кружок по математикк. Составители Е. А. Асташов, Я. А. Верёвкин, A. А. Дейч, см. Саулин, А. В. Феклина
 Скачать 0.6 Mb.
|
|
1 Какие из этих фигур можно сложить и получить куба какие — нельзя? Ответ. а, б, в, г, е — можно, остальные — нельзя. Решение. Чтобы обосновать ответ, школьники должны ответить наследующий вопрос если вот эта вот грань будет нижней, а мы смотрим на куб сверху, то какая грань будет верхней, правой, левой, передней, задней. В случае ответа нельзя школьники должны объяснить, что получается, например, две левых грани. Это стоит объявить у доски Ученик не знает, что делать Попробуйте ответить на вопрос если вот эта грань будет нижней, а мы смотрим на куб сверху, то какая грань будет верхней, правой, левой, передней, задней На рисунках А, Б, В изображён один и тот же куб. Грань какого цвета расположена напротив красной? Ответ. Красная напротив красной (две красных). Решение. Из рис. Аи Б следует, что красных или синих граней минимум две, а из рис. Аи В — что красных или жёлтых граней минимум две. Поскольку используются все пять цветов, красная грань должна встречаться ровно два раза. Из рис. Аи Б следует, что обе красные грани граничат с синей (на этих рисунках, очевидно, видны разные красные грани, значит, на рис. А вторая красная грань или сзади-слева, или сзади-справа. Из рис. В следует, что одна из красных граней граничит также с жёлтой, поэтому на рис. А вторая красная грань может быть только напротив видимой красной грани. От школьников требуем объяснения, а непросто ответа Ученик не знает, что делать Подумайте, может, какой-то цвет грани могжет встречаться несколько раз Сравните рисунки Аи Б рисунки Аи В. Какой вывод можно сделать Сложите куб 3 × 3 × 3 из красных, жёлтых и синих кубиков 1 × 1 × 1 так, чтобы в любом бруске 1 × 1 × 3 были кубики всех цветов Решение. Необходимо рисовать три этажа куба и отмечать цвета на каждом из них, чтобы было легче воспринимать. Ну а дальше всё делается примерно так, как обычно рисуют трёх- цветную раскраску в каждом следующем блоке 1 × 1 × 3 цвета циклически сдвигаются по сравнению с соседними блоками Ученик не знает, что делать Посоветуйте школьникам рисовать три этажа куба и отмечать цвета на каждом из них, чтобы было легче воспринимать. Попробуйте делать циклический сдвиг в каждом блоке Два куба 3 × 3 × 3 имеют а) ровно один общий кубик б) ровно два общих кубика. В каждом из этих случаев определите, из скольких кубиков состоит такая фигура и из скольких квадратиков состоит поверхность такой фигуры. Ответ. а) 53 кубика, 102 квадратика. б) 52 кубика, 98 квадратиков. Решение. а) Каждый куб состоит из 3 3 = 27 кубиков. Однако, если просто сложить 27 + 27, то общий кубик будет посчитан дважды, поэтому его надо ещё один раз вычесть итого получится + 27 − 1 = 53 кубика. Поверхность каждого куба состоит из 6 граней по 3 · 3 = 9 квадратиков итого 54 квадратика. Однако из-за того, что у двух кубов есть один общий угловой кубик, этот общий кубик оказывается внутри полученной фигуры, а площадь поверхности каждого из кубов уменьшается на 3 квадратика. Итого получаем 54 + 54 − 3 − 3 = 102 квадратика. б) Подсчёт по аналогии с пунктом ада т 27 + 27 − 2 = 52 кубика и 54 + 54 − 5 − 5 = квадратиков Ученик не знает, что делать Сколько кубиков водном кубе 3 × 3 × 3? А в двух А больше или меньше станет кубиков, если у двух кубов один кубик будет общим Насколько их станет меньше Ученик ответил на вопрос про кубики, ноне может ответить на вопрос про квадратики Чему равна площадь поверхности одной грани куба А поверхности всего куба А двух отдельных кубов А больше или меньше станет площадь поверхности, если у двух кубов один кубик будет общим Какие квадратики с поверхности каждого из исходных кубов окажутся внутри фигуры а) Какое наименьшее число прямолинейных разрезов нужно сделать, чтобы разрезать куб × 3 × 3 на маленькие кубики 1 × 1 × 1? После каждого разреза полученные части можно перекладывать как угодно.