Стохастический мир
 Скачать 2.82 Mb.
|
|
r=0% 5 10 15 20 25 30 35 40 130 140 150 160 170 x 0 C r=5% 5 10 15 20 25 30 35 40 130 140 150 160 170 x 0 C r=10% 5 10 15 20 25 30 35 40 130 140 150 160 170 C x 0 Если распределение вероятностей будущей цены W (x) имеет максимум при x = x 0 и достаточно быстро убывает при отклонениях от него, то сильный сдвиг x 0 вправо приводит ( 8.11 ) для премии опциона к выраже- нию C = hxi?x s e ?r t ? x 0 ?x s e ?r t . Поэтому асимптотическая временная стоимость опциона выше его внутренней стоимости x 0 ? x s . При нулевой процентной ставке и очень значительных отклонениях текущей котиров- ки от страйковой временная стоимость опциона равна нулю. Слева от страйка временная стоимость call-опциона всегда стремится к нулю. Цена call-опциона при прочих равных условиях повышается с увели- чением процентной ставки. Для европейского put-опциона, наоборот, ве- личина премии падает при увеличении процентной ставки и может ока- заться ниже его внутренней стоимости: 5 10 15 20 25 30 35 40 130 140 150 160 170 r=0% P x 0 5 10 15 20 25 30 35 40 130 140 150 160 170 r=5% P x 0 5 10 15 20 25 30 35 40 130 140 150 160 170 r=10% P x 0 Важно помнить, что при росте цены x 0 премии call-опционов растут, а премии put-опционов падают, и наоборот; рост процентной ставки увеличивает цену call-опциона и уменьшает put. C: Примечания 367 • C 33 Начальное или конечное условие? (стр. 231 ). Обратим внимание на некоторую лингвистическую особенность термина начальное усло- вие. На самом деле оно не начальное, а конечное, так как время разви- вается от произвольного момента t < t e к финальному t = t e . Однако всегда можно перейти к переменной ? = t e ?t , для которой начальное зна- чение ? = 0 действительно будет начальным условием B(? = 0) = 1 при решении дифференциального уравнения. Переменная ? = t e ? t имеет смысл времени, оставшегося до истечения облигации. По своему смыслу оно уменьшается, стремясь к нулю. 368 Рекомендуемая литература Стохастические дифференциальные уравнения: B Allen E. Modeling with Ito Stochastic Dierential Equation, Springer, (2007). B Henderson D., Plaschko P. Stochastic dierential equations in science and engineering, 2006. Близкая по духу к настоящим лекциям книга, хотя, как и в большинстве других, в основу изложения положены стохастические интегралы. B Mikosch T. Elementary stochastic calculus with nance in View, 1998. Достаточно чјткое, ясное и простое изложение основ стохастических вычислений на базе стохастического интегрирования. B Бородин А., Салминен П. Справочник по броуновскому движению. Факты и формулы, Санкт-Петербург, Лань, (2000). B Гардинер К.В. - Стохастические методы в естественных науках, (1983-ru) 2-е издание - одновременно учебник и монография с очень широким охватом прикладных аспектов теории стохастических про- цессов и ясным изложением их основ. Особенно подробно рассмотре- ны вопросы, связанные с уравнением Фоккера-Планка. B Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процес- сов, (1977) Наука, 2-е издание B Маккин Г. Стохастические интегралы, Мир, Москва (1972) B Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения введение в теорию и приложения, 2003. По праву считается луч- шим учебником, однако требует достаточно высокой математической культуры. 