кружок по математикк. Составители Е. А. Асташов, Я. А. Верёвкин, A. А. Дейч, см. Саулин, А. В. Феклина
 Скачать 0.6 Mb.
|
|
2 Число а) умножили наб) умножили на 2,34; в) разделили на 2,5. Насколько процентов ив какую сторону изменилось число? Ответ. а) уменьшилось наб) увеличилось на 134%; уменьшилось на Решение. в) 100% : 2,5 = 40%, то есть от 100% числа осталось 40%, значит, число уменьшилось на 60%. 3 80 тетради разложили в две стопки так, что количество тетрадей впервой стопке составляет от количества тетрадей во второй стопке. Сколько тетрадей в каждой стопке? Ответ. Впервой стопке 30 тетрадей, во второй — Решение. Возьмем количество тетрадей во второй стопке за x. Тогда впервой стопке 60% от x тетрадей, то есть 0,6x, а всего 0,6x + x = 1,6x = 80, то есть x = 50 — тетрадей во второй стопке ив первой стопке Ученик не знает, что делать Разобрать вместе с ним, как посчитать количество тетрадей во второй стопке, зная количество тетрадей впервой. Можно пмочь составить уравнение В двух бочках было поровну воды. Количество воды впервой бочке сначала уменьшили на 20%, а затем увеличили на 20%. А количество воды во второй бочке, наоборот, сначала увеличили на 20%, а затем уменьшили на 20%. В какой бочке теперь больше воды? Ответ. Воды в бочках все еще поровну. Решение. Пусть изначально в бочках было x воды. Тогда впервой стало x × 1,2 × 0,8, а во второй — x × 0,8 × 1,2. ◦ Ученик не знает, что делать Можно на примерах предыдущих задач обсудить, как записать, что количество уменьшилось или увеличилось на сколько-то процентов Длина первого прямоугольника больше длины второго на 25%. Насколько процентов должна быть меньше его ширина, чтобы площади прямоугольников были одинаковыми? Ответ. На Решение. Обозначим за x и y длину и ширину второго прямоугольника. Тогда длина первого прямоугольника равна 1,25x, а ширина — ky, а равенство площадей можно записать следующим образом 1,25x × ky = xy, откуда получаем, что k = 1 : 1,25 = 0,8. А умножить число на 0,8 это тоже самое, что уменьшить его на 20%, откуда мы получаем ответ Ученик не знает, что делать Предложить написать уравнение, обсудить, как лучше записать условие Арбуз массой 20 кг на 99% состоял из воды. После того, как он усох, воды в нем осталось. Сколько теперь весит арбуз? Ответ. 10 кг Решение. Посчитаем, сколько изначально в арбузе было сухого вещества(то есть неводы) в килограммах 20 × 0,01 = 0,2. После усыхания эти же кг стали уже двумя процентами от общего веса, то есть общий вес в килограммах можно найти так 0,2 : 0,02 = 10. ◦ Ученик не знает, что делать Предложите ему посчитать, сколько было воды. Затем, сколько было сухого вещества. А сколько процентов занимало сухое вещество А сколько стало Из четырех классов "за итоговую контрольную по математике получили 28% школьников "и "2— 35%, 25% и 12%. Сколько школьников писали работу, если в каждом классе не больше 30 человек? Ответ. 100 школьников. Решение. Так как оценку могло получить только целое количество школьников, нам нужно, чтобы 28 100 = 7 25 , 35 100 = 7 20 , 25 100 = 1 и 100 = 3 от общего количества школьников были бы целыми числами. Для этого нужно, чтобы количество школьников делилось на 25, 20 и 4. Наименьшее подходящее число — это 100, следующее — 200, но оно уже не подойдет нам, так как, по условию, в 4 классах не может быть больше 120 человек Ученик не знает, что делать Пусть у нас x школьников. Сколько тогда получили пятерки А четверки А сколько должно быть школьников, чтобы это было целым числом Ученик угадал ответ, ноне обосновал единственность А сколько еще может быть школьников А почему другие ответы не подойдут Ребята собирались в поход. Девочек должно было быть 25% от общего количества ребят, но одна заболела, а на ее место взяли мальчика. В результате девочек пошло 20% от общего количества. Сколько пошло в поход мальчиков А девочек? Ответ. 