Статистика. Средние имеются данные о распределении безработных по продолжительности поиска работы Продолжительность поиска работы, мес
 Скачать 1.45 Mb.
|
|
СРЕДНИЕ Имеются данные о распределении безработных по продолжительности поиска работы Продолжительность поиска работы, мес. Численность безработных, лет до 1 455 1 - 3 1 240 3 - 6 1 520 6 -12 2300 Свыше 12 1632 Определить среднюю, модальную и медианную продолжительность поиска работы. Решение Составим вспомогательную расчетную таблицу Интервал Частота Накопленная частота Центр интервала Расчетные графы до 1 455 455 0,5 227,5 1 - 3 1 240 1695 2 2480 3 - 6 1 520 3215 4,5 6840 6 -12 2300 5515 9 20700 Свыше 12 1632 7147 15 24480 Итого 7147 54727,5 Среднюю продолжительность поиска работы определим по формуле средней арифметической взвешенной Мода (Мо) – наиболее часто встречающаяся величина в ряду распределения Мо = , где – нижняя граница модального интервала - частоты соответственно, модального интервала, интервала предшествующего модальному, и интервала, последующего за модальным. h – длина модального интервала Мо = мес Медиана (Ме) – величина, которая делит ряд распределения на две равные части Ме = , где – нижняя граница медианного интервала – накопленная частота интервала, предшествующего медианному - собственная частота медианного интервала h – длина медианного интервала Ме = мес Ответ: средняя продолжительность поиска работы 7,7 мес модальная продолжительность поиска работы 9,2 мес медианная продолжительность поиска работы 6,4 мес. 2. (15) Найти коэффициент вариации производственного стажа по группировке 50-ти рабочих (в условии их 61) Решение Для расчета составим вспомогательную таблицу Интервал Частота Центр интервала Расчетные графы До 5 6 2,5 15 36,3096 5-10 43 7,5 107,5 277,4188 10-20 12 15 180 1209,6192 Итого 61 302,5 1523,3476 Рассчитаем средний производственный стаж формуле средней арифметической взвешенной Среднее квадратическое отклонение вычислим по формуле х = х = лет Коэффициент вариации рассчитаем по формуле Интервалы производственного стажа, лет Численность рабочих, чел. До 5 6 5-10 43 10-20 12 V = V = = 100,8% Коэффициент вариации, равный 100,8% и превышающий 33,3%, характеризует неоднородность распределения и высокую степень колеблемости признака. Ответ коэффициент вариации равен 100,8% 3. (15) Определить среднюю численность работников на одном предприятии. Группы предприятий Интервалы по численности работников Количество предприятий в группе 1 20-70 20 2 70-120 26 3 120-170 10 4 170-220 4 Решение Для расчета средней численности составим вспомогательную таблицу Группы предприятий Интервалы по численности работников Количество предприятий в группе Центр интервала Расчетная графа 1 20-70 20 45 900 2 70-120 26 95 2470 3 120-170 10 145 1450 4 170-220 4 195 780 Итого 60 5600 Среднюю численность работников на одном предприятии определим по формуле средней арифметической взвешенной Ответ средняя численность работников на одном предприятии равна 93 чел. 4. (В результате обследования работы станков в механических цехах завода получены следующие данные Определите среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации времени работы 1) токарных станков 2) заточных станков. Решение Вычислим среднее отработанное время по формуле средней арифметической где – значение вариант n – общее число вариант (объем выборки) Для токарных станков среднее время равно Для заточных станков среднее время равно Цех Отработано станко-часов Токарными станками Заточными станками 1 2 3 4 5 1100 2900 3300 3500 1400 700 110 1100 670 720 Для расчета показателей вариации составим вспомогательную таблицу Цех Токарные станки Заточные станки 1 1100 1340 1795600 700 40 1600 2 2900 460 211600 110 550 302500 3 3300 860 739600 1100 440 193600 4 3500 1060 1123600 670 10 100 5 1400 1040 1081600 720 60 3600 Итого 4760 4952000 1100 501400 Среднее линейное отклонение рассчитывается по формуле Среднее квадратическое отклонение рассчитывается по формуле х = тока = σ заточ = Коэффициент вариации рассчитаем по формуле V = = = 40,8% = = 48,0% 5. (12) Найти средний уровень рентабельности продаж по группе коммерческих предприятий, если известно, что 20% всех фирм имеют рентабельность равную 50%, 50% всех фирм работают с рентабельностью 25%, а остальные с рентабельностью Решение Доля остальных фирм, работающих с уровнем рентабельности 15%, равна 100% - 20% - 50% =30% Средний