Стохастический мир

• Название: Стохастический мир
• Дата: 27.09.2022
• Размер: 2.82 Mb.
• Имя файла: stepanov1.pdf
• Тип: Документы; #700302
• страница: 5 из 20

x
0
1
2
3
x
1
x
2
x
3
где интервалы времени t i
? t i+1
 произвольны. Так как случайные пере- ходы от одного момента времени (x i
, t i
)
к следующему (x i+1
, t i+1
)
не пе- рекрываются, случайные числа ?
1
, ?
2
, ?
3
,.. являются статистически неза- висимыми. Это позволяет вычислять средние, относящиеся к различным моментам времени, и строить выборочные траектории. При этом возни- кают последовательности вложенных функций, например:
x
2
= f (f (x
0
, t
0
, t
1
, ?
1
), t
1
, t
2
, ?
2
).
В случае винеровского блуждания, выбирая равный интервал ? между последовательными моментами времени, мы получим:
x t
= x
0
+
t
X
k=1
?
k
?
? .
Хотя выражение для x t
похоже на итерационную схему, это, на самом деле, точное соотношение, и ? может быть сколь угодно большим.

Стохастические уравнения
65
•
Существуют и другие способы представления траектории случайно- го процесса. Рассмотрим для примера разложение Палея-Винера вине- ровского блуждания на интервале времени t = [0..T ]:
x(t) = x
0
+ ?
0
t
?
T
+
?
2T
?
X
k=1
?
k sin(?k t/T )
?k
,
(2.34)
где ?
k
? N (0, 1)
 независимые нормально распределјнные случайные величины. Это разложение имеет такие же статистические свойства,
как и существенно более простая запись (
2.33
). Чтобы в этом убедиться,
вычислим среднее квадрата x
2
(простое среднее равно hxi = x
0
):
x
2
= x
2 0
+
t
2
T
+ 2T
?
X
k=1
sin
2
(?k t/T )
?
2
k
2
= x
2 0
+ t,
(2.35)
где мы воспользовались свойством независимости h?
i
?
j i = 0
, если i 6= j и ?
2
i
= 1
. Равенство x
2
= x
2 0
+ t проверяется при помощи фурье 
разложения функции f(t) = t ? t
2
/T
на интервале t = [0..T ] (l H
16
).
В результате получается такой же результат, как и для (
2.33
). Плотно- сти вероятности величин (
2.33
) и (
2.34
) совпадают, так как сумма гаус- совых чисел ?
0
,?
1
,...  это опять гауссово число, дисперсия которого, как мы показали, равна t.
Достоинством представления Палея-Винера является то, что с его по- мощью можно записывать непрерывную функцию одиночной траекто- рии, на конечном интервале времени T . Для этого, естественно, прихо- дится обрезать суммирование на достаточно большом индексе k = N.
Затем генерятся независимые случайные числа ?
0
,...,?
N
, и фурье  раз- ложение дајт изломанную кривую. На рисунках ниже приведено после- довательное увеличение числа слагаемых в сумме: N = 10, 20, 100. При этом случайные числа ?
0
, ?
1
,.. на каждом графике повторяются:
N=10
N=20
N=100
Видно, что степень изломанности траектории увеличивается, стремясь в пределе N ? ? к недифференцируемой стохастической кривой.

66
Глава 2.
•
Изучая стохастические дифференциальные уравнения, можно ис- пользовать различный язык и различные математические конструкции.
Кратко перечислим основные подходы к представлению решений стоха- стических уравнений, их сильные и слабые стороны.
B Плотность вероятности является базовым и наиболее общим язы- ком описания случайных функций. Так как мы ограничились классом марковских процессов, знание вероятности перехода P (x
0
, t
0
? x, t)
меж- ду двумя точками позволяет записать вероятность всей траектории. В
результате можно вычислять разнообразные средние, и т.п. Чтобы най- ти P (x
0
, t
0
? x, t)
, необходимо решить дифференциальное уравнение в частных производных, которое мы рассмотрим в четвјртой главе. Недо- статком этого подхода является то, что получение конечного результата иногда требует более кропотливых вычислений, чем в рамках других ме- тодов. Примером тому служит описание процесса Орнштейна-Уленбека или процесса Феллера (стр.
82
).
B Уравнения для средних мы рассмотрим в следующей главе. Если целью исследования является поиск различных средних значений стоха- стического процесса, то решение этих уравнений может оказаться самым прямым и простым способом. Дифференциальные уравнения для сред- них часто приводят к полезным соотношениям в асимптотическом пре- деле t ? ? и удобны при построении приближјнных методов. Кроме ограниченности получаемых результатов, недостаток подхода в том, что эти уравнения оказываются замкнутыми лишь для относительно узкого класса задач.
B Сведение к известному процессу является очень распространјнным подходом. Обычно при этом используется винеровский процесс W (t) с хо- рошо изученными и простыми свойствами. Например, логарифмическое блуждание x(t) = x
0
exp{(µ ? ?
2
/2)t + ? W (t)}
явным образом демон- стрирует деформацию винеровского процесса W (t) в процесс x(t). По- добные решения ищутся при помощи леммы Ито и подходящей замены.
Достоинством подхода является быстрота получения конечного резуль- тата (когда это возможно). Кроме этого, мы имеем простую запись для выборочных траекторий. Например, можно сгенерить конкретную тра- екторию W (t) и, подставив еј в x t, W (t)
, получить выборочную траек- торию процесса x(t). Недостатком подхода является то, что для многих процессов найти простую функцию x t, W (t)
не очень просто. Так, уже для процесса Орнштейна-Уленбека в аргументе функции W (t) необходи- мо дополнительно деформировать время, а процесс Феллера вообще не имеет простого представления при помощи W (t).