16 мальчиков и 4 девочки. Решение. Пусть N - это общее количество цчастников похода. Тогда девочек должно было пойти 0,25N , а пошло 0,25N − 1 = 0,2N , то есть 0,05N = 1, N = 20, тогда мальчиков в поход пошло 20 × 0,8, а девочек — 20 × 0,2. ◦ Ученик не знает, что делать Как посчитать, сколько в поход собиралось девочек А как посчитать, сколько пошло в итоге А другим способом Управляющий собирал деньги на установку номеров квартир. Причем, жителю квартиры объяснил, что сих подъезда собирают на 40% больше денег, так как двузначный номер стоит вдвое больше, чем однозначный, а трехзначный — втрое. Сколько квартир в подъездах, если их одинаковое количество в обоих подъездах? Ответ. 72 квартиры. Решение. Для начала заметим, что во втором подъезде есть квартира с номером 105. Отсюда следует, что в первом подъезде есть двузначные номера квартир, нонет четырехзначных. Остается разобрать два случая. Пусть x - это количество квартир в подъезде, а c - стоимость одной цифры номера. Случай 1. Пусть первом подъезде нет трехзначных номеров. Тогда получаем уравнение 1,4 × (9c + 2c(x − 9)) = 2c(99 − x) + 3c(2x − 99), c сокращается, получаем единственное решение x = 72. Случай 2. Пусть в первом подъезде есть и трехзначные номера. Получаем уравнение × (9c + 2c × 90 + 3c(x − 99)) = 3c, оно снова имеет единственное решение, но это противоречит условию, ведь квартира 105 должна находиться во втором подъезде. Остается единственный ответ Ученик не знает, что делать Опишите всевозможные случаи. Вместе посчитайте, сколько цифр будет в номерах первого и второго подъезда Листок 13. Можно или нельзя? В начале занятия стоит объяснить, что именно требуется от ребят в данном листочке. А именно они должны будут привести пример ситуации, описанной в условии, или доказать, что этот пример построить невозможно. Можно разобрать простую задачку. Например. Можно ли расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не били друг друга А 9 ладей Ответ на первый вопрос — да, пример ладьи, стоящие на главной диагонали. Ответ на второй вопрос нет. Так как ладья бьет все клетки строки, на которой стоит, мы не можем поставить больше одной ладьи в каждой строке, а строк всего 8, значит, больше 8 ладей поставить невозможно Существуют ли два последовательных целых числа ау каждого из которых сумма цифр делится наб) у которых одинаковая сумма цифр? Ответ. ада б) нет. Решение. . а) Например, 39 и 40. б) Известно, что число даёт такой же остаток при делении на 3, что и сумма его цифр(мы помним это из листочка напризнаки делимости. У двух последовательных чисел остатки при делении на 3 разные, значит, и у сумм их цифр тоже разные. Тогда и числа не могут быть равны Ученик не знает, что делать в пункте а Попробовать поперебирать разные числа. Посмотреть, как меняется сумма цифр, если к числу прибавить единицу когда нет перехода через десяток и когда есть Ученик не знает, что делать в пункте б Сначала нужно угадать ответ. После этого вспомнить признак делимости на 3 или Разобраться, как это можно свзать с нашей задачей Сумма нескольких чисел равна 1. Может ли сумма их квадратов быть меньше Ответ. Да, может. Решение. Например, условию задачи удовлетворяют одиннадцать чисел, равных 11 . Сумма их квадратов равна 11 · ( 1 11 ) 2 = 1 11 < 0.1. Но конечно, есть и другие варианты Ученик не знает, что делать Давай вспомним, когда квадрат числа меньше, чем само число. И как думаешь, нам можно выбирать для этой задачи одинаковые числа А теперь давай искать какие-нибудь простые Можно ли расположить 12 одинаковых монет вдоль стенок большой квадратной коробки так, чтобы вдоль каждой стенки лежало ровно а) по 2 монеты б) по 3 монеты в) по 4 