Стохастический мир
 Скачать 2.82 Mb.
|
|
P(x) x x max x hxi = µ?, x max = (µ ? 1)? hx n i = µ · (µ + 1) · .. · (µ + n ? 1) ? n Заметим, что P (0) = 0 только при µ > 1 или ? 2 < 2?? . В качестве упражнения (l H 22 ) предлагается вывести стационарное распределение при помощи уравнения для средних, выбирая F (x) = x n • Найдјм производящую функцию в произвольный момент времени: ?(t, p) = he p x i , hx n i = d n ?(t, p) dp n p=0 Для этого воспользуемся уравнением для средних с F = e px : 1 ? d dt e p x = ? p e p x + ?p 2 ? p xe p x , которое несложно преобразовать в дифференциальное уравнение для функции ? = ?(t, p): 1 ? ?? ?t = ?p ? + ?p 2 ? p ? ? ?p Оно решается (l H 23 ) при помощи метода характеристик (стр. 316 ): ?(t, p) = 1 ? ? p 1 ? e ??t ??/? exp ( x 0 p e ??t 1 ? ?p 1 ? e ??t ) (3.8) с начальным условием ?(0, p) = e p x 0 . Если сделать аналитическое про- должение в комплексную область p ? ?p, то получится характеристиче- ская функция, фурье-интеграл от которой даст P (x 0 , 0 ? x, t) 84 Глава 3. • В предыдущей главе мы видели, что точные решения некоторых стохастических уравнений можно выразить через скалярную гауссову случайную величину ?. Подобного простого представления для процесса Феллера не существует. Однако его можно записать при помощи двух скалярных случайных величин ? и u: x(t) = x 0 e ?? t + q 2x 0 ? e ?? t (1 ? e ?? t ) ? + ? 1 ? e ?? t u, где ? = ? 2 /2? , а ? и u имеют следующую совместную производящую функцию для средних: e k ?+ p u = 1 (1 ? p) ?/? exp k 2 /2 1 ? p (3.9) Действительно, несложно проверить, что: he p x i = D e p (f 1 +f 2 ?+f 3 u) E = 1 (1 ? pf 3 ) ?/? exp p 2 f 2 2 /2 1 ? pf 3 + p f 1 совпадает с производящей функцией ( 3.8 ), если f 2 2 = 2f 1 f 3 , а функции f 1 (t) , f 3 (t) имеют вид: f 1 (t) = x 0 e ??t , f 3 (t) = ? 1 ? e ?? t . По отдельности случайная величина ? имеет распределение Гаусса, а u гамма-распределение. В асимптотическом режиме t ? ?, x(t) ? ? u на случайные свойства процесса оказывает влияние только величина u. • Взятие производных от производящей функции e k ?+ p u по k и p дајт различные средние для случайных величин ? и u: ? 2 = 1, ? 4 = 3, hui = µ, u 2 = µ (1+µ), u 3 = µ(1+µ)(2+µ), и их смешанных произведений: h?ui = 0, ? 2 u = 1 + µ, ?u 2 = 0, ? 2 u 2 = 2 + 3µ + µ 2 , где µ = ?/?. Представление решения через скалярные величины легко позволяет находить различные средние. Так как x = f 1 + f 2 ? + f 3 u , то, например: x 2 = f 2 1 + f 2 2 ? 2 + f 2 3 u 2 + 2f 1 f 3 u = f 2 1 + f 2 2 + µ(1 + µ) f 2 3 + 2µf 1 f 3 , что приводит к известному уже нам выражению для ? 2 x (t) Средние значения 85 • Найдјм совместную плотность вероятности случайных величин ? и u. Для этого при помощи замен p ? ?p, k ? ?k перейдјм от производящей функции к характеристической и выполним фурье-интегрирование: P (?, u) = ? Z ?? e ??k ???p u?k 2 /2(1??p) (1 ? ?p) µ dp dk (2?) 2 Интеграл по k вычисляется при помощи формулы ( 14 ), стр. 312 : P (?, u) = e ?? 2 /2 ? 2? ? Z ?? e ??p (u?? 2 /2) (1 ? ?p) µ dp 2? Интеграл по p соответствует характеристической функции гамма - рас- пределения (стр. 27 ) c x = u ? ? 2 /2 > 0. Поэтому совместная плотность вероятности имеет вид: P (?, u) = u ? ? 2 2 µ?3/2 e ?u ?(µ ? 1/2) ? 2? , u > ? 2 2 (3.10) Если u < ? 2 /2 , то P (?, u) = 0. Этот факт важен, так как ограничивает отрицательные значения ?, не позволяя случайному процессу x(t) стать отрицательным (по крайней мере, при небольших ?). Ниже представлена область ненулевого значения плотности вероятно- сти на плоскости (?, u) (слева), и еј трјхмерная форма (справа): Если распределение P (?, u) проинтегрировать по ? или по u, получаются распределения для каждой случайной величины: P (?) = e ?? 2 /2 ? 2? , P (u) = u µ?1 e ?u ?(µ) , т.е. нормальное и гамма-распределения. Впрочем, этот факт следует из вида производящей функции ( 3.9 ). 