Стохастические уравнения
67
B Стохастические интегралы  это наиболее популярный способ как строгого обоснования стохастических уравнений, так и записи их реше- ния при помощи специфических обозначений. Стохастические интегра- лы являются достаточно нетривиальной математической конструкцией.
Несмотря на то, что это очень красивая и мощная техника, иногда по- лучаемые с еј помощью результаты оказываются формальными, и вос- пользоваться ими для вычисления, например, средних или плотности вероятности не представляется возможным. Мы будем обсуждать стоха- стическое интегрирование в пятой главе.
B Скалярные случайные величины широко используются в этой кни- ге. Стохастичность функции x(t) можно придать при помощи обычной случайной величины ?, не являющейся процессом, и гладкой функции времени. Величина ? имеет определјнное распределение. Чаще всего оно гауссово, однако в общем случае это не обязательно. Дальше мы увидим,
что простую форму решению для некоторых процессов можно придать,
только используя две или более случайные величины, имеющие совмест- ную плотность вероятности. Запись решения в виде x = f(x
0
, t
0
, t, ?)
позволяет легко находить различные средние. Кроме этого, функция f эквивалентна заданию в неявной форме марковской плотности вероятно- сти P (x
0
, t
0
? x, t)
. Действительно, при помощи среднего от произволь- ной функции F (x) можно сделать преобразование, например, от гауссо- вой переменной ? к x (значения начальных условий x
0
, t
0
опущены):
hF (x)i =
?
Z
??
F (x) P (x, t) dx =
?
Z
??
F f (?, t)

P (?) d?,
где P (?)  распределение Гаусса. Проводя во втором интеграле обратную замену x = f(t, ?), мы переходим к первому интегралу, и, следовательно,
плотность вероятности случайного процесса в момент времени t равна:
P (x
0
, t
0
? x, t) =
1
?
2?
?g(x, t)
?x exp

?
1 2
g
2
(x, t)

,
(2.36)
где g(x, t)  обратная к x = f(t, ?) функция, т.е. ? = g(x, t).
В заключение выскажем очевидную истину. Использование того или иного языка должно диктоваться в первую очередь соображением про- стоты. В зависимости от того, какие задачи решаются, более адекватным может оказаться любой из перечисленных выше подходов.

68
Глава 2.
2.7 Автокорреляция и спектр
•
В первой главе (стр.
40
) мы говорили о том, что важной характери- стикой стохастического процесса является связь прошлого и будущего.
Она определяется автоковариацией между двумя моментами времени t
1
< t
2
при условии, что при t = t
0
наблюдалось значение x
0
= x(t
0
)
:
cov t
0
(t
1
, t
2
) =
x t
1
? Ї
x t
1


x t
2
? Ї
x t
2

,
(2.37)
где Їx t
= hx(t)i
 среднее значение в момент времени t, а x t
i
= x(t i
)
Если решение стохастического дифференциального уравнения выра- жено через гауссову случайную переменную ?, то вычисление автокова- риации становится несложной задачей. Рассмотрим, например, винеров- ское блуждание с начальным значением x
0
= x(t
0
)
:
x(t) = x
0
+ µ · (t ? t
0
) + ?
?
t ? t
0
?.
Удобно положить t
0
= 0
, t
1
= t и t
2
= t + ?
. При вычислении автокова- риации предполагается, что x, прежде чем достигнуть x t+?
= x(t + ? )
,
проходит через x t
= x(t)
. Поэтому решение необходимо разбить на два интервала времени [0...t] и [t...t + ?]. Считая x t
начальным условием при
? = 0
для x t+?
запишем:
x t+?
= x t
+ µ ? + ?
?
? ?.
(2.38)
Если будущее блуждание ? не зависит от случайной величины процесса x
t в момент времени t, то hx t
?i = hx t
i h?i = 0
, и:
hx t+?
x t
i =
x
2
t
+ µ? hx t
i .
Так как:
hx t
i = x
0
+ µt,
x
2
t
? hx t
i
2
= ?
2
t,
легко найти автоковариационную функцию:
cov(t, t + ? ) = hx t+?
x t
i ? hx t+?
i hx t
i = ?
2
t.
Она зависит только от ближайшего к t
0
= 0
времени t и не зависит от ?.
Смысл этого факта мы обсуждали при описании дискретного винеров- ского процесса (стр.
36
).
Аналогично вычисляются автоковариации для других стохастических процессов. В качестве упражнения имеет смысл найти автоковариацию для логарифмического блуждания (l H
13
) и броуновского моста (l H
14
).

