многогранники упраженния. многогранники. Стереометрия на егэ по математике Многогранники в задаче 16

• Название: Стереометрия на егэ по математике Многогранники в задаче 16
• Анкор: многогранники упраженния
• Дата: 21.09.2022
• Размер: 0.62 Mb.
• Имя файла: многогранники.pdf
• Тип: Документы; #689708
• страница: 5 из 6

1
C
1
D
1
известны рёбра: AB = 3, BC = 4,
AA
1
= 12
. Найдите угол между плоскостями BC
1
D
и ABC.
arctg5 45.
На ребре AA
1
куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
взята точка K так, что AK : KA
1
= 1 : 3
. Найдите угол между плоскостями ABC и KD
1
C
arctg
5 4
46.
Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под равными углами. Докажи- те, что основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды.
47.
Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 5, 5 и 6. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60
◦
. Найдите объём пирамиды.
6
√
3 48. Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника.
а) Сторона AB треугольника ABC лежит в плоскости π. Угол между плоскостью ABC
и плоскостью π равен α. Точка H — основание перпендикуляра, опущенного из точки C на плоскость π. Докажите, что S
ABH
= S
ABC
cos α
б) Точки K, L, M — ортогональные проекции точек A, B, C на плоскость π. Угол между плоскостью ABC и плоскостью π равен α. Докажите, что S
KLM
= S
ABC
cos α
в) Докажите, что площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость π равна площади многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью π. (Указание: разбейте многоугольник на треугольники.)
65

14.4
Расстояние от точки до прямой
49.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания рав- на
√
2
, а боковое ребро равно 2. Найдите расстояние от точки A до прямой SC.
√
3 50.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (с вершиной S) сторона основания равна 1, а боковое ребро равно
√
3
. Найдите расстояние от точки A до прямой SC.
3 2
51.
В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
сторона основания равна 6, а высота рав- на 8. Найдите расстояние от точки A до прямой BC
1 3
√
91 5
52.
В правильной треугольной пирамиде SABC (с вершиной S) сторона основания равна 2, а боковое ребро равно
√
2
. Найдите расстояние от точки A до прямой SM, где M — середина ребра BC.
√
2 53.
В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
сторона основания равна 1,
а высота равна 2. Найдите расстояние от точки A до прямой CD
1
√
3 54.
В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
сторона основания равна 2,
а высота равна
√
13
. Найдите расстояние от точки A до прямой CE
1 2
√
66 5
55.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (с вершиной S) сторона основания равна 2
√
3
, а боковое ребро равно 5. Найдите расстояние от точки A до прямой SC.
24 5
56.
В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна 2, а высота равна 1. Найдите расстояние от центра грани ABCD до прямой BD
1
√
2 3
57.
В кубе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
найдите расстояние от центра грани ABCD до прямой AD
1
. Ребро куба равно 4.
√
6 58.
Ребро куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
равно 2. Точки M и N — середины рёбер AB и CC
1
соответ- ственно. Найдите расстояние от точки A до прямой MN.
q
5 6
66

59.
В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3. На ребре CC
1
взята точка K так, что CK = 1. Найдите расстояние от точки A
1
до прямой BK.
2
√
2 60.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) все рёбра равны 6.
Найдите расстояние от точки A до прямой BM, где M — середина ребра SC.
√
33 61.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
известны рёбра: AB = 8, AD = 6,
AA
1
= 2
√
3
. Точки E и F служат серединами рёбер AB и BC соответственно. Найдите рассто- яние от точки D
1
до прямой EF .
2
√
399 5
62.
Ребро правильного тетраэдра ABCD равно 6. Точки M и N — центры граней ABD и ACD
соответственно. Найдите расстояние от точки A до прямой MN.
√
11 14.5
Расстояние от точки до плоскости
63.
В прямой треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
известны рёбра: AB = BC = 1, AC =
√
2
,
AA
1
= 1
. Найдите расстояние от точки B
1
до плоскости A
1
BC
1 1
√
3 64.
В правильной треугольной пирамиде SABC (с вершиной S) сторона основания равна 2
√
3
,
а боковое ребро равно 3. Найдите расстояние от точки C до плоскости ABS.
q
15 2
65.
В прямой треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
известны рёбра: AB = AC = 5, BC = 6,
AA
1
= 3
. Найдите расстояние от точки C
1
до плоскости A
1
BC
12 5
66.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания рав- на 6, а боковое ребро равно 5. Найдите расстояние от точки A до плоскости BCS.
3
√
7 2
67.
В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна 5, а высота равна 12. Найдите расстояние от середины ребра AA
1
до плоскости BC
1
D
1 30 13 68.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (с вершиной S) сторона основания равна 2, а боковое ребро равно
√
10
. Найдите расстояние от точки A до плоскости BCS.
√
2 67