б) Тот же вопрос для куба 4 × 4 × Ответа разрезов б) 6 рарезов. Решение. а) 6 разрезов по два параллельно каждой грани куба (тут и перекладывать ничего не надо. Обойтись меньшим числом разрезов нельзя чтобы получился центральный кубик 1×1× 1, нужно создать ему 6 граней с помощью разрезов, а создать одним прямолинейным разрезом сразу несколько его граней невозможно. б) Тоже 6 разрезов. А вот здесь надо перекладывать: режем куб пополам, потом два получившихся бруска 4×4×2 кладём рядом в виде бруска и делаем разрез перпендикулярно самому короткому ребру. Затем снова складываем исходный куб из полученных частей и проделываем аналогичные разрезы по двум другим направлениям. Минимальность доказывается аналогично пункту а Ученик не знает, что делать а) Можно ли обойтись числом разрезов меньшим, чем 6? Обратите внимание на центральный кубик. Сколько у него должно быть граней Можем ли мы создать ему больше одной грани с помощью одного разреза б) Попробуйте перекладывать куски кубика после нескольких разрезов Муравей сидит в вершине бумажного куба. Как ему доползти до противоположной вершины куба кратчайшим путём? 14 Решение. Рисуем путь на развёртке: он там будет выглядеть как диагональ прямоугольника и пройдёт через середину ребра куба. Стоит обратить внимание на то, что одна и та же вершина куба соответствует нескольким различным точкам на развёртке, но длина кратчайшего пути для всех этих точек одна и та же Ученик не знает, что делать Попробуйте рисовать путь на развёртке. Какой кратчайший путь между двумя точками на плоскости Дан куб 2 × 2 × 2. Можно ли наклеить на его поверхность без наложений 10 квадратов 1 × так, чтобы никакие два квадрата не граничили по отрезку (по стороне или её части Квадраты могут иметь общие вершины. Перегибать квадраты нельзя. Ответ. Можно. Решение. Берём крестовую развёртку куба. Четыре квадрата 2 × 2, выстроенных в одну линию, красим в шахматном порядке (то есть на каждый из них клеим два квадрата 1 × которые соприкасаются углами в центре грани. Итого наклеено 8 квадратов на грани, образующие пояс куба. На остальные две грани клеим по одному квадрату (например, прямо по центру Ученик не знает, что делать Попробуйте посмотреть на развёртку куба. А если её раскрасить в шахматном порядке Какое наибольшее число брусков 1 × 2 × 2 можно уместить в кубе 3 × 3 × 3 без пересечений? Ответ. Можно уместить 6 штук. Решение. Куб состоит из 3 3 = 27 кубиков 1 × 1 × 1, а брусок — из 1 · 2 · 2 = 4. Поскольку = 6 · 4 + 3, больше 6 брусков уместить в кубе не удастся. Пример на 6 брусков показан на рисунке ниже. Здесь куб изображён в виде планов трёх «этажей». Цифра в кубике означает номер бруска, которым этот кубик занят. Кубики, обозначенные буквой x, — пустые 2 4 2 2 4 6 6 1 1 3 4 x 3 4 6 6 1 1 3 5 5 3 x 5 5 ◦ Ученик не знает, что делать Если смотреть только на объём, то сколько можно их максимум разместить Теперь осталось придумать пример Листок 4. Переправы В начале занятия стоит обсудить с ребятами удобный способ записи задач на переправы(схемами), когда рисуется река, а дальше рисуется каждое действие (лодка с подписанными персонажами и подписи тех, кто остается на берегах. Стоит обратить внимание ребят на то, что если задачу не получается решить сразу, то можно совсем подробно разобрать всевозможные варианты первых нескольких ходов. Можно разобрать в качестве примера простую классическую задачу. Крестьянину надо перевезти через речку волка, козу и капусту. Лодка вмещает одного человека, ас ним либо волка, либо козу, либо капусту. Если без присмотра оставить козу и волка, волк съест козу. Если без присмотра оставить капусту и козу, коза съест капусту. Как крестьянину перевезти свой груз через речку Обозначим К — крестьянин, Ка — капуста, Ко — Коза, В — волк. Кто кого ест В ест Ко, а Ко ест Ка. (1) ККо туда, Ко остаётся, К обратно (2) КВ туда, В остаётся, ККо обратно (3) ККа туда, Ка остаётся, К обратно (4) ККо туда Космическая переправа.