Главная страница
Навигация по странице:

  • Решение получится более коротким и изящным. Сможете ли вы найти его

    		•

    многогранники упраженния. многогранники. Стереометрия на егэ по математике Многогранники в задаче 16


    Скачать 0.62 Mb.
    НазваниеСтереометрия на егэ по математике Многогранники в задаче 16
    Анкормногогранники упраженния
    Дата21.09.2022
    Размер0.62 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файламногогранники.pdf
    ТипДокументы
    #689708
    страница4 из 6
    1   2   3   4   5   6
    Почему при решении этой задачи прежними методами мы столкнулись бы с проблемами?
    Дело в том, что в пирамиде ABCB
    1
    отсутствует симметрия — все рёбра пирамиды имеют различную длину. Соответственно, к проекции точки B на плоскость AB
    1
    C
    не так-то просто
    «подобраться». Но методу объёмов, как видите, данная трудность нипочём — мы нашли иско- мую высоту d, даже не выясняя, куда именно проектируется точка B.
    Освоив столь мощный метод нахождения расстояния от точки до плоскости, мы в каче- стве «дополнительной опции» немедленно получаем метод вычисления угла между прямой и плоскостью.
    54

    13.2
    Угол между прямой и плоскостью
    Идея вычисления угла между прямой и плоскостью очень проста и основана на предваритель- ном вычислении расстояния от точки до плоскости. Давайте посмотрим на рис.
    76
    A
    B
    C
    D
    N
    ϕ
    Рис. 76. Угол между прямой и плоскостью
    Предположим, нам нужно найти угол ϕ между прямой BC и плоскостью ABD. Вычисляем сначала высоту CN, после чего находим:
    sin ϕ =
    CN
    BC
    В качестве иллюстрации рассмотрим задачу с теми же исходными данными, что и преды- дущая.
    Задача 3.
    В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
    1
    B
    1
    C
    1
    D
    1
    известны рёбра: AB = 1,
    AD =
    √
    3
    , AA
    1
    =
    √
    6
    . Найдите угол между прямой BB
    1
    и плоскостью AB
    1
    C
    Решение.
    Ситуация показана на рис.
    77
    A
    B
    C
    D
    A
    1
    B
    1
    C
    1
    D
    1 1
    √
    3
    √
    6
    N
    ϕ
    Рис. 77. К задаче 3
    Расстояние от точки B до плоскости AB
    1
    C
    мы уже нашли в предыдущей задаче:
    BN =
    √
    6 3
    55