монеты; г) по 5 монет д) по 6 монете) по 7 монет (Разрешается класть монеты одну на другую.) Ответ. а, е) Нельзя б, в, г, д) можно. Решение. а) Так как по условию все монеты нужно положить вдоль стенок, и каждой стенки касается ровно две монеты, то общее количество монет не может быть больше 8. б) Просто кладем около каждой стенки по 3 монеты. в) Кладем по 2 монеты у каждой стенки, оставшиеся раскладываем по углам, так каждая из них лежит сразу около двух стенок. г) Кладем по монете у каждой стенки, оставшиеся 8 раскладываем по углам(по 2 в каждом углу. д) По монеты в кажом углу. е) Заметим, что монета не может касаться двух противоположных стенок коробки(только двух соседних, если лежит в углу. Поэтому общее число монет, касающихся двух противоположных стенок, равно 7 + 7 = 14 > 12. ◦ Ученик не знает, что делать в пункте а)(е)). • Сколько нам нужно положить у каждой стенки Сколько минимум(максимум) стен может быть рядом с каждой монетой Тогда как оценить сумму количества монету каждой стенки Монет может быть больше, чем Меньше, чем 14?) ◦ Ученик не знает, что делать в пунктах в, г, д • Мы можем положить монету так, чтобы она касалась сразу, например, двух стенок?(да, можем положить монету в угол) А можем сделать так, чтобы этих двух стенок одновременно касалось несколько монет?(да, положить их друг на друга Можно ли в примерена сложение заменить одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные — разными так, чтобы получилось ОДИН+ОДИН+ПЯТЬ=СЕМЬ? Ответ. Нет. Решение. В этом выражении используются 11 различных буква цифру нас всего 10, поэтому не получится подобрать разные цифры для разных букв Ученик не знает, что делать Сколько у насесть цифр А сколько есть букв, вместо которых мы должны поставить эти цифры Можно ли разместить цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 в таблице 3 × 3 так, чтобы суммы чисел по строкам, столбцами двум диагоналям были одинаковы? Ответ. Да, можно. Решение. Так как сумма этих чисел равна 45, то сумма чисел в любой строке равна 45 : 3 = Посмотрим, какие числа могут стоять водном столбце/строке си с 8.15 = 9 + 6 = 9 + 1 + 5 = 9 + 2 + 4, 15 = 8 + 7 = 8 + 1 + 6 = 8 + 2 + 5 = 8 + 3 + 4. Отсюда, например, видно, что нельзя поставить на главной диагонали, а 8 можно. Дальше можно подобрать, например, следующий(снова не единственный) вариант 3 8 9 5 1 2 7 6 ◦ Ученик не знает, что делать Какая сумма у всех наших чисел Какая тогда сумма должна быть в каждой строчке, столбце?(15) Давай посмотрим, какие числа могут стоять водном столбце, строке или на диагонали си с 8.(15 = 9 + 6 = 9 + 1 + 5 = 9 + 2 + 4, 15 = 8 + 7 = 8 + 1 + 6 = 8 + 2 + 5 = 8 + 3 + 4) 6 Про 25 чисел известно, что сумма любых четырёх из них положительна. Может ли сумма всех 25 чисел быть отрицательна? Ответ. Нет, не может. Решение. Отрицательных чисел среди этих 25 может быть не более трёх, иначе сумма четырёх отрицательных чисел была бы отрицательной, а это противоречит условию. Взяв любую чет- вёрку, содержащую все отрицательные числа (е сумма по условию положительна) и прибавив все остальные числа (все они неотрицательные, получим положительное число Ученик не знает, что делать Сколько у нас может быть отрицательных чесил? Может ли их быть, например, больше четырех А ровно четыре Отлично, а что мы знаем про сумму любой четверки, содержащей все отрицательные числа А что будет, если прибавить к этой четверке все остальные чилса? 