Стохастический мир
 Скачать 2.82 Mb.
|
|
P (x) ? ? ? ? x ??1 exp ??x ? = 1/2, x ?2? exp ??x 2?2? /(2 ? 2?) + ?x 1?2? /(1 ? 2?) ? 6= 1/2, 1 x ?2?? exp ??/x ? = 1. При ? = 1 всегда P (0) = 0, и нормировочный интеграл имеет конечное значение, хотя подынтегральная функция убывает достаточно медленно. 332 • H 21 Процесс Феллера. Ищем решение уравнения для x 2 в виде x 2 = A(t) e ?2?t . Для функ- ции A(t) получаем уравнение: ? A = (2?? + ? 2 ) ?e 2?t + (x ? ?)e ?t . Учитывая начальное условие x 2 = x 2 0 при t 0 = 0 , получаем: x 2 = x 2 0 e ?2?t + (2?? + ? 2 ) ? 2? 1 ? e ?2?t + x 0 ? ? ? e ??t ? e ?2?t Теперь несложно найти дисперсию. • H 22 Стационарное распределение для уравнения Феллера. Выбирая в динамическом уравнении для средних ( 3.2 ), стр. 78 , функ- цию F = x n , получаем систему уравнений с n = 1, 2, ...: ? hx n i = ?n? hx n i + n?? x n?1 + n(n ? 1) 2 ? 2 x n?1 В асимптотическом пределе t ? ? производная по времени от hx n i равна нулю, поэтому: hx n i = ?(µ ? 1 + n) x n?1 , где ? = ? 2 /2? , µ = ?/?. Пусть f(x) = f 0 + f 1 x + f 2 x 2 + .. произвольная функция. Используя соотношения для средних, можно записать: hf (x)i = ?(µ ? 1) hf (x)/xi + ? hf 0 (x)i . Среднее это интеграл с плотностью вероятности. Поэтому: ? Z 0 f (x) ? ? µ ? 1 x f (x) ? ?f 0 (x) P (x) dx = 0. Пределы интегрирования выбраны в соответствии с положительностью x . Если волатильность ? невелика и ? > 0, ? > 0, снос ?? · (x ? ?) не будет подпускать x к нулю, где динамика квазидетерминирована. Поэтому положим в качестве граничных условий для плотности вероят- ности P (0) = 0, P (?) = 0. Интегрируя по частям последнее слагаемое под интегралом и требуя в силу произвольности f(x), чтобы множитель при ней был равен нулю, получаем: P 0 (x) P (x) = µ ? 1 x ? 1 ? => P (x) = (x/?) µ?1 ??(µ) e ?x/? H: Помощь 333 • H 23 Решение уравнения для производящей функции. Уравнение 1 ? ?? ?t + p ? ?p 2 ? ? ?p = ?p ? необходимо сделать однородным при помощи замены ? = e ? . В резуль- тате оно оказывается эквивалентным системе обыкновенных дифферен- циальных уравнений: ?dt 1 = dp p ? ?p 2 = d ln ? ?p Их решения имеют вид: p e ?t 1 ? ?p = C 1 , ln ? + ? ? ln (1 ? ? p) = C 2 , где C 1 и C 2 константы интегрирования. Общее решение записывается в виде произвольной функции ?(C 1 , C 2 ) = C , равной константе. Выражая из неј ?, перепишем решение в виде: ?(t, p) = (1 ? ? p) ??/? ? p e ??t 1 ? ?p Определим функцию ?(z) при помощи начального условия ?(0, p) = e p x 0 (среднее при t 0 = 0 равно x 0 = x(0) ): ? p 1 ? ?p = (1 ? ? p) ?/? e p x 0 Вводя z = p/(1 ? ?p), несложно получить: ?(z) = (1 + ?z) ??/? exp zx 0 1 + ?z Поэтому окончательное решение имеет вид: ?(t, p) = 1 ? ? p 1 ? e ??t ??/? exp ( x 0 p e ??t 1 ? ?p 1 ? e ??t ) Видно, что ?(0, p) = e p x 0 . Кроме этого, ?(t, 0) = 1. Это следует из пред- ставления ?(t, p) в виде среднего ?(t, p) = e p x 334 • H 24 Марковость гауссовой плотности. При подстановке гауссовых плотностей вероятности в уравнение Чеп- мена - Колмогорова в показателе экспоненты возникнут слагаемые сле- дующего вида: (x 1 ? x 0 ) 2 t 1 ? t 0 + (x ? x 1 ) 2 t ? t 1 Раскрывая скобки и собирая члены с x 1 , несложно выделить полный квадрат, содержащий x 1 . В результате получим: t ? t 0 (t 1 ? t 0 )(t ? t 1 ) x 1 ? x 0 · (t ? t 1 ) + x · (t 1 ? t 0 ) t ? t 0 2 + (x ? x 0 ) 2 t ? t 0 Интегрирование по x 1 сводится к обычному гауссовому интегралу, и опять получается условная вероятность, зависящая только от x 0 , t 0 и x, t • H 25 Марковость распределения Коши. Пусть P (x 0 , t 0 ? x, t) = P (x ? x 0 , t ? t 0 ) = ? Z ?? e ik(x?x 0 ) ?(k, t ? t 0 ) dk 2? Умножим уравнение Чепмена - Колмогорова ( 4.5 ), стр. 103 , на e ?ik(x 3 ?x 1 ) и проинтегрируем по x 3 : ?(k, t 3 ?t 1 ) = ? Z ?? e ?ik(x 2 ?x 1 ) P (x 2 ?x 1 , t 2 ?t 1 ) e ?ik(x 3 ?x 2 ) P (x 3 ?x 2 , t 3 ?t 2 )dx 2 dx 3 , откуда: ?(k, t 3 ? t 1 ) = ?(k, t 3 ? t 2 ) ?(k, t 2 ? t 1 ). Теперь, воспользовавшись характеристической функцией распределения Коши (стр. 26 ), несложно проверить, что оно удовлетворяет уравнению Чепмена-Колмогорова. H: Помощь 335 • H 26 Решение уравнение Фоккера-Планка для dx = f(t)dt + s(t)?W . Уравнение Фоккера - Планка имеет вид: ?P ?t + f (t) ?P ?x ? s 2 (t) 2 ? 2 P ?x 2 = 0. Представим P (x, t) в виде фурье-интеграла. Для функции ?(k, t) имеем уравнение: ??(k, t) ?t ? i k f (t) ?(k, t) + s 2 (t) 2 k 2 ?(k, t) = 0. Разделим переменные: d? ? = ? k f (t) ? s 2 (t) 2 k 2 dt. Проинтегрировав, получаем: ?(k, t) = exp ? ? ? ? k x 0 + ik t Z t 0 f (? )d? ? k 2 2 t Z t 0 s 2 (? )d? ? ? ? Сравнивая ?(k, t) с характеристической функцией на стр. 26 , мы видим, что результирующее распределение P (x, t) является гауссовым с соответ- ствующими средним и волатильностью, зависящими от времени. Этот результат мы уже получали итерационными методами ( 2.18 ) на стр. 56 • H 27 Время достижения границ при винеровском блуждании. µT 0 + ? 