Стохастические уравнения
69
•
Для процесса Орнштейна-Уленбека решение:
x(t) = ? + x
0
? ?

e
?? (t?t
0
)
+
?
?
2?
p
1 ? e
?2? (t?t
0
)
?
(2.39)
при вычислении автоковариации также необходимо разбить на два ин- тервала (l H
15
). В результате (t
0
= 0
):
cov(t, t + ? ) = ?
2
(t) e
???
=
?
2 2?
1 ? e
?2? t
 e
???
(2.40)
Если мы рассмотрим большое t, но конечное ?, то автоковариация
(
2.40
) будет стремиться к выражению, зависящему только от разности времјн ? = t
2
? t
1
:
cov(t, t + ? ) ?
?
2 2?
e
?? ?
(2.41)
Стационарным случайным процессом называется процесс, свойства которого не зависят от выбора начала отсчјта времени. Стационарность в широком смысле означает, что среднее значение и волатильность не за- висят от времени Їx(t) = const, ?(t) = const, а корреляционная функция является только функцией разности времјн cov(t
1
, t
2
) = cov(t
2
? t
1
)
. По этому определению винеровское и логарифмическое блуждания не явля- ются стационарными в широком смысле. В частности, для винеровского процесса волатильность увеличивается со временем, а автокорреляцион- ная функция зависит только от первого времени t
1
. В то же время, эти процессы являются стационарными в узком смысле. Их среднее и вола- тильность зависят от t ? t
0
и не изменяются при сдвиге времени. Про- цесс Орнштейна-Уленбека становится стационарным в широком смысле в асимптотическом пределе t ? ?. При задании произвольного x
0
, сильно отличающегося от ?, процесс будет стремиться к ? (большой снос). При попадании в окрестности этого равновесного уровня начинается блужда- ние, статистические свойства которого не зависят от того, какое значение x
0
было в начальный момент времени. Происходит забывание началь- ных условий.
Если коэффициенты сноса и волатильности в стохастическом диффе- ренциальном уравнении Ито не зависят от времени, то его решение не должно зависеть от выбора начала отсчјта x = f(x
0
, t ? t
0
, ?)
. Оно яв- ляется стационарным в узком смысле. Но только в достаточно простых ситуациях среднее и волатильность постоянны и, следовательно, стацио- нарны в широком смысле.

70
Глава 2.
•
Представим случайную функцию x(t) в следующем виде:
x(t) = Ї
x(t) +
X
k
?
k
?
k
(t),
где ?
k
 случайные нескоррелированные величины с нулевым средним и единичной дисперсией. В общем случае они имеют не гауссово распре- деление. Функции ?
k
(t)
являются обычными неслучайными функциями времени, а Їx(t)  среднее значение стационарного процесса. Подобное представление называют каноническим разложением.
Автоковариационная функция и волатильность, в силу независимости h?
i
?
j i = ?
ij случайных величин ?
i
, выражаются через функции ?
k
(t)
:
cov(t
1
, t
2
) =
X
k
?
k
(t
1
)?
k
(t
2
),
?
2
(t) =
X
k
?
2
k
(t).
В случае стационарных в широком смысле случайных процессов в ка- честве базиса ?
k
(t)
удобно выбрать гармоники Фурье. Рассмотрим сим- метричный интервал времени [?T/2..T/2] и введјм частоты ?
k
= 2?k/T
Тогда стохастическим аналогом детерминированного фурье  разложе- ния (стр.
314
) будет следующее представление:
x(t) = Ї
x +
?
X
k=0
{?
k a
k cos(?
k t) + ?
k b
k sin(?
k t)} ,
где ?
k
, ?
k
 независимые случайные числа с нулевым средним и единич- ной волатильностью. Найдјм ковариацию:
cov(t
1
, t
2
) =
?
X
k=0
a
2
k cos(?
k t
1
) cos(?
k t
2
) + b
2
k sin(?
k t
1
) sin(?
k t
2
)
Для стационарного процесса ковариация зависит только от разности вре- мјн ? = t
2
? t
1
. Это произойдјт, если a
2
k
= b
2
k
:
cov(t
1
, t
2
) = cov(? ) =
?
X
k=0
a
2
k cos(?
k
? ),
или в силу ортогональности косинусов:
a
2
k
=
2
T
T /2
Z
?T /2
cov(? ) cos(?
k
? ) d?.
Коэффициенты a
2
k являются квадратами амплитуд и характеризуют вклад той или иной гармоники с частотой ?
k в случайный процесс. Чем они больше, тем типичнее случайные колебания с этой частотой.