Юпитерианский фермер с выводком неразлучных звёздочек, пучеглазой гусеницей и хищным четырёхглазом должен переправить всех своих питомцев на ярмарку. В корабль вместе с ним может поместиться либо выводок, либо гусеница, либо четы- рёхглаз. Оставшись без присмотра, гусеница съест звёздочек, а четырёхглаз — гусеницу. Как фермеру переправить всех без потерь? Решение. Обозначим Ф — фермер, З — звёздочки, Г — гусеница, Ч — четырёхглаз. Кто кого ест Ч ест Га Г ест З. (1) ФГ туда, Г остаётся, Ф обратно (2) ФЧ туда, Ч остаётся, ФГ обратно) ФЗ туда, З остаётся, Ф обратно (4) ФГ туда Ученик не знает, что делать Смотри, а сильно ли отличается эта задача от той, которую мы только что разобрали на доске Давай еще раз посмотрим, кто кого ест. Тогда кого нам точно нужно увезти первым? Теперь давай перевезем еще кого-нибудь. Можно ли их оставить на том берегу вдвоем Нет, тогда давай увезем обратно первого. Что можно сделать дальше К реке одновременно подошли два вора клевому берегу — ворс одним баулом, к правому с двумя. Обоим нужно на противоположный берег. Нельзя, чтобы кто-нибудь оказался на берегу один с большим числом баулов, чему него было изначально (тогда он скроется с этими баулами. У левого берега есть двухместная лодка (вмещает двух человек или человека и баул). Как ворам переправиться, сохранив свои баулы? Решение. Будем называть вора с одним баулом первым, ас двумя — вторым. Первый переправляется со своим баулом на другой берег, оставляет свой баул, забирает один из баулов второго и возвращается. Затем оставляет баул второго и снова плывет на другой берег. Второй забирает свой второй баул и уплывает. Теперь все переправились туда, куда хотели Ученик не знает, что делать Смотри, первый вор может приехать со своим баулом, а может без него. Кто тогда может плыть обратно Может ли он взять с собой баул Теперь он возвращается. Один или с каким-то баулом Три жулика, каждый с двумя чемоданами, находятся на одном берегу реки, через которую они хотят переправиться. Есть трёхместная лодка, каждое место в ней может быть занято либо человеком, либо чемоданом. Никто из жуликов не доверит свой чемодан спутникам в своё отсутствие, но готов оставить чемоданы на безлюдном берегу. Каким переправиться? Решение. Пусть A, B, C — жулики, aa, bb, cc — их чемоданы. (1) Ccc →, C ←; (2) ABC →, AB ←; (3) Aaa →, AC ←; (4) ABC →, B ←; (5) Bbb →. 16 ◦ Ученик не знает, что делать Давай переберем всевозможные варианты первого действия. Сколько из них нам подходят? А что делать дальше, чтобы никто чужие чемоданы не украл Три человека со стиральной машиной хотят переправиться через реку. Катер вмещает либо двух человек и стиральную машину, либо трёх человек. Беда в том, что стиральная машина тяжёлая, поэтому погрузить её в катер или вытащить из него можно только втроём. Каким переправиться? Решение. A — человек, B — стиральная машина. Трое грузят в катер машину, AAB туда, выходит, AB обратно, A садится, AAB туда, трое выгружают машину Ученик не знает, что делать Можно ли сначала увезти кого-то на другой берега потом уже грузить машинку Значит, с чего нужно начать А можно ли выгрузить машинку обратно