7 Андрей, Боря и Вася вместе съели 10 конфет. Андрей сказал Я съел три конфеты, а Боря — четыре». Боря ответил Я съел всего лишь две конфеты, а Вася — три». Вася заявил Я съел четыре конфеты, а вот Андрей съел целых пять». Могло ли быть так, что каждый из них был прав хотя бы водном из двух своих утверждений? Ответ. Нет, не могло Решение. Не могло. Если было бы верно первое утверждение Андрея, то должно было бы быть верным верным утверждение Васи(ведь второе его утверждение противоречит тому, что Андрей действительно съел 3 конфеты, тогда и у Бори должно быть верну первое утверждение(второе противоречит правдивому высказыванию Вами, нов этом случае вместе они съели 3 + 2 + 4 = 9 < 10, что противоречит условию. Если же верно второе утверждение Андрея, то должно быть верным второе утверждение Бори(так как он съел 4 конфеты, а говорит, что съел их всего лишь две, а значит, его первое утверждение ложно. Но тогда выходит, что Боря съел 4 конфеты, а Вася — три, в сумме 7, значит, Андрей тоже должен был съесть 3 конфеты(ведь втроем они съели 10), а это противоречит обоим утверждениям Васи Ученик не знает, что делать Могут ли быть верны какие-нибудь два утверждения про одного итого же мальчика?(нет, потому что в них говорится о разном количестве конфет) Тогда какое утверждение верно у Бори, если у Андрея верно второе Ау Васи тогда какое А какое верно у Васи, если у Андрея верно первое Ау Бори Можно ли раскрасить клетки доски 5 × 5 в два цвета — чёрный и белый — так, чтобы у каждой белой клетки были ровно три соседние по стороне чёрные клетки, ау каждой чёрной клетки — ровно две соседние по стороне белые? Ответ. Нет, нельзя. Решение. Если такая раскраска возможна, то угловые клетки должны быть чёрными, так как у них всего по две соседние клетки, соответственно, соседние сними должны быть белыми; все соседние с этими белыми клетками должны быть чёрными, так как у них ровно потри соседних. Из оставшихся 5 клеток все, кроме центральной, могут быть только белыми (им уже не набрать по два белых соседа, но тогда у центральной клетки будет четыре белых соседа. Противоречие. ◦ Ученик не знает, что делать Какого цвета может быть угловая клетка А соседние с ней тогда какого цвета А соседние сними Сколько тогда соседние белых/черных клеток у центральной Мы ее сможем покрасить в какой-нибудь цвет На территории страны, имеющей форму квадрата со стороной 1000 км, находится 51 город. Страна располагает средствами для прокладки 11000 км. Сможет ли правительство страны соединить сетью дорог все свои города? Ответ. Да. Решение. Построим 5 горизонтальных дорог длиной 1000 км так, чтобы верхняя и нижняя отстояли от верхней и нижней границы государства на 100 км, а между соседними дорогами было расстояние 200 км. Ещё построим вертикальную дорогув любом месте, например, вдоль левой стороны кары(хотя на самом деле, нам важно только то, что теперь мы можем перемещаться между горизонтальными дорогами. Уже построено 5 × 1000 + 800 = 5800 км дорог. Теперь достаточно соединить каждый из городов с построенными дорогами. Расстояние от любого города до ближайшей горизонтальной дороги не больше 100 км. Значит, их сумма не превосходит × 100 = 5100, итак что страна справится Ученик не знает, что делать Давай попробуем сделать что-то вроде сетки с небольшим количеством горизонталей. Чтобы можно было от каждого города дойти по вертикальной линии до е горизонтали Листок 14. Задачи про часы Предлагается решить задачи, в которых присутствуют часы того или иного вида. Вначале занятия следует нарисовать типы часов и рассказать их особенности и правила пользования ими песочные часы способны измерять только время, кратное времени высыпания песка электронные часы показывают время в формате ЧЧ:ММ или ЧЧ:ММ:СС; стрелочные часы имеют две или три стрелки (зависит от задачи, которые двигаются с постоянными (различными) скоростями. 