многогранники упраженния. многогранники. Стереометрия на егэ по математике Многогранники в задаче 16

• Название: Стереометрия на егэ по математике Многогранники в задаче 16
• Анкор: многогранники упраженния
• Дата: 21.09.2022
• Размер: 0.62 Mb.
• Имя файла: многогранники.pdf
• Тип: Документы; #689708
• страница: 6 из 6

, считая от вершины C
1
. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки A, C и F .
12
√
2 19.
(ЕГЭ, 2013 ) В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.
5
√
2 20.
(МИОО, 2013 ) Правильные треугольники ABC и BCM лежат в перпендикулярных плоско- стях, BC = 8. Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : T M = 1 : 3.
Вычислите объём пирамиды MP T A.
24 21.
(МИОО, 2013 ) В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
боковое ребро равно 8
√
3
,
а ребро основания равно 1. Точка D — середина ребра BB
1
. Найдите объём пятигранника
ABCA
1
D
3 22.
(ФЦТ, 2013 ) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC проведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 7, а сторона основания равна 8.
2
√
29 74

23.
(МИОО, 2013 ) В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка S — вершина. Точ- ка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SC. Найдите угол между плоскостями
BM K
и ABC, если AB = 10, SC = 8.
arctg
√
7 10 24.
(МИОО, 2013 ) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC сторона ос- нования равна 8, а угол ASB равен 36
◦
. На ребре SC взята точка M так, что AM — биссектриса угла SAC. Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B.
16
√
3 25.
(МИОО, 2012 ) В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
стороны основания равны 8,
а боковые рёбра равны
√
13
. Изобразите сечение, проходящее через вершины A, C и середину ребра A
1
B
1
. Найдите его площадь.
30 26.
(МИОО, 2012 ) В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD про- ведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S. Найдите площадь этого сечения,
если все рёбра пирамиды равны 8.
8
√
5 27.
(ЕГЭ, 2012 ) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
AB = 2
, AD = AA
1
= 1
Найдите угол между прямой AB
1
и плоскостью ABC
1
arcsin
1
√
10 28.
(ЕГЭ, 2012 ) В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
стороны основания равны 2,
боковые рёбра равны 3, точка D — середина ребра CC
1
. Найдите расстояние от вершины C до плоскости ADB
1 3
√
13 29.
(ЕГЭ, 2012 ) В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 5. На ребре AA
1
отмечена точка E так, что AE : EA
1
= 3 : 2
Найдите угол между плоскостями ABC и BED
1
arctg
√
13 2
30.
(ЕГЭ, 2012 ) Точка E — середина ребра AA
1
куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
. Найдите площадь сечения куба плоскостью C
1
DE
, если рёбра куба равны 2.
9/2 31.
(ЕГЭ, 2012 ) На ребре CC
1
куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
отмечена точка E так, что CE : EC
1
=
= 1 : 2
. Найдите угол между прямыми BE и AC
1
arccos
2
√
30 15 75

32.
(ЕГЭ, 2012 ) Точка E — середина ребра DD
1
куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
. Найдите угол между прямыми CE и AC
1
arccos
1
√
15 33.
(Репетиционный ЕГЭ, 2012 ) В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
со стороной основания 4 и высотой 7 на ребре AA
1
взята точка M так, что AM = 2. На ребре
BB
1
взята точка K так, что B
1
K = 2
. Найдите угол между плоскостью D
1
M K
и плоскостью
CC
1
D
1 45
◦
34.
(Репетиционный ЕГЭ, 2012 ) Основанием прямого параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
яв- ляется ромб ABCD, сторона которого равна 4
√
3
, а угол BAD равен 60
◦
. Найдите расстояние от точки A до прямой C
1
D
1
, если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.
10 35.
(МИОО, 2012 ) В правильной треугольной пирамиде SABC точка S — вершина. Точка M —
середина ребра SA, точка K — середина ребра SB. Найдите угол между плоскостями CMK и
ABC
, если SC = 6, AB = 4.
arctg
√
23 5
36.
(МИОО, 2012 ) Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD. Боковое ребро SA =
=
√
5
, сторона основания равна 2. Найдите расстояние от точки B до плоскости ADM, где M —
середина ребра SC.
1 37.
(МИОО, 2011 ) В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна
√
2
, а высота равна 1. M — середина ребра AA
1
. Найдите расстояние от точки M до плоскости DA
1
C
1
√
2 4
38.
(МИОО, 2011 ) Основанием прямой призмы ABCA
1
B
1
C
1
является равнобедренный тре- угольник ABC, AB = AC = 5, BC = 8. Высота призмы равна 3. Найдите угол между прямой
A
1
B
и плоскостью BCC
1
arctg
3 5
39.
(МИОО, 2011 ) Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
— прямо- угольник ABCD, в котором AB = 12, AD = 5. Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD
1
,
если расстояние между прямыми AC и B
1
D
1
равно 13.
45
◦
40.
(ЕГЭ, 2011 ) В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
, стороны основания которой равны 3, а боковые рёбра равны 4, найдите угол между прямой AB
1
и плоскостью
BDD
1
arcsin
3
√
2 10 76