    Остаётся найти искомый угол ϕ:
    sin ϕ =
    BN
    BB
    1
    =
    √
    6/3
    √
    6
    =
    1 3
    Ответ: arcsin
    1 3
    13.3
    Угол между плоскостями
    При вычислении угла между плоскостями может оказаться полезной следующая формула для объёма треугольной пирамиды:
    V =
    2 3
    S
    1
    S
    2
    a sin ϕ.
    (6)
    Здесь S
    1
    и S
    2
    — площади двух граней пирамиды, a — общее ребро этих граней, ϕ — угол между плоскостями этих граней.
    Вывести данную формулу несложно. Давайте посмотрим на рис.
    78
    S
    1
    S
    2
    h
    A
    B
    C
    D
    ϕ
    a h
    a
    Рис. 78. К выводу формулы V =
    2 3
    S
    1
    S
    2
    a sin ϕ
    Пусть S
    1
    и S
    2
    — площади треугольников ABC и ABD соответственно; пусть также a = AB
    и ϕ — угол между плоскостями ABC и ABD. Из вершины D проведём высоту h пирамиды и высоту h a
    грани ABD.
    Легко видеть, что h = h a
    sin ϕ
    . Тогда для объёма пирамиды имеем:
    V =
    1 3
    S
    1
    h =
    1 3
    S
    1
    h a
    sin ϕ.
    (7)
    С другой стороны, запишем формулу для площади S
    2
    :
    S
    2
    =
    ah a
    2
    ,
    откуда h
    a
    =
    2S
    2
    a
    Это выражение надо подставить в (
    7
    ):
    V =
    1 3
    S
    1 2S
    2
    a sin ϕ =
    2 3
    S
    1
    S
    2
    a sin ϕ,
    56
    что нам и хотелось получить.
    В качестве несложного упражнения возьмите параллелепипед из задачи 2 и с помощью формулы (
    6
    ) найдите угол между плоскостями AB
    1
    C
    и ABC (ответ: arcsin
    2
    √
    2 3
    ).
    А мы рассмотрим более трудную ситуацию в том же параллелепипеде. Похожая задача предлагалась на ЕГЭ в 2010 году.
    Задача 4.
    В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
    1
    B
    1
    C
    1
    D
    1
    известны рёбра: AB = 1,
    AD =
    √
    3
    , AA
    1
    =
    √
    6
    . Найдите угол между плоскостями AB
    1
    D
    1
    и CB
    1
    D
    1
    Решение.
    Делаем чертёж (рис.
    79
    ). Искомый угол ϕ будем вычислять с помощью треугольной пирамиды AB
    1
    CD
    1
    A
    B
    C
    D
    A
    1
    B
    1
    C
    1
    D
    1 1
    √
    3
    √
    6
    Рис. 79. К задаче 4
    Согласно формуле (
    6
    ) имеем:
    V
    AB
    1
    CD
    1
    =
    2 3
    S
    AB
    1
    D
    1
    S
    CB
    1
    D
    1
    B
    1
    D
    1
    sin ϕ.
    (8)
    Объём тетраэдра AB
    1
    CD
    1
    мы найдём, «отрезая» от исходного параллелепипеда четыре рав- нообъёмных «куска»:
    V
    AB
    1
    CD
    1
    = V
    ABCDA
    1
    B
    1
    C
    1
    D
    1
    − V
    AA
    1
    B
    1
    D
    1
    − V
    ABCB
    1
    − V
    CB
    1
    C
    1
    D
    1
    − V
    ACDD
    1
    Объём параллелепипеда равен 1 ·
    √
    3 ·
    √
    6 = 3
    √
    2
    , а объём каждого «куска»:
    V
    AA
    1
    B
    1
    D
    1
    = V
    ABCB
    1
    = V
    CB
    1
    C
    1
    D
    1
    = V
    ACDD
    1
    =
    1 3
    ·
    1 2
    · 1 ·
    √
    3 ·
    √
    6 =
    √
    2 2
    Следовательно,
    V
    AB
    1
    CD
    1
    = 3
    √
    2 − 4 ·
    √
    2 2
    =
    √
    2.
    Теперь найдём площади граней AB
    1
    D
    1
    и CB
    1
    D
    1
    . Имеем:
    AB
    1
    = CD
    1
    =
    √
    7,
    AD
    1
    = CB
    1
    = 3,
    B
    1
    D
    1
    = 2.
    Таким образом, треугольники AB
    1
    D
    1
    и CB
    1
    D
    1
    имеют стороны 2, 3 и
    √
    7
    . Площадь такого треугольника мы уже посчитали в задаче 2:
    S
    AB
    1
    D
    1
    = S
    CB
    1
    D
    1
    =
    3
    √
    3 2
    57

    Подставляем найденные величины в формулу (
    8
    ):
    √
    2 =
    2 3
    ·
    3
    √
    3 2
    ·
    3
    √
    3 2
    2
    sin ϕ,
    откуда sin ϕ =
    4
    √
    2 9
    Ответ: arcsin
    4
    √
    2 9
    Многовато вычислений, не правда ли? Но таков уж метод объёмов. Правда, в данной задаче можно не прибегать к этому мощному методу и обойтись прежними средствами — то есть,
    явно построить линейный угол двугранного угла и вычислить его из некоторого треугольника.

    Решение получится более коротким и изящным. Сможете ли вы найти его?
    13.4
    Расстояние между скрещивающимися прямыми
    При нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми может помочь следующая формула для объёма тетраэдра:
    V =
    1 6
    abd sin ϕ.
    (9)
    Здесь a и b — скрещивающиеся рёбра тетраэдра, d и ϕ — соответственно расстояние и угол между ними (точнее, между прямыми, содержащими эти рёбра).
    Дадим вывод этой формулы.
    A
    K
    B
    L
    M
    C
    N
    D
    ϕ
    a b
    d
    Рис. 80. К выводу формулы V =
    1 6
    abd sin ϕ
    На рис.
    80
    мы видим тетраэдр ABCD, достроенный до параллелепипеда AKBLMCND
    следующим образом: через каждое ребро тетраэдра проведена плоскость, параллельная ребру,
    скрещивающемуся с данным ребром. Покажем, что объём V тетраэдра ABCD равен одной трети объёма V
    0
    получившегося параллелепипеда.
    Как и в задаче 4, отрезаем от параллелепипеда четыре тетраэдра:
    V = V
    0
    − V
    AKBC
    − V
    BCN D
    − V
    ALBD
    − V
    ACM D
    58

