многогранники упраженния. многогранники. Стереометрия на егэ по математике Многогранники в задаче 16
 Скачать 0.62 Mb.
|
|
И. В. Яковлев | Материалы по математике | MathUs.ru Стереометрия на ЕГЭ по математике Многогранники в задаче №16 Цель данного пособия — помочь школьнику научиться решать задачи №16 (в прошлом С2) единого госэкзамена по математике (профильный уровень). Тема пособия — вычисление расстояний и углов в простейших многогранниках (призмах и пирамидах). К этой теме относятся почти все задачи по стереометрии, предлагавшиеся на ЕГЭ и в различных работах МИОО начиная с 2009–2010 учебного года. В пособии рассматриваются стандартные методы решения стереометрических задач, тра- диционно изучаемые в школьной программе. Мы не включаем сюда методы аналитической геометрии (основанные на скалярном произведении векторов и уравнении плоскости) — как во избежание разрастания объёма текста, так и в силу личных предпочтений автора. Никаких предварительных знаний по стереометрии от школьника не требуется. Пособие рассчитано на школьников с любым начальным уровнем. Оно содержит материал, необходимый и достаточный для полноценной подготовке к задаче №16, а именно: • всю нужную теорию и примеры решения задач; • сто тренировочных задач на разные темы — от самых элементарных до уровня задачи №16 и выше; • Задачник ЕГЭ-16 — более 70 реальных задач №16 (С2), предлагавшихся на ЕГЭ и в раз- личных работах МИОО начиная с 2009 года. Автор не преследовал цели дать строгое изложение стереометрии. Соответственно, данное пособие — не замена школьному учебнику, но лишь дополнение к нему. Оно может рассматри- ваться как сборник задач, позволяющий школьнику как можно лучше освоиться со спецификой задачи №16 на ЕГЭ по математике. 1 Содержание 1 Пирамида 4 1.1 Высота пирамиды 5 1.2 Объём пирамиды 6 1.3 Правильная пирамида 7 1.4 Площадь поверхности пирамиды 9 2 Призма 11 2.1 Прямая призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Правильная призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Параллелепипед . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Объём и площадь поверхности призмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Взаимное расположение прямых в пространстве 15 3.1 Пересекающиеся прямые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Параллельные прямые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 Скрещивающиеся прямые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 Угол между скрещивающимися прямыми 17 4.1 Угол между пересекающимися прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.2 Определение угла между скрещивающимися прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.3 Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5 Взаимное расположение прямой и плоскости 22 5.1 Параллельность прямой и плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.2 Перпендикулярность прямой и плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6 Теорема о трёх перпендикулярах 26 6.1 Перпендикуляр и наклонная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.2 Формулировка и доказательство теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7 Угол между прямой и плоскостью 29 7.1 Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 8 Взаимное расположение плоскостей 32 8.1 Параллельность плоскостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 8.2 Пересечение плоскостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 9 Угол между плоскостями 36 9.1 Двугранный угол . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 9.2 Определение угла между плоскостями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 9.3 Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 10 Расстояние от точки до прямой 40 10.1 Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 11 Расстояние от точки до плоскости 43 11.1 Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 12 Расстояние между скрещивающимися прямыми 48 12.1 Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2 13 Метод объёмов 52 13.1 Расстояние от точки до плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 13.2 Угол между прямой и