2 2 T 00 = ?1 => µT + ? 2 2 T 0 = A ? x 0 , где A некоторая константа. Решаем сперва однородное уравнение с нулевой правой частью, и ищем решение в виде T (x 0 ) = C(x 0 )e ?2µx 0 /? 2 В результате: T (x 0 ) = ? 2 2µ 2 + A ? x 0 µ + Be ?2µx 0 /? 2 = A 0 ? 1 µ x 0 + Be ?2µx 0 /? 2 , где B ещј одна константа интегрирования. Пусть поглощающие гра- ницы находятся в точках x = 0, L. Тогда граничные условия T (0) = T (L) = 0 приводят к: T (x 0 ) = L µ e ?2µx 0 /? 2 ? 1 e ?2µL/? 2 ? 1 ? x 0 µ Предел больших L необходимо отдельно рассматривать для случая µ > 0 и µ < 0. В частности, если снос направлен к началу координат, то среднее время конечно T = x 0 /|µ| 336 • H 28 Уравнение Фоккера - Планка процесса Орнштейна - Уленбека. Для сокращения формул проделаем сдвиг переменной x ? x ? ?. В конечном решении мы сделаем обратный сдвиг. Дифференциальное урав- нение Фоккера-Планка имеет вид: ?P ?t = ? ?(x P ) ?x + ? 2 2 ? 2 P ?x 2 (30) Перейдјм от условной вероятности P (x, t) к характеристической функ- ции ?(s, t): ?(x, t) = ? Z ?? e isx P (x, t) dx. Умножим уравнение ( 30 ) на e isx и проинтегрируем от минус до плюс бесконечности: ?? ?t = ? ? Z ?? e isx ?(x P ) ?x dx + ? 2 2 ? Z ?? e isx ? 2 P ?x 2 dx. Так как функция P (x, t) на границах интегрирования (±?) равна нулю, мы можем проинтегрировать по частям один раз первый интеграл и два раза второй: ?? ?t = ?is ? ? Z ?? e isx x P dx ? ? 2 s 2 2 ? Z ?? e isx P dx. Интеграл в последнем слагаемом в правой части равен ?, а в первом производной ? по s, которая опускает вниз из экспоненты требуемый множитель x. В результате функция ?(s, t) удовлетворяет следующему уравнению: ?? ?t + ?s ?? ?s = ? ? 2 s 2 2 ?. (31) Это дифференциальное уравнение первого порядка решается при помо- щи метода характеристик (см. Приложение М, стр. 316 ). Для этого сде- лаем замену ? = e w . Так как d? = e w dw , или dw = d?/?, несложно получить соответствующие уравнения: dt = ds ?s , d? ? = ? ? 2 2? s ds для характеристик. H: Помощь 337 Их решения сводятся к табличным производным и имеют вид: s = C 1 e ?t , ? = C 2 e ?? 2 s 2 /4? , где C 1 и C 2 произвольные константы. Общим интегралом этой системы уравнений будет произвольная функция: F (C 1 , C 2 ) = F s e ??t , ? e ? 2 s 2 /4? = C = const, которую можно разрешить относительно ?, введя произвольную функ- цию f. В результате решение можно записать в виде: ?(s, t) = e ?? 2 s 2 /4? f s e ??t . Начальное условие, в силу интегрального представления ? - функ- ции Дирака ( 20 , стр. 315 ), приводит к характеристической функции: ?(s, t 0 ) = e ix 0 s в момент времени t 0 . Поэтому, обозначая z = s e ??t 0 , можно найти функцию f: e ix 0 s = e ? ?2s2 4? f s e ??t 0 => f (z) = exp ? 2 z 2 e 2?t 0 4? + ix 0 z e ?t 0 Окончательно фурье-образ плотности вероятности равен: ?(s, t) = exp ? ? 2 s 2 4? 1 ? e ?2?·(t?t 0 ) + ix 0 s e ??·(t?t 0 ) Его интегрирование с e ?isx /2? для восстановления условной вероятности P приводит к гауссовому распределению с соответствущими дисперсия- ми и средним. P (x 0 , t 0 ? x, t) = 1 p2? D(t, t 0 ) exp ( ? 1 2 x ? Ї x(t, t 0 ) 2 D(t, t 0 ) ) , где: Ї x(t, t 0 ) = ? + x 0 ? ? e ??(t?t 0 ) , D(t, t 0 ) = ? 2 2? 1 ? e ?2?·(t?t 0 ) Стоит обратить внимание, что прямое решение соответствущего диф- ференциального уравнения Ито для процесса Орнштейна-Уленбека вы- глядит существенно проще, чем решение уравнения Фоккера-Планка. Тем не менее, совпадение результатов должно нас радовать Ё ^ 338 • H 29 Уравнения осциллятора с учјтом корреляции. dx = ?? x ? ? y + ? ?W x dy = +? x ? ? y + ?? ?W x + ? p 1 ? ? 2 ?W y В стохастической части проведено перемешивание винеровских перемен- ных ?W x = ? x ? t и ?W y = ? y ? t с коэффициентом ? для возникновения корреляции. Сами гауссовые переменные ? x и ? y по-прежнему считаем независимыми. Для получения матрицы b мы взяли диагональную мат- рицу скоррелированных величин и умножили еј на ( 1.37 ), стр. 33 : b = ? 0 0 ? · 1 0 ? p 1 ? ? 2 = ? 0 ?? ? p 1 ? ? 2 • H 30 Асимптотическое решение для средних осциллятора. В уравнениях ( 6.17 ), стр. 159 , последовательно положим µ = ? = 1, µ = ? = 2 и µ = 1, ? = 2. В результате получается следующая система: ? ? ? ? ? ? x 2 = ?2? x 2 ? 2? xy + ? 2 ? y 2 = ?2? y 2 + 2? xy + ? 2 ? xy = ?2? xy + ? · (x 2 ? y 2 ) + ?? 2 Когда средние перестают изменяться, их производная становится равной нулю: ? ? ? ?2? x 2 ? 2? xy + ? 2 = 0 ?2? y 2 + 2? xy + ? 2 = 0 ?2? xy + ? · (x 2 ? y 2 ) + ?? 2 = 0. Еј решением являются следующие асимптотические значения средних: xy ? 1 2 ?? 2 ? ? 2 + ? 2 , x 2 ? ? 2 2? ? 1 2 ?? 2 ? ? 2 + ? 2 , y 2 ? ? 2 2? + 1 2 ?? 2 ? ? 2 + ? 