанов и астр 0) не подходит, так как роз всего 20, а в букете должен быть 21 цветок, и все они розами быть не могут. Поэтому остаётся только 89 подходящих способов выбрать количество тюльпанов и астра значит, и составить букет Полный перебор засчитывается как верное решение. Если не хотите принимать такие решения, увеличьте числа в условии задачи (например, можно вместо чисел 20, 9, 8 и взять 200, 99, 101 итак, чтобы выписать полный перебор школьникам за разумное время не удалось, да и не захотелось При разборе решения этой задачи обратите особое внимание на объяснение того, почему числа 10 и 9 надо перемножать, а не складывать. Этому вопросу далее будет посвящено несколько задач по теме Комбинаторика Рита, Люба и Варя решали задачи. Чтобы дело шло быстрее, они купили конфет и условились, что за каждую решённую задачу девочка, решившая её первой, получает четыре конфеты, решившая второй — две, а решившая последней — одну. Может ли быть, что каждая из них решила все задачи и получила 20 конфет, если одновременных решений не было? Ответ. Не могло. Решение. За каждую задачу девочки в сумме должны получить 7 конфет. Значит, общее количество полученных ими конфет должно делиться на 7. Но по условию задачи это количество должно быть равно 20 · 3 = 60, а 60 не делится на 7. Значит, описанная в условии ситуация невозможна Может ли прямая пересекать все стороны а) угольника, б) угольника, при этом не проходя через его вершины Ответы обоснуйте. Ответ. а) Да б) нет. Решение. а) Пример угольника и прямой — на рисунке 2. Для построения примера существенно, что угольник должен быть невыпуклым. Можно придумать и принципиально другие примеры. б) Проведём доказательство от противного предположим, что для некоторого угольника искомая прямая существует. Контур любого многоугольника делит плоскость на две непере- секающиеся области — внутреннюю и внешнюю. (На самом деле это нетривиальное утверждение, известное под названием теоремы Жордана, номы будем считать его очевидным.) Отметим на прямой все точки её пересечения со сторонами 11- угольника — всего 11 точек. Они делят прямую на 12 частей два луча и 10 отрезков. Половина этих частей (части, идущие через одну) должна находиться внутри угольника, а другая половина — снаружи. Это следует из того, что если прямая не проходит через вершины 11-угольника, то каждый раз, пересекая границу многоугольника, мы будем попадать из внешней области во внутреннюю или наоборот. Отсюда следует, что один из двух лучей лежит внутри многоугольника, что противоречит ограниченности многоугольника. Значит, наше предположение неверно, и ситуация, описанная в условии, невозможна. Рис. 2. К задаче б Решение пунктов аи б следует оценивать отдельно. Это две идейно разные задачи, хоть и с общим сюжетом одна — задача на построение примера, а другая — на доказательство невозможности с помощью инварианта При разборе задач можно показать несколько примеров для пункта а — например, тот, что приведён выше, и все принципиально другие примеры, которые школьники придумают самостоятельно (вовремя работы, дома или после того, как показан первый пример В офисе каждый компьютер был соединён проводами ровно с 5 другими компьютерами. После того, как часть компьютеров поразил вирус, все провода от заражённых компьютеров отключили (всего пришлось отключить 26 проводов. Теперь каждый из незаражённых компьютеров соединён проводами только с 3 другими. Сколько компьютеров поразил вирус? Ответ. 8 компьютеров. Решение. Пусть m компьютеров заражено, а n — нет. Тогда до заражения было 5(m + проводов, а после отключения их осталось 3n/2 (отсюда, в частности, следует, что n чётно). Рразность этих чисел равна 26, откуда 5m + 2n = 52. Это уравнение имеет два решения в натуральных числах, в которых n чётно (доказать это можно перебором m = 4, n = 16 и m = 8, n = 6. Первый вариант не годится даже если бы все зараженные компьютеры были соединены проводами только со здоровыми, то пришлось бы отключить максимум 4 · 5 = проводов, а не 26. Второй вариант годится можно построить пример. Пример можно построить следующим образом. Обозначим n = 6 здоровых компьютеров буквами A, B, C, D, E, F, а m = 8 заражённых пронумеруем цифрами от 1 до 8. Соединим здоровые компьютеры так AB, BC, CD, DE, EF, FA, AD, BE, CF. При этом каждый будет соединён проводами стремя другими, а проводов будет 3n/2 = 9. Теперь добавим по два провода от здоровых компьютеров к заражённым: соединим A и B c 1 и 2 каждый, C и D — си каждый, E и F — c 5 и 6 каждый. Затем каждый из заражённых компьютеров 1–4 соединим с компьютерами 7 и 8, а также соединим между собой 12, 25, 53, 34, 46, 61, 56, 78. Теперь каждый из здоровых компьютеров соединён стремя другими здоровыми и двумя заражёнными, каждый из заражённых компьютеров 1–6 соединён с двумя здоровыми и тремя другими заражёнными, а заражённые компьютеры 7 и 8 соединены с пятью другими заражёнными каждый. Таким образом, построенный пример удовлетворяет