69.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (с вершиной S) сторона основания равна
√
3
, а боковое ребро равно
√
7
. Найдите расстояние от точки A до плоскости CDS.
12 5
70.
В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
сторона основания равна
5
√
3
, а высота равна 8. Найдите расстояние от точки A до плоскости BCE
1 60 17 71.
В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
сторона основания равна 2,
а высота равна 1. Найдите расстояние от точки C до плоскости BEF
1
√
3 2
72.
В единичном кубе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
найдите расстояние от точки A до плоскости BDM,
где M — середина ребра CC
1 1
√
6 73.
В единичном кубе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
найдите расстояние от середины ребра CC
1
до плоско- сти AB
1
C
√
3 6
74.
В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна 4, а высота равна 3. Найдите расстояние от середины ребра AA
1
до плоскости ACD
1 6
√
34 75.
В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
сторона основания равна 1, а высота рав- на 2. Найдите расстояние от точки A до плоскости A
1
M C
, где M — середина ребра BB
1 2
√
5 76.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания рав- на 4, а боковое ребро равно 2
√
3
. Найдите расстояние от точки C до плоскости ABM, где M —
середина ребра SC.
4
√
10 14.6
Расстояние между скрещивающимися прямыми
77.
В правильной треугольной пирамиде SABC (с вершиной S) сторона основания равна
√
10
,
а боковое ребро равно 5. Найдите расстояние между прямыми AS и BC.
q
13 2
78.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания рав- на
√
26
, а боковое ребро равно 13. Найдите расстояние между прямыми AC и BS.
2
√
3 68

79.
В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
, все рёбра которой равны 1,
найдите расстояние между прямыми AB
1
и DE
1
√
3 80.
В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
, все рёбра которой равны 1,
найдите расстояние между прямыми AD
1
и B
1
C
√
3 2
81.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (с вершиной S) сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Найдите расстояние между прямыми AS и BC.
√
3 82.
В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна 2, а высота равна 1. Найдите расстояние между прямыми AC и BD
1
√
2 3
83.
В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
сторона основания равна 10
√
3
, а высота равна 8. Найдите расстояние между прямыми AB
1
и BC.
120 17 84.
В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна 2, а высота равна
√
2
. Найдите расстояние между прямыми AC и BC
1 1
85.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (с вершиной S) сторона основания равна 2, а боковое ребро равно
√
10
. Найдите расстояние между прямыми AS и CD.
2
√
2 86.
В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
сторона основания равна 2,
а высота равна 3. Найдите расстояние между прямыми AB
1
и BC
1 3
2 87.
В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
сторона основания равна 10,
а высота равна 12. Найдите расстояние между прямыми AB
1
и CD
1 180 13 88.
В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна 2, а высота равна 3. Найдите расстояние между прямыми AB
1
и BC
1 3
q
2 11 89.
Основанием прямой призмы ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
служит ромб ABCD c углом при вершине A,
равным 30
◦
. Все рёбра призмы равны 2. Найдите расстояние между прямыми AA
1
и BC
1 1
69

90.
В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
сторона основания равна 2, а высота рав- на 3. Найдите расстояние между прямыми AB
1
и BC
1 3
√
10 14.7
Сечения
91.
Ребро куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
равно 2. Точка E — середина ребра B
1
C
1
. Найдите площадь сечения куба плоскостью ABE.
2
√
5 92.
В правильной треугольной пирамиде ABCD (с вершиной D) сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью KLM, где K, L, M —
середины рёбер AB, BC и CD соответственно.
2 93.
В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
боковое ребро равно 4, а сторона основа- ния равна 6. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки A, B и середину ребра B
1
C
1 9
√
91 4
94.
В правильной четырёхугольной пирамиде ABCDE (с вершиной E) все рёбра равны 4.
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ABK, где K — середина ребра CE.
3
√
11 95.
Ребро куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
равно 4. Найдите площадь сечения куба плоскостью, прохо- дящей через вершину D
1
и середины рёбер AD и CD.
6 96.
Ребро куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
равно 4. Точка E — середина ребра A
1
D
1
. Найдите площадь сечения куба плоскостью ACE.
18 97.
В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна 1, а высота равна 2. Точка M — середина ребра AA
1
. Найдите площадь сечения призмы плоскостью
BM D
1
√
3 98.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
известны рёбра: AB = 3, AD =
√
3
,
AA
1
= 5
. Точка M расположена на ребре AA
1
так, что AM = 4. а) Найдите площадь сече- ния параллелепипеда плоскостью BMD
1
. б) Найдите угол между плоскостями BMD
1
и ABC
(указание: используйте теорему о площади ортогональной проекции многоугольника
).
а)2
√
21;
б)arccos
3
√
7 14 70

