Стохастический мир

• Название: Стохастический мир
• Дата: 27.09.2022
• Размер: 2.82 Mb.
• Имя файла: stepanov1.pdf
• Тип: Документы; #700302
• страница: 16 из 20

a
b
a + b
c
2
c
-c
Правило параллелограмма имеет простую физическую интерпретацию.
Если два мышонка тащат кусок сыра в разные стороны и с различными силами a и b, то их общее усилие будет направлено по диагонали a + b.
•
В общем случае набор из n векторов e
1
,...,e n
называют базисом, если они являются полной системой линейно независимых векторов. Линей- ная независимость означает, что ни один из векторов базиса не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов, а полнота гарантирует, что произвольный вектор a = (a
1
, ..., a n
)
может быть разложен по этому базису:
a = a
1
e
1
+ ... + a n
e n
=
n
X
i=1
a i
e i
Размерность пространства равна числу базисных векторов. Векторы базиса, вообще говоря, не обязательно должны быть перпендикулярны друг другу и иметь единичную длину.

302
•
Для трјхмерного пространства (в котором мы живјм) можно ввести ещј одну операцию между векторами, называемую векторным произве- дением. В отличие от скалярного произведения, которое представляет собой число, векторное произведение  это вектор:
a Ч b = (a
2
b
3
? a
3
b
2
, a
3
b
1
? a
1
b
3
, a
1
b
2
? a
2
b
1
) = det
?
?
i j
k a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
?
?
,
где i, j, k  базисные векторы, а det  определитель матрицы (стр.
308
).
Векторное произведение обладает рядом важных свойств, которые мож- но проверить в покомпонентном виде. Прежде всего, оно антисимметрич- но:
a Ч b = ?b Ч a.
Для смешанного произведения справедливо правило нахальства, при котором скалярное произведение выталкивает один вектор из вектор- ного, сдвигая всех вправо:
c · (a Ч b) = (c Ч a) · b.
Наконец, часто используется правило б'ац минус ц'аб, которое нужно произносить с ударением на первую букву Ё
^
:
a Ч (b Ч c) = b (a · c) ? c (a · b).
Длина векторного произведения пропорциональна синусу угла между векторами |a Ч b| = |a||b| sin ?. В частности, если векторы параллельны,
то их векторное произведение равно нулю. Вектор a Ч b перпендикуля- рен плоскости, в которой лежат a и b. Его направление (вверх или вниз)
определяется по правилу штопора. Если от вектора a к вектору b вкру- чивать штопор, то его направление движения будет указывать в сторону a Ч b
b
a
a b
a
c
b
a
b
|a b|
Векторное произведение имеет простой геометрический смысл и по модулю равно площади параллелограмма, образованного векторами a и b
. Соответственно, смешанное произведение c · (a Ч b) по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c.

M: Математические приложения
303
•
При помощи векторов можно описывать различные геометрические объекты в пространстве. Так, параметрическое уравнение прямой имеет вид:
r = r
0
+ nt
,
n
tn
r
0
r
,
где вектор n направлен вдоль прямой, а r
0
 некоторая точка, лежащая на ней. Действительно, пусть вектор r выходит из начала координат (кру- жок на схеме) в направлении произвольной точки на прямой, положение которой нас интересует. Радиус-вектор r
0
направлен в фиксированную точку, через которую проходит прямая. Прямая полностью задајтся этой точкой и направлением n. Всегда можно подобрать такой скалярный па- раметр t, чтобы вектор tn оказался в точности между точками r и r
0
. Из геометрического сложения этих векторов и получается параметрическое уравнение прямой. Его также можно переписать в явном координатном виде:
x ? x
0
n x
=
y ? y
0
n y
=
z ? z
0
n z
= t,
где x, y, z  компоненты вектора r (координаты точки на прямой).
Плоскость задајтся при помощи фиксированной точки r
0
, через ко- торую она проходит, и перпендикулярного к ней вектора n. Разница вектора к произвольной точке на плоскости r и r
0
лежит в этой плоско- сти, поэтому перпендикулярна к n. Следовательно, уравнение плоскости можно представить следующим образом:
(r ? r
0
) · n = 0,
n
r-r
0
r
r
0
Соответственно, уравнение плоскости в координатном виде может быть записано, как x n x
+ y n y
+ z n z
= d,
где d = r
0
n
Сфера радиуса R  это множество точек, равноудалјнных от центра:
(r ? r
0
)
2
= R
2
,
r
0
r
r-r
0
Еј уравнение в векторных обозначениях задајтся числом R и вектором положения центра окружности r
0