86 Глава 3. • Чтобы найти автоковариационную функцию, необходимо воспользо- ваться свойством марковости рассматриваемого процесса. Решение выра- жается через две случайные величины x(t) = f(x 0 , t ? t 0 , ?, u) , поэтому: x t = f (x 0 , t, ? 1 , u 1 ), x t+? = f (x t , ?, ?, u), где ?, u статистически не зависят от ? 1 , u 1 , и, следовательно, от x t . По- этому, умножая x t+? на x t и усредняя, получаем: hx t+? x t i = x 2 t e ??? + ? (1 ? e ??? ) hx t i , где учтено, что x 3/2 t ? = x 3/2 t ? = 0 , так как h?i = 0, и hui = µ = ?/?. Таким образом, автоковариационная функция равна: cov(t, t + ? ) = hx t+? x t i ? hx t+? i hx t i = ? 2 x (t) e ?? ? В асимптотическом пределе больших времјн t ? ? процесс Феллера, как и процесс Орнштейна-Уленбека, является стационарным в широком смысле. Автоковариационная функция зависит только от разницы вре- мјн ? и имеет следующее спектральное представление (стр. 71 ) cov(? ) = ?? 2 2? e ??|? | , S(?) = ?? 2 /? ? 2 + ? 2 От процесса Орнштейна-Уленбека эти величины отличает множитель ?. • Если нам известно решение одного стохастического уравнения, то фактически мы знаем решение целого класса уравнений, которые полу- чаются из исходного при помощи замены переменной по лемме Ито. Например, всегда можно подходящей заменой выбрать произвольную функциональную форму у волатильности. При этом, естественно, изме- нится и снос. В уравнении Феллера волатильность пропорциональна ? x Если сделать замену x ? 2 ? x , мы придјм к уравнению релеевского типа: dx = ? x ? ? 2 x dt + ? ?W, где ? = 2?? ? ? 2 /2 . Аналогично получаются другие уравнения, решение которых сводится к процессу Феллера. Средние значения 87 • Рассмотрим подробнее блуждание с постоянным сносом и волатиль- ностью, имеющей зависимость в виде корня от x: dx = a dt + ? ? x ?W. (3.11) Совершив в уравнении Феллера предельный переход ? ? 0, так, что ?? ? a = const , получаем решение ( 3.11 ) в следующем виде: x(t) = x 0 + ? ? x 0 t ? + ? 2 t 2 u, (3.12) где от сноса a зависит производящая функция для ? и u, а не само ре- шение: e k ?+ p u = 1 (1 ? p) 2a/? 2 exp k 2 /2 1 ? p Параметр µ в производящей функции и совместной плотности вероятно- сти равен 2a/? 2 Среднее значение и дисперсия процесса эволюционируют следующим образом: Ї x(t) = x 0 + a t, ? 2 x (t) = ? 2 x 0 t + a t 2 2 Как и в случае с процессом Феллера, не при любых параметрах возмож- но решение уравнения. Мы считаем процесс действительным, и наличие в волатильности корня делает невозможным уход в отрицательную об- ласть. Однако понятно, что при a < 0 подобная ситуация возможна, если только в точке x = 0 не задать граничных условий, останавливающих или отражающих блуждание. Этими вопросами мы займјмся в следую- щей главе. Сейчас же мы изучаем стохастический процесс без граничных условий, и его собственная динамика должна удерживать x(t) в положи- тельной области значений. Из вида совместной плотности вероятности ( 3.10 ) следует, что µ > 1/2, и, следовательно, a > ? 2 /4 . Таким образом, снос должен быть не толь- ко положительным, но и большим четверти квадрата волатильности. В противном случае стохастический шум может выбить решение в отри- цательные значения. Естественно, аналогичные ограничения существуют и для процесса Феллера. Если ?, ? и x 0 являются положительными величинами, снос уравнения притягивает решение к равновесному уровню x = ?. При малых x волатильность шума уменьшается и динамика сноса поднимает его вверх. Однако так происходит только, если ?? > ? 2 /4 88 Глава 3. 3.3 Логистическое уравнение • Динамика роста в условиях ограниченности ресурсов описывается при помощи логистического уравнения (стр. 10 ). Рассмотрим его стоха- стический аналог с начальным условием x 0 = x(0) : dx = (?x ? ?x 2 ) dt + ? x ?W. Прежде чем приступить к анализу задачи, стоит уменьшить число параметров, проведя скейлинговые замены: t ? t/?, x ? x?/?. В этих переменных уравнение принимает вид: dx = x · (1 ? x) dt + p 2? x ?W, где ? = ? 