уровень рентабельности по группе определим по формуле средней арифметической взвешенной % Ответ Средний уровень рентабельности по группе предприятий составил 27%. По двум торговым фирмам имеются следующие данные о товарообороте магазинов за отчетный год Район Торговая фирма 1 Торговая фирма 2 Средний товарооборот на один магазин, млн. руб. Число магазинов Средний товарооборот на один магазин, млн. руб Весь товарооборот, млн. руб А В С 30,0 32,0 34,0 140 160 100 22,0 23,0 25,0 5500 6900 8000 Вычислите средний товарооборот на один магазина) по торговой фирме 1; б) по торговой фирме 2. Сравните полученные показатели. Решение а) Средний товарооборот на один магазин по торговой фирме 1 рассчитаем по формуле средней арифметической взвешенной , где - средний товарооборот на один магазин в районе - количество магазинов в районе = б) Средний товарооборот на один магазин по торговой фирме 2 рассчитаем по формуле средней гармонической взвешенной , где – весь товарооборот в районе - средний товарооборот на один магазин в районе млн руб Таким образом, средний товарооборот на один магазин по торговой фирме 1 больше, чем по торговой фирме 2 на 8,4 млн. рубили на 26,4%. Имеются следующие данные потрем предприятиям, выпускающим одноименную продукцию Предприятие Фактический выпуск продукции млн. руб. Выполнение плана, % I II III 440,0 520,0 330,0 108 94 85 Вычислите потрем предприятиям 1) средний процент выполнения плана по выпуску продукции 2) абсолютный прирост стоимости фактической продукции по сравнению с планом. Решение Вычислим плановый выпуск продукции по формуле – выпуск продукции фактический % - процент выполнения плана Таким образом, плановый выпуск по предприятиям составлял Средний процент выполнения плана потрем предприятиям рассчитаем по формуле Абсолютный прирост (снижение) стоимости фактической продукции по сравнению с планом составил Таким образом, план по выпуску продукции недовыполнен на 0,7%, что привело к сокращению планового выпуска продукции на 8,8 млн.руб. 8. (18) Для 100 рабочих выполнена группировка по уровню среднего дневного заработка в зависимости от квалификации. Впервой группе дисперсия заработка составила 7000, во второй – 9000, в третьей – 6500. Численность групп соответственно равна 35, 50 и 15 чел. Общая дисперсия заработков равна 15675. Найти межгрупповую дисперсию, коэффициент детерминации и объяснить долю влияния квалификации на колебания среднего заработка. Решение Вычислим среднюю дисперсию из внутригрупповых дисперсий по формуле средней арифметической взвешенной Исходя из правила сложения дисперсий, найдем межгрупповую дисперсию как разность между общей дисперсией и средней дисперсией 15675 – 7925 =7750 Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле где о а о а Определим долю влияния квалификации на колебания среднего заработка на основе эмпирического корреляционного отношения На 70,3 % изменение среднего заработка зависит от квалификации. 9. (18) Определите средний возраст студентов одной группы поданным, приведенным в таблице, показатели его вариации, моду и медиану. Возраст студентов, лет 18 19 20 21 22 всего Число студентов 15 18 5 7 10 55 Решение Для расчета показателей составим вспомогательную таблицу Возраст студентов Число студентов частота) Накопленная частота Расчетные графы S i ∙ ∙ 18 15 15 270 24,0 38,4 19 18 33 342 10,8 6,84 20 5 38 100 2,0 0,8 21 7 45 147 9,8 13,72 22 10 55 220 24,0 57,6 Итого 55 1079 70,6 117,36 Средний возраст студентов рассчитаем по формуле средней арифметической взвешенной Среднее линейное отклонение рассчитывается по формуле Среднее квадратическое отклонение рассчитывается по формуле х = σ x = года Коэффициент вариации рассчитаем по формуле V = V= = 7,4% Модой будет являться варианта с наибольшей частотой, те. Мо = 19 лет Чтобы найти медиану в дискретном вариационном ряд, нужно сумму частот разделить пополам и к полученному результату добавить Ѕ. Так, в распределении 55 студентов, медианой будет 55/2 + Ѕ = 28, те. я варианта, которая делит упорядоченный ряд пополам. В колонке накопленных частот находим значение варьирующего признака, которому соответствует я варианта, те. медианой будет возраст 19 лет. Мелет ВЫБОРКА 1.