2 • H 31 Средние моменты для осциллятора. Средние значения квадрат координат равны: x 2 (t) = x 2 (t) + ? 2 2? 1 ? e ?2?t , y 2 (t) = y 2 (t) + ? 2 2? 1 ? e ?2?t . Для смешанного среднего: xy(t) = x(t) y(t). Проверка уравнений для средних проводится прямой подстановкой в (l H 30 ) при ? = 0, с использованием уравнений ?x = ??x??y, ?y = ??y+?x. H: Помощь 339 • H 32 Комплексная ковариация для затухающего осциллятора. Вычислим комплексную ковариационную функцию hz t z ? t+? i , равную следующей комбинации: hx t x t+? i ? hy t y t+? i + i(hx t y t+? i ? hy t x t+? i) . За- пишем: z t+? = z t e ??? +i?? + ? ? 2? p 1 ? e ?2?? ?. Так как h?z t i = h?i hz t i = 0 , получаем: hz t z ? t+? i = |z t | 2 e ??? ?i?? = |z t | 2 e ??? (cos ?? ? i sin ?? ). Автоковариация является периодической функцией. Это приводит к то- му, что в системе возникают квазипериодические колебания с плаваю- щей частотой. 340 • H 33 Матрица с A 12 = A 22 = 0 Прямыми вычислениями проверяем: A = ? 0 ? 0 => A m = ? m?1 A. Поэтому: e At = 1 + At + ?At 2 2! + ? 2 At 3 3! + .. = 1 + 1 ? A ?t + (?t) 2 2! + (?t) 3 3! + ... , или окончательно: e At = 1 + e ?t ? 1 ? A. Таким образом, бесконечный ряд, которым является формальная мат- ричная запись e At , пропорционален первой степени матрицы. Вычисление при помощи собственных значений выглядит следующим образом: det ? ? a 0 ? ?a = a · (a ? ?) = 0. Поэтому имеется два собственных значения a 1 = 0 и a 2 = ? . Уравнения на собственные функции приводят к следующим решениям: u (1) = 0 1 , u (2) = ? ? Запишем начальное условие: µ 1 0 1 + µ 2 ? ? = x 0 y 0 откуда µ 2 = x 0 /? , µ 1 = y 0 ? x 0 ?/? . Поэтому: x = x y = y 0 ? ? x 0 ? ? 0 1 + x 0 e ?t ? ? ? Теперь можно записать: e At ij = ?x i ?x 0j = e ?t 0 (e ?t ? 1)?/? 1 , что совпадает с полученным выше прямым разложением экспоненты. H: Помощь 341 • H 34 Двухмерный осциллятор из собственных значений. Характеристическое уравнение приводит к двум различным собствен- ным значениям: det ?? ? a ?? ? ?? ? a = 0, => a = ?? ± i?. Решаем теперь уравнение на собственные функции. Например, для пер- вого собственного значения: ?? ?? ? ?? · u 1 u 2 = ??u 1 ? ?u 2 ?u 1 ? ?u 2 = (?? + i?) u 1 u 2 Откуда u 2 = ?i u 1 . Аналогично поступаем со вторым собственным зна- чением. В результате собственные векторы имеют вид: u (1) = 1 ? 2 1 ?i , u (2) = 1 ? 2 1 i Произвольные множители при векторах выбраны таким образом, чтобы выполнялось условие нормировки u · u ? = 1 . Хотя матрица A не являет- ся симметричной, легко видеть, что собственные вектора ортогональны, поэтому: e At = 2 X k=1 u (k) ? u ?(k) ? e a k t = 1 2 1 i ?i 1 e ??t+i?t + 1 2 1 ?i i 1 e ??t?i?t Воспользовавшись формулой Эйлера e i?t = cos(?t) + i sin(?t) , получаем уже известное нам представление: e At = e ??t cos ?t ? sin ?t sin ?t cos ?t Откуда несложно получить среднее значение ( 6.22 ) со стр. 164 . Найдјм теперь матрицу S. Так как B диагональна, то BB T = 1? 2 S · S T = 1 ? 2 t Z 0 e 2?? d? => S = 1 ? ? 2? p e 2?t ? 1 (матрица A T получается из A заменой ? ? ??). Окончательно: x(t) = Ї x(t) + ? ? 2? cos ?t ? sin ?t sin ?t cos ?t ? 1 ? 2 p 1 ? e ?2?t Так как ортогональное перемешивание независимых гауссовых чисел да- јт снова пару независимых гауссовых чисел, матрицу в решении можно опустить. 342 • H 35 Характеристическая функция n-мерного распределения Гаусса. Самый простой способ вычисления при помощи ( 6.27 ), ( 6.28 ), стр. 166 : ?(p) = he ?p·x i = e ?p·Ї x e ?p·S· , = e ?pЇ x? 1 2 pDp где в силу независимости ? i среднее разбивается на произведение сред- них, каждое из которых вычисляется при помощи ( 1.11 ), стр. 16 Можно также выполнить прямое интегрирование: ?(p) = Z exp ?p · x ? 1 2 (x ? Ї x) · D ?1 · (x ? Ї x) dx 1 ..dx n (2?) n/2 pdet D(t) Сделаем замену переменных x = Їx + R · y. Якобиан преобразования det(?x/?y) = det R = 1 (R ортогональна R · R T = 1 ). Поэтому: ?(p) = e ipЇ x Z exp ? p R y ? 1 2 y · R T D ?1 R · y dy 1 ..dy n (2?) n/2 pdet D(t) Симметричную матрицу D всегда можно диагонализовать. Для n = 3: ? D = R T · D · R = ? ? D 1 0 0 0 D 2 0 0 0 D 3 ? ? Интеграл распадается на произведение n одномерных гауссовых интегра- лов вида ( 1.11 ) стр. 16 . Детерминант не изменяется при ортогональном преобразовании и равен det D = D 1 · D 2 · ... · D n . Например для y 1 : ? Z ?? e ip ? R ?1 y 1 ? 1 2 y 2 1 D ?1 1 dy 1 ? 2?D 1 = ? Z ?? e ip ? R ?1 ? D 1 ?? 1 2 ? 2 d? ? 2? = e ? 1 2 (p ? D ?1 ) 2 D 1 В результате произведение интегралов равно: n Y k=1 exp ? 1 2 p ? R ?k D k p ? R ?k = exp ? 