    Все эти тетраэдры имеют одинаковый объём. В самом деле, если S и d — соответственно площадь основания и высота параллелепипеда, то
    V
    AKBC
    = V
    BCN D
    = V
    ALBD
    = V
    ACM D
    =
    1 3
    ·
    S
    2
    · d =
    1 6
    Sd =
    V
    0 6
    Тогда
    V = V
    0
    − 4 ·
    V
    0 6
    =
    V
    0 3
    Пусть a = AB, b = CD. Расстояние между прямыми, проходящими через рёбра a и b,
    является расстоянием между параллельными плоскостями AKB и MCN, то есть высотой d нашего параллелепипеда. Угол между рёбрами a и b — это угол ϕ между прямыми AB и KL.
    Для площади основания параллелепипеда имеем:
    S =
    1 2
    · AB · KL · sin ϕ =
    1 2
    ab sin ϕ
    (есть такая формула планиметрии: площадь четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними). Объём параллелепипеда, стало быть, равен:
    V
    0
    = S
    0
    d =
    1 2
    abd sin ϕ.
    Объём тетраэдра ABCD, как было показано выше, меньше в три раза, и тем самым мы приходим к нужной формуле (
    9
    ).
    Посмотрим, как работает данная формула в задаче, которую мы уже разбирали в разделе
    «Расстояние между скрещивающимися прямыми».
    Задача 5.
    В кубе ABCDA
    1
    B
    1
    C
    1
    D
    1
    найдите расстояние между прямыми A
    1
    B
    и B
    1
    C
    . Ребро куба равно 3.
    Решение.
    Делаем чертёж (рис.
    81
    ). Искомое расстояние d будем вычислять при помощи тетра- эдра A
    1
    BCB
    1
    A
    B
    C
    D
    A
    1
    B
    1
    C
    1
    D
    1 3
    Рис. 81. К задаче 5
    Объём V этого тетраэдра легко найти, приняв за основание грань BCB
    1
    . Тогда:
    V =
    1 3
    ·
    9 2
    · 3 =
    9 2
    С другой стороны, согласно формуле (
    9
    ) имеем:
    V =
    1 6
    · A
    1
    B · B
    1
    C · d · sin ϕ.
    59

    Здесь A
    1
    B = B
    1
    C = 3
    √
    2
    , угол ϕ между прямыми A
    1
    B
    и B
    1
    C
    равен 60
    ◦
    (почему?), так что
    V =
    1 6
    · 3
    √
    2 · 3
    √
    2 · d ·
    √
    3 2
    =
    3d
    √
    3 2
    Остаётся приравнять выражения для объёма:
    9 2
    =
    3d
    √
    3 2
    ,
    и найти требуемое расстояние:
    d =
    √
    3.
    Ответ:
    √
    3 60

    14
    Сто тренировочных задач
    Тренировочные задачи варьируются по сложности: от совсем элементарных до уровня задачи №16 и выше. Эти задачи призваны подготовить школьника к дальнейшей работе с «Задачником ЕГЭ-16»,
    расположенном в следующем разделе.
    Среди тренировочных задач есть несколько «не похожих» на задачи ЕГЭ. Они включены в задач- ник с целью расширения кругозора школьника.
    Почти все тренировочные задачи — авторские.
    14.1
    Угол между скрещивающимися прямыми
    1.
    В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания рав- на 1, а боковое ребро равно 2. Найдите угол между прямыми AB и SC.
    arccos
    1 4
    2.
    В правильной четырёхугольной призме ABCDA
    1
    B
    1
    C
    1
    D
    1
    сторона основания равна 2, а бо- ковое ребро равно 1. Найдите угол между прямыми AA
    1
    и BD
    1
    arccos
    1 3
    3.
    В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (с вершиной S) сторона основания рав- на
    √
    6
    , а боковое ребро равно 3. Найдите угол между прямыми AC и SD.
    45
    ◦
    4.
    В правильной треугольной призме ABCA
    1
    B
    1
    C
    1
    сторона основания равна 3, а боковое ребро равно 4. Найдите угол между прямыми A
    1
    B
    и AC.
    arccos
    3 10 5.
    В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
    1
    B
    1
    C
    1
    D
    1
    E
    1
    F
    1
    сторона основания равна 1,
    а боковое ребро равно
    √
    2
    . Найдите угол между прямыми AB
    1
    и CD
    1 60
    ◦
    6.
    В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
    1
    B
    1
    C
    1
    D
    1
    E
    1
    F
    1
    сторона основания равна
    √
    2
    ,
    а боковое ребро равно 1. Найдите угол между прямыми AF
    1
    и B
    1
    C
    90
    ◦
    7.
    В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB = 4, а углы ASB, BSC
    и ASC — прямые. Точка M — середина ребра BS. Найдите угол между прямыми AM и BC.
    arccos
    1
    √
    10 8.
    В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания рав- на
    √
    6
    , а боковое ребро равно 2. Точка M — середина ребра SC. Найдите угол между прямыми
    BM
    и AS.
    60
    ◦
    61