99.
В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна 4, а вы- сота равна 3
√
6
. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершину D
1
и середины рёбер AB и BC.
28 100.
В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна
√
2
, а высота равна
√
15
. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, BC и CC
1 6
71

15
Задачник ЕГЭ-16
Здесь приведены задачи №16 (в прошлом С2), которые предлагались на ЕГЭ по математике, а также на диагностических, контрольных и тренировочных работах МИОО начиная с 2009 года.
1.
(ЕГЭ, 2015 ) В кубе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
все рёбра равны 5. На его ребре BB
1
отмечена точка K
так, что KB = 3. Через точки K и C
1
проведена плоскость α, параллельная прямой BD
1
а) Докажите, что A
1
P : P B
1
= 1 : 2
, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A
1
B
1
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
б)
1075 9
2.
(МИОО, 2015 ) На ребре AA
1
прямоугольного параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
взята точ- ка E так, что A
1
E : EA = 3 : 4
. Точка T — середина ребра B
1
C
1
. Известно, что AB = 9, AD = 6,
AA
1
= 14
а) В каком отношении плоскость ET D
1
делит ребро BB
1
?
б) Найдите угол между плоскостью ET D
1
и плоскостью AA
1
B
1
а)3
:11
;б)
arctg
√
10 3
3.
(МИОО, 2015 ) На ребре AA
1
прямоугольного параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
взята точ- ка E так, что A
1
E = 6EA
. Точка T — середина ребра B
1
C
1
. Известно, что AB = 4
√
2
, AD = 12,
AA
1
= 14
а) Докажите, что плоскость ET D
1
делит ребро BB
1
в отношении 4 : 3.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ET D
1
б)90 4.
(МИОО, 2015 ) В основании правильной треугольной призмы ABCA
1
B
1
C
1
лежит треуголь- ник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка N — середина ребра A
1
C
1
а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.
б) Найдите периметр этого сечения.
б)19 5.
(ЕГЭ, 2014 ) В правильной треугольной пирамиде MABC стороны основания ABC равны 6,
а боковые рёбра равны 8. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E,
а на ребре AM — точка L. Известно, что CD = BE = LM = 2. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
2
√
30 6.
(ЕГЭ, 2014 ) В треугольной пирамиде MABC основанием является правильный треуголь- ник ABC, ребро MB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро MA равно 6. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = AL = 2 и BE = 1. Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
arctg2 72

7.
(ЕГЭ, 2014 ) В треугольной пирамиде MABC основанием является правильный треуголь- ник ABC, ребро MA перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро MB равно 5. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = 2 и BE = ML = 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
2
√
3 8.
(ЕГЭ, 2014 ) В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M сторона основания
AB
равна 6. На ребре AB отмечена точка K так, что AK : KB = 5 : 1. Сечение MKC является равнобедренным треугольником с основанием MK. Найдите угол между боковыми гранями пирамиды.
2arcsin
√
682 44 9.
(ЕГЭ, 2014 ) Косинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды равен
√
3/4
. Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды.
arccos
7 32 10.
(МИОО, 2014 ) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6. Найдите расстояние от вершины A до плоскости
SBC
3
√
39 4
11.
(МИОО, 2014 ) Высота SO правильной треугольной пирамиды SABC составляет 5/7 от высоты SM боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её
боковым ребром.
arctg
5 4
√
6 12.
(МИОО, 2014 ) Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны 5
√
2
. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен
√
2
, L — середина ребра
M B
. Найдите высоту данной пирамиды.
5 13.
(МИОО, 2013 ) Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды
SABCD
равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144. Найдите пло- щадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ её основания.
36 14.
(МИОО, 2013 ) Дана правильная треугольная призма ABCA
1
B
1
C
1
, все рёбра основания которой равны 2
√
7
. Сечение, проходящее через боковое ребро AA
1
и середину M ребра B
1
C
1
,
является квадратом. Найдите расстояние между прямыми A
1
B
и AM.
√
6 2
73

15.
(МИОО, 2013 ) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
известны рёбра AB =
= 5
, AD = 4, AA
1
= 9
. Точка O принадлежит ребру BB
1
и делит его в отношении 4 : 5, считая от вершины B. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C
1
√
1281 16.
(ЕГЭ, 2013 ) В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M высота равна 3,
а боковые рёбра равны 6. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон AB и AC параллельно прямой MA.
27 2
17.
(ЕГЭ, 2013 ) В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно
√
5
,
а высота равна 1, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
12

7−
4
√
3

π
18.
(ЕГЭ, 2013 ) В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна 6, а боковое ребро AA
1
= 1
. Точка F принадлежит ребру C
1
D
1
и делит его в отношении
2 : 1