1 2 p · R ? D R T · p Умножив ? D = R T · D · R слева на R, а справа на R T , получим D = R · ? D · R T Матрица R, диагонализирующая D, позволяет записать решение си- стемы линейных уравнений в следующем виде (l H 36 ): x ? (t) = Ї x ? (t) + S ?? (t) ? ? , S ?? = R · ? ? ? D 1 0 0 0 ? D 2 0 0 0 ? D 3 ? ? · R T (32) Столбики матрицы R ?? = u (?) ? равны собственным векторам (l H 37 ), а D i собственные значения матрицы дисперсий D · u (?) = d € ? u (?) H: Помощь 343 • H 36 Волатильность решения системы линейных уравнений. Проще всего проверить соотношение ( 32 ), стр. 342 , вычислив диспер- сию решения: D ?? = S ?i S ?j h? i ? j i = S ?i S ?i , поэтому: D = S · S T = R · ? D · R T = D, где учтено, что ? ? ? D 1 0 0 0 ? D 2 0 0 0 ? D 3 ? ? · ? ? ? D 1 0 0 0 ? D 2 0 0 0 ? D 3 ? ? = ? ? D 1 0 0 0 D 2 0 0 0 D 3 ? ? = ? D. • H 37 Матрица ортогонального преобразования. Рассмотрим действительную симметричную матрицу D. Запишем урав- нение на собственные значения D·u (?) = d € ? u (?) и условие ортогонально- сти собственных векторов u (?) · u (?) = ? ?? . Шляпка над индексом означа- ет, что, несмотря на то, что он повторяется, по нему нет суммирования. Рассмотрим матрицу R ?? = u (?) ? , составленную из столбиков собствен- ных векторов. Для неј справедливо соотношение: R i? D ij R j? = u (?) i D ij u (?) j = d € ? u (?) i u (?) i = d € ? ? ?? Поэтому матрица R T D R является диагональной. На еј диагоналях находятся собственные значения матрицы D. • H 38 Уравнение для волатильности. Воспользуемся уравнением уравнения для средних ( 6.17 ), стр. 159 : ? hx µ x ? i = hx µ A ?? x ? + x ? A µ? x ? + B ?? B µ? i . Учитывая ? hx µ i = A µ? hx ? i , несложно записать дифференциальное урав- нение для симметричной матрицы D µ? = hx µ x ? i ? hx µ i hx ? i : ? D = A · D + D · A T + B · B T Его решение ищется в виде D(t) = e At S(t)e A T t , что приводит к ( 6.28 ). • H 39 Автоковариация линейного процесса. Запишем решение относительно момента t: x ? (t + ? ) = e A ? x(t) ? + ? ?i (? )? i Чтобы получить ковариацию, вычисляем средние и вычитаем их: hx ? (t)x ? (t + ? )i = e A ? ?? hx ? (t)x ? (t)i , hx ? (t)i hx ? (t + ? )i = e A ? ?? hx ? (t)i hx ? (t)i . 344 • H 40 Связь двух площадей под винеровской траекторией. Пусть n = t/?s, m = ?/?s, тогда: S t+? = [? 1 + (? 1 + ? 2 ) + ... + (? 1 + ... + ? n )] (?s) 3/2 + [(? 1 + ... + ? n + ? n+1 ) + ... + (? 1 + ... + ? n+m )] (?s) 3/2 Свернјм сумму в первой строке в S t , а во второй строке вынесем сумму ? 1 + ... + ? n которая встречается m раз: S t+? = S t + m · (? 1 + ... + ? n ) (?s) 3/2 + [? n+1 + ... + (? n+1 + ... + ? n+m )] (?s) 3/2 Вводя W t и независимый от S t и W t процесс ? S ? , окончательно получаем: S t+? = S t + W t ? + ? S ? • H 41 Обнуление стохастической части леммы Ито. Уравнение для F (x, W ): b(x) ?F ?x + ?F ?W = 0. легко решается методом характеристик стр. 316 : dx b(x) = dW 1 => Z dx b(x) ? W = C = const. Поэтому общее решение равно: F (x, W ) = f Z dx b(x) ? W , где f произвольная функция. Если мы учитываем зависимость от вре- мени, функцию F (t, x, W ) можно представить в виде: F (t, x, W ) = f t, Z dx b(x) ? W H: Помощь 345 • H 42 Уравнения для g(x, t) и Фоккера-Планка. Среднее от произвольной функции можно вычислить как при помощи плотности вероятности P (x, t) = P (x 0 , t 0 ? x, t) , так и усредняя по ? с плотностью P (?): Z F (x)P (x, t)dx = Z F (f (t, ?)) P (?) d? = Z F (x) P (g) ?g ?x dx, где в последнем равенстве сделана замена ? = g(x, t) и f(t, g(x, t)) = x. Поэтому плотность вероятности равна: P (x, t) = P (g)g 0 (x, t). Подставляя это соотношение в уравнение Фоккера-Планка: ? P + (aP ) 0 ? 1 2 (DP ) 00 = 0, получаем уравнение для g: ?g 0 ? ?gg 0 ? + a 0 g 0 ? ag 02 ? + ag 00 ? 1 2 D 00 g 0 + D 0 g 02 ? ? D 0 g 00 ? D 2 (? 2 ? ? 0 )g 03 ? 3g 00 g 0 ? + g 000 = 0. Воспользуемся уравнением для g: ?g = 1 2 D 0 g 0 ? ag 0 ? D 2 ?(g) g 02 ? g 00 . Возьмјм производную по x ?g 0 = D 00 2 g 0 + D 0 2 g 00 ? a 0 g 0 ? ag 00 ? D 0 2 [?g 02 ? g 00 ] ? D 2 [? 0 g 03 + 2?g 0 g 00 ? g 000 ]. Подставляя два последних соотношения в уравнение Фоккера-Планка, приходим к тождеству. 346 • H 43 Перемножение матриц стохастического осциллятора. ? 2 F ?x 2 · b = F xx F xp F px F pp · 0 0 0 ? 1 x ? 2 p ? 3 = ? 1 x F xp ? 2 pF xp ? 3 F xp ? 1 x F pp ? 2 pF pp ? 3 F pp Произведение матриц b T · ? 2 F ?x 2 · b = ? ? 0 ? 1 x 0 ? 2 p 0 ? 3 ? ? · ? 1 x F xp ? 2 p F xp ? 3 F xp ? 1 x F pp ? 2 p F pp ? 3 F pp дајт матрицу 3x3 с диагональными элементами ? 2 1 x 2 F pp , ? 2 2 p 2 F pp , ? 2 3 F pp , сумма которых является следом. • H 44 Решение уравнений для средних стохастического осциллятора ( ? x = p ? p = ? x ? 2? p . Возьмјм производную первого уравнения по времени и подставим ? p из второго уравнения, а p = ? x выразим из первого. В результате получим уравнение второго порядка: Ё x + 2? ? x + x = 0. Ищем решение в виде x = e ?t . Для ? получаем квадратное уравнение ? 2 + 2?? + 1 = 0 с решением ? = ?? ± ? ? 1 ? ? 2 , если ? < 1. Общее решение будет суммой двух независимых частных с произвольными ко- эффициентами. Так как по формуле Эйлера e ?? = cos ? + ? sin ? , имеем: x = A cos(?t) + B sin(?t) e ??t , где ? = ? 