41.
(ЕГЭ, 2011 ) В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, все рёбра которой равны 1,
точка E — середина ребра SB. Найдите угол между прямой CE и плоскостью SBD.
arctg
√
2 42.
(ЕГЭ, 2011 ) В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
, все рёбра которой равны 1,
найдите расстояние между прямыми AA
1
и BC
1
√
3 2
43.
(ЕГЭ, 2011 ) В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
, стороны ос- нования которой равны 3, а боковые рёбра равны 4, найдите расстояние от точки C до пря- мой D
1
E
1
√
91 2
44.
(ЕГЭ, 2011 ) В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
, стороны ос- нования которой равны 4, а боковые рёбра равны 1, найдите расстояние от точки B до пря- мой F
1
E
1 7
45.
(ЕГЭ, 2011 ) В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
, стороны основания которой равны 3, а боковые рёбра равны 4, найдите угол между прямыми AC и BC
1
arccos
3
√
2 10 46.
(Репетиционный ЕГЭ, 2011 ) В правильной треугольной пирамиде сторона основания рав- на 12. Найдите расстояние от центра основания до боковой грани, если двугранный угол при ребре основания равен π/3.
3 47.
(Репетиционный ЕГЭ, 2011 ) Длины всех рёбер правильной четырёхугольной пирамиды
P ABCD
с вершиной P равны между собой. Найдите угол между прямой BM и плоскостью
BDP
, если точка M — середина бокового ребра пирамиды AP .
arctg
1
√
5 48.
(МИОО, 2011 ) Основанием прямой призмы ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
является ромб ABCD, у ко- торого AB = 10, BD = 12. Высота призмы равна 6. Найдите расстояние от центра грани
A
1
B
1
C
1
D
1
до плоскости BDC
1 24 5
49.
(МИОО, 2011 ) В основании прямой треугольной призмы ABCA
1
B
1
C
1
лежит равнобедрен- ный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной 2
√
10
; высота призмы равна
2
√
5
. Найдите расстояние от точки C
1
до плоскости BCM, где M — середина ребра A
1
C
1 2
77

50.
(МИОО, 2011 ) Длина ребра куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
равна 1. Найдите расстояние от верши- ны B до плоскости ACD
1 1
√
3 51.
(МИОО, 2011 ) Дан куб ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
с ребром 1. Найдите расстояние от вершины A
до плоскости A
1
BT
, где T — середина ребра AD.
1
√
6 52.
(МИОО, 2011 ) Дан правильный тетраэдр MABC с ребром 1. Найдите расстояние между прямыми AL и MO, где L — середина ребра MC, O — центр грани ABC.
√
7 14 53.
(МИОО, 2010 ) Дан куб ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
. Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние от середины отрезка BC
1
до плоскости AB
1
D
1 1
√
3 54.
(МИОО, 2010 ) В кубе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
найдите угол между плоскостями AB
1
D
1
и ACD
1
arccos
1 3
55.
(МИОО, 2010 ) В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
известны рёбра: AB = 3
√
3
,
BB
1
= 6
. Точка M — середина ребра B
1
C
1
, а точка T — середина A
1
M
. Найдите угол между плоскостью BCT и прямой AT .
2arctg
3 8
56.
(МИОО, 2010 ) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
, у которого AA
1
= 3
,
AD = 8
, AB = 6, найдите угол между плоскостью ADD
1
и прямой EF , проходящей через середины рёбер AB и B
1
C
1
arctg
3 5
57.
(МИОО, 2010 ) Дан куб ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
с ребром 8
√
6
. Найдите расстояние от середины ребра B
1
C
1
до прямой MT , где точки M и T — середины рёбер CD и A
1
B
1
соответственно.
12 58.
(ЕГЭ, 2010 ) Дан куб ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
. Найдите тангенс угла между плоскостями AB
1
C
и
DCC
1
√
2 59.
(ЕГЭ, 2010 ) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра:
AB = 6
√
3
, SC = 10. Точка N — середина ребра BC. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой AT , где T — середина отрезка SN.
arctg
8 15 78