раньше, чем будут перевезены все люди Двое мальчиков катались на лодке. К берегу подошел отряд солдат. Лодка маленькая на ней может переправиться или один солдат, или двое мальчиков. Однако все солдаты переправились через реку именно на этой лодке, а затем вернули её мальчикам в целости и сохранности. Как? Решение. Пусть M 1 , M 2 — мальчики, C — солдат. (1) туда, M 1 остаётся, с лодкой обратно (2) C туда, с лодкой обратно (3) повторяем эти пункты, пока все солдаты не окажутся на другом берегу Ученик не знает, что делать Смотри, если мы переправим одного солдата, мы сможем также переправить и остальных Но если солдат переплыл реку, там уже должен быть мальчик, который уплывет на лодке обратно, так А как сделать так, чтобы хотя бы один мальчик был на другой стороне, а лодка — на берегу с отрядом К берегу Нила подошла компания из шести человек три бедуина со своими женами. У берега находится лодка св слами, которая выдерживает только двух человек. Бедуин не может допустить, чтобы его жена находилась без него в обществе другого мужчины. Может ли вся компания переправиться на другой берег? Ответ. Да, может. Решение. Переправу можно осуществить следующим образом. Сначала жена первого бедуина отвозит жену второго. Затем возвращается, забирает жену третьего и снова возвращается. Уплывают второй и третий бедуины. Второй перевозит жену, забирает первого бедуина и уплывает на другой берег. Жена третьего садится в лодку и по очереди перевозит жен первого и второго Ученик не знает, что делать Могут ли первыми уплыть мужчины А мужчина и женщина А две женщины Кто тогда должен вернуться Может ли во второй раз уплыть хотя бы один из мужчин А кто тогда может Итак далее а) К кабинке канатной дороги на гору подошли четверо с весами 50, 75, 75 и 100 кг. Смотрителя нет, а в автоматическом режиме кабинка ходит туда-сюда только с грузом от 110 до 260 кг (в частности, пустой не ходит, при условии, что пассажиров можно рассадить на две скамьи так, чтобы веса на скамьях отличались не более чем на 30 кг. Каким всем подняться на гору? б) Пусть теперь подошли четверо с весами 50, 60, 70 и 90 кг, а кабинка ходит только с грузом от 100 до 250 кг (в частности, пустой не ходит, при условии, что веса на скамьях отличаются не более, чем на 25 кг. Каким всем подняться на гору Решение. Пусть числа до запятой — люди, сидящие на первой скамье, а после запятой — на второй. а) (1) (50 + 75,100) →; (2) (75,100) ←; (3) (75,75) →; (4) (50,75) ←; (5) (50 + 75,100) б. (1) (50 + 60,90) →; (2) (50,60) ←; (3) (60,70) →; (4) (90,70) ←; (5) (50, 70) →; (6) (50,60) ←; (7) (50 + 60,90) →. ◦ Ученик не знает, что делать Давай попробуем, например, сначала переправить на тоу сторону человека, весящего кг так, чтобы все остальные(и кабинка тоже) остались в результате на начальной стороне. Теперь давай увезем еще кого-нибудь. Кого можно оставить на той стороне Ас кем вернуться?(пункт б) — аналогично Кощей взял в плен 43 человека и увёз их на остров. Отправился Иван-Царевич выручать их. А Кощей ему и говорит Пусть плывут отсюда на твоей лодке, но имей ввиду с острова на берег доплыть можно только вдвоём(три человека в лодку не влезают, а обратно и один справится. Перед переправой я скажу каждому про 40 других пленников, что это оборотни. Кому про кого скажу, сам выберешь. Пленник не сядет в лодку стем, кого считает оборотнем, а на берегу находиться сможет. На суше они будут молчать, а в лодке — рассказывать друг другу про всех известных им оборотней. Пока хоть один пленник остаётся на острове, тебе сними плыть нельзя. Когда все 43 окажутся на том берегу, одному можно будет за тобой вернуться. А коли не сумеешь устроить им переправу — останешься