1 ? ? 2 . Начальное условие для x 0 = x(0) дајт A = x 0 Найдјм теперь среднее значение импульса: p = ? x = (B? ? A?) cos(?t) ? (A? + B?) sin(?t) e ??t Так как p 0 = p(0) , получаем значение второй константы B? ? A? = p 0 H: Помощь 347 • H 45 Матрица дисперсий колебательного контура. Явный вид для матрицы дисперсии при произвольном t: D = ? 2 4?? 1 ? e ?2?t ? 2 ? ? ? 2 cos(2?t) + ?? sin(2?t) D II = ? 2 4? 1 ? e ?2?t ? 2 ? ? ? 2 cos(2?t) ? ?? sin(2?t) D QI = D IQ = ? 2 2? 2 e ?2?t sin 2 (?t). При t ? ? дисперсии стремятся к ( 7.10 ) , стр. 196 • H 46 Ковариация и спектральная функция колебательного контура. Уравнения ( 7.7 ), стр. 195 , дают нам e At . С его помощью запишем ав- токовариационную матрицу процесса ( 6.30 ), стр. 167 , в стационарном режиме: cov(? ) = D e A T ? = ? 2 e ??? 4?? ? cos ?t + ? sin ?t ?? sin ?t ? sin ?t ?? cos ?t ? ?? sin ?t Спектральная функция, например, для тока равна: S(?) = 2 ? ? Z 0 cov 22 (? ) cos(?? )d? = ? 2 ? ? 2 (? 2 ? ?) 2 + 4? 2 ? 2 Она достигает максимума при резонансной частоте ? = ? ? = 1/ ? LC , и тем уже, чем меньше параметр ? (сопротивление). 348 • H 47 Варьирование функционала по ? k (t) Вычислим сначала вариацию по скалярной функции ?(t) от: I = T Z 0 A(? )e ? R 0 B(?(? 1 ))d? 1 d? = A 2 e B 1 + A 3 e B 1 +B 2 + A 4 e B 1 +B 2 +B 3 + ... Интегральные суммы представлены в символическом виде, и индекс соот- ветствует моменту времени. Возьмјм производную, например, по ?(t 3 ) : ?I ??(t 3 ) = h A 4 e B 1 +B 2 +B 3 + A 5 e B 1 +B 2 +B 3 +B 4 + ... i ?B 3 ??(t 3 ) Поэтому вариация этого функционала равна: ?I ?w(t) = ?B(?) ?? T Z t A(? )e ? R 0 B(?(? 1 ))d? 1 d?. В нашем случае: ? ?w k (t) T Z 0 e ??? U ? d? = ?S ?? k (t) T Z t e ??? U ? d?, где S = ? " n X i=1 µ i ? i (t) ? c(t) ? 1 ? ? 2 n X i,j=1 w i (t)D ij w j (t) # Равная нулю вариация всех трјх слагаемых приводит к: ?S ?? k (t) ?(t) ? ?(t) = 0, где ?(t) содержит интегралы, зависящие от ?. Так как в методе Лагран- жа ? независимая от ? функция, введя новую независимую переменную ? = ?/? , получаем необходимое уравнение. H: Помощь 349 • H 48 Варьирование функционала по c(t). Взятие вариации по c(t) проводится аналогично предыдущей задаче. Обратим внимание на второе слагаемое результата, в котором нижний предел интеграла равен t. Для него вариация произведения равна T Z 0 e ??? ?c ? (? ) ?c(t) e ? R 0 S(? 1 )d? 1 d? + T Z 0 e ??? c ? ? ?c(t) " e ? R 0 S(? 1 )d? 1 # d?. Второе слагаемое имеет вид: T Z 0 e ??? c ? ? ?c(t) " e ? R 0 S(? 1 )d? 1 # d? = ?S ?c(t) T Z t e ??? U ? d? = ?? T Z t e ??? U ? d? Варьирование можно проводить и при помощи дельта-функции Дирака: ?c(? )/?c(t) = ?(? ? t) и ступеньки ?(? ? t) (функция Хэвисайда) для устранения зависимости от времени в пределах интегрирования. • H 49 Формула Блэка-Шоулза. Средняя цена call-опциона в момент истечения равна: hCi = ? Z x s (x ? x s ) exp ? (ln(x/x 0 ) ? µ) 2 2? 2 dx x? ? 2? Сделаем замену ? = [ln(x/x 0 ) ? µ]/? , ?d? = dx/x. hCi = ? Z a (x 0 e µ+?? ? x s )e ?? 2 /2 d? ? 2? , где a = [ln(x s /x 0 ) ? µ]/? . Разобьјм интеграл на два. Второе слагаемое равно интегральному гауссовому распределению: ? Z a e ?? 2 /2 d? ? 2? = 1 ? F (a) = F (?a), F (a) = a Z ?? e ?? 2 /2 d? ? 2? Первое слагаемое сводится также к интегральному распределению после выделения полного квадрата ???? 2 /2 = ?(???) 2 /2+? 2 /2 . В результате: hCi = x 0 e µ+? 2 /2 F (?a + ?) ? x s F (?a). Учитывая, что для логарифмического блуждания среднее значение цены равно x = x 0 e µ+? 2 /2 , получаем соотношение ( 8.15 ), стр. 224 350 • H 50 Решение уравнения Блэка-Шоулза для европейского опциона. Решим уравнение Блэка-Шоулза ?C ?? + rC = ? 2 2 x 2 ? 2 C ?x 2 + rx ?C ?x для опционов европейского типа. Начальные условия при ? = 0 (точнее, конечные в момент истечения) имеют вид: C(x, 0) = max(x ? x s , 0). (33) Прежде всего избавимся в уравнении от множителей x при производ- ных. Для этого перейдјм к новой переменной y = ln(x), x = e y : ?C ?? + rC = ? 2 2 ? 2 C ?y 2 + R ?C ?y , где R = r ? ? 2 /2 . Следующей заменой избавимся от члена с первой производной по y. Для этого введјм новую функцию C = e ?y+?? U (y, ? ) , где ? и ? некоторые константы: ?U ?? + ?U + rU = ? 2 2 ? 2 U ?y 2 + 2? ?U ?y + ? 2 U + R ?U ?y + ?U Выберем ? = ?R/? 2 , ? = ?r ? R 2 /2? 2 так, чтобы слагаемые, содержа- щие первую производную по y и член, пропорциональный U, сократи- лись. В результате получаем уравнение теплопроводности: ?U ?? = ? 2 2 ? 2 U ?y 2 Мы видели (стр. 108 ), что его частным решением является гауссиана: P (y, ? ; y 0 ) = 1 ? ? 2?? exp ? (y ? y 0 ) 2 2? 