1 а) Имеется бикфордов шнур, который сгорает ровно за 20 минут (но он неоднородный и горит с непостоянной скоростью. Как отмерить сего помощью 10 минут б) Имеется два неоднородных бикфордовых шнура, каждый из которых сгорает за 20 минут. Как с помощью этих шнуров отмерить 15 минут? Решение. Важно шнур неоднородный Поэтому если он весь сгорает за 20 минут, отсюда не следует, что его половина (по длине) сгорит вдвое быстрее, этим пользоваться нельзя а) Можно поджечь шнур с двух концов одновременно, тогда он сгорит вдвое быстрее, то есть за 10 минут. б) Поджигаем одновременно один шнур с двух концов, а другой — с одного. Когда первый шнур сгорит, пройдёт 10 минута второй за это время сгорит наполовину. Теперь поджигаем второй шнур ещё и со второго конца. Тогда его оставшаяся половина сгорит не за 10 минута за 5. Всего как рази получится 15 минут Ученик не знает, что делать в пункте а Если поджечь бикфордов шнур с двух концов, то через какое время эти два пламени встретятся Ученик не знает, что делать в пункте б Воспользуйтесь пунктом а За 2 секунды мама-кенгуру делает три прыжка, а кенгуренок — пять прыжков. Длина прыжка мамы-кенгуру 6 метров, а длина прыжка кенгуренка в 3 раза меньше. Мама с кенгуренком играют в догонялки кенгуренок отпрыгивает на 12 прыжков, после чего мама начинает его догонять, а он прыгает дальше. За какое время мама его догонит? Ответ. за 6 секунд. Решение. Первый способ. За две секнды мама-кенгуру делает 3 прыжка, длина которых в три раза больше прыжка кенгуренка, то есть отпрыгивает на 9 прыжков кенгуренка. Значит, за две секунды расстояние между мамой и кенгуренком сокращается на 4 прыжка кенгуренка. Между ними было 12 прыжков кенгуренка, следовательно, маме понадобится 6 секунд, чтобы его догнать. Второй способ. Из условия задачи следует, что мама-кенгуру за 2 секунды преодолевает метров, а кенгуренок — 10 метров. Следовательно, за одну секунду мама преодолевает метров, а кенгуренок — 5 метров. Между ними изначально было 12 прыжков кенгуренка, то есть, 24 метра. За 1 секунду расстояние между ними сокращается на 4 метра, следовательно, маме понадобится 24 : 4 = 6 секунд для того, чтобы догнать кенгуренка Ученик не знает, что делать Сколько метров преодолевают мама-кенгуру и кенгуренок за одну секунду Имеются двое песочных часов на 3 минуты и на 10 минут. Можно ли при помощи этих часов сварить яйцо, если его нужно варить без остановки а) ровно 4 минуты б) ровно 5 минут в) ровно 28 минут? Ответ. Во всех пунктах ответ положительный. Решение. а) Запускаем часы на 3 и 10 одновременно. Через 3 минуты первые часы переворачиваем. Ещё через 3 минуты ставим варить яйцо и варим до тех пор, пока не закончатся 10 47 минут. б) Запускаем двое часов одновременно. Часы на 3 минуты будем переворачивать каждый раз, как песок в них высыплется. Когда 10 минут закончатся, поставим вариться яйцо. В этот момент в 1-ых часах осталось две минуты. Когда в первых часах песок высыплется в четвёртый раз, перевернём их снова, и вот когда пройдёт ещё три минуты, закончим варить яйцо. в) 28 = 28 · (10 − 3 · 3). Так что если запустить двое часов одновременно и переворачивать их каждый раз, как песок высыпается, причём начать варить яйцо после 28 · 3 = 84 переворотов первых часов, а закончить после 10 переворотов вторых, яйцо как рази будет вариться минут. Стоит отметить, что этот способ явно не самый простой и быстрый, зато самый универсальный складывая таким образом единичные минуты, полученные как 1 = 10 − 3 · 3, можно набрать вообще любое целое число минут Ученик не знает, что делать в пунктах аи б Имеет смысл рассматривать только одновременный запуск двух часов Ученик не знает, что делать в пункте в Предположим, что часы запущены одновременно, а перевороты совершаются сразу же после высыпания. Какое количество минут мы можем получить таким образом а) Петины электронные часы показывают часы и минуты. Петя может в любой момент посчитать сумму цифр на этих часах (например, вон получит 1 + 6 + 1 + 5 = 13). В |