369 370 Математика в целом: B Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным урав- нениям. Наука, Москва, (1976) B Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? (2001-ru) 3-е из- дание - замечательная книга, дающая ряд ответов на поставленный в названии вопрос B Справочник по специальным функциям под ред. Абрамовица М., Стиган И, (1979) чудный справочник почти на все случаи жизни. Теория вероятности: B Феллер Введение в теорию вероятности и еј приложения, в 2-х томах, (1984) Один из лучших учебников по теории вероятности. B Пугачев В.С. - Теория вероятностей и математическая стати- стика, ДНУ, (2002) хоршая книга по математической статистике. B Турчин В.Н. Теория вероятностей и математическая статисти- ка, (2008) Блестящий баланс математической строгости и нагляд- ности. B Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. - Анализ данных на компьютере, (2003), 3-е издание неплохое введение в использование профессиональных программ STADIA и SPSS при проведении статистических исследо- ваний. Финансовые рынки: B Мандельброт Б. Хадсон Р.Л. (Не) послушные рынки. Фракталь- ная революция в финансах (2006-ru), (2004-en) - развлекательная, очень личностная книга от создателя фракталов. Приведено множе- ство исторических фактов о финансистах-теоретиках и, конечно, о самом Мандельброте, самом выдающимся не экономисте. B Уотшем Т.Дж., Паррамоу К. - Количественные методы в финан- сах, 2-тома, (1999-ru), (1996-en) - очень щадящее в математическом плане, тем не менее детальное изложение достаточно сложных во- просов современной теории финансов. Рекомендуемая литература 371 B Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. - Инвестиции, 5-е издание. (2001-ru), (1995-en) - классический учебник по финансам. B Ширяев А.Н. - Основы стохастической финансовой математики, 2-тома, (1998) - великолепное описание современных стохастических подходов к анализу финансов. C++: B Шильд Г. Справочник программиста по C/C++, (2000). B Седжвик Р. Фундаментальные алгоритмы на С++. Множество дискретных алгоритмов с очень лаконичными примерами на C++ 372 Предметный указатель call-put parity, 222 call-put паритет, 222 e cient set, 213 expiry date, 220 feasible set, 213 futures, 205 in-the money, 222 initial ..., 204 intrinsic value, 222 IPO, 204 IV, 222 out-of-the money, 222 set e cient, 213 feasible, 213 strike price, 205 time value, 222 TV, 222 utility, 217 јмкость, 194 американский опцион, 205 арифметическое среднее, 239 асимметрия, 15 ассоциативность, 305 базис, 301 бесконечная делимость, 23 валютный рынок, 204 вариация, 15 вариация функционала, 320 вектор, 300 векторное произведение, 302 вероятность, 14 Гаусса, 16 винеровская переменная, 34 винеровский процесс, 48 внутренняя стоимость опциона, 220, 222 волатильность, 15 волатильность выборочного средне- го, 240 временная стоимость денег, 365 стоимость опциона, 222 выборочное среднее, 239 гамма-распределение, 83 гамма-функция, 313 гармоника, 314 граничные условия, 110 декартова система координат, 301 дериватив, 205 диагональная матрица, 308 диагональный элемент, 304 дисконтирование, 365 дисперсия, 15 диффузия, 49 длина вектора, 300 длинная позиция, 205 достижимое множество, 213 достоверное событие, 14 европейский опцион, 205 373 374 Предметный указатель единичная матрица, 305 инвестиционный портфель, 212 интеграл Гаусса, 312 Римана - Стилтьеса, 130 Фурье, 314 гамма, 313 интегральное распределение, 16 историческая волатильность, 227 итерационная схема, 11, 49 каноническое разложение, 70 касательный портфель, 214 квадратная матрица, 304 ковариационный коэффициент, 212 ковариация, 24 коммутативность, 305 коммутирование матриц, 306 комплексное сопряжение, 162 конденсатор, 194 короткая позиция, 205 корреляция, 24 ложная, 24 коэффициент Шарпа, 214 детерминации, 25 ковариации, 212 кривая доходности, 228 улыбки, 227 лемма Ито, 55 линейная модель, 24 линейно независимые векторы, 301 логарифмическое блуждание, 206 логистическая функция, 10 логистическое уравнение, 10 ложная корреляция, 24 максимум, 318 марковские процессы, 37 марковский процесс, 39 мартингал, 42 массив C++, 237 матрица, 304 диагональная, 308 дисперсий, 167 единичная, 305 квадратная, 304 обратная, 306, 309 симметричная, 310 транспонированная, 305 минимум, 318 множество достижимое, 213 эффективное, 213 модель Коломогорова, 192 Лотка-Вольтерры, 198 хищник-жертва, 198 момент, 15 начальная маржа, 205 начальное размещение акций, 204 независимость, 22 независимые события, 299 немой индекс, 30 неравенство Липшица, 144 несмещенная оценка, 241 несовместные события, 297 неустойчивый узел, 179 нутация, 191 оборонительная акция, 215 обратная матрица, 306, 309 объединение событий, 298 однородная система, 309 определитель матрицы, 308 опцион, 205 Предметный указатель 375 call, 205 put, 205 в деньгах, 222 вне денег, 222 ортогональность, 310 особая точка уравнения, 354 относительная ошибка, 25 пересечение событий, 298 плотность вероятности, 14 совместная, 18 условная, 19 подразумеваемая волатильность, 227 полезность, 217 полная группа, 297 поток вероятности, 111 правило лома, 304 штопора, 302 предельная теорема, 29 прецессия, 191 принцип суперпозиции, 316 произведение векторное, 302 скалярное, 300 смешанное, 302 производящая функция, 26 производящая функция, 16 процесс Феллера, 82 винеровский, 48 марковский, 39 разложение Палея-Винера, 65 размерность пространства, 301 распределение ? 2 , 362 Гаусса, 16 Гаусса n-мерное, 167, 342 Гиббса, 184, 196 гамма, 83 интегральное, 16 логнормальное, 17 нормальное, 16 хи-квадрат, 362 регрессионная прямая, 24 резистор, 194 реинвестирование, 365 рынок акций, 204 валютный, 204 облигаций, 204 ряд Фурье, 314 связь, 318 седло, 179, 318 символ Кронекера, 306 симметричная матрица, 310 система однородная, 309 уравнений, 309 система координат декартова, 301 скаляр, 300 скалярное произведение, 300 след матрицы, 307 случайная величина, 14 функция, 37 случайная функция, 38 случайный процесс дискретный, 38 непрерывный, 38 смешанное произведение, 302 снос, 49 собственное значение, 310 собственные значения, 318 собственный вектор, 310 376 Предметный указатель сопротивление, 194 составное событие, 297 спотовая цена, 205 спотовый инструмент, 205 среднее арифметическое, 239 выборочное, 239 значение, 14 стандартная ошибка, 240 статический массив, 238 стационарное уравнение, 62 стационарное уравнение Фоккера - Планка, 80 стоимость опциона внутренняя, 220, 222 временная, 222 стохастическое уравнение, 13 субмартингал, 45 супермартингал, 45 схема Милстейна, 149 Эйлера, 148 товарные рынки, 204 транспонированная матрица, 305 тренд, 24 узел неустойчивый, 179 устойчивый, 179 уравнение логистическое, 10 плоскости, 303 прямой, 303 распада, 10 роста, 10 стационарное, 62 теплопроводности, 185 характеристическое, 178, 310 уравнения динамики, 11 условие нормировки, 14 ортогональности, 118 условная вероятность, 299 устойчивый узел, 179 факториал числа, 313 финансовый актив, 205 инструмент, 205 фокус, 179 формула Блэка-Шоулза, 224 функционал, 320 функция Дирака, 315 Лагранжа, 319 логистическая, 10 производящая, 26 случайная, 38 характеристическая, 26 фьючерс, 205 фьючерсная цена, 205 характеристическое уравнение, 165, 178, 310 хи-квадрат распределение, 362 цена исполнения, 205 на споте, 205 центр, 179 частота, 14 число степеней свободы, 362 экстремум, 318 эксцесс, 15 элементарное событие, 297 элементы матрицы, 304 эффективное множество, 213 |