многогранники упраженния. многогранники. Стереометрия на егэ по математике Многогранники в задаче 16
 Скачать 0.62 Mb.
|
|
и c пересекаются? 3.2 Параллельные прямые Ещё с седьмого класса вы помните, что «параллельные прямые — это те, которые не пере- секаются». В пространстве, однако, для параллельности прямых нужно одно дополнительное условие. Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Таким образом, помимо «непересечения» требуется, чтобы прямые лежали в одной плос- кости. На рис. 20 показаны параллельные прямые a и b; через них проходит (единственная) плоскость π. π a b Рис. 20. Параллельные прямые Параллельность обладает важным свойством транзитивности. Именно, для трёх различ- ных прямых a, b и c выполнено: a k b и b k c ⇒ a k c (две различные прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой). 15 3.3 Скрещивающиеся прямые Если две прямые пересекаются или параллельны, то, как мы видели, через них можно провести плоскость (и притом единственную). В пространстве, однако, провести плоскость через две прямые в общем случае нельзя. Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не параллельны и не пересекаются. Равносильное определение такое: две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. На рис. 21 показаны скрещивающиеся прямые a и b. π a σ b Рис. 21. Скрещивающиеся прямые Важный факт состоит в том, что через две скрещивающиеся прямые можно провести две параллельные плоскости 4 . Именно, если прямые a и b скрещиваются, то существует един- ственная пара плоскостей π и σ таких, что a ⊂ π, b ⊂ σ и π k σ. Это и показано на рис. 21 Все три рассмотренных варианта взаимного расположения прямых можно видеть в тре- угольной призме ABCA 1 B 1 C 1 (рис. 22 ). A B C A 1 B 1 C 1 A B C A 1 B 1 C 1 A B C A 1 B 1 C 1 Рис. 22. Взаимное расположение двух прямых Именно, прямые AB и BC пересекаются (левый рисунок); прямые BC и B 1 C 1 параллельны (рисунок в центре); прямые AB и B 1 C 1 скрещиваются (правый рисунок). 4 Плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. 16 4 Угол между скрещивающимися прямыми Скрещивающиеся прямые не пересекаются. Можно ли в таком случае говорить об угле между ними? Оказывается, можно. 4.1 Угол между пересекающимися прямыми Вспомним сначала, что такое угол между пересекающимися прямыми. Пусть прямые a и b пересекаются (рис. 23 ). При этом образуются четыре угла. Если все углы равны друг другу, то прямые a и b называются перпендикулярными (левый рисунок), и угол между этими прямыми равен 90 ◦ . Если не все углы равны друг другу (то есть образуются два равных острых угла и два равных тупых угла), то углом между прямыми a и b называется острый угол ϕ (правый рисунок). a b a b ϕ Рис. 23. Угол между пересекающимися прямыми 4.2 Определение угла между скрещивающимися прямыми Теперь введём понятие угла между скрещивающимися прямыми. Пусть прямые a и b скрещиваются. Возьмём в пространстве произвольную точку M. Даль- нейшие действия зависят от того, принадлежит точка M одной из наших прямых или нет. 1. Пусть точка M не принадлежит ни прямой a, ни прямой b. Проведём через M прямую a 0 , параллельную a, и прямую b 0 , параллельную b (рис. 24 ). Прямые a 0 и b 0 пересекаются; тогда угол ϕ между этими прямыми и называется углом между прямыми a и b. a b a 0 b 0 ϕ M Рис. 24. Угол между скрещивающимися прямыми Таким образом, угол между скрещивающимися прямыми a и b — это угол между пере- секающимися прямыми a 0 и b 0 , такими, что a 0 k a и b 0 k b. 17 2. Пусть точка M принадлежит одной из прямых; например, пусть M ∈ a. Проведём через точку M прямую b 0 , параллельную b (рис. 25 ). Прямые a и b 0 пересекаются; угол ϕ между этими прямыми и называется углом между прямыми a и b. a b b 0 ϕ M Рис. 25. Угол между скрещивающимися прямыми Итак, угол между скрещивающимися прямыми a и b — это угол между прямой a и прямой b 0 , параллельной b и пересекающей a. Можно показать, что определение угла между скрещивающимися прямыми является кор- ректным, то есть не зависит от конкретного выбора точки M (иными словами, как точку M ни выбирай, угол ϕ всегда получится одним и тем же). Поэтому в конкретных задачах выбор точки M диктуется исключительно соображениями удобства. 