ФОЭ2A. Статистика носителей заряда в полупроводниках глава 2
Скачать 0.99 Mb.
|
Глава 2. Статистика носителей заряда в полупроводниках Г Л А В А 2 СТАТИСТИКА НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДАВ ПОЛУПРОВОДНИКАХ(равновесные концентрации носителей заряда, распределение по энергии генерация и рекомбинация носителей заряда, влияние поверхностных состояний) 2.1. Расчет концентрации электронов и дырок в собственном полупроводникеВеличина концентрации свободных электронов niв зоне проводимости собственного проводника раccчитывается путем интегрирования соотношения типа (1.13): , (2.1) где Wc - энергия дна зоны проводимости; Nc(W) - плотность состояний энергии электронов в зоне проводимости, которая рассчитывается из выражения (1.7); fn(W) - функция Ферми-Дирака распределения электронов по энергиям, определяемая соотношением (1.10). На рис. 2.1 изображены графики функций Ферми-Дирака для электронов и дырок при температуре T>0, совмещенные с энергетической зонной диаграммой полупроводникового материала. В диапазоне энергий, соответствующем дну зоны проводимости Wc ("хвост" функции распределения на рис. 2.1, а), величина [(W-WF)/kT]>> 1. Поэтому функция распределения электронов по энергиям (1.10) при температуре Т>0 приближенно описывается распределением Максвелла-Больцмана, имеющим вид , (2.2) где WF - значение энергии, соответствующее уровню Ферми в полупроводнике. Подставляя в формулу (2.1) значения Nc(W) из выражения (1.7) и fn(W) из формулы (2.2), получим следующее соотношение для расчета концентрации электронов в зоне проводимости . (2.3) Умножив и разделив правую часть полученного соотношения на (kT)3/2, преобразуем его к виду . Обозначим , . Тогда , а пределы интегрирования по переменной x будут находиться в диапазоне . В результате интеграл для расчета значения ni преобразуется к виду . (2.4) В этой формуле - интеграл Ферми половинного порядка. Подставляя значение интеграла Ферми в формулу (2.4) получим, что концентрация электронов в собственном полупроводнике определяется выражением . (2.5) В выражении (2.5) обозначим , м-3. Величина Nc носит название эффективной плотности состояний в зоне проводимости и для кремния при Т=300 К составляет 2,81025 м-3. Производя подстановку Nc в выражение (2.5) получим окончательное выражение для концентрации электронов в собственном полупроводнике в виде . (2.6) Используя полученные результаты рассчитаем концентрацию дырок, pi в валентной зоне собственного полупроводника. В данном случае для расчетов используем выражение, аналогичное выражению (2.1): , (2.7) где Wv - энергия потолка валентной зоны; Nv(W) - плотность состояний энергии электронов в валентной зоне, которая рассчитывается из выражения, аналогичного (1.7); fp(W) – функция Ферми-Дирака распределения дырок по энергиям. Интегрирование в формуле (2.7) идет в пределах от до Wv. График функции fp(W) для Т>0 представлен на рис. 2.4, б. Согласно этому графику функция Ферми-Дирака для дырок является дополнительной к функции Ферми-Дирака для электронов fn(W), т. е. fp(W)=1 ̶fn(W)= . (2.8) В диапазоне энергий, соответствующем потолку валентной зоны Wv ("хвост" функции распределения на рис. 2.1, б), величина [-(W-WF)/kT]>>1. Поэтому функция распределения дырок по энергиям (2.13) при температуре Т 0 приближенно описывается распределением Максвелла-Больцмана, имеющим в данном случае вид , (2.9) где WF - значение энергии, соответствующее уровню Ферми в полупроводнике. Подставляя в формулу (2.7) значение Nv(W) из формулы (1.7), в которой эффективная масса электронов заменена на эффективную массу дырок и отсчет энергии идет вниз от потолка валентной зоны Wv, а также значение fp(W) из выражения (2.9), получим следующее рабочее соотношение для расчета концентрации дырок в валентной зоне: . (2.10) Выполняя преобразования формулы (2.15) по аналогии с проведенным выше при расчетах концентрации электронов, получим, что концентрация дырок в собственном полупроводнике определяется выражением (2.11) где ; м-3 - эффективная плотность состояний в валентной зоне, равная для кремния 1,01025 м-3 при Т= 300 К. Производя подстановку Nv в выражение (2.11) получим выражение для концентрации дырок в собственном полупроводнике: . (2.12) В собственном полупроводнике концентрации свободных электронов и дырок связаны законом равновесия масс (1.4), откуда следует, что эти концентрации равны между собой и определяются соотношением вида , м-3. (2.13) Подставляя значения ni из(2.6) и piиз (2.12) в соотношение (2.13), получим следующую формулу для расчета концентрации электронов и дырок в собственном полупроводнике: . Поскольку разность Wc – Wv равна Wg - ширине запрещенной зоны полупроводника, то выражение для концентрации носителей заряда в собственном полупроводнике может быть записано в виде . (2.14) Из выражения (2.14) следует, что в собственном полупроводнике при фиксированной температуре Т концентрация электронов ni,(и дырок pi) тем выше, чем меньше ширина запрещенной зоны полупроводника Wg и чем больше эффективные плотности состояний в зоне проводимости Nc и в валентной зоне Nv. С ростом температуры Т значения концентраций собственных носителей заряда ni и pi возрастают. |