Стохастические уравнения
71
Введјм спектральную функцию S(?) = a
2
k
/?? = a
2
k
T /2?
и устремим
T
к бесконечности. Так как ковариационная функция, в силу определе- ния, симметрична: cov(t
1
, t
2
) = cov(t
2
, t
1
)
, то стационарная ковариация будет чјтной: cov(??) = cov(?). Поэтому:
S(?) =
1
?
?
Z
??
cov(? ) cos(?? ) d? =
1
?
?
Z
??
cov(? ) e i??
d?.
В стационарном случае случайный процесс совершает некоторые нере- гулярные колебания вокруг среднего значения. Иногда эти колебания обладают свойством квазипериодичности, когда наблюдается некоторая изменяющаяся, но всј же в среднем стабильная частота колебаний. Ин- струментом изучения подобных явлений служит спектральная функция,
являющаяся фурье  образом стационарной ковариационной функции cov(? ) = cov(t
2
? t
1
)
Для процесса Орнштейна - Уленбека:
S(?) =
?
2 2??
?
Z
??
e i?? ?? |? |
d? =
?
2
/?
?
2
+ ?
2
Это монотонно убывающая функция с максимумом при ? = 0. Чем па- раметр ? меньше, тем более типичными будут маленькие частоты ко- лебания (большие периоды). В этом случае притяжение к равновесному уровню слабое, поэтому возможны блуждания, уходящие далеко и на- долго вверх или вниз от положения равновесия.
•
До сих пор мы предполагали, что начальное условие для случайно- го процесса зафиксировано абсолютно точно. Иногда удобно рассматри- вать некоторый набор начальных условий, задаваемый плотностью ве- роятности P (x
0
)
. В этом случае величина x
0
в наших решениях будет не константой, а случайной величиной. Обычно предполагается, что она не зависит от свойств блуждания в последующие моменты времени и hx
0
?i = hx
0
i h?i = 0
. Следовательно, дисперсия винеровского блужда- ния:
(x(t) ? Ї
x)
2
= (x
0
? Ї
x
0
+ ?
?
t ? t
0
?)
2
= (x
0
? Ї
x
0
)
2
+ ?
2
(t ? t
0
)
равна сумме неопределјнности начальных условий и неопределјнности процесса блуждания ?
2
x
= ?
2
x
0
+ ?
2
(t ? t
0
)
. Аналогичным образом под- правляются и выражения для автоковариации.

72
Глава 2.
2.8 Порождающий процесс Винера
Стохастическое дифференциальное уравнение содержит в качестве шу- ма ?W изменения винеровского процесса W
t
. В результате:
каждая выборочная траектория винеровского блуждания W
t полностью определяет выборочную траекторию произвольного стохастического уравнения с шумом ?W .
Даже в тех случаях, когда мы не можем в явном виде записать реше- ние уравнения в виде простой функции x t
= f (t, W
t
)
, предполагается еј
существование. Если у нас есть несколько случайных процессов, уравне- ния которых содержат один и тот же стохастический шум ?W , то они должны быть между собой скоррелированы. Рассмотрим пример:
 dx = f (t) ?W
dy = g(t) ?W.
(2.42)
Решение каждого уравнения может быть записано при помощи гауссовой величины ( (
2.18
) стр.
56
). Однако, несмотря на одинаковую винеровскую переменную ?W , в решениях должны стоять различные случайные вели- чины ? и ?:
x = x
0
+
X
f i?1
?
i
?
?t = x
0
+ F (t) ?
y = y
0
+
X
g j?1
?
j
?
?t = y
0
+ G(t) ?,
где дисперсии равны:
F
2
(t) =
t
Z
t
0
f
2
(? ) d?,
G
2
(t) =
t
Z
t
0
g
2
(? ) d?
На каждой итерации, в обоих суммах стоят одинаковые случайные числа
?
k
. Однако так как они умножаются на различные коэффициенты f i
и g
i
, результирующие гауссовы числа будут скоррелированы:
F (t) G(t) h??i =
X
i,j=1
f i?1
g j?1
h?
i
?
j i ?t =
X
i=1
f i?1
g i?1
?t =
t
Z
t
0
f (? )g(? ) d?,
так как h?
i
?
j i
отлично от нуля только при i = j. Таким образом:
h??i = ?(t) =
1
F (t) G(t)
t
Z
t
0
f (? )g(? ) d? 6= 1.
(2.43)
Заметим, что в общем случае h??i зависит от времени.