у меня навсегда. Сможет ли Ивана спасти и себя, и пленников? Ответ. Да, сможет. Решение. Иван может разбить пленников на 20 пари одну тройку и велеть Кощею сказать каждому, что все, кроме входящих с ним в одну пару (тройку, — оборотни. Тогда условие будет выполнено, а переправиться пленники смогут вот как. Назовём пленников из тройки A, B и C. Сначала переправляются A и B, потом A возвращается обратно. Затем переправляется некоторая пара, а возвращается B. В результате одна пара пленников переправлена на берега все остальные вместе с лодкой находятся на острове. Аналогично переправляются все остальные пары. Затем переправляются A и B, A возвращается и перевозит C. После этого C может отправиться за Иваном. При такой переправе никто никакой новой информации об оборотнях не узнает Ученик не знает, что делать Про сколько человек пленник не будет думать, что они оборотни Можно ли получить такую группу пленников, что друг друга они оборотнями не считают, и все могут перебраться на другой берег безучастия других пленников Сколько в такой группе может быть человек А мы можем всех разделить на такие группы А как теперь переправить по очереди несколько групп 10 лямзиков весом 1,2, . . . ,10 кг хотят переправиться через реку на лодке, которая выдерживает не больше 10 кг. Смогут ли они это сделать, если каждый лямзик может грести не более двух раз (В лодке необязательно гребут все!) Решение. Гребёт всегда первый 9+1 туда, 1 обратно, 8+2 туда, 2 обратно, 7+3 туда, 3 обратно + 4 туда, 4 обратно, 4 + 3 + 2 + 1 туда, 1 обратно, 10 туда, 2 обратно, 5 + 1 + 2 туда Ученик не знает, что делать Сколько может одновременно в лодке находиться лямзиков? А как переправить на другой берег самого тяжелого А следующего А как лучше переправить остальных Листок 5. Последняя цифра Данный листок содержит подборку задач на нахождение последней цифры числа. Цель занятия разобраться стем, как меняется при вычислениях последняя цифра числа. Вначале занятия стоит обсудить, как находится последняя цифра числа. Стоит разобрать простые примеры: а) последняя цифра суммы и разности чисел б) последняя цифра произведения в) обсудить, что с частным так не получается г) последняя цифра числа, возведенного в степень Найдите последнюю цифру числа а + 9876543; б × 8642, в 5 , г Ответа. б) 8. в) 3. г) Решение. Для подробного объяснения можно записывать числа в виде 10x + y, где y — это последняя цифра числа. а) ....7 + ....3 = ....0; б) ....9 × ....2 = ....8; в × ....3 × ....3 × ....3 × ....3 = ....9 × ....3 × ....3 × ....3 = ....7 × ....3 × ....3 = ....1 × ....3 = ....3, при разборе здесь стоит обратить внимание на то, что последняя цифра пятой степени такая же, как первой, и мы получили цикл длины 4; г)Расписываем первые несколько степеней аналогично предыдущему пункту, получаем цикл длины 4, и 7 4 = ....1, затем последние цифры повторяются, чтобы найти последнюю цифру числа 7 19 , представим в виде 7 19 = 7 4×4+3 = ....1 × 7 3 = ....3. ◦ Ученик не знает, что делать Попробуй сначала просто посчитать. А теперь давай поменяем в вычислениях любые цифры, кроме последних, и посмотрим, меняется ли ответ Найдите последнюю цифру числа а 100 ; б 2017 ; в Ответа б) 7; в) Решение. а 1 = ....2, 2 2 = ....4, 2 3 = ....8, 2 4 = ....6, 2 5 = ....2, мы получили цикл длины 4, 100 = 4 × 25, а значит, 2 100 = ....6; б 1 = ....7, 2017 2 = ....9, 2017 3 = ....3, 2017 4 = ....1, 2017 5 = ....7, мы получили цикл длины 4, 2017 = 4 × 504 + 1, а значит, 2017 2017 = ....7; в 1 = ....9, ....9 2 = ....1, ....9 3 = ....1, мы получили цикл длины 2, 987654321 = 2 × 293827160 + 1, а значит, 123456789 987654321 = ....9. ◦ Ученик не знает, что делать Распиши для