2 /2? . При масштабировании времени мы воспользовались тем, что ?W = ? ? dt . Таким образом, с точностью до размерных преобразова- ний свойства решения определяются единственным параметром ?. Найдя решение уравнения, мы всегда можем сделать обратное преобразование: t ? ?t, x ? ? ? x, x 0 ? ? ? x 0 В детерминированном случае (? = 0) задача имеет простое решение: dx dt = a(x) = x · (1 ? x) => x(t) = 1 1 ? (1 ? 1/x 0 ) e ?t , В пределе t ? ?, при любом начальном условии x 0 , решение стремится к равновесному значению x = 1. Если в этой точке оно находится с самого начала x 0 = 1 , то решение там и остајтся и не зависит от времени. Качественно это поведение легко понять. Уравнение a(x ? ) = 0 имеет две особые точки x ? = 0 и x ? = 1 . Если разложить a(x) в окрестности особой точки в ряд по отклонениям от неј, то уравнение примет вид: dx dt = a(x) ? a 0 (x ? ) (x ? x ? ) + .. Если a 0 (x ? ) > 0 , то это точка неустойчивого равновесия. Действительно, при x > x ? производная dx/dt будет положительна, и x начнјт увеличи- ваться, удаляясь от x ? . Устойчивое равновесие возможно только, если a 0 (x ? ) < 0 . Поэтому для логистического уравнения единственной устой- чивой точкой является x ? = 1 . Именно к ней, в пределе больших времјн, и стремится решение. Средние значения 89 • В стохастическом случае решение найти не так просто. Для анали- за асимптотических свойств при t ? ? воспользуемся динамическим уравнением для средних ( 3.3 ), стр. 78 , с F = ln x и F = x: ? hln xi = 1 ? hxi ? ? ? hxi = hxi ? x 2 Положив производные по времени равными нулю, получаем: hxi = 1 ? ?, x 2 = hxi , ? 2 x = ? (1 ? ?) . (3.13) Как мы видим, стохастичный шум уменьшает численность популяции, которая в детерминированном случае стремится к 1. Обратим внимание на то, что положительная дисперсия возможна только при ? < 1. Стаци- онарное уравнение Фоккера-Планка приводит к гамма-распределению: P (x) = 1 ??(µ) x ? µ?1 e ?x/? , где µ = (1??)/?. В окрестности максимума x max = (µ?1)/? гамма - рас- пределение можно приближјнно описать гауссианой. Если µ велико, то максимум сдвигается вправо, и его относительная ширина уменьшается. Асимметрия asym = 2/ ? µ и эксцесс excess = 6/µ распределения стре- мятся к нулю при µ ? ?. Плотность P (x) несимметрична (см. стр. 83 ), поэтому характеристикой значений случайной величины может служить как hxi, так и x max • Выберем теперь в динамическом уравнении F = 1/x: ? hx ?1 i = (2? ? 1) x ?1 + 1, (3.14) откуда: x ?1 = 1 x 0 + 1 2? ? 1 e (2??1) t ? 1 2? ? 1 (3.15) Обратная функция нелинейна (1/x 6= 1/x), и это решение не дајт нам возможности найти x(t). Заметим, что y(t) = 1/x(t), в силу леммы Ито, удовлетворяет линейному уравнению: dy = 1 + (2? ? 1)y dt ? p 2? y ?W. Несмотря на особенность в знаменателе ( 3.15 ), при ? = 1/2 решение не обращается в бесконечность. В этом легко убедиться, разложив экспонен- ту в ряд при малых 2? ? 1. В результате предел решения при ? ? 1/2 имеет вид: x ?1 = x ?1 0 + t. Этот результат можно получить сразу из исходного уравнения ( 3.14 ), положив ? = 1/2. 90 Глава 3. • Поведение решения можно исследовать численными методами. Для этого, при помощи итерационной процедуры (стр. 49 ), генерится боль- шое количество выборочных траекторий. По ним находят среднее hxi, волатильности ? x (t) или плотность вероятности P (x 0 , t 0 ? x, t) . Дета- ли реализации подобных вычислений на языке C++ мы рассмотрим в девятой главе, а сейчас приведјм графики поведения среднего и вола- тильности процесса. В качестве начального условия выберем x 0 = 1 . Слева на рисунках представлены средние значения при различных параметрах ? (числа воз- ле линий), а справа волатильности: Если ? < 1, то среднее значение стремится к не нулевому уровню hxi = 1 ? ? . При ? > 1 и среднее, и волатильность стремятся к нулю. Это означает, что при большом стохастическом шуме решение вырождается в константу x = 0. Этот результат качественно