условию Решение, в котором получены оба случая m = 4, n = 16 и m = 8, n = 6, ноне указано, почему первый из них не подходит, можно оценить в 0,5 балла Решение, содержащее все вышеописанные шаги, кроме примера для случая m = 8, n = можно засчитывать как верное. Однако вовремя разбора задач следует обратить внимание школьников на необходимость этого примера для полноты решения. (Мы заметили, что первый случай по некоторым причинам не подходит. Может быть, и второй случай по какой-то причине невозможен Чтобы удостовериться, что он возможен, нужно построить пример Чтобы разобраться в приведённом выше примере, его полезно изобразить, обозначая разными цветами провода разных типов (здоровый – здоровый, здоровый – заражённый», за- ражённый – заражённый»). Школьникам, увидевшим готовый пример, полезно попробовать придумать свой собственный Листок 2. Задачи для знакомства Данный листок содержит подборку задач по разным темам. Цель занятия — познакомить учащихся с различными типами задач, от конструирования примеров до решения содержательных задач по предстоящим темам. Устная сдача задач позволяет оценить не только качество решения задачи, но и способность устно объяснить это решение принимающему. Также это занятие можно рассматривать как дополнение или замену письменной работы — для получения представления об общем уровне учащихся и степени их знакомства с различными темами На новой картине Казимира Малевича Круги и квадраты изображено 19 синих фигур и 16 зелёных (других красок у Малевича не нашлось. При этом кругов нарисовано враз больше, чем квадратов. Сколько кругов нарисовал Малевич? Ответ. 30 кругов. Решение. Всего фигур 35; квадраты составляют седьмую часть от общего количества. Значит, квадратов 5, а кругов 30. ◦ Ученик не знает, что делать Попробуйте посчитать общее число фигур. А какую часть от них составляют квадраты На доске написано число 23. Каждую минуту число стирают с доски и на его место записывают произведение его цифр, увеличенное на 12. Какое число окажется на доске через час? Ответ. Решение. Выпишем первые несколько чисел, появляющихся на доске 23 – 18 – 20 – 12 – 14 – 16 – 18 и далее по циклу (цикл по 5). Через час как раз будет заканчиваться й цикли на доске будет написано число 16. ◦ Ученик не знает, что делать Попробуйте воспроизвести этот процесс сами. Заметили закономерность Найдите наименьшее натуральное число а) кратное 10, сумма цифр которого равна 10;б) кратное 100, сумма цифр которого равна 100; в) кратное 5, сумма цифр которого равна Ответа б) 199999999999 (11 девяток) в) Решение. а) Чтобы число делилось на 10, оно должно оканчиваться на 0. Если число будет двузначным с нулём на конце, то его сумма цифр будет не больше 9. Значит, число должно быть по крайней мере трёхзначным. Наименьшим из трёхзначных чисел с указанными свойствами будет то, у которого в разряде сотен стоит единица. Чтобы сумма цифр этого числа была равна 10, в разряде десятков у него должна стоять девятка. Получаем число б) Чтобы число делилось на 100, оно должно оканчиваться двумя нулями. Если число будет не более чем 13-значным с двумя нулями на конце, то (поскольку каждая цифра не больше сумма его цифр будет не больше 99. Значит, число должно быть по крайней мере 14-значным. Из 14-значных чисел с указанными свойствами наименьшим числом будет то, у которого в старшем разряде единица. Тогда остальные его цифры (кроме двух нулей на конце) должны быть девятками, и это будет число 19999999999900 (11 девяток). в) Чтобы число делилось на 5, оно должно оканчиваться нулём или пятёркой. Если число не более чем трёхзначное и оканчивается нулём или пятёркой, то сумма его цифр не больше + 9 + 9 = 23. Значит, число должно быть по крайней мере четырёхзначным. Среди четы- рёхзначных чисел с указанными свойствами наименьшим будет то, у которого в разряде тысяч стоит наименьшая цифра. Если там стоит единица, то сумма цифр числа не превосходит + 9 + 9 + 5 = 24. Значит, там должна стоять хотя бы двойка. В последнем случае сумма цифр достижима, только если это число 2995. Остальные числа с указанными свойствами будут больше найденного ◦ Ученик не знает, что делать а) Какой признак делимости на 10? Попробуйте посмотреть на количество разрядов. Может ли такое число быть с одним разрядом Двумя А тремя Обратите внимание, что число должно быть наименьшим. б) Какой признак делимости на 100? Попробуйте посмотреть на количество разрядов. Аналогично пункту а) посмотрите на разряды. Какое количество разрядов минимально допустимо? Обратите внимание, что число должно быть наименьшим. в) Какой признак делимости на 5? Аналогично пункту а) посмотрите на разряды. Какое количество разрядов минимально допустимо Обратите внимание, что число должно быть наименьшим На клетчатой бумаге нарисована фигура (см. рис в верхнем ряду — одна клеточка, во втором сверху — три клеточки, в следующем ряду — 5 клеточек, итак далее. Сколько всего в этой фигуре клеточек, если в ней а) 5 рядов б) 9 рядов в) 2016 рядов? Ответ. 