(12) Поданным выборочного обследования 9 человек из 200 студентов выпускного курса намерены по окончании вуза открыть собственный бизнес. Определите интервальную оценку для доли таких студентов среди всех выпускников, с вероятностью выборов 0,954. Решение Доверительный интервал для доли имеет вид [w-∆ p ; w+∆ p ], ∆ p – предельная ошибка выборки, определяется по формуле ∆ p = t ∙ , где t – коэффициент доверия, определяемый из таблицы функции Лапласа. - доля студентов, намеренных открыть свой бизнес Для вероятности 0,954 t = 2,0 ∆ p = 2,0 ∙ Итак, построим искомый доверительный интервал [0,045 – 0,029; 0,045 + 0,029] [0,016; 0,074] Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля студентов, которые намерены открыть свой бизнес, будет не менее 1,6% и не менее 7,4%. Ответ искомая интервальная оценка для доли равна [0,016; 0,074] 2.(14) Найти необходимую численность выборки при определении среднего размера срочных вкладов в отделении Сбербанка с точностью 5000 рублей (ошибка выборки, если среднее квадратическое отклонение по размеру вклада составляет тыс. руби вероятность выбора 0,954. Решение Для того, чтобы ошибка выборки была равна 5000 руб, объем выборки должен быть равен Ответ Необходимая численность выборки равна 16. 3. (12) Из 1000 изготовленных на заводе деталей было отобрано 100, при проверке качества 6 деталей было отбраковано. Определите среднюю ошибку выборки и доверительные пределы брака во всей партии с вероятностью 0,954. Решение Средняя ошибка доли определяется по формуле где n – величина выборочной совокупности, N – величина генеральной совокупности доля единиц совокупности, обладающих изучаемым признаком, в данном случае доля бракованных деталей Доверительный интервал доли генеральной совокупности определяется в границах [w-∆ p ; w+∆ p ], предельная ошибка ∆ p = t ∙ t – коэффициент доверия, определяемый из таблицы функции Лапласа Для вероятности 0,954 t = 2,0 ∆ p = 2,0 ∙ = 0,046 Таким образом, искомые доверительные пределы брака [0,06 – 0,046; 0,06 + 0,046] [0,014; 0,106] Таким образом, число бракованных деталей в генеральной совокупности составит не меньше 1,4 % и не превысит 10,6 %. ИНДЕКСЫ 1. (20) Поданным таблицы найти Индивидуальные индексы производительности труда. Общие индексы производительности труда а) переменного состава б) постоянного состава в) влияние структурных сдвигов. Изменение средней выработки на одного работающего потрем предприятиям в целом за счет отдельных факторов. Предприятия Базисный период Отчетный период Средняя выработка продукции на 1 работающего, руб. Удельный вес предприятия в численности работающих, % Средняя выработка продукции на 1 работающего, руб. Удельный вес предприятия в численности работающих, % 1 14000 25 14560 20 2 14500 35 15100 25 3 15600 40 13100 55 Решение Индивидуальные индексы производительности труда по предприятия рассчитаем по формуле где – выработка продукции в базисном и отчетном периодах соответственно Таким образом, а отчетном периоде по сравнению с базисным производительность на первом предприятии выросла на 4,0%, на втором предприятии выросла на 4,1%, на третьем предприятии снизилась на 6%. Индекс производительности труда переменного состава определим по формуле где – выработка продукции в базисном и отчетном периодах соответственно – доля предприятия в численности работающих в базисном и отчетном периодах соответственно Те. в среднем потрем предприятиям производительность труда снизилась в отчетном периоде по сравнению с базисным на 6,2%. Индекс производительности труда постоянного (фиксированного) состава определим по формуле Те. в среднем потрем предприятиям производительность труда при зафиксированной структуре численности работников на уровне базисного периода снизилась на 4,4%. Индекс структурных сдвигов рассчитаем, используя взаимосвязь индексов Изменение средней выработки на одного работающего потрем предприятиям в целом за счет отдельных факторов. Абсолютное изменение выработки составило В том числе за счет изменений в структуре численности работников За счет изменений выработки по отдельным предприятиям 2. (Имеются следующие данные. Отрасли Численность работников в отраслях, тыс. чел. Заработная плата в базисном периоде, тыс. руб. Индексы заработной платы в отчетном периоде % Базисный период Отчетный период 1 340 350 21 107 2 40 45 24 105 3 110 120 23 102 Найти Средние заработные платы по совокупности отраслей в базисном и отчетном периодах, индекс средней заработной платы, индекс постоянного состава, индекс структурных сдвигов, изменения фонда заработной платы за счет изменений заработной платы по отраслями за счет изменений численности работников. Решение Определим заработную плату в отчетном периоде по каждой отрасли как произведения индекса заработной платы на уровень з/п в базисном периоде Рассчитаем средние заработные платы по совокупности отраслей в базисном и отчетном периодах по формуле средней арифметической взвешенной Где - заработная плата в отдельной отрасли в отдельном периоде - численность работников в отдельной отрасли в отдельном периоде Рассчитаем индекс средней заработной платы по формуле Таким образом средняя зарплата в целом по отраслям в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 5,8%. Индекс постоянного (фиксированного) состава рассчитаем по формуле Индекс структурных сдвигов рассчитаем по формуле Абсолютное изменение фонда заработной платы составило За счет изменений заработной платы по отраслям За счет изменений численности работников по отраслям 3. (15) Найти средний индекс себестоимости, показать как изменились затраты производства из-за изменения себестоимости единицы продукции Виды продукции Затраты производства в текущем периоде, тыс. руб. Изменение себестоимости , % Индекс себестоимости А 1500 -6 1-0,06=0,94 Б 1630 +4 1+0,04=1,04 Решение Индекс себестоимости определим по формуле – затраты на производство в отчетном году - индивидуальный индекс себестоимости Себестоимость единицы изделий в текущем периоде снизилась по сравнению с прошлым на 1,0%. Изменение объема затрат под влиянием изменения себестоимости определим по формуле Таким образом, экономия от снижения себестоимости составила 31,3 тыс.руб. 4. (18) Планом предусмотрены следующие показатели (в руб. Средняя месячная выработка на одного рабочего Средняя дневная выработка Средняя часовая выработка Фактически за отчетный месяц выпуск продукции в ценах, предусмотренных планом, составил 365600 тыс. руб, среднесписочное число рабочих – 130 чел, число отработанных рабочими чел.-ч- Определите индексы средней часовой, дневной и месячной производительности труда. Решение Рассчитаем фактическую среднюю месячную выработку на одного рабочего как отношение фактически выпущенной продукции за месяц к среднесписочному числу рабочих Фактическая средняя дневная выработка равна : день Фактическая средняя часовая выработка равна : Определим индексы, разделив значения показателей фактических на плановые. Индекс средней месячной выработки Индекс средней дневной выработки Индекс средней часовой выработки Таким образом план помесячной выработке выполнен всего лишь на 31,0%; план подневной выработке недовыполнен на 10,8%; план почасовой выработке выполнен и перевыполнен на 19,3%. 5. (16) Найти индивидуальные и средний индекс производительности труда. Виды продукции Трудоемкость ед. производства продукции, час Объем производства в текущем периоде, тыс. ед. Базисный период Текущий период А 3,5 3,2 12 Б 2,2 2,8 6 Решение Так как производительность труда обратно пропорциональна трудоемкости продукции, то индивидуальные индексы производительности рассчитаем по формуле аз т к аз т к -трудоемкость базисного и текущего периодов соответственно Таким образом, в текущем периоде по сравнению с базисным производительность по продукции А возросла на 9,4%, а по продукции Б снизилась на 21,5%. Средний индекс производительности рассчитаем, используя индекс Струмилина: I w = т к т к, где Т тек – затраты труда на производство продукции в текущем периоде Затраты труда можем рассчитать как произведение объема производства на трудоемкость. Тогда индекс представим в следующем виде I w = тек – объем производства в текущем периоде тек – трудоемкость текущего периода I w = Таким образом, средняя производительность труда по двум видам продукции выросла в текущем периоде на 64,3%. 6.(16) На основании нижеприведенных данных определите 1) индекс себестоимости 2) сумму экономии в абсолютном выражении от снижения себестоимости Наименование изделия Затраты на производство всех изделий в отчетном году, млн. руб. Снижение себестоимости единицы изделий в отчетном году, % Индекс себестоимости А 66,1 2,3 1-0,023=0,977 Б 38,8 3,5 1-0,035=0,965 В 77,6 2,1 1-0,021=0,979 Итого 182,5 ---- Решение Индекс себестоимости определим по формуле – затраты на производство в отчетном году - индивидуальный индекс себестоимости Себестоимость единицы изделий в отчетном году снизилась по сравнению с базисным на 2,5%. Сумму экономии в абсолютном выражении от снижения себестоимости определим по формуле |