отличается от детерми- нированной задачи, где решение всегда стремилось к x = 1. Причина подобного поведения состоит в следующем. Снос уравнения имеет точ- ку устойчивого равновесия x = 1. Она не дајт процессу при блуждании уходить далеко вверх. В результате происходят колебания вокруг равно- весного уровня, в процессе которых, рано или поздно, процесс оказыва- ется в значении x = 0. В этот момент снос и волатильность в уравнении обращаются в ноль, и, несмотря на наличие стохастического члена, даль- нейшее изменение x прекращается, так как dx = 0. Значение x = 0 является точкой неустойчивого равновесия, и малей- шее внешнее возмущение может решение с неј столкнуть, в том числе и в область x < 0. Поэтому, вообще говоря, логистическое уравнение необходимо дополнить граничным условием в x = 0. Если в качестве начального условия выбрать асимптотическое значе- ние x 0 = 1?? , то при небольших ? среднее сначала несколько увеличится, а затем начинает асимптотически приближаться к x = 1 ? ?. Средние значения 91 • Логистическое уравнение имеет устойчивую точку x ? = 1 , при ко- торой решение детерминированного уравнения dx = x(1 ? x) dt пере- стајт изменяться. Для любого стохастического уравнения с небольшой волатильностью также можно изучить поведение решения в окрестности подобной особой точки. Так, в уравнении dx = a(x) dt + b(x) ?W разложим a(x) в ряд в окрестности x ? , где a(x ? ) = 0 , а для b(x) возьмјм нулевое приближение: dx = a 0 (x ? ) (x ? x ? ) dt + b(x ? ) ?W, где штрих производная по x. Если a 0 (x ? ) < 0 , то это ни что иное, как уравнение Орнштейна-Уленбека, имеющее при больших t следующее решение: x(t) ? x ? + b(x ? ) p?2a 0 (x ? ) ?, (3.16) являющееся стационарным гауссовым процессом с средним x ? и вола- тильностью b ? / p?2a 0 ? Для логистического уравнения x ? = 1, a 0 (x ? ) = ?1, b(x ? ) = p 2?, поэтому приближјнное решение в пределе больших времјн t ? ? в соответствии с формулой ( 3.16 ) можно записать в следующем виде: x(t) ? 1 + ? ? ?, (3.17) где ? гауссово случайное число. Асимптотическое значение среднего равно 1, а дисперсия ?. Сравнивая эти значения с точными ( 3.13 ), мы видим, что ( 3.17 ) лишь первое приближение по ?. К тому же, на самом деле, стационарная плотность вероятности для логистического блуждания - это гамма-распределение. Оно стремится к гауссовому только, когда параметр стохастического шума ? мал. Таким образом, использовать решение Орнштейна - Уленбека для нели- нейных уравнений, имеющих детерминированное стационарное решение, можно только в предположении малости стохастического воздействия. Тем не менее, подобный способ изучения поведения решения очень поле- зен, особенно в многомерном случае. 92 Глава 3. 3.4 Ряды для средних по степеням t ? Решение обыкновенного дифференциального уравнения можно пред- ставлять в виде ряда по степеням t. Аналогично будем поступать и в стохастическом случае, однако в ряд разложим непосредственно средние величины. • Для уравнения Ито: dx = a(x, t) dt + b(x, t) ?W возьмјм первую итерацию от начального условия x 0 = x(t 0 ) : x = x 0 + a(x 0 , t 0 ) (t ? t 0 ) + b(x 0 , t 0 ) ? ? t ? t 0 Учитывая ? = 0 и ? 2 = 1 , вычислим, с точностью до линейного приближения по t ? t 0 , среднее значение и среднее квадрата: x = x 0 + a(x 0 , t 0 ) (t ? t 0 ) + ... x 2 = x 2 0 + 2x 0 a(x 0 , t 0 ) + b 2 (x 0 , t 0 ) (t ? t 0 ) + ... Соответственно, дисперсия процесса в этом приближении будет равна ? 2 x (t) = b 2 (x 0 , t 0 ) (t ? t 0 ) + .. . Чтобы получить дальнейшие члены разло- жения, воспользуемся динамическим уравнением для средних. • Для определјнности рассмотрим логистическое уравнение: dx = x · (1 ? x) dt + p 2? x ?W. В этом случае: x = x 0 + x 0 (1 ? x 0 ) t + f t 2 + ... x 2 = x 2 0 + 2 x 2 0 (1 ? x 0 ) + ? x 2 0 t + ... Найдјм коэффициент f. Для этого подставим разложения в уравнение для среднего: ? x = x ? x 2 , ограничившись первым порядком по t: |