4.3 Примеры решения задач Разберём три задачи, расположенные по возрастанию сложности. Третья задача сопоставима с задачами №16, предлагающимися на ЕГЭ по математике. Задача 1. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти угол между прямыми: а) A 1 C 1 и BD; б) A 1 B и B 1 C Решение. Делаем чертёж (рис. 26 ). Прямые, угол между которыми надо найти, изображены красным цветом. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 К пункту а) A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 К пункту б) Рис. 26. К задаче 1 а) Проведём AC k A 1 C 1 . Угол между прямыми A 1 C 1 и BD есть угол между прямыми AC и BD . Но AC ⊥ BD как диагонали квадрата. Поэтому A 1 C 1 ⊥ BD 18 б) Проведём D 1 C k A 1 B . Угол между прямыми A 1 B и B 1 C есть угол между прямыми D 1 C и B 1 C (то есть угол D 1 CB 1 ). Треугольник D 1 CB 1 равносторонний: D 1 C = CB 1 = B 1 D 1 как диагонали равных квадратов, являющихся гранями куба. Следовательно, ∠D 1 CB 1 = 60 ◦ Ответ: a) 90 ◦ ; б) 60 ◦ Задача 2. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) боковое ребро равно стороне основания. Точка M — середина ребра SB. Найдите угол между прямыми CM и SO, где O — центр основания пирамиды. Решение. Пусть N — середина отрезка BO (рис. 27 ). Тогда MN — средняя линия треугольника SBO . Следовательно, MN k SO, и потому искомый угол есть ϕ = ∠CMN. A B C D S O M N ϕ a a Рис. 27. К задаче 2 Поскольку SO перпендикулярна плоскости основания, MN также перпендикулярна этой плоскости. Стало быть, треугольник CMN — прямоугольный с гипотенузой CM. Пусть каждое ребро пирамиды равно a. Длину отрезка CM найдём из равностороннего треугольника BCS (рис. 28 ). B S C M a a 2 Рис. 28. К задаче 2 По теореме Пифагора имеем: CM 2 = BC 2 − BM 2 = a 2 − a 2 2 = 3a 2 4 , откуда CM = a √ 3 2 19 Обязательно запомните это выражение для высоты равностороннего треугольника со сто- роной a. Оно вам ещё неоднократно пригодится. Для диагонали квадрата ABCD имеем: BD = a √ 2 (почему?). Треугольник ASC равен треугольнику ABC (по трём сторонам), то есть является равнобедренным прямоугольным. Тогда SO = BO = a √ 2 2 Следовательно, M N = 1 2 SO = a √ 2 4 Из треугольника CMN теперь имеем: cos ϕ = M N CM = a √ 2/4 a √ 3/2 = 1 √ 6 Ответ: arccos 1 √ 6 Задача 3. В правильном тетраэдре ABCD точка K — середина BD, точка M — середина BC. Найдите угол между прямыми AK и DM. Решение. Пусть точка L — середина BM (рис. 29 ). Тогда KL — средняя линия треугольника BDM ; значит, KL k DM, и потому искомый угол есть ϕ = ∠AKL. K L A B C D M a a ϕ Рис. 29. К задаче 3 Величину ϕ мы вычислим по теореме косинусов из треугольника AKL. Предварительно найдём стороны этого треугольника. Как и в предыдущей задаче, имеем: AK = a √ 3 2 , где a — ребро тетраэдра. Кроме того, KL = 1 2 DM = 1 2 a √ 3 2 = a √ 3 4 Остаётся найти сторону AL. Это можно сделать из треугольника ABL, в котором AB = a, BL = a/4 , ∠ABL = 60 ◦ . По теореме косинусов получим: AL 2 = a 2 + a 4 2 − 2a · a 4 cos 60 ◦ = a 2 + a 2 16 − a 2 4 = 13a 2 16 20 Теперь возвращаемся к треугольнику AKL. По теореме косинусов: AL 2 = AK 2 + KL 2 − 2 · AK · KL cos ϕ. Подставляем сюда найденные длины сторон: 13a 2 16 = a √ 3 2 ! 2 + a √ 3 4 ! 