плоскостью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 13.3 Угол между плоскостями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 13.4 Расстояние между скрещивающимися прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 14 Сто тренировочных задач 61 14.1 Угол между скрещивающимися прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 14.2 Угол между прямой и плоскостью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 14.3 Угол между плоскостями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 14.4 Расстояние от точки до прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 14.5 Расстояние от точки до плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 14.6 Расстояние между скрещивающимися прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 14.7 Сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 15 Задачник ЕГЭ-16 72 3 1 Пирамида Пирамида и призма присутствуют в очень многих задачах по стереометрии (в частности, они фигурируют почти во всех задачах №16 (С2), предлагавшихся на ЕГЭ по математике с 2010 года). Данный раздел посвящён пирамиде. Самая простая пирамида — это треугольная пирамида, или тетраэдр 1 . На рис. 1 изображе- на треугольная пирамида ABCD. Точки A, B, C, D — это вершины пирамиды. Треугольники ABC , ABD, BCD, ACD — это грани пирамиды. A B C D Рис. 1. Треугольная пирамида В основании пирамиды лежит треугольник ABC, и, соответственно, грань ABC называется основанием пирамиды. Остальные грани — ABD, BCD и ACD — называются боковыми граня- ми . Понятно, что на какую грань поставишь треугольную пирамиду — та и будет основанием, а остальные грани тогда станут боковыми. Отрезки AB, BC, AC, AD, BD, CD, являющиеся сторонами граней, называются рёбрами пирамиды. При этом отрезки AD, BD и CD называются также боковыми рёбрами. На рис. 2 изображена четырёхугольная пирамида ABCDS. Её основанием служит четырёх- угольник ABCD. A B C D S Рис. 2. Четырёхугольная пирамида Вершиной данной четырёхугольной пирамиды называется точка S. Точки A, B, C, D назы- ваются вершинами основания. Отрезки SA, SB, SC, SD, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, снова называются боковыми рёбрами, а треугольники SAB, SBC, SCD и SAD — боковыми гранями пирамиды. Обратите внимание, что теперь грани не являются равноправными: основание — это четы- рёхугольник, а боковые грани — треугольники. 1 Тетраэдр по-гречески означает четырёхгранник. 4 На рис. 3 показаны ещё две пирамиды — пятиугольная и шестиугольная. Пятиугольная пирамида Шестиугольная пирамида Рис. 3. Многоугольные пирамиды Основанием пятиугольной пирамиды служит пятиугольник; основанием шестиугольной пи- рамиды служит шестиугольник. Боковые рёбра соединяют вершины основания с фиксирован- ной точкой — вершиной пирамиды, которая лежит вне плоскости основания. Боковыми гра- нями пирамиды являются треугольники, образованные двумя соседними боковыми рёбрами и соответствующей стороной основания. Аналогично описывается произвольная n-угольная пирамида: в её основании лежит n-уголь- ник, а боковыми гранями являются треугольники с общей вершиной (которая и называется вершиной пирамиды). 1.1 Высота пирамиды Высота пирамиды — это перпендикуляр 2 , проведённый из вершины пирамиды на плоскость её основания. Длина h этого перпендикуляра также называется высотой пирамиды. h A B C D H h A B C D H Рис. 4. Высота пирамиды На рис. 4 изображена треугольная пирамида ABCD, из вершины D которой проведена высота DH к плоскости ABC. Точка H лежит в плоскости ABC и называется основанием высоты . Как видите, основание высоты может оказаться где угодно — как внутри грани (левый рисунок), так и вне грани (правый рисунок). 2 Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Если через точку D проведена прямая, перпендикулярная плоскости ABC и пересекающая её в точке H, то отрезок DH называется перпендикуляром к плоскости. Сейчас вполне достаточно интуитивного понимания перпендикулярности прямой и плоскости; позже мы обсудим это понятие более подробно. 