Стохастические уравнения
73
•
Рассмотрим конкретное применение этих формул на примере про- цесса Орнштейна-Уленбека:
dx = ?? · (x ? ?) dt + ? ?W.
Перейдјм при помощи леммы Ито к процессу y(t) = F (t, x) = e
?t
(x ? ?)
:
dy = ?e
?t
?W
=>
y(t) = y
0
+
?
?
2?
p e
2?t
? 1 ?,
где ? ? N(0, 1), а y
0
= x
0
? ?
. Поэтому решение для x имеет вид (? > 0):
x(t) = ? + (x
0
? ?)e
??t
+
?
?
2?
p
1 ? e
?2?t
?,
Если мы интересуемся свойствами этого процесса как такового, данного решения вполне достаточно. Однако, если мы хотим прояснить его связь с порождающим винеровским процессом W
t
, необходимо записать:
W
t
= ?
?
t,
? ? = ? =
s
2
?t
1 ? e
??t
1 + e
??t
,
где мы воспользовались (
2.43
) с f(t) = 1 и g(t) = ? e
?t
. Так как ? и ? 
скоррелированные гауссовы числа, для вычисления моментов произволь- ных порядков удобно перейти к паре независимых гауссовых величин:
? = ?
1
,
? = ? ?
1
+
p
1 ? ?
2
?
2
В результате:
?
2
= ?
2
= 1,
?? = ?,
?
2
?
2
= 1 + 2?
2
,
и т.д. Теперь мы можем вычислить любые статистики, в которых участ- вуют и процесс Орнштейна-Уленбека x, и порождающий его винеровский процесс x:
W
t x
t
=
?
?
t
?
2?
p
1 ? e
?2?t
?? =
?
?
1 ? e
?? t

.
Если нас интересуют предсказательные возможности порождающего про- цесса, необходимо записать решение со сдвигом:
x t+?
= ? + (x t
? ?)e
???
+
?
?
2?
p
1 ? e
?2??
?
0
,
и вычислить:
W
t x
t+?
= W
t x
t e
???
=
?
?
(1 ? e
???
),
так как ?
0
на интервале [t...t + ?] не зависит от винеровского процесса в момент t.

74
Глава 2.
•
Рассмотрим ещј одну задачу для двух процессов с одинаковым шу- мом ?W :
 dx = ?W
dy = f (x, t) ?W.
Если x
0
= x(0) = 0
, то x(t) = W
t
 это винеровский процесс, предостав- ляющий уравнению для y не только изменения ?W , но и накопленное значение W
t
, от которого зависит амплитуда шума.
Будем, как обычно, использовать итерационный метод:
x i
= x
0
+
i
X
j=1
?
j
?
?t y
n
= y
0
+
n?1
X
i=0
f (x i
, t i
) ?
i+1
?
?t.
В решении для y n
величины x i
содержат сумму гауссовых переменных по
?
i включительно. Они не зависят от ?
i+1
, поэтому hy n
i = y
0
. Аналогично вычисляется дисперсия второго процесса:
(y n
? y
0
)
2
=
n?1
X
i,j=0
hf (x i
, t i
)f (x j
, t j
) ?
i+1
?
j+1
i ?t.
Эту сумму необходимо разбить на три части, когда индекс i меньше j,
больше, и равен:
X
i,j
=
X
i+
X
i>j
+
X
i=j
Первая и вторая суммы равны нулю, так как они содержат члены типа hf (x
1
, t
1
)f (x
2
, t
2
)?
2
?
3
i
. Величина ?
3
не зависит от всех остальных случай- ных чисел, среднее разбивается на произведение средних и оказывается равным нулю h?
3
i = 0
. В результате ненулевое значение имеет последняя сумма со слагаемыми типа f
2
(x
1
, t
1
)?
2 2
= f
2
(x
1
, t
1
)
?
2 2
. Поэтому для дисперсии имеем следующее выражение:
?
2
(t) =
(y(t) ? y
0
)
2
=
t
Z
t
0
f
2
(x
0
+ ?
?
? , ? )
d?,
(2.44)
где в явном виде подставлено решение для x. Таким образом, усредняя с гауссовой плотностью вероятности подынтегральную функцию и вы- числяя интеграл от обычной функции времени, мы получаем значение дисперсии случайного процесса. Подчеркнјм, что сначала происходит усреднение, и только после этого проводится интегрирование.