2 ? Так как уравнение линейное, то его общее решение получается в виде суммы частных решений, соответствующих различным значениям y 0 : U (y, ? ) = ? Z ?? u(y 0 )P (y, ? ; y 0 )dy 0 Функция P (y, ?; y 0 ) имеет единственный максимум в точке y = y 0 . Его значение P (y 0 , ? ; y 0 ) = 1/? ? 2?? стремится к бесконечности при ? ? 0. Ширина колокола P (y, ?; y 0 ) при этом стремится к нулю (? - функция Дирака, стр. 315 ). H: Помощь 351 Следовательно, общее решение в начальный момент (при ? = 0) сов- падает с функцией u(y): U (y, 0) = ? Z ?? u(y 0 )?(y ? y 0 )dy 0 = u(y). Поэтому u(y) имеет смысл начального значения функции U(y, ? = 0). С учјтом проделанных нами замен: U(y, ?) = e ??y??? C(e y , ? ) началь- ные условия ( 33 ) выглядят следующим образом: u(y) = U (y, 0) = e ??y max(e y ? x s , 0). Поэтому общее решение равно: U (y, ? ) = ? Z ln x s (e y 0 ? x s ) e ??y 0 ? ? 2?? exp ? (y ? y 0 ) 2 2? 2 ? dy 0 Нижний предел дајт функция max, отличная от нуля при e y 0 > x s или y 0 > ln x s . Сделаем замену z = (y 0 ? y)/? ? ? : U (y, ? ) = ? Z (ln x s ?y)/? ? ? h e (1??)(y+? ? ? z) ? x s e ??(y+? ? ? z) i e ?z 2 /2 ? 2? dz. В показателе экспоненты возникают выражения вида ?z 2 /2 + az , кото- рые можно преобразовать к эквивалентному виду ?(z ? a) 2 /2 + a 2 /2 После замены z ? z ? a интеграл становится равным: U (y, ? ) = e (1??)y+(1??) 2 ? 2 ? /2 F (d 1 ) ? x s e ??y+? 2 ? 2 ? /2 F (d 2 ) , где: d 1,2 = y ? ln x s ? ? ? ± (1 ? ?)? ? ? , ? Z x e ?z 2 /2 ? 2? dz = F (?x). Учитывая сделанные замены C(x, ?) = e ?y+?? U (y, ? ) и y = e x , мы по- лучим формулу Блэка-Шоулза. Для премии put-опциона всегда можно воспользоваться соотношением call-put паритета P = C ? x 0 + x s e ?r? 352 C: Примечания В тексте символом (l C i ) отмечены примечания под номером i. Их имеет смысл просматривать, только если к моменту появления этого символа возникло непонимание или несогласие с Автором. Вполне воз- можно, что под соответствующим номером будет находиться ответ или более или менее убедительные дополнительные аргументы. Если всј яс- но, то к Примечаниям можно обратиться в самом конце, для получения более детальной картины природы нашего стохастического Мира. Я очень надеюсь, что примечания не подменяют и не отвлекают от основного изложения, а помогают уникально мыслящим существам, при необходимости, согласовывать их ментальное пространство с аналогич- ным пространством Автора. Естественно, что ответы на ВСЕ вопросы нельзя найти даже в Приме- чаниях.... 353 354 • C 1 Асимптотическое решение логистического уравнения (стр. 10 ). Если при больших временах решение уравнения: dx dt = a(x) стремится к константе x ? , еј можно найти, положив dx/dt = 0 или a(x ? ) = 0 . Решения этого уравнения называются особыми точками. Чтобы выяснить, устойчиво или нет решение в окрестности особой точки, необходимо разложить в ряд Тейлора правую часть уравнения: dx dt = a 0 (?) (x ? x ? ) + ... Если a 0 (?) < 0 , то точка x = x ? устойчива, так как при небольших отклонениях от неј изменение dx будет иметь знак, возвращающий x обратно к x ? . Действительно, если x > x ? , производная отрицательна, и x начинает уменьшаться. При x < x ? производная положительна, и x увеличивается. В случае логистического уравнения a 0 (?) = ?? , поэтому x ? = ?/? является точкой устойчивого равновесия. Подобный путь исследования свойств решения оказывается особенно полезным в случае систем дифференциальных уравнений. Он дајт важ- ную информацию, когда точное решение получить не удајтся. • C 2 Кролики-каннибалы (стр. 10 ). Если говорить о логистическом уравнении более детально, то его интерпретация менее романтична. В случае нехватки пищи мы должны были бы записать некоторую систему уравнений, описывающих и динамику количества травы. В одномер- ном виде уравнение более естественно описывает кроликов-каннибалов, которые, к тому же, активно путешествуют. Пусть при каждой встре- че двух кроликов существует вероятность поедания одной особью дру- гой (или убийство неприглянувшегося собрата). Смертность будет про- порциональна числу таких встреч. При активной миграции и общении кроликов-убийц она будет как раз пропорциональна числу возможных пар, т.