5 Имеется, однако, важный частный случай, когда мы можем точно указать, в какую именно точку основания попадёт основание высоты. Теорема. Если в n-угольной пирамиде боковые рёбра равны, то основание высоты совпадает с центром окружности, описанной вокруг n-угольника, лежащего в основании пирамиды. Доказательство. Ограничимся рассмотрением треугольной пирамиды (в общем случае доказа- тельство совершенно аналогично). Пусть ABCD — треугольная пирамида с равными боковыми рёбрами, в которой проведена высота DH (рис. 5 ). A B C D H Рис. 5. К доказательству теоремы Треугольники ADH, BDH и CDH — прямоугольные с общим катетом DH. Их гипотенузы равны, поэтому данные треугольники равны по гипотенузе и катету. Следовательно, равны их вторые катеты: AH = BH = CH. Таким образом, точка H равноудалена от точек A, B, C и потому является центром окруж- ности, описанной вокруг треугольника ABC. Теорема доказана. Можно запомнить эту теорему и в такой формулировке: если боковые рёбра пирамиды равны, то вершина пирамиды проектируется в центр описанной вокруг основания окружности. 1.2 Объём пирамиды Объём пирамиды вычисляется по формуле: V = 1 3 Sh, где S — площадь основания, h — высота пирамиды. Для треугольной пирамиды всё равно, какую грань считать основанием (разумеется, в та- ком случае h будет высотой, опущенной на выбранное основание). Мы можем «поставить» треугольную пирамиду так, как нам удобно, и этот факт часто помогает при решении задач. Задача. Найти объём треугольной пирамиды с рёбрами 6, 8, 10, 13, 13, 13. Решение. Какую грань выбрать в качестве основания? Здесь сомнений нет: естественно, ту, стороны которой равны 6, 8 и 10. Почему? Прежде всего, треугольник со сторонами 6, 8, 10 является прямоугольным в силу обратной теоремы Пифагора (поскольку 6 2 + 8 2 = 10 2 ). Это уже хорошо. 6 Кроме того, при таком выборе основания боковые рёбра пирамиды оказываются равными (13, 13 и 13). Значит, вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной вокруг основания. А где находится центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника? В середине гипотенузы! Делаем рисунок (рис. 6 ). A B C D H h 13 5 6 8 Рис. 6. К задаче В основании нашей пирамиды лежит прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC. Точка H — середина гипотенузы; h = DH — высота пирамиды. Площадь основания ABC равна половине произведения катетов: S = 1 2 · AB · BC = 1 2 · 6 · 8 = 24. Высоту пирамиды находим по теореме Пифагора: h = √ AD 2 − AH 2 = √ 13 2 − 5 2 = 12. И, наконец, вычисляем объём пирамиды: V = 1 3 Sh = 1 3 · 24 · 12 = 96. 1.3 Правильная пирамида Мы уже убедились, что равенство боковых рёбер пирамиды позволяет легче проводить вы- числения. Теперь наложим ещё одно дополнительное требование — на сей раз к основанию пирамиды — и придём к важнейшему понятию правильной пирамиды. Правильная пирамида — это пирамида, у которой боковые рёбра равны, а в основании лежит правильный n-угольник. Легко видеть, что вершина правильной пирамиды проектируется в центр симметрии пра- вильного n-угольника, лежащего в её основании . В самом деле, из равенства боковых рёбер следует, что вершина проектируется в центр описанной вокруг основания окружности, кото- рый в случае правильного n-угольника совпадает с центром его симметрии. Чаще всего в задачах встречаются правильная треугольная и правильная четырёхугольная пирамида. Продублируем определение для этих двух случаев. • Правильная треугольная пирамида — это пирамида с равными боковыми рёбрами, основанием которой служит равносторонний треугольник. 7 • Правильная четырёхугольная пирамида — это пирамида с равными боковыми рёб- рами, основанием которой служит квадрат. Правильную треугольную и правильную четырёхугольную пирамиду лучше всего рисовать следующим образом (рис. 7 ). Рис. 7. Как рисовать правильную пирамиду Последовательность действий такая: 1) рисуем основание пирамиды; 2) строим центр ос- нования, проводя медианы треугольника или диагонали квадрата; 3) из центра ведём вверх высоту и отмечаем на ней вершину пирамиды; 4) соединяем вершину пирамиды с вершинами основания. В самом начале мы сказали, что треугольная пирамида и тетраэдр — это синонимы. Од- нако правильный тетраэдр и правильная треугольная пирамида — не одно и то же! Такой вот терминологический курьёз. Правильный тетраэдр — это треугольная пирамида, все рёбра которой равны. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро может быть не равно стороне основа- ния; иными словами, боковые грани правильной треугольной пирамиды — равнобедренные, но не обязательно равносторонние треугольники. В правильном тетраэдре все четыре грани — равносторонние треугольники. Задача. Найти объём правильного тетраэдра со стороной a. Решение. Делаем рисунок (рис. 8 ). A B C D H M a a Рис. 8. К задаче Нам нужно выразить через a площадь S треугольника ABC и высоту тетраэдра DH. Высоту будем искать из треугольника ADH; для этого в треугольнике ABC надо будет найти AH. 8 A C B a M N a 2 H 30 ◦ Рис. 9. К задаче Сделаем планиметрический чертёж треугольника ABC (рис. 9 ). Его площадь проще всего найти как половину про- изведения сторон на синус угла между ними: S = 1 2 · a · a · sin 60 ◦ = a 2 √ 3 4 (данную формулу площади правильного треугольника име- ет смысл помнить). Длину отрезка AH находим из прямоугольного треуголь- ника AHN: AH = AN cos 30 ◦ = a/2 √ 3/2 = a √ 3 (желательно помнить и это выражение для радиуса окружности, описанной вокруг правильного треугольника). Высоту тетраэдра найдём из прямоугольного треугольника ADH: DH = √ AD 2 − AH 2 = r a 2 − a 2 3 = a r 2 3 И теперь находим объём: V = 1 3 S · DH = 1 3 · a 2 √ 3 4 · a r 2 3 = a 3 √ 2 12 1.4 Площадь поверхности пирамиды Площадь поверхности пирамиды — это сумма площадей всех её граней. Площадь боко- вой поверхности пирамиды — это сумма площадей всех её боковых граней. Задача. Найти площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, у которой сто- рона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. Решение. Пусть ABCDE — наша пирамида (рис. 10 ). A B C D E M 6 5 Рис. 10. К задаче Площадь основания пирамиды равна: S осн = 6 2 = 36 . Остаётся найти площадь боковой поверхности. 9 Проведём высоту EM боковой грани пирамиды 3 . Треугольник BEC — равнобедренный; значит, EM является также его медианой, и потому MC = 3. Отсюда EM = √ EC 2 − M C 2 = √ 5 2 − 3 2 = 4. Следовательно, площадь S 1 боковой грани равна: S 1 = 1 2 · BC · EM = 1 2 · 6 · 4 = 12. Площадь боковой поверхности: S бок = 4S 1 = 4 · 12 = 48. Площадь поверхности пирамиды: S = S осн + S бок = 36 + 48 = 84. 3 Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из вершины пирамиды, называется апофемой. 10 2 Призма Призма встречается в задачах по стереометрии столь же часто, как и пирамида. В данном разделе мы вводим основную терминологию, связанную с понятием призмы. Рассмотрим в пространстве треугольник ABC. Предположим, что треугольник A 1 B 1 C 1 ле- жит в плоскости, параллельной плоскости ABC, и получается из треугольника ABC парал- лельным сдвигом. Соединим соответствующие вершины — A и A 1 , B и B 1 , C и C 1 — и получим треугольную призму ABCA 1 B 1 C 1 (рис. 11 ). A B C A 1 B 1 C 1 Рис. 11. Треугольная призма Треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 называются основаниями призмы. Три параллелограмма ABB 1 A 1 , BCC 1 B 1 и ACC 1 A 1 — это боковые грани призмы. Отрезки AA 1 , BB 1 и CC 1 — это боковые рёбра призмы. Таким образом, основания треугольной призмы — равные треугольники, лежащие в парал- лельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы. Аналогично получается четырёхугольная призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 12 ). A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 Рис. 12. Четырёхугольная призма Основаниями этой призмы служат равные четырёхугольники ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 , лежащие в параллельных плоскостях. Боковые грани призмы — снова параллелограммы. Отрезки AA 1 , BB 1 , CC 1 и DD 1 — боковые рёбра призмы. Вообще, в n-угольной призме основаниями служат равные n-угольники, лежащие в парал- лельных плоскостях, а боковые грани являются параллелограммами . Боковые рёбра призмы, будучи параллельными сторонами параллелограммов, равны друг другу. 11 На приведённых выше рисунках боковые рёбра призмы наклонены к плоскостям основа- ний: обе призмы являются наклонными. Однако в задачах и на практике (в оптике, например) наиболее часто встречается прямая призма. 2.1 Прямая призма Прямая призма — это призма, боковые рёбра которой перпендикулярны плоскостям основа- ний. На рис. 13 изображены две прямые призмы — треугольная и четырёхугольная. Рис. 13. Прямая призма Как видите, боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками. 2.2 Правильная призма Правильная n-угольная призма — это прямая призма, основанием которой служит пра- вильный n-угольник. На рис. 14 изображены две правильные призмы — треугольная и четырёхугольная. Штрихи на равных отрезках поставлены исключительно для наглядности — на рисунках в задачах их можно не ставить. Рис. 14. Правильная призма Поскольку эти случаи встречаются часто, мы специально для них конкретизируем общее определение. • Правильная треугольная призма — это прямая призма, основанием которой является равносторонний треугольник. 12 • Правильная четырёхугольная призма — это прямая призма, основанием которой является квадрат. Если боковое ребро правильной четырёхугольной призмы равно стороне основания, то получается хорошо известный вам куб. Вы видите, что боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками. На ЕГЭ по математике в задачах C2 попадается правильная шестиугольная призма. По- смотрите, как её надо рисовать (рис. 15 ). Рис. 15. Правильная шестиугольная призма 2.3 Параллелепипед Параллелепипед — это призма, основанием которой служит параллелограмм. Таким образом, все грани параллелепипеда являются параллелограммами. На рис. 16 изоб- ражены наклонный параллелепипед (боковые рёбра которого наклонены к плоскости основания) и прямой параллелепипед (боковые рёбра которого перпендикулярны плоскости основания). Наклонный параллелепипед Прямой параллелепипед Рис. 16. Параллелепипед Подчеркнём, что в основании (прямого) параллелепипеда может лежать какой угодно па- раллелограмм. Особый интерес представляет следующий частный случай. Прямоугольный параллелепипед — это прямая призма, в основании которой лежит пря- моугольник. Изображается прямоугольный параллелепипед точно так же, как и прямой параллелепипед на рис. 16 (ведь на таких чертежах невозможно передать информацию о величине углов). 13 Диагональю параллелепипеда называется отрезок, который соединяет вершины паралле- лепипеда, на принадлежащие одной грани. Всего у параллелепипеда восемь вершин, так что имеются четыре диагонали (рис. 17 ). Рис. 17. Диагонали параллелепипеда Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, которая является центром сим- метрии параллелепипеда. 2.4 Объём и площадь поверхности призмы Объём призмы вычисляется по формуле: V = Sh, где S — площадь основания призмы, h — её высота. При этом высотой призмы называется общий перпендикуляр к основаниям призмы (а также длина этого перпендикуляра, рис. 18 ). h Рис. 18. Высота призмы У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром. Особенно просто вычисляется объём прямоугольного параллелепипеда. Если его боковое ребро равно c, а в основании лежит прямоугольник со сторонами a и b, то площадь основания S = ab , и тогда объём: V = abc. Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей её боковых граней. Площадь поверхности призмы — это сумма площадей всех её граней. Ясно, что площадь поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух оснований. Никаких формул для площади боковой или полной поверхности мы приводить не будем. Запоминать их смысла нет — лучше вычислять эти площади непосредственно в каждой кон- кретной задаче. 14 3 Взаимное расположение прямых в пространстве Существует три варианта взаимного расположения двух прямых в пространстве: прямые могут быть пересекающимися, параллельными и скрещивающимися. 3.1 Пересекающиеся прямые Две различные прямые называются пересекающимися, если они имеют общую точку. Точка пересечения единственна: если две прямые имеют две общие точки, то они совпадают. Пересекающиеся прямые изображены на рис. 19 . Прямые a и b, как видим, пересекаются в точке A. π a b A Рис. 19. Пересекающиеся прямые Заметьте, что существует единственная плоскость, проходящая через две пересекающиеся прямые. Это также показано на рис. 19 : через прямые a и b проходит единственная плоскость π. Вопрос. Прямая a пересекает прямую b, прямая b пересекает прямую c. Верно ли, что прямые a |