Шпаргалка по профильной математике. Шпаргалка_по_профильной_математике_1. Стереометрия
 Скачать 6.89 Mb.
|
|
СТЕРЕОМЕТРИЯ СЕЧЕНИЯ Существуют специальные методы построения сечений многогранников. Наиболее эффективными в школьном курсе геометрии являются следующие три метода: 1) метод следов; 2) метод внутреннего проектирования; 3) комбинированный метод. Рассмотрим каждый из них на примерах. Метод следов Прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости α в плоскости этого основания. Из определения следа получаем: в каждой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плоскости, другая - в плоскости основания. Именно это свойство следа используют при построении плоских сечений многогранников методом следов. Причем в секущей плоскости удобно использовать такие прямые, которые пересекают ребра многогранника. Решение: A A 1 B 1 C 1 B C D 1) 2) 3) D 1 A A 1 B 1 C 1 B C D D 1 A A 1 B 1 C 1 B C D D 1 A A 1 B 1 C 1 B C D D 1 Р Р Р Р Q Q Q Q R R R R T U S 1 S 1 S 1 S 2 S 2 Построить сечение призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (точки указаны на рисунке) Пример №1 Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА 1 В 1 В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ. Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S 1 , принадлежащую следу. Аналогично получаем точку S 2 пересечением прямых QR и BC. Прямая S 1 S 2 - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Прямая S 1 S 2 пересекает сторону AD в точке U, сторону CD - в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА 1 D 1 D. Аналогично получаем TU и RT. PQRTU – искомое сечение. 1) 2) 3) Метод внутреннего проектирования Метод вспомогательных сечений построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь ввиду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются “скученными”. Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью а, заданной точками P, Q, и R, если точка Р лежит на диагонали А 1 С 1 , точка Q- на ребре ВВ 1 и точка R- на ребре DD 1. Пример №1 A A 1 D 1 C 1 D C В B 1 F H H 1 Q P E M R 4) A A 1 D 1 C 1 D C В B 1 Q P R A A 1 D 1 C 1 D C В B 1 H H 1 Q P R A A 1 D 1 C 1 D C В B 1 F H H 1 Q P R 1) 2) A A 1 D 1 C 1 D C В B 1 F H H 1 Q P M R 3) Пусть H- точка пересечения диагоналей AC и BD. Соеденим R и RQ. Проведя прямую HH 1 параллельную ребру BB 1 (H 1 є RQ), Через точку H 1 от Р пустим линию на СС 1 . Назовем ее F. Точка F - это точка пересечения секущей плоскости с ребром CC 1 . Точка прямая RF - это прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани CC 1 D 1 D, прямая QF- это прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани BCC 1 B 1 Так как плоскость ABB 1 параллельна плоскости CDD 1 , то секущая плоскость пересекает грань ABB 1 A 1 по прямой QM (М є A 1 B 1 ) , параллельной прямой FR. 4) Далее, если E - точка пересечения прямых MP и A 1 D 1 , то эта точка является точкой пересечения секущей плоскости и ребра A 1 D 1 Пятиугольник ERFQM- искомое сечение. Решение. 1) 2) 3) Угол между прямыми Угол между прямыми - это такой угол α, что 0 <= ⩽α <= ⩽90°. Скрещивающиеся прямые – это прямые, через которые нельзя провести одну плоскость. Признак скрещивающихся прямых: если первая прямая пересекает плоскость, в которой лежит вторая прямая, в точке, не лежащей на второй прямой, то такие прямые скрещиваются. Алгоритм нахождения угла между прямыми: 1) Через одну из двух прямых провести плоскость, параллельную второй прямой (прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой из этой плоскости); 2) В этой плоскости построить (перенести) прямую b 1 , параллельную прямой b. По сути мы совершаем параллельный перенос; 3) Тогда угол между прямыми a и b будет равен углу между прямыми a и b 1 1) 2) В пространстве существует 4 типа взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются, параллельны, скрещиваются. Совпадают Параллельны Пересекаются Скрещиваются b a b а b a b a a b a b a b 1 b Пересечение прямой и плоскости Перпендикулярность прямой и плоскости Проекция точки М на плоскость Прямая и плоскость пересекаются, если они имеют одну-единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости. Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Проекцией точки М на плоскость α называется точка пересечения плоскости α и прямой, перпендикулярной к плоскости α и проходящей через точку М, если точка М не лежит в плоскости α. α а α b a с α M 1 M Проекция прямой на плоскость Проекцией прямой на плоскость α называют множество проекций всех точек прямой на плоскость α. α А М М 1 Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Угол между прямой и плоскостью α β А М М 1 Угол между плоскостями Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными в этих плоскостях, к линии их пересечения. Двугранный угол – угол, образованный двумя полуплоскостями и прямой a, которая является их общей границей. Алгоритм поиска угла между плоскостями: 1) В плоскости α проводим прямую а, перпендикулярную с, где с - прямая, образованная пересечением двух плоскостей. 2) В плоскости β проводим прямую b, также перпендикулярную с. 3) Угол между плоскостями α и β равен углу между прямыми а и b. Находим его через синус, косинус, тангенс, с помощью теоремы косинусов или другими удобными для конкретного случая методами. α с а b φ β Если плоскость α проходит через перпендикуляр к плоскости β, то плоскости α и β перпендикулярны. α β m m α m β α β Теорема о трех перпендикулярах Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Теорема о трех перпендикулярах. Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной на данную плоскость. b а а а b проек ция b Расстояние от точки до прямой и до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Расстояние от точки до плоскости M M’ p(M; α) = MM’ α равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Расстояние от точки до прямой M M’ a p(M; a) = MM’ - это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой ко второй прямой. Иногда логичнее опускать перпендикуляр не из точки A, а из какой-нибудь другой, более удобной точки на прямой a. Расстояние между параллельными прямыми а А А’ b B B’ p(a; b) = AA’ = ВВ’ Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. Расстояние между скрещивающимися прямыми - это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой. Расстояние между скрещивающимися прямыми а р(a; b) = MM’ b a 1 b 1 М M’ α от точки до плоскости α. Так как через вторую прямую проводится плоскость α, параллельная первой прямой, то искомое расстояние по итогу равно расстоянию любой удобной на прямой а M M’ p(M; α) = MM’ α Метод объемов Дан куб с ребром, равным 1. Найдите расстояние между DC 1 и AC. Пример. А B C D A 1 B 1 C 1 D 1 А B C D A 1 B 1 M C 1 D 1 Через прямую АС проведем плоскость, параллельную прямой DC 1 . Проведем прямую AВ 1 , параллельную прямой DC 1 . Далее соединяем точки AB 1 C. Расстояние от прямой DC 1 до прямой AC будет равно расстоянию от точки D до плоскости AB 1 C. Тогда выразим объем пирамиды B 1 ADС, так как ребро куба равно 1, получаем: V = (S ADC ⋅ BB 1 )/3 = (0,5 ⋅ 1)/3 = 1/6 Проведем от точки D до плоскости AB 1 C высоту h. В таком случае для поиска объема пирамиды AB 1 CD через высоту h нам необходимо узнать еще и площадь треугольника AB 1 C. AB 1 C - правильный треугольник со стороной 2. Тогда площадь мы можем найти, как ( 2)2/2 ⋅ sin(60°) = 3/2. Приравниваем объемы, умноженные на 3, получаем: 3/2 ⋅ h = 1/2 h = 1/ 3. Ответ: 1/ 3. Решение. |