2016 2 = Решение. Число клеток в м ряду фигуры равному нечётному числу. Значит, площадь такой фигуры из n рядов равна сумме первых n нечётных чисел. а) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25. б) Девятое нечётное число — это число 17. Ну ив) Заметим, что число клеток в такой фигуре всегда равно квадрату числа рядов. Это легче всего заметить геометрически (см. рисунок. В частности, если фигура состоит из 2016 рядов, то количество клеток в ней равно 2016 2 = 4064256. ◦ Ученик не знает, что делать Попробуйте посчитать количество клеток в м ряду. А 4? А м Дополнительно для пункта б А как лучше суммировать сумму всех нечётных чисел Напрямую тяжело, может, есть другой способ Дополнительно для пункта в А если посмотреть в общем, то как связаны число клеток и количество рядов Как, не отрывая карандаша от бумаги, провести шесть отрезков таким образом, чтобы полученная ломаная прошла через 16 точек, расположенных в узлах квадратной сетки 4 × Решение. См. рисунок. Начинаем из левого верхнего угла и движемся по стрелкам. Возможны и другие решения Ученик не знает, что делать Попробуйте двигаться змейкой. Ломаная пересекаться может, ноне в указанных точках Имеется 68 монет, причём любые две отличаются повесу. За 100 взвешиваний найдите самую тяжёлую и самую лёгкую монету Решение. Разобьем монеты на 34 пары. За 34 взвешивания сравним монеты внутри пари более тяжёлые отложим в одну кучу, а более лёгкие — в другую. Из «тяжёлой» кучи за 33 взвешивания выделим самую тяжёлую монету (при каждом взвешивании сравниваем две монеты, легкую отбрасываем, а тяжелую сравниваем со следующей. Также за 33 взвешивания из «лёгкой» кучи выделим самую лёгкую монету. 34 + 33 + 33 = 100. ◦ Ученик не знает, что делать Попробуйте разбить монеты на разные кучки. Например, на пары. А если разделять кучи на более лёгкие и более тяжёлые? А если сравнивать по одной, оставляя самую тяжёлую? 7 Бился Иван-Царевич со Змеем Горынычем, трёхглавым и трёххвостым. Одним ударом он мог срубить либо одну голову, либо один хвост, либо две головы, либо два хвоста. Но, если срубить один хвост, то вырастут два если срубить два хвоста — вырастет голова если срубить голову, то вырастает новая голова, а если срубить две головы, тоне вырастет ничего. Как должен действовать Иван-Царевич, чтобы срубить Змею все головы и все хвосты как можно быстрее? Ответ. Это можно сделать за 9 ударов. Решение. Это можно сделать за 9 ударов. Например, так (3, 3) → (4, 3) → (5, 3) → (6, 3) → (4, 4) → (2, 5) → (6, 0) → (4, 0) → (2, 0) → (0, 0). (Каждая пара чисел — это число голов и хвостов, оставшихся у Змея после очередного удара с учётом тех хвостов и голов, которые только что выросли) Теперь докажем, что этого нельзя сделать быстрее. Иван-Царевич может использовать удары трёх типов А) отрубить два хвоста, вырастет одна голова В) отрубить две головы С) отрубить один хвост, вырастет два хвоста (по сути — просто добавить один хвост). Отрубать одну голову бесполезно, поэтому такие удары использовать не будем. Число ударов типа А должно быть нечётным. В самом деле, только при таких ударах меняется чётность числа голов. А чётность числа голов должна измениться сначала их было 3, а в конце должно остаться 0. Если же таких ударов сделать чётное число, число голов останется нечётным (и значит, не будет равно нулю. Так как только ударами типа А можно уменьшить число хвостов, одного такого удара не хватит. Поэтому таких ударов должно быть не меньше двух, ас учётом предыдущего пункта их должно быть хотя бы три. После трёх ударов типа А вырастет три новых головы, и всего нужно будет отрубить 6 голов. Для этого потребуется хотя бы 3 удара типа В. Чтобы отрубить 3 раза по два хвоста ударами типа А, нужно иметь 6 хвостов. Для этого нужно вырастить три дополнительных хвоста, сделав 3 удара типа С. Итак, нужно сделать не менее трёх ударов каждого из указанных типов всего — не менее ударов Ученик не знает, что делать Какие есть типы ударов по изменению количества хвостов/голов? Какие из них бесполезны Количество каких типов ударов должно быть только чётным или нечётным? Сколько минимум должно быть каждого типа ударов Если ученик дал правильный ответ, ноне доказал минимальность А почему это наиболее быстро Требуется строгое доказательство Если ученик дал неправильный ответ по быстроте, но порядок ударов верный А почему это наиболее быстро Требуется строгое доказательство Листок 3. Кубы и кубики В начале занятия полезно напомнить школьникам, что такое вершина, ребро и грань куба, и обсудить, сколько у него вершин, рёбер и граней. Кроме того, надо рассказать о том, что такое развёртка куба и какие они бывают (кроме самой известной развёртки в форме креста. Если большинство школьников до этого не сталкивались с развёртками, стоит подробно разобрать (на примере крестовой развёртки и одной из развёрток задачи 1), какие стороны развёртки склеиваются между собой при склейке куба из развёртки. |