е. x 2 Заметим также, что параметр ? является на самом деле чистой разни- цей между рождаемостью и смертностью особей от естественных при- чин. Если он положителен, то рождается кроликов больше, чем умирает за то же время. Рождаемость и смертность не взаимодействующих друг с другом особей пропорциональна их количеству. C: Примечания 355 • C 3 Разновидности стохастики (стр. 12 ). Сравнительно недавним осознанием природы дифференциальных уравнений явился тот факт, что нерегулярное, случайное поведение решения может возникать и у аб- солютно детерминированных уравнений, без какого-либо внешнего шу- мового воздействия. Этот эффект типичен для некоторых систем нели- нейных дифференциальных уравнений. Их решение быстро забывает начальные условия и начинает притягиваться к определјнным кривым в пространстве состояний. Это очень красивый и неожиданный резуль- тат. Подобная детерминированная динамика обычно не имеет точных аналитических решений и требует численного моделирования. Похожее поведение возможно и в линейных системах, но со случайным внешним воздействием. В этом случае иногда можно получить достаточно простые стохастические решения. Таким образом, существует два вида случайности в поведении системы нелинейная, но гладкая по своей природе, и изначально изломанно- стохастичная. Очевидно, что более общим будет путь их объединения в единой нелинейной стохастической динамике. Именно этот случай мы имеем на практике в сложных системах. Описывающие их уравнения яв- ляются нелинейными и, кроме этого, существуют внешние случайные воздействия, возникающие или в результате действительно внешних фак- торов, или по причине огрубления, неучитывания некоторых важных особенностей внутренней динамики системы. • C 4 Гауссово распределение с произвольной волатильностью (стр. 16 ). Пусть мы используем нормированную случайную гауссову величину ? с нулевым средним и единичной дисперсией. Тогда случайная величина x = µ + ?? имеет среднее µ и волатильность ?. В этом легко убедиться прямым вычислением: hxi = µ + ? h?i = µ, x 2 = µ 2 + 2µ? h?i + ? 2 ? 2 = µ 2 + ? 2 , где мы учли, что h?i = 0, и ? 2 = 1 . Поэтому дисперсия x 2 ?hxi 2 = ? 2 • C 5 Статистическая значимость матрицы вероятностей (стр. 21 ). Пример носит иллюстративный характер. Мы не будем обсуждать ста- тистической значимости сделанного вывода о различии вероятностей пе- реходов из спокойного и не спокойного состояний. Заметим только, что, если истинная вероятность равна p, то выборочная вероятность ?p при t = 1, 2, 3 с вероятностями 0.683, 0.955, 0.997 попадает в диапазон |?p ? p| 6 t pp · (1 ? p)/n , где n число всех наблюдений. Для p, близких к нулю или единице, и малых n необходимо, для оценки статистической значимости, использовать распределение Бернулли. 356 • C 6 Логарифмическая доходность (стр. 21 , 206 ). При рассмотрении динамики цен финансовых инструментов важной характеристикой является их относительное изменение. Пусть x 1 и x 2 котировки (цены) при закрытии торгов в конце двух последовательных дней. Тогда относительное изменение цены равно r = x 2 ? x 1 x 1 => x 2 = (1 + r) x 1 , и обычно выражается в процентах. Если некто купил вчера финансовый инструмент по цене x 1 , то на сегодня его доход от изменения этой цены на вложенные деньги как раз и составит величину r, которую поэтому называют доходностью. Иногда оказывается более удобной логарифмическая доходность, вы- числяемая как разность натуральных логарифмов цен: ? r = ln x 2 ? ln x 1 = ln x 2 x 1 => x 2 = e ? r x 1 И в первом, и во втором случае начальная цена x 1 умножается на фак- тор (1+r) или e ? r . Понятно, что эти две доходности между собой связаны ? r = ln(1 + r) . При колебаниях менее 10% относительное и логарифмиче- ское изменения численно близки, а при малых значениях r асимптоти- чески равны. Для натурального логарифма справедлива приближјнная формула ln(1 + r) ? r, поэтому: ln x 2 x 1 = ln 1 + x 2 ? x 1 x 1 ? x 2 ? x 1 x 1 Отличия между двумя способами измерения доходности сказываются лишь при больших колебаниях, усиливая падение и занижая рост: (x 2 ? x 1 )/x 1 -32% -16% -8.0% -4.0% 4.0% 8.0% 16% 32% ln(x 2 /x 1 ) -39% -17% -8.3% -4.1% 3.9% 7.7% 15% 28% Логарифмическая мера r = ln(x 2 /x 1 ) обычно лучше, чем мультипли- кативная r = (x 2 ? x 1 )/x 1 , так как она устраняет присущую процентам неаддитивность. Как известно, (x + 1%) ? 1% 6= x, поэтому, если сего- дня цена выросла на 1%, а на следующий день упала на 1%, то итоговое относительное изменение будет меньше нуля. Сложение же логарифмических доходностей в точности равно отноше- нию конечной и начальной цен: ln x 1 x 0 + ln x 2 x 1 + ... + ln x n x n?1 = ln x n x 0 Поэтому корректнее вычислять, например, среднюю доходность именно в логарифмических величинах. C: Примечания 357 • C 7 Зависимость при нулевой корреляции (стр. 22 ). Рассмотрим про- стой частный пример. Пусть x = ? и y = ? 2 ?1 . Гауссово случайное число ? имеет нулевое среднее и единичную дисперсию. Несложно видеть, что x и y имеют нулевые средние. Более того: hx yi = ? 3 ? ? = 0. Однако это не означает, что величины x и y независимы. Например, x 2 y 2 = ? 6 ? 2? 4 + ? 2 = 15 ? 2 · 3 + 1 = 10 6= x 2 y 2 = 2. В данном случае случайные величины связаны функциональной зависи- мостью y = x 2 ?1 , которая представляет собой симметричную параболу. • C 8 Ложная корреляция (стр. 24 ). Термин ложная, возможно, несколь- ко неудачный. Однако он подчјркивает разницу между скоррелирован- ными x и y при существовании причинной связи и при еј отсутствии. Если между ценой товара и спросом на него существует корреляция, то она обусловлена связью y = f(x), в которой x (цена) является причи- ной, а y (спрос) следствием. Когда же в двух различных лабораториях исследуют динамику размножения мушек дрозофил, то скоррелирован- ность численности их популяций x(t) и y(t) не имеет прямой причинной связи и является ложной. • C 9 Корреляция не эквивалентна линейной модели. (стр. 36 ) Хотя коэффициент корреляции естественным образом возникает в рамках ли- нейной модели (стр. 24 ), он имеет более общий смысл. Даже если зависи- мость нелинейна, наличие коэффициента корреляции (? 6= 0) свидетель- ствует о существовании статистической связи между величинами. При любой y = f(x), если известна их совместная плотность вероятности P (x, y) , мы можем вычислить корреляционный коэффициент. Для неза- висимых величин P (x, y) = P (x) P (y) и корреляция равна нулю. Есте- ственно, обратное иногда не верно. Нулевая корреляция не обязательно свидетельствует об отсутствии связи (l C 7 ), и необходимо исследовать моменты более высоких порядков: hx n y m i В ситуации, когда истинная связь y = f(x) неизвестна, мы, тем не менее, можем использовать линейную модель с коэффициентом корреля- ции в качестве параметра. Естественно, она будет иметь большую ошиб- ку, но это лучше, чем полное отсутствие прогноза. В случае блуждания связь между накопленной суммой в момент вре- мени s и t является линейной. Поэтому в этом смысле линейная модель оказывается точной. Вообще говоря, этого могло и не быть. 358 • C 10 Манипулирование с суммами гауссовых величин (стр. 36 ) Для W k необходимо записать W k = ? a ? i+? b ? j ? i+? c ? k ? j . Три случайных числа ? a , ? b и ? c являются независимыми изменениями на каждом этапе. Стоит отметить, что соотношения типа ? 1 + ... + ? t = ? ? t являются не тождествами, а статистически эквивалентными подстановками. В частности, ? 1 sin t + ? 2 cos t = ? нельзя продифференцировать по времени. • C 11 Условная вероятность с длинной историей (стр. 37 ) определя- ется, как обычно, через совместную вероятность: P (x 1 , ..., x t ? x t+1 ) = P (x 1 , ..., x t+1 ) P (x 1 , ..., x t ) Если все значения x независимы, то совместная плотность равна про- изведению P (x 1 , ..., x t ) = P (x 1 ) · ... · P (x t ) , и, следовательно, условная вероятность зависит только от последнего аргумента. В случае с вине- ровским блужданием это выполняется для независимых величин ?. • C 12 Почему одинаковы волатильности? (стр. 40 ). Может показать- ся, что более изломанный процесс на правом рисунке стр. 40 является более волатильным. Это не так. Изломанность сама по себе является признаком волатильности не x(t), а его изменения. Напомню, что, когда говорится о волатильности случайного процесса, мы фиксируем значе- ние t и изучаем статистические свойства случайной величины x в этот момент времени. При этом изломанность уже не играет никакой роли. Волатильным будет процесс, имеющий большие разбросы вокруг средне- го. На обеих картинках эти разбросы практически одинаковы (точечные линии). Поэтому динамика среднего и волатильности может быть абсо- лютно одинаковой, но процессы существенно различными. • C 13 Непринципиальность гауссового распределения (стр. 48 ). При описании стохастических процессов мы постоянно используем случайное число с нормальным распределением. Может сложиться ошибочное впе- чатление о некоторой ограниченности теории. Это не так. Мы рассматри- ваем непрерывные процессы, и, следовательно, оперируем с бесконечно малыми. Сумма случайных чисел при большом числе слагаемых имеет нормальное распределение. Поэтому к нему очень быстро будет стре- миться стохастическое изменение случайной функции даже для неболь- шого интервала времени. На самом деле, главным ограничением стоха- стических уравнений в форме Ито является ограниченность шума, то есть существование его средних в произвольных степенях. Так, для плот- ности вероятности Коши это уже несправедливо, и подобные случайные процессы называют процессами со скачками. C: Примечания 359 • C 14 Уравнение Ито это деформация процесса Винера (стр. 49 ). Записывая уравнения (как обычные, так и стохастические), мы в боль- шинстве случаев используем гладкие, дифференцируемые функции сно- са и волатильности. В окрестности текущих значений x и t их всегда можно разложить в ряд Тейлора. Поэтому в нулевом приближении (при большом увеличении) уравнение Ито является винеровским изменени- ем случайной величины x с постоянным сносом и волатильностью. При других x и t снос и волатильность будут другими. В этом смысле проис- ходит деформация статистических параметров винеровского блуждания, что позволяет нам описать очень широкий