Стохастические уравнения
75
•
Системы уравнений с одинаковым шумом позволят прояснить ещј
одну важную особенность стохастической математики. Рассмотрим сле- дующий пример с начальными условиями x
0
= x(0)
и y
0
= y(0)
:
 dx =
?W
dy = x ?W.
(2.45)
Может появиться искушение разделить одно уравнение на второе и про- интегрировать обыкновенное дифференциальное уравнение:
dy = x dx
;
y ? y
0
=
x
2
? x
2 0
2
(2.46)
Если так можно, то решение должно оставаться на детерминирован- ной кривой y = y(x). Однако на самом деле это неверно! Дело в том,
что, хотя стохастический член ?W сократился, дифференциалы dx, dy по-прежнему являются изменением случайных функций, для которых неприменимы обычные правила интегрирования. В частности, x dx 6=
d(x
2
)/2
(l C
22
). Для подобных операций служит лемма Ито.
Решение системы (
2.45
) на самом деле имеет вид:
 x = x
0
+ W
y = y
0
+ x
0
W +
1 2
(W
2
? t).
Действительно, рассматривая y = F (t, W ), как функцию времени и W ,
мы можем воспользоваться леммой Ито. При этом dW = ?W , поэтому снос равен нулю a = 0, а волатильность  единице b = 1:
dy =
 ?y
?t
+
1 2
?
2
y
?W
2

dt +
?y
?W
?W = (x
0
+ W ) ?W = x ?W,
что совпадает со вторым уравнением системы (
2.45
). В качестве упраж- нения (l H
17
) предлагается решить (
2.45
) при помощи итераций и про- верить (l H
18
) выполнимость (
2.44
).
Таким образом, необходимо помнить, что дифференциалы типа dx не являются обычными малыми приращения функции x(t). Это случай- ные величины. Нельзя под дифференциал как обычно затаскивать
функции: 2xdx 6= d(x
2
)
. Следует также помнить, что дифференциальные стохастические уравнения  это лишь сим- волическая запись непрерывного предела итерационной схемы.
Ни когда не будет лишним проверить полученный результат при помо- щи численного моделирования на компьютере. То, что при этом сложно сделать предельный переход ?t ? 0, не должно останавливать. В конеч- ном счјте, большинство реальных случайных процессов в Природе на определјнном временном масштабе являются дискретными!

76
Глава 2.

Глава 3
Средние значения
Дифференциальное уравнение для случайной функции x(t)  это лишь один из возможных языков описания стохастического процесса. В ситуа- ции, когда система эволюционирует со временем, средние значения так- же изменяются и подчиняются определјнным дифференциальным урав- нениям. Фактически, их решение является наиболее прямым способом получения практически полезных результатов.
Мы начнјм эту главу с вывода динамического уравнения для сред- них. С его помощью будет получено простое выражение для плотности вероятности в ситуации, когда система имеет стационарный режим. За- тем мы подробно проанализируем две стохастические задачи: уравнение
Феллера и логистическое уравнение. В заключение будут рассмотрены метод разложения средних величин в степенной ряд по времени и квази- детерминированное приближение.
77

78
Глава 3.
3.1 Динамическое уравнение для средних
•
Для получения информации о случайном процессе x(t) можно сна- чала решить уравнение Ито, а затем вычислить наблюдаемые характери- стики процесса, которые, в конечном счјте, являются средними между различными величинами. Было бы здорово сразу иметь уравнения для наблюдаемых, исключая первый этап.
Рассмотрим итерационную схему в моменты времени t и t + dt:
x(t + dt) = x + a(x, t) dt + b(x, t) ?
?
dt.
(3.1)
Значение процесса x = x(t) и гауссова величина ? являются двумя неза- висимыми случайными величинами. В результате вычисления (
3.1
) воз- никает новое случайное число x(t+dt). Чтобы найти его среднее значение необходимо проинтегрировать левую часть (
3.1
) с марковской плотно- стью P (x
0
, t
0
? x + dt, t + dt)
. Эквивалентный результат получится при усреднении правой части с P (x
0
, t
0
? x, t) P (?)
, где P (?)  гауссова плот- ность вероятности. Так как x и ? независимы и ? = 0, то усреднение последнего слагаемого в (
3.1
) дајт ноль, поэтому:
x(t + dt) = x(t) + a(x(t), t) dt.
Перенося x(t) влево и разделив обе части на dt, мы приходим к дина- мическому уравнению для среднего:
d x dt
=
?
x = a(x, t) .
(3.2)
Если a(x, t) = ?(t) + ?(t) x, то (
3.2
) имеет ту же форму, что и детерми- нированное уравнение:
?
x = ?(t) + ?(t) x .
Поэтому при любой волатильности b(x, t) среднее значение процесса с ли- нейным по x сносом совпадает с детерминированным решением. Однако в нелинейном случае это не так!
Абсолютно аналогично, усредняя произвольную функцию F = F (x, t),
изменение которой подчиняется лемме Ито (
2.15
), стр.
55
, получаем:
d hF (x, t)i dt
=
 ?F
?t
+ a(x, t)
?F
?x
+
b
2
(x, t)
2
?
2
F
?x
2

(3.3)
Выбирая те или иные функции F (x, t), можно получить множество по- лезных соотношений для средних величин.