    9.
    В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
    1
    B
    1
    C
    1
    D
    1
    E
    1
    F
    1
    сторона основания равна 1,
    а боковое ребро равно
    √
    6
    . Найдите угол между прямыми AB и F D
    1 60
    ◦
    10.
    В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (с вершиной S) сторона основания рав- на 1, а боковое ребро равно
    √
    3
    . Точка M — середина ребра SC. Найдите угол между прямыми
    AM
    и BF .
    arccos
    √
    3 6
    11.
    В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
    1
    B
    1
    C
    1
    D
    1
    E
    1
    F
    1
    все рёбра равны. Найдите угол между прямыми AF
    1
    и BD
    1
    arccos
    5
    √
    2 8
    12.
    В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
    1
    B
    1
    C
    1
    D
    1
    даны длины рёбер: AB = 6, BC = 4,
    AA
    1
    = 3
    . Найдите угол между прямыми AC
    1
    и B
    1
    C
    arccos
    7 5
    √
    61 13.
    Основанием прямой призмы ABCA
    1
    B
    1
    C
    1
    служит треугольник ABC, в котором AB = BC =
    = 5
    , AC = 8. Боковое ребро призмы равно
    √
    11
    . Найдите угол между прямыми A
    1
    B
    и B
    1
    C
    60
    ◦
    14.
    На ребре BB
    1
    куба ABCDA
    1
    B
    1
    C
    1
    D
    1
    взята точка K так, что BK : KB
    1
    = 3 : 1
    . Найдите угол между прямыми AK и BD
    1
    arccos
    √
    3 15 14.2
    Угол между прямой и плоскостью
    15.
    В правильной четырёхугольной призме ABCDA
    1
    B
    1
    C
    1
    D
    1
    сторона основания равна 3, а боковое ребро равно
    √
    6
    . Найдите угол между прямой AC
    1
    и плоскостью ABC.
    30
    ◦
    16.
    На ребре B
    1
    C
    1
    куба ABCDA
    1
    B
    1
    C
    1
    D
    1
    взята точка K так, что B
    1
    K : KC
    1
    = 5 : 7
    . Найдите угол между прямой AK и плоскостью ABC.
    arctg
    12 13 17.
    В правильной треугольной призме ABCA
    1
    B
    1
    C
    1
    сторона основания равна 2, а боковое ребро равно
    √
    2
    . Найдите угол между прямой BA
    1
    и плоскостью BCC
    1 45
    ◦
    18.
    В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
    1
    B
    1
    C
    1
    D
    1
    E
    1
    F
    1
    сторона основания равна 3,
    а боковое ребро равно 4. Найдите угол между прямой AD
    1
    и плоскостью ABB
    1
    arctg
    3
    √
    3 5
    62

    19.
    В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
    1
    B
    1
    C
    1
    D
    1
    E
    1
    F
    1
    сторона основания равна 6,
    а боковое ребро равно 8. Найдите угол между прямой CD
    1
    и плоскостью ABB
    1
    arcsin
    3
    √
    3 10 20.
    В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания рав- на 2, а боковое ребро равно
    √
    3
    . Найдите угол между прямой AC и плоскостью ABS.
    30
    ◦
    21.
    В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (с вершиной S) сторона основания равна 2, а боковое ребро равно
    √
    10
    . Найдите угол между прямой CD и плоскостью ABS.
    45
    ◦
    22.
    В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (с вершиной S) сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBE.
    arcsin
    1
    √
    3 23.
    В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания рав- на 4, а боковое ребро равно 3. Точка M — середина ребра SB. Найдите угол между прямой
    AM
    и плоскостью ASC.
    arctg
    2
    √
    66 33 24.
    Точка M — середина ребра BB
    1
    куба ABCDA
    1
    B
    1
    C
    1
    D
    1
    . Найдите угол между прямой AM
    и плоскостью ABC
    1
    arcsin
    1
    √
    10 25.
    В правильной треугольной пирамиде SABC (с вершиной S) сторона основания равна 3, а боковое ребро равно
    √
    10
    . Точка M — середина ребра SB. Найдите угол между прямой AM и плоскостью ABC.
    30
    ◦
    26.
    Основанием прямой призмы ABCDA
    1
    B
    1
    C
    1
    D
    1
    служит ромб ABCD со стороной 12 и уг- лом BAD, равным 60
    ◦
    . Боковое ребро призмы равно 5. Найдите угол между прямой AB
    1
    и плоскостью BDD
    1
    arcsin
    6
    √
    3 13 27.
    В правильной треугольной призме ABCA
    1
    B
    1
    C
    1
    сторона основания равна 2, а боковое ребро равно
    √
    3
    . Точка M — середина ребра A
    1
    B
    1
    . Найдите угол между прямой AM и плоскостью
    ABC
    1
    arcsin
    √
    6 4
    28.
    В кубе ABCDA
    1
    B
    1
    C
    1
    D
    1
    найдите угол между прямой BD
    1
    и плоскостью BC
    1
    D
    arcsin
    1 3
    63

    29.
    В треугольной пирамиде ABCD рёбра AB и BC равны соответственно 3 и 4, остальные рёбра равны 5. Найдите угол между прямой BD и плоскостью ABC.
    60
    ◦
    30.
    Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под равными углами. Дока- жите, что основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной вокруг основания пирамиды.
    31.
    Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 5, 5 и 6. Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60
    ◦
    . Найдите объём пирамиды.
    25
    √
    3 2
    14.3
    Угол между плоскостями
    32.
    В правильной четырёхугольной призме ABCDA
    1
    B
    1
    C
    1
    D
    1
    сторона основания равна 2, а высота равна
    √
    2
    . Найдите угол между плоскостями ABC и AB
    1
    C
    45
    ◦
    33.
    В правильной треугольной призме ABCA
    1
    B
    1
    C
    1
    сторона основания равна 2, а высота рав- на 3. Найдите угол между плоскостями ABC и A
    1
    BC
    60
    ◦
    34.
    В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания рав- на 6, а боковое ребро равно
    √
    21
    . Найдите угол между плоскостями SAB и ABC.
    30
    ◦
    35.
    В правильной треугольной пирамиде SABC (с вершиной S) сторона основания равна 6, а боковое ребро равно
    √
    21
    . Найдите угол между плоскостями SAB и ABC.
    60
    ◦
    36.
    В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания рав- на 2, а боковое ребро равно
    √
    3
    . Найдите угол между плоскостями SAD и SBC.
    90
    ◦
    37.
    В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
    1
    B
    1
    C
    1
    D
    1
    E
    1
    F
    1
    сторона основания равна 1,
    а высота равна 3. Найдите угол между плоскостями ABC и AC
    1
    E
    1
    arctg2 38.
    В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
    1
    B
    1
    C
    1
    D
    1
    E
    1
    F
    1
    сторона основания равна 2,
    а высота равна 3. Найдите угол между плоскостями ABC и AE
    1
    F
    1 60
    ◦
    39.
    В правильной треугольной пирамиде SABC (с вершиной S) сторона основания равна
    √
    10
    ,
    а боковое ребро равно 5. Найдите угол между плоскостями SAB и SBC.
    arccos
    4 9
    =2
    arcsin
    √
    10 6
    64

    40.
    В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания рав- на
    √
    26
    , а боковое ребро равно 13. Найдите угол между плоскостями SAB и SBC.
    arccos
    1 25 41.
    В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания равна 2, а боковое ребро равно
    √
    5
    . Найдите угол между плоскостями SAB и SCD.
    arccos
    5 8
    42.
    В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 4. Точка M — середина ребра SC. Найдите угол между плоскостью ABM и плоскостью основания ABC.
    arctg
    √
    3 6
    43.
    В правильной треугольной призме ABCA
    1
    B
    1
    C
    1
    сторона основания равна 2, а высота рав- на 1. Найдите угол между плоскостями A
    1
    BC
    и AB
    1
    C
    1 60
    ◦
    44.
    В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
    1
    B
    1   2   3   4   5   6

    написать администратору сайта