60.
(ЕГЭ, 2010 ) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
известны рёбра: AB = 8,
AD = 6
, CC
1
= 6
. Найдите угол между плоскостями CD
1
B
1
и AD
1
B
1
arccos
9 41 61.
(ЕГЭ, 2010 ) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
известны рёбра: AB = 8,
AD = 6
, CC
1
= 5
. Найдите угол между плоскостями BDD
1
и AD
1
B
1
arctg
24 25 62.
(ЕГЭ, 2010 ) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра:
AB = 8
√
3
, SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины рёбер AS и BC.
arctg
15 16 63.
(ЕГЭ, 2010 ) В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
сторона осно- вания равна 7, а высота равна 1. Найдите угол между прямой F
1
B
1
и плоскостью AF
1
C
1
arcsin
1
√
151 64.
(МИОО, 2010 ) В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки C до прямой F
1
E
1 2
65.
(МИОО, 2010 ) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найдите расстояние от точки C до прямой SA.
√
39 4
66.
(МИОО, 2010 ) В тетраэдре ABCD, все рёбра которого равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой, проходящей через точку B и середину E ребра CD.
√
6 3
67.
(Репетиционный ЕГЭ, 2010 ) В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с осно- ванием ABCD сторона основания равна 3
√
2
, а боковое ребро равно 5. Найдите угол между плоскостями ABC и ACM, где точка M делит ребро BS так, что BM : MS = 2 : 1.
arctg
8 3
68.
(МИОО, 2010 ) В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания рав- на 1, а боковое ребро равно
√
3/2
. Найдите расстояние от точки C до прямой SA.
q
2 3
69.
(МИОО, 2010 ) В кубе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки C
до прямой BD
1
√
6 3
79

70.
(МИОО, 2010 ) В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
высота равна 2, сторона основания равна 1. Найдите расстояние от точки B
1
до прямой AC
1
√
95 10 71.
(МИОО, 2010 ) Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA
1
B
1
C
1
равна 8.
Высота этой призмы равна 6. Найдите угол между прямыми CA
1
и AB
1
arccos
1 25 72.
(МИОО, 2010 ) В основании прямой призмы ABCA
1
B
1
C
1
лежит равнобедренный прямо- угольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной 8
√
2
. Высота призмы равна 6. Найдите угол между прямыми AC
1
и CB
1
arccos
9 25 73.
(МИОО, 2009 ) В основании прямой призмы ABCA
1
B
1
C
1
лежит прямоугольный треуголь- ник ABC, у которого угол C равен 90
◦
, угол A равен 30
◦
, AC = 10
√
3
. Диагональ боковой грани
B
1
C
составляет угол 30
◦
с плоскостью AA
1
B
1
. Найдите высоту призмы.
10
√
2 74.
(МИОО, 2009 ) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
, у которого AB = 6,
BC = 6
, CC
1
= 4
, найдите тангенс угла между плоскостями ACD
1
и A
1
B
1
C
1 2
√
2 3
75.
(МИОО, 2009 ) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
, у которого AB = 4,
BC = 6
, CC
1
= 4
, найдите тангенс угла между плоскостью ABC и прямой EF , проходящей через середины рёбер AA
1
и C
1
D
1 1
√
10 76.
(МИОО, 2009 ) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
найдите угол между плоскостью A
1
BC
и прямой BC
1
, если AA
1
= 8
, AB = 6, BC = 15.
arcsin
24 85 77.
(МИОО, 2009 ) В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
, все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB
1
и BC
1 3
4 80