Средние значения
79
•
В качестве примера рассмотрим процесс Орнштейна-Уленбека:
dx = ?? · (x ? ?) dt + ? ?W,
решение которого в предыдущей главе мы выразили через гауссову пе- ременную. В данном случае снос является линейным по x, и сразу полу- чается зависимость среднего от времени:
?
hxi = ?? hxi ? ?


=>
hxi = ? + x
0
? ?

e
??t
В качестве начального условия при t
0
= 0
выбрано значение среднего,
равное x
0
. Вообще, если в начальный момент времени x = x
0
, то сред- ние произвольной степени при t
0
= 0
равны hx n
i = x n
0
. Действительно,
средние детерминированных величин равны им самим, а начальная плот- ность вероятности равна дельта - функции: P (x
0
, t
0
? x, t
0
) = ?(x ? x
0
)
В более общем случае можно рассматривать произвольное начальное рас- пределение вероятностей, задавая x n
в момент t
0
= 0
Выбирая теперь F = x
2
, получим уравнение для квадрата:
?
x
2
= ?2? x
2
+ 2?? x + ?
2
Функция x нам известна, и уравнение несложно проинтегрировать:
x
2
= ? + x
0
? ?

e
??t

2
+ ?
2 1 ? e
?2?t

,
где ? = ?/
?
2?
. Откуда волатильность процесса равна:
?
x
(t) = ?
p
1 ? e
?2?t
Если в задаче возможен стационарный режим, то уравнения для сред- них часто позволяют получить асимптотические значения величин. Для этого достаточно положить производную по времени равной нулю. Так,
для процесса Орнштейна - Уленбека, выбирая F = x n
, имеем:
?
x n
= 0
=>
x n
= ? x n?1
+ (n ? 1)?
2
x n?2
Так как среднее единицы равно единице: x
0
= 1 = 1
, из этого урав- нения последовательно находим:
x = ?,
x
2
= ?
2
+ ?
2
,
x
3
= ?
3
+ 3??
2
,
x
4
= ?
4
+ 6?
2
?
2
+ 3?
4
Естественно, этот же результат можно получить и из асимптотического решения, выраженного через гауссову переменную (стр.
60
):
x = ? + ? ?.
Для этого необходимо возвести x в соответствующую степень и усред- нить, с учјтом ?
2n+1
= 0
, ?
2n
= 1 · 3 · 5 · .. · (2n ? 1)
В качестве упражнения предлагается найти среднее для уравнения:
dx = (? + ?x) dt + (? + ?x) ?W
(l H
19
).

80
Глава 3.
•
Из соотношения (
3.3
) несложно получить уравнение, которому удо- влетворяет плотность вероятности P (x) в стационарном режиме. Выбе- рем функцию F (x), не зависящую от времени, и положим производную
F (x) равной нулю. Запишем усреднение в явном виде:
?
Z
??
P (x)

a(x)
?F
?x
+
b
2
(x)
2
?
2
F
?x
2

dx = 0.
Интегрируя по частям первое слагаемое один раз, а второе  два, и счи- тая, что P (x) достаточно быстро убывает на бесконечности, получаем:
?
Z
??

?
?(a P )
?x
+
1 2
?
2
(b
2
P )
?x
2

F (x) dx = 0.
Так как функция F (x) произвольна, то интеграл будет равен нулю, толь- ко если равно нулю выражение в квадратных скобках. В результате по- лучается стационарное уравнение Фоккера - Планка:
?
?x
a(x) P  =
1 2
?
2
?x
2
b
2
(x) P

которое легко интегрируется:
a(x)P =
1 2
?
?x
b
2
(x) P
.
Для диффузных процессов плотность вероятности быстро убывает на бесконечности, так что существуют средние произвольной степени hx m
i
Поэтому, устремив x ? ?, мы получим слева и справа ноль, что подтвер- ждает правильность выбора нулевой константы интегрирования. Таким образом, стационарное уравнение Фоккера - Планка оказывается уравне- нием первого порядка с разделяющимися переменными:
1 2
P
0
(x)
P (x)
=
a(x)
b
2
(x)
?
b
0
(x)
b(x)
,
(3.4)
где штрих у функций  это производная по x. Его решение имеет вид:
P (x) =
C
b
2
(x)
exp

2
Z
a(x)
b
2
(x)
dx

(3.5)
Константа интегрирования C находится из условия нормировки. Выпол- нимость этого условия является критерием возможности стационарно- го решения. Так, для логарифмического блуждания (стр.
58
) со сносом a(x) = µ x и волатильностью b(x) = ? x имеем P (x) ? x
?2+2µ/?
2
. Ни при каком значении параметров эта функция не может быть отнормирована.