2 − 2 a √ 3 2 · a √ 3 4 cos ϕ. Остаётся довести выкладки до конца: 13a 2 16 = 3a 2 4 + 3a 2 16 − 3a 2 4 cos ϕ = 15a 2 16 − 3a 2 4 cos ϕ, откуда находим: cos ϕ = 1 6 Ответ: arccos 1 6 21 5 Взаимное расположение прямой и плоскости Возможны три варианта взаимного расположения прямой и плоскости (рис. 30 ). π l l k π l π l пересекает π A l π l ⊂ π Рис. 30. Взаимное расположение прямой и плоскости 1. Прямая параллельна плоскости, если она не имеет с плоскостью общих точек. На левом рисунке прямая l параллельна плоскости π. 2. Прямая пересекает плоскость, если она имеет с плоскостью ровно одну общую точку. На рисунке в центре прямая l пересекает плоскость π в точке A. 3. Прямая лежит в плоскости, если каждая точка прямой принадлежит этой плоскости. На правом рисунке прямая l лежит в плоскости π. В таком случае говорят ещё, что плоскость π проходит через прямую l. 5.1 Параллельность прямой и плоскости Как распознать случай параллельности прямой и плоскости? Для этого имеется замечательно простое утверждение. Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая l параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости, то прямая l параллельна этой плоскости. Давайте посмотрим, как работает этот признак. Пусть ABCA 1 B 1 C 1 — треугольная призма, в которой проведена плоскость A 1 BC (рис. 31 ). A B C A 1 B 1 C 1 Рис. 31. Прямая B 1 C 1 параллельна плоскости A 1 BC Поскольку боковые грани призмы являются параллелограммами, имеем B 1 C 1 k BC . Но прямая BC лежит в плоскости A 1 BC . Поэтому в силу признака параллельности прямой и плоскости мы заключаем, что прямая B 1 C 1 параллельна плоскости A 1 BC 22 Другое важное утверждение, которое нередко используется в задачах, — это теорема о пе- ресечении двух плоскостей, одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости. Теорема. Пусть прямая l параллельна плоскости π. Если плоскость σ проходит через прямую l и пересекает плоскость π по прямой m, то m k l (рис. 32 ). π σ l m Рис. 32. К теореме Мы не будем доказывать эту теорему: она содержится в школьной программе, и на экзамене никто не потребует от вас её доказательства. Лучше посмотрим, как это теорема используется в конкретной ситуации. Задача. В правильной четырёхугольной пирамиде ABCDS (с вершиной S) точка M — сере- дина ребра SC. Постройте сечение пирамиды плоскостью ABM. Решение. Сечение изображено на рис. 33 A B C D S M N Рис. 33. К задаче Самое главное тут — выяснить, по какой прямой секущая плоскость ABM пересекает плос- кость SCD. Для этого заметим, что AB k CD, и по признаку параллельности прямой и плос- кости имеем AB k SCD. А из теоремы следует тогда, что прямая MN пересечения плоскостей ABM и SCD параллельна прямой AB (и, стало быть, прямой CD). Таким образом, MN — средняя линия треугольника SCD. Сечением пирамиды будет тра- пеция ABMN. 23 5.2 Перпендикулярность прямой и плоскости Важным частным случаем пересечения прямой и плоскости является их перпендикулярность. Интуитивно вам совершенно ясно, что значит «прямая перпендикулярна плоскости», но опре- деление нужно знать обязательно. Определение. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Предположим, в конкретной задаче нам хочется доказать, что прямая l перпендикулярна плоскости π. Как действовать? Не будем же мы перебирать все прямые, лежащие в плоскости π! К счастью, это и не нужно. Оказывается, достаточно предъявить две пересекающиеся прямые плоскости π, перпендикулярные прямой l. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Давайте смотреть, как работает этот признак. Задача. Докажите, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся рёбра перпен- дикулярны. Решение. Пусть ABCD — правильная треугольная пирамида (рис. 34 ). Докажем, например, что AD ⊥ BC. A B C D H M Рис. 34. К задаче Пусть точка M — середина ребра BC. Рассмотрим плоскость ADM. Ясно, что высота DH нашей пирамиды лежит в этой плоскости (поскольку H лежит на медиане AM) 5 Докажем, что прямая BC перпендикулярна плоскости ADM. Для этого нам нужно предъ- явить две пересекающие прямые, лежащие в плоскости ADM и перпендикулярные BC. Какие же это прямые? Во-первых, это прямая DH. В самом деле, будучи высотой пирамиды, DH перпендикуляр- на плоскости ABC. По определению это означает, что DH перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ABC — в частности, прямой BC. Во-вторых, это прямая AM. Действительно, будучи медианой равностороннего треугольни- ка ABC, отрезок AM является его высотой и потому перпендикулярен BC. 5 Здесь молчаливо используется одно из базовых утверждений стереометрии, которое часто принимается в качестве аксиомы: если прямая проходит через две точки плоскости, то она лежит в этой плоскости. В нашем случае точки D и H лежат в плоскости ADM — стало быть, и прямая DH лежит в данной плоскости. 