маленьких степеней. Оставь только одну или две цифры от числа, убедись, что на последнюю цифру это не повлияет В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно 25321 127 − 1. Не опечатка ли это (Простое число — это натуральное число, имеющее ровно два натуральных делителя.) Ответ. Опечатка. Решение. ....1×....1 = ....1, поэтому последняя цифра числа 25321 равна 1, а числа 25321 127 −1 — 0. Но тогда число будет делиться нате. на 2 и на 5), а простое число не может нацело делиться ни на что, кроме себя самого и 1. ◦ Ученик не знает, что делать Попробуй сначала найти последнюю цифру этого числа. А теперь давай подумаем, может ли число с такой последней цифрой быть простым. Не делится ли оно на что-нибудь? 4 Делится ли число 47 30 + 39 на Ответ. Да, делится. Решение. Аналогично предыдущим задачам, найдем последние цифры чисел 47 и 39 50 . Это будут 9 и 1, а значит, последней цифрой их суммы будет 0, и число будет делиться на 10. 19 ◦ Ученик не знает, что делать На какую цифру заканчивается первое слагаемое А второе А их сумма В магазин привезли 206 литров молока в бидонах пои литров. Сколько было бидонов каждого вида? Ответ. 7 бидонов по 10 литров и 8 бидонов по 17 литров. Решение. Общий объем будет 10x + 17y и равен 206 литров. Посмотрим на последнюю цифру суммы 10x + 17y. Ясно, что она зависит только от y, потому что число 10x всегда заканчивается нулем. Значит, нам нужно подобрать такое y, что 17y = ....6 и 17y ≤ 206. Нам подходит только y = 8. 17×8 = 136, значит, x = (206−136)/10 = 7. Важно обращать внимание школьников на то, что мало просто подобрать правильный ответ, нужно еще доказать, что он единственный Ученик подбором нашёл ответ Почему нет других вариантов Или есть А сколько могло быть бидонов каждого вида Ученик не знает, что делать На какую цифру будет оканчиваться общее количество литров А на нее влияет количество десятилитровых бидонов А сколько тогда должно быть семнадцатилитровых? 6 Найдите последнюю цифру в произведении а) всех простых чисел, не превосходящих б) всех нечётных простых чисел, не превосходящих 1234; в) всех нечётных чисел от 1 до Ответа б, в) Решение. а) Заметим, что 2 и 5 — простые числа, которые меньше, чем 1234, а их произведение это 10. Если любое натуральное число умножить на 10, последняя цифра у произведения будет 0. Поэтому и произведение всех простых чисел, меньших 1234, будет заканчиваться нулем. б),в)Заметим, что оба этих произведения состоят только из нечетных чисел и содержат 5. А если 5 умножить на любое нечетное число, результат также будет оканчиваться на 5. ◦ Ученик не знает, что делать Проверь, какой будет последняя цифра, если перемножить только первые 5 или 10 простых чисел. А что будет, если перемножать дальше Сколькими нулями оканчивается число 2017! = 1 × 2 × 3 × ... × 2015 × 2016 × Ответ. Решение. Число оканчивается настолько нулей, сколько раз его можно поделить на 10. А на его можно поделить, если в его разложении на простые множители есть пара из 2 и 5. То есть, нам нужно посчитать количество таких пар в числе 2017!. Заметим, что каждое пятое число делится на 5. Таких чисел от 1 добудет. Из них каждое пятое делится на 25, это дает нам два множителя 5, то есть и два нуля в произведении. Таких чисел 80. Каждое 5 из них делится на 125, таких 16. И наконец,каждое 5 из них делится на таких чисел еще 3. Итого мы получили 403 + 80 + 16 + 3 = 502 пятерок в нашем произведении. Осталось убедиться, что нам хватит двоек. Но от 1 доесть четных чисел, этого нам будет достаточно. Значит, наше число будет заканчиваться на 502 нуля Ученик не знает, что делать Что значит, что число заканчивается на 0? А насколько нулей будет заканчиваться 5!, |