304
III Тензорная и матричная алгебра
Матрица  это набор чисел, упорядоченных в виде прямоугольной таблицы. Компоненты вектора имеют только один индекс a i
, тогда как у матрицы их два: a ij
Рассмотрим квадратную матрицу A:
A =
?
?
?
?
?
a
11
a
12
. . . a
1n a
21
a
22
. . . a
2n a
n1
a n2
. . . a nn
?
?
?
?
?
Заметим, что первый индекс чисел a ij увеличивается при переходе к сле- дующей строке, а второй  к следующему столбцу. Числа a ij называют элементами матрицы, а числа, имеющие одинаковые значения индексов a
ii
, - диагональными элементами.
Как и в случае с векторами, матрицы можно поэлементно складывать и умножать на число:
C = ? A + ? B
=>
c ij
= ? a ij
+ ? b ij
Кроме этого, вводится операция умножения матриц друг на друга, в результате которой опять получается матрица. Для матриц A и B с эле- ментами a ij и b ij матрица C, равная их произведению, имеет элементы:
c ij
=
n
X
k=1
a ik b
kj
(7)
В табличной форме умножение матриц можно представить в виде пра- вила лома. Чтобы получить c ij
, необходимо взять i-ю строку матрицы
A
(лом) и пробить им дыру в стенке из j-го столбика матрицы B:
C = A · B =
?
?
?
?
?
a
11
a
12
. . . a
1n a
21
a
22
. . . a
2n a
n1
a n2
. . . a nn
?
?
?
?
?
·
?
?
?
?
?
b
11
b
12
. . . b
1n b
21
b
22
. . . b
2n b
n1
b n2
. . . b nn
?
?
?
?
?
После этого на месте дыры в матрице C записать сумму произведений элементов лома и стенки: c ij
= a i1
b
1j
+ a i2
b
2j
+ ... + a in b
nj

M: Математические приложения
305
•
Из определения (
7
) видно, что при перемножении матриц их можно группировать произвольным образом (умножение ассоциативно):
(A · B) · C = A · (B · C),
но нельзя переставлять местами (умножение не коммутативно):
A · B 6= B · A.
Т.е. всј с точностью до наоборот по сравнению со скалярным умножени- ем векторов! Необходимо помнить, что произведение матриц не является обычным арифметическим умножением. Это сокращение для достаточно специфического способа вычисления (
7
) элементов c ij из a ij и b ij
•
Из матрицы A можно получить новую, транспонированную матрицу
A
T
, в которой столбцы и строчки переставлены местами:
A
T
=
?
?
?
?
?
a
11
a
21
. . . a n1
a
12
a
22
. . . a n2
a
1n a
2n
. . . a nn
?
?
?
?
?
Таким образом, если элементы матрицы A равны a ij
, то в транспониро- ванной матрице A
T
они будут получены перестановкой индексов: a
T
ij
=
a ji
. Матрица, которая не меняется при транспонировании a ij
= a ji
, на- зывается симметричной. Такой тип матриц встречается в финансах и экономике очень часто.
•
Особое значение имеет единичная матрица, в которой все элементы равны нулю, за исключением диагональных, равных единице. Так, для n = 3
имеем:
1 =
?
?
1 0 0 0 1 0 0 0 1
?
?
Умножение единичной матрицы на любую A не меняет эту матрицу:
1 · A = A · 1 = A.
Заметим, что единичная матрица может быть переставлена местами с любой матрицей. Это легко проверить напрямую, умножая произволь- ную матрицу на единичную слева или справа. Вообще говорят, что две матрицы коммутируют, если результат их умножения не зависит от их порядка. Еще раз подчеркнјм, что в общем случае это не так, и за порядком произведения матриц необходимо внимательно следить.