24 Итак, мы убедились, что BC ⊥ DH и BC ⊥ AM. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости мы заключаем, что BC ⊥ ADM. Стало быть, BC перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ADM — в частности, прямой AD. Это мы и хотели доказать. Обратите внимание, какая схема рассуждений реализована в данной задаче. Допустим, мы хотим доказать, что прямая l перпендикулярна прямой m. Действуем следующим образом. 1. Берём подходящую плоскость π, в которой лежит прямая l. 2. В плоскости π находим две пересекающиеся прямые a и b, такие, что m ⊥ a и m ⊥ b. 3. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости делаем вывод, что m ⊥ π. 4. По определению перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая m пер- пендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости π. В частности, m ⊥ l, что и требова- лось. Запомните эту схему — она часто работает в экзаменационных задачах. Следующий раздел посвящён важному применению этой схемы — теореме о трёх перпендикулярах. 25 6 Теорема о трёх перпендикулярах В конце предыдущего раздела мы описали схему рассуждений, которая применяется для дока- зательства перпендикулярности прямых. На этой схеме, в частности, основана теорема о трёх перпендикулярах Прежде чем формулировать саму теорему, необходимо ввести некоторую стандартную тер- минологию. 6.1 Перпендикуляр и наклонная Рассмотрим плоскость π и точку M, не принадлежащую этой плоскости. Из точки M проведём прямую, перпендикулярную плоскости π и пересекающую её в точке N (рис. 35 ). π M N Рис. 35. Перпендикуляр Отрезок MN называется перпендикуляром, проведённым из точки M к плоскости π. Точ- ка N называется основанием этого перпендикуляра. С понятием перпендикуляра мы уже встречались ранее. Например, высота пирамиды — это перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания. Если прямая пересекает плоскость и не перпендикулярна этой плоскости, то такая прямая называется наклонной. На рис. 36 мы видим наклонную l, пересекающую плоскость π в точке A. l π A M N p Рис. 36. Наклонная и проекция наклонной Возьмём произвольную точку M прямой l, не лежащую в плоскости π, и проведём перпенди- куляр MN к этой плоскости. Соединив точку A с основанием N проведённого перпендикуляра, получим прямую p, лежащую в плоскости π. Прямая p называется проекцией наклонной l на плоскость π. Не будет ли прямая p менять своё положение, если M перемещается по прямой l? К счастью, нет. Можно показать, что основания N всех перпендикуляров MN будут лежать на одной и той же прямой p. Таким образом, понятие проекции наклонной определено корректно: оно не зависит от конкретного выбора точки M. 26 6.2 Формулировка и доказательство теоремы Теорема о трёх перпендикулярах. Прямая на плоскости перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции наклонной. Мы видим данную ситуацию на рис. 37 . Прямая m лежит в плоскости π, прямая l — это наклонная, p — проекция наклонной. M N p l π A m Рис. 37. m ⊥ l ⇔ m ⊥ p Обратите внимание на выражение «тогда и только тогда» в формулировке теоремы 6 . Оно означает, что справедливы два утверждения. 1. Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна проек- ции наклонной . Символически: m ⊥ l ⇒ m ⊥ p. 2. Если прямая на плоскости перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикуляр- на наклонной . Символически: m ⊥ p ⇒ m ⊥ l. Данные утверждения являются обратными друг к другу: они отличаются только направле- нием стрелки логического следования. Можно объединить эти утверждения, используя двусто- роннюю стрелку: m ⊥ l ⇔ m ⊥ p. Доказательство теоремы. Нам нужно доказать два утверждения, сформулированные выше под пунктами 1 и 2. Снова обращаемся к рис. 37 1. Предположим сначала, что прямая на плоскости перпендикулярна наклонной: m ⊥ l. Поскольку MN — перпендикуляр к плоскости π, прямая MN перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости — в частности, прямой m. Таким образом, прямая m перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости AM N (а именно, прямым l и MN). Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая m перпендикулярна плоскости AMN. Тогда m перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости AMN — в частности, прямой p. Первое утверждение тем самым доказано. 2. Наоборот, пусть прямая на плоскости перпендикулярна проекции наклонной: m ⊥ p. Как мы уже видели выше, m ⊥ MN. Снова прямая m оказывается перпендикулярной двум пересекающимся прямым плоскости AMN (на сей раз это p и MN), так что m ⊥ AMN. Тогда m перпендикулярна любой прямой плоскости AMN — в частности, прямой l. Тем самым доказано второе утверждение и вся теорема. 6 Синонимы этого выражения: если и только если, в том и только в том случае, необходимо и достаточно, равносильно, эквивалентно. 27 Как видите, вышеупомянутая схема доказательства перпендикулярности прямых (а именно, чтобы доказать перпендикулярность двух прямых, мы доказываем, что одна прямая перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит вторая прямая) «упакована» внутри доказательства данной теоремы. Поэтому зачастую достаточно сослаться на теорему о трёх перпендикулярах, не воспроизводя каждый раз саму схему. Но, тем не менее, схему эту вы должны чётко знать! Рассмотрим ещё раз задачу из предыдущей статьи. Задача. Докажите, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся рёбра перпен- дикулярны. Решение. Пусть ABCD — правильная треугольная пирамида. Докажем, что прямая AD пер- пендикулярна BC (рис. 38 ). A B C D H M Рис. 38. К задаче Прямая AD является наклонной к плоскости ABC. Поскольку основание H высоты пира- миды DH лежит на медиане AM треугольника ABC, проекцией наклонной AD на плоскость ABC служит прямая AM. Прямая BC лежит в плоскости ABC и перпендикулярна проекции наклонной: BC ⊥ AM (ибо AM есть также и высота равностороннего треугольника ABC). По теореме о трёх перпен- дикулярах прямая BC перпендикулярна наклонной: BC ⊥ AD. Другие примеры использования теоремы о трёх перпендикулярах нам ещё неоднократно встретятся при разборе задач. 28 7 Угол между прямой и плоскостью Понятие угла между прямой и плоскостью можно ввести для любого взаимного расположения прямой и плоскости. • Если прямая l перпендикулярна плоскости π, то угол между l и π считается равным 90 ◦ • Если прямая l параллельна плоскости π или лежит в этой плоскости, то угол между l и π считается равным нулю. • Если прямая l является наклонной к плоскости π, то угол между l и π — это угол ϕ между прямой l и её проекцией p на плоскость π (рис. 39 ). l π p ϕ Рис. 39. Угол между прямой и плоскостью Итак, запомним определение для этого нетривиального случая: если прямая является наклонной, то угол между прямой и плоскостью есть угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость 7.1 Примеры решения задач Разберём три задачи, расположенные по возрастанию сложности. Третья задача — уровень C2 на ЕГЭ по математике. Задача 1. В правильном тетраэдре найдите угол между боковым ребром и плоскостью осно- вания. A B C D H M ϕ a a Рис. 40. К задаче 1 Решение. Пусть ABCD — правильный тетраэдр с реб- ром a (рис. 40 ). Найдём угол между AD и плоскостью ABC Проведём высоту DH. Проекцией прямой AD на плоскость ABC служит прямая AH. Поэтому искомый угол ϕ есть угол между прямыми AD и AH. Отрезок AH есть радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC: AH = a √ 3 Теперь из прямоугольного треугольника ADH: cos ϕ = AH AD = 1 √ 3 Ответ: arccos 1 √ 3 29 Задача 2. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 боковое ребро равно стороне осно- вания. Найдите угол между прямой AA 1 и плоскостью ABC 1 Решение. Угол между прямой и плоскостью не изменится при параллельном сдвиге прямой. Поскольку CC 1 параллельна AA 1 , искомый угол ϕ есть угол между прямой CC 1 и плоскостью ABC 1 (рис. 41 ). A B C A 1 B 1 C 1 M H ϕ a a Рис. 41. К задаче 2 Пусть M — середина AB. Проведём высоту CH в треугольнике CC 1 M . Покажем, что CH — перпендикуляр к плоскости ABC 1 . Для этого нужно предъявить две пересекающиеся прямые этой плоскости, перпендикулярные CH. Первая прямая очевидна — это C 1 M . В самом деле, CH ⊥ C 1 M по построению. Вторая прямая — это AB. Действительно, проекцией наклонной CH на плоскость ABC служит прямая CM; при этом AB ⊥ CM. Из теоремы о трёх перпендикулярах следует тогда, что AB ⊥ CH. Итак, CH ⊥ ABC 1 . Стало быть, угол между CC 1 и ABC 1 есть ϕ = ∠CC 1 H Величину CH найдём из соотношения C 1 M · CH = CC 1 · CM (обе части этого соотношения равны удвоенной площади треугольника CC 1 M ). Имеем: CM = a √ 3 2 , C 1 M = q CC 2 1 + CM 2 = r a 2 + 3a 2 4 = a √ 7 2 Тогда a √ 7 2 · CH = a · a √ 3 2 , откуда CH = a r 3 7 Остаётся найти угол ϕ: sin ϕ = CH CC 1 = r 3 7 Ответ: arcsin q 3 7 30 Задача 3. На ребре A 1 B 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взята точка K так, что A 1 K : KB 1 = 3 : 1 Найдите угол между прямой AK и плоскостью BC 1 D 1 Решение. Сделав чертёж (рис. 42 , слева), мы понимаем, что нужны дополнительные построе- ния. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 K A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 M N ϕ 4x 3x Рис. 42. К задаче 3 Во-первых, заметим, что прямая AB лежит в плоскости BC 1 D 1 (поскольку AB k C 1 D 1 ). Во-вторых, проведём B 1 M параллельно AK (рис. 42 , справа). Проведём также B 1 C , и пусть N есть точка пересечения B 1 C и BC 1 Покажем, что прямая B 1 C перпендикулярна плоскости BC 1 D 1 . В самом деле: 1) B 1 C ⊥ BC 1 (как диагонали квадрата); 2) B 1 C ⊥ AB по теореме о трёх перпендикулярах (ведь AB перпендикулярна прямой BC — проекции наклонной B 1 C на плоскость ABC). Таким образом, B 1 C перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости BC 1 D 1 ; следовательно, B 1 C ⊥ BC 1 D 1 . Поэтому проекцией прямой MB 1 на плоскость BC 1 D 1 служит прямая MN, и, стало быть, искомый угол есть ϕ = ∠B 1 M N Пусть ребро куба равно 4x. Тогда MB = A 1 K = 3x . Из треугольника MBB 1 имеем: B 1 M = p (3x) 2 + (4x) 2 = 5x. Далее, B 1 N = 1 2 B 1 C = 1 2 · 4x √ 2 = 2x √ 2. Отсюда находим: sin ϕ = B 1 N B 1 M = 2 √ 2 5 Ответ: arcsin 2 √ 2 5 31 8 Взаимное расположение плоскостей Две различные прямые на плоскости или параллельны, или пересекаются. Точно так же две различные плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются (рис. 43 ). Плоскости параллельны Плоскости пересекаются Рис. 43. Взаимное расположение плоскостей 8.1 Параллельность плоскостей Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Предположим, в некоторой задаче нам хотелось бы доказать, что некоторые плоскости па- раллельны. Как это сделать? Для такой цели имеется специальное утверждение. Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны. Мы видим эту ситуацию на рис. 44 . Именно, пусть пересекающиеся прямые a и b, лежащие в плоскости π, параллельны соответственно прямым a 0 и b 0 , лежащим в плоскости σ. Тогда плоскость π параллельна плоскости σ. a b π a 0 b 0 σ Рис. 44. Если a k a 0 и b k b 0 , то π k σ Вопрос. Почему в формулировке признака параллельности плоскостей важно, что прямые пе- ресекающиеся |