Средние значения
81
•
В качестве простого примера стационарного решения уравнения Фок- кера - Планка рассмотрим процесс Орнштейна-Уленбека:
dx = ?? · (x ? ?) dt + ? ?W.
Интегрирование в (
3.5
) приводит к следующей плотности вероятности:
P (x) =
1
?
r
?
?
exp

?
(x ? ?)
2
?
2
/?

,
которая является распределением Гаусса. В терминах случайных вели- чин P (x) можно записать в виде:
x = ? +
?
?
2?
?,
где ? ? N(0, 1)  гауссова переменная с нулевым средним и единичной дисперсией. Аналогично, предлагается найти (l H
20
) асимптотическую плотность вероятности для процесса dx = ?? · (x ? ?) dt + ? x
?
?W
•
Рассмотрим ещј одну задачу:
dx = ?
p
?
2
+ x
2
?W.
Так как снос равен нулю a = 0, то среднее значение не изменяется со временем x = x
0
. Для среднего квадрата имеем:
?
x
2
= ?
2
(?
2
+
x
2
)
=>
x
2
= (?
2
+ x
2 0
) e
?
2
t
? ?
2
Поэтому дисперсия процесса
?
2
x
(t) = (?
2
+ x
2 0
)

e
?
2
t
? 1

в пределе t ? ? стремится к бесконечности. Тем не менее, в этом слу- чае стационарное уравнение Фоккера-Планка приводит к распределению
Коши:
P (x) =
?/?
x
2
+ ?
2
,
к которому действительно приближается плотность вероятности процес- са. В этом случае стационарность несколько патологична. В частности,
не существуют x n
при n > 1.

82
Глава 3.
3.2 Процесс Феллера
•
Рассмотрим стохастическое уравнение следующего вида:
dx = ?? · (x ? ?) dt + ?
?
x ?W.
(3.6)
При ? > 0, ? > 0 снос совпадает с уравнением Орнштейна-Уленбека
[(
2.27
), стр.
60
], но волатильность шума не является постоянной. Благо- даря зависимости от x в стохастическом члене при приближении x(t) к нулю величина шума падает, и детерминированный снос возвращает про- цесс к равновесному уровню. Таким образом, блуждание (при небольших
?)
всегда остајтся в положительной области x > 0. Модель (
3.6
) активно используется в различных финансовых и экономических приложениях.
Например, x может быть процентной ставкой или курсом валют.
Плотность вероятности P (x
0
, t
0
? x, t)
имеет достаточно громоздкий вид (стр.
270
). Однако выражения для средних значений x несложно получить при помощи динамического уравнения (
3.2
):
?
hxi = ?? hxi + ??
=>
hxi = ? + (x
0
? ?)e
??t
В качестве начального условия при t
0
= 0
выбрано значение x
0
= x(0)
Благодаря линейности сноса выражение для среднего совпадает с про- цессом Орнштейна - Уленбека.
Аналогично для среднего квадрата при F = x
2
в (
3.3
) имеем:
?
hx
2
i = ?2?
x
2
+ (2?? + ?
2
) hxi .
Так как функция времени hxi нам известна, это уравнение легко интегри- руется (l H
21
) и приводит к следующей дисперсии ?
2
x
(t) =
x
2
? hxi
2
:
?
2
x
(t) = ??
1 ? e
??t

2
+ 2x
0
?
1 ? e
??t
 e
??t
,
где ? = ?
2
/2?
. Обратим внимание, что, если x  размерная величина
(цена или координата), то ту же размерность имеют параметры ? и ?.
Параметр ? имеет размерность обратного времени (?t  безразмерно).
В отличие от процесса Орнштейна - Уленбека, величина дисперсии зависит от начального значения x
0
, однако она также стремится к кон- станте ?? = ??
2
/2?
при t ? ?. Обратим внимание, что эта константа имеет дополнительный множитель ?.

Средние значения
83
•
При t ? ? процесс имеет стационарный режим, плотность вероят- ности которого находится из уравнения Фоккера-Планка (стр.
80
):
P (x) =
C
b
2
(x)
exp

2
Z
a(x)
b
2
(x)
dx

=
C
?
2
x exp
Z

?
x
? 1

dx
?

Проведя интегрирование, получаем гамма-распределение:
P (x) =
1
??(µ)
 x
?

µ?1
e
?x/?
,
(3.7)
где µ = ?/? и всегда x > 0. В знаменателе нормировочного множителя стоит гамма-функция ?(µ) (см. стр.
313
). Распределение имеет следую- щий график и статистики: