ФОЭ2A. Статистика носителей заряда в полупроводниках глава 2
![]()
|
2.2. Расчет положения уровня Ферми в собственном полупроводникеРассчитаем температурную зависимость положения уровня Ферми в собственном полупроводнике из очевидного равенства ![]() Возьмем натуральный логарифм от обеих частей этого равенства: ![]() Решая полученное уравнение относительно энергии WF получаем следующее выражение для определения положения уровня Ферми в собственном полупроводнике: ![]() где Wi=(Wc+Wv)/2 - энергия, соответствующая положению середины запрещенной зоны полупроводника. Поскольку ![]() ![]() Из выражения (2.16) следует, что в собственном полупроводнике при температуре абсолютного нуля уровень Ферми WFнаходится вблизи середины запрещенной зоны. При повышении температуры положение WF смещается к краю одной из разрешенных зон. Направление смещения зависит от отношения эффективных масс носителей заряда. Г ![]() Полупроводниковые материалы с собственной проводимостью находят ограниченное практическое применение в связи с трудностями, связанными с глубокой очисткой полупроводника. Вместе с тем, при определенных условиях, собственная проводимость часто наблюдается в полупроводниках, например, на границе контакта двух различных полупроводников или при контакте полупроводника с диэлектриком или металлом. 2.3. Расчет концентрации электронов и положения уровня Ферми в электронном полупроводникеДля упрощения дальнейшего изложения воспользуемся приближенными методами анализа статистики электронов в полупроводнике. Предположим, что при комнатной температуре проводимость электронного полупроводника определяется, главным образом, электронами, образовавшимися при ионизации донорной примеси. Электроны в полупроводниках n - типа проводимости называют основными носителями заряда, а дырки - неосновными носителями заряда. Каждый ионизированный атом донорной примеси (донор) можно рассматривать как примесный центр, захвативший дырку. Поэтому первое уравнение электронейтральности (2.3) для электронного полупроводника приобретает следующий вид: nn= ![]() где nn - концентрация свободных электронов в зоне проводимости полупроводника, м-3; ![]() Умножая левую и правую части уравнения (2.17) на значение nn и решая полученное уравнение относительно nn, получим выражение для закона действующих масс в электронном полупроводнике в виде ![]() ![]() Для определения концентрации электронов nn и концентрации положительных ионов ![]() ![]() Концентрация положительных ионов на примесных уровнях в электронном полупроводнике определяется по формуле, аналогичной (2.12): ![]() где Nd- эффективная плотность состояний дырок на уровнях Wdдонорной примеси, фактически представляющая концентрацию атомов донорной примеси, м-3. Подставив значения nn и ![]() ![]() где Wd= Wc-Wd - энергия ионизации донорного уровня. Формула (2.21) справедлива при расчетах концентрации основных носителей заряда в электронных полупроводниках для ограниченного диапазона температур от 0 до 30...70 К. Это связано с тем, что при некоторой температуре Тs, называемой температурой истощения, все атомы донорной примеси ионизируются, и дальнейшее увеличение температуры не приводит к возрастанию концентрации основных носителей заряда (электронов). Однако при значительном нагреве электронного полупроводника до температуры Тi, называемой температурой появления собственной проводимости, концентрация электронов в зоне проводимости опять начинает расти, на этот раз вследствие тепловой генерации электронов из валентной зоны в зону проводимости. Значение температуры истощения Т=Тs можно рассчитать из формулы (2.21) полагая, что nn=Nd. В результате логарифмирования и проведения соответствующих преобразований получим, что ![]() Аналогичным образом можно оценить и температуру появления собственной проводимости Т=Тi, подставив в левую часть формулы (2.19) значение ni=Nd. Выполнив соответствующие преобразования, получим формулу для расчета значения Тi в виде ![]() Полагая, что для кремния значения величин под знаком натурального логарифма в формуле (2.22) находятся в пределах 103...104, в формуле (2.23) - в диапазоне 106...108, получим для величины Тsзначение около 50...70 К, а для Тi - 700...900 К, что примерно соответствует экспериментальным данным. Т ![]() ![]() При дальнейшем повышении температуры, вплоть до температуры появления собственной проводимости Тi, концентрация собственных носителей заряда будет оставаться постоянной до тех пор, пока не станет заметным возбуждение и переход электронов из валентной зоны в зону проводимости. Область температур Ts ![]() ![]() ![]() Из рис. 2.3 следует также, что чем больше концентрация донорной примеси Nd, тем выше температуры Тi и Тs, при которых концентрации собственных носителей заряда n становятся сравнимыми с концентрацией электронов, появившихся в зоне проводимости за счет полной ионизации атомов донорной примеси, то есть выполнения условия n=Nd. Для определения положения уровня Ферми в электронном полупроводнике воспользуемся очевидным равенством nn= ![]() ![]() ![]() Из этого выражения получаем, что значение энергии, соответствующей положению уровня Ферми WF в электронном полупроводнике, рассчитывается по формуле ![]() График функции WF=f(T) представлен на рис. 2.4, из которого можно сделать следующие выводы. П ![]() При возрастании температуры положение уровня Ферми WF постепенно начинает снижаться и при температуре истощения Т=Тs пересекает уровень донорной примеси Wd. Поскольку WF=Wd, то равенство (2.24) можно записать в виде lnNd=lnNc-(Wc-WF)/kT, откуда следует, что ![]() Подставляя в выражение (2.26) значение T=Тs из формулы (2.22) и учитывая, что Wd=Wc-Wd, действительно получаем, что WF=Wd. При температурах, больших температуры истощения Тs, положение уровня Ферми смещается вниз к середине запрещенной зоны, что свидетельствует о постепенном переходе от электронной к собственной проводимости полупроводника. Для полупроводников n-типа в диапазоне температур области истощения Ts ![]() ![]() ![]() Увеличение концентрации доноров, Nd, приводит не только к увеличению концентрации электронов, но и к снижению концентрации дырок, pn, из-за увеличения вероятности рекомбинации, скорость которой согласно (2.1) пропорциональна произведению концентраций электронов и дырок. Концентрация неосновных носителей обычно очень мала, но резко растет с температурой. Например, в кремнии при Т=300 К и Nd=1022 м-3 значение pn=2·1010 м-3, а при увеличении Т на 100 К pn вырастает на 6 порядков и составит 2·1016 м-3. Несмотря на малые значения концентраций, неосновные носители влияют на важные параметры многих приборов (например, обратные токи в диодах). |