306
•
Для элементов единичной матрицы существует специальное обозна- чение, придуманное Кронекером:
?
ij
=
 1
i = j
0
i 6= j.
Символ ?
ij
съедает сумму, в которой участвует, и после этого гибнет,
заменяя везде суммационный индекс на свой второй:
n
X
j=1
?
ij a
j
= a i
Действительно, в сумме по j окажутся равными нулю все слагаемые, за исключением случая, когда j = i. На месте символа a j
может стоять любая матрица a jp или тензорные выражения типа a jpq
•
Матрица A имеет обратную матрицу A
?1
, если выполняется сле- дующее уравнение:
A
?1
· A = A · A
?1
= 1.
Обратная матрица A
?1
при перемножении может быть переставлена ме- стами с A, следовательно, они коммутируют друг с другом. Действи- тельно, будем считать, что A · A
?1
= 1
. Докажем выражение для пере- ставленных матриц A
?1
· A = 1
. Умножим его слева на матрицу A:
A · A
?1
· A = A · 1 = A
=>
(A · A
?1
) · A = 1 · A = A.
Так как умножение единичной матрицы на любую матрицу дајт еј же,
мы приходим к тождеству. Другое важное тождество:
(A · B)
?1
= B
?1
· A
?1
,
проверяется умножением слева или справа на A · B.
•
В матричных обозначениях можно записать и вектор w, предста- вив его в виде столбика из n чисел. При умножении матрицы на вектор получается другой вектор, равный:
w
0
i
=
n
X
k=1
a ik w
k
,
?
?
w
0 1
w
0
n
?
?
=
?
?
a
11
. . . a
1n a
n1
. . . a nn
?
?
·
?
?
w
1
w n
?
?
Обратим внимание, что правило лома действует и в этом случае, только стенкой является единственный столбик вектора w.
Удобно и для вектора вводить также понятие транспонирования, при котором столбик превращается в строчку: w
T
= w
1
. . . w n

M: Математические приложения
307
•
Транспонированные векторы позволяют компактно записывать квад- ратичные формы:
n
X
i,j=1
w i
a ij w
j
=
w
1
. . . w n

·
?
?
a
11
. . . a
1n a
n1
. . . a nn
?
?
·
?
?
w
1
w n
?
?
= w
T
· A · w.
Умножение строки на матрицу выполняется по тому же правилу лома,
только лом теперь является единственной строкой. Квадратичная форма
 это число, и еј можно вычислять в любом порядке:
w
T
· A · w = (w
T
· A) · w = w
T
· (A · w).
Квадратичная форма не изменяется при перестановке w i
и w j
, поэтому матрица a ij является симметричной: a ij
= a ji
. Точнее, любую матрицу m
ij можно представить в виде суммы симметричной a ij
= (m ij
+ m ji
)/2
и антисимметричной матриц b ij
= (m ij
? m ji
)/2
, так что:
m ij
= a ij
+ b ij
В квадратичной форме антисимметричная b ij
= ?b ji составляющая про- извольной матрицы сокращается.
•
Функция от матрицы понимается в смысле степенного ряда. Напри- мер, экспонента  это сокращјнная запись бесконечного ряда:
e
A
= 1 +
A
1!
+
A
2 2!
+ ...
Интеграл от матричной экспоненты можно вычислить следующим обра- зом:
t
Z
0
e
A?
d? =
?
X
k=0
t
Z
0
A
k
?
k k!
d? =
?
X
k=0
A
k t
k+1
(k + 1)!
= A
?1
·
e
At
? 1
 ,
где A
?1
 обратная к A матрица, а A
0
= 1
 единичная.
•
Важной характеристикой матрицы является сумма еј диагональных элементов:
Tr A = a
11
+ a
22
+ ... + a nn
Это число называют следом матрицы и обозначают при помощи символа
Tr или Sp.

308
IV Определители и собственные значения
•
Для квадратной матрицы размером 2x2 введјм число, которое назы- вается определителем матрицы:
det A = det
a
11
a
12
a
21
a
22

= a
11
a
22
? a
12
a
21
Для вычисления определителя det A необходимо взять произведение эле- ментов матрицы крест  накрест и вычесть их друг из друга. В каче- стве упражнения стоит проверить, что определитель произведения лю- бых двух матриц равен произведению определителей каждой из них:
det(A · B) = det A · det B.
(8)
Это очень любопытное свойство. Умножение матриц является специфи- ческой процедурой (правило лома). Поэтому существование для каж- дой матрицы числа, удовлетворяющего обычному арифметическому пра- вилу перемножения (
8
), является достаточно неожиданным.
Определитель с тем же свойством можно ввести и для матрицы 3x3:
det A = a
11
det
a
22
a
23
a
32
a
33

? a
12
det
a
21
a
23
a
31
a
33

+ a
13
det
a
21
a
22
a
31
a
32

Чтобы его вычислить, необходимо взять элементы первой строки и для каждого из них вычеркнуть из матрицы строку и столбец, в котором этот элемент стоял. Затем найти определитель получившейся матрицы
2x2 и умножить его на этот элемент. Все такие произведения необходи- мо сложить со знаком плюс, если сумма номера строки и столбика, в котором стоит элемент, чјтная, и со знаком минус, если нечјтная.
Это определение можно распространить на матрицу произвольной раз- мерности, вычисляя еј определитель рекуррентным образом, сводя его к сумме (разности) определителей матриц с размерностью на единицу меньше. Определитель матрицы 2x2 тоже вычисляется по этому прави- лу, если считать, что определитель матрицы 1x1 равен еј элементу.
Понятно, что для любой диагональной матрицы определитель равен произведению диагональных элементов:
det
?
?
a
1 0
0 0
a
2 0
0 0
?
?
= a
1
· a
2
· ...
Произведение двух диагональных матриц снова дајт диагональную. По- нятно, что при этом выполняется правило (
8
).

M: Математические приложения
309
•
Определители обладают рядом полезных для их вычисления свойств:
B Транспонирование не изменяет определителя det A
T
= det A
B Перестановка двух строк или столбцов меняет знак определителя.
B Определитель не изменится, если к любой строке поэлементно при- бавить другую строку, умноженную на произвольное число ?. То же и для столбцов.
•
В различных задачах часто возникают системы линейных уравне- ний относительно n неизвестных:
?
?
?
?
?
a
11
a
12
. . . a
1n a
21
a
22
. . . a
2n a
n1
a n2
. . . a nn
?
?
?
?
?
·
?
?
?
?
?
x
1
x
2
x n
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
b
1
b
2
b n
?
?
?
?
?
Эту систему можно переписать в матричных обозначениях и даже сразу получить еј матричное решение (умножив слева на A
?1
):
A · x = b
=>
x = A
?1
· b.
Естественно, для реального решения необходимо уметь находить обрат- ную матрицу A
?1
к исходной матрице системы A. Решения системы можно выразить при помощи формул Краммера:
x i
=
?
i
?
,
где ? = det A  определитель матрицы A, а ?
i
 определители матриц,
полученных из A в результате замены i-го столбика на столбик b.
Если правая часть системы уравнений равна нулю: A · x = 0, то ре- шение, отличное от нуля, существует только в случае, если det A = 0.
Такая система уравнений называется однородной.
•
Определители позволяют находить обратную матрицу. Для этого необходимо каждый элемент исходной матрицы заменить на определи- тель матрицы, полученной вычјркиванием строки и столбца, на пересе- чении которых он стоит. Затем умножить его на -1, если сумма номера столбика и строки нечјтная. После этого каждый элемент получившейся матрицы делят на определитель исходной и транспонируют.
Пример: Найти обратную матрицу:
A =
?
?
2 1 0 6 4 2 1 0 0
?
?
,
A
?1
=
1 2
?
?
0 2
?4 0
0 1
2 ?4 2
?
?
T
=
?
?
0 0
1 1
0
?2
?2 0.5 1
?
?

310
•
Для матрицы A решим систему линейных уравнений вида:
A · u = ? u,
(9)
где ?  некоторое число, называемое собственным значением матрицы,
а u
T
= (u
1
, ..., u n
)
 соответствующий ему собственный вектор.
Уравнение (
9
)  это система однородных уравнений с нулевой правой частью: (A ? ?1) · u = 0. Она имеет отличное от нуля решение, только если еј определитель равен нулю:
det
?
?
?
?
?
a
11
? ?
a
12
a
1n a
21
a
22
? ? . . .
a
2n a
n1
a n2
. . . a nn
? ?
?
?
?
?
?
= 0.
В результате получается характеристическое уравнение n-й степени от- носительно ?, имеющее, вообще говоря, n решений: ?
1
,?
2
,...,?
n
Для каждого собственного значения ?
?
после решения (
9
) получается соответствующий ему собственный вектор u
(?)
= (u
(?)
1
, ..., u
(?)
n
)
. Верхний индекс  это номер собственного вектора, а не его компонента!
•
Важный для приложений случай  действительные симметричные матрицы, для которых A
T
= A
или a ij
= a ji
. Собственные значения дей- ствительной симметричной матрицы всегда действительны, а собствен- ные векторы  ортогональны. Ортогональность означает, что скалярное произведение различных собственных векторов равно нулю:
u
(?)
u
(?)
=
n
X
i=1
u
(?)
i u
(?)
i
= ?
??
(10)
Так как уравнения (
9
) линейны, собственный вектор всегда можно умно- жить на константу, выбрав еј таким образом, чтобы он стал единичным.
Пример: Найти собственные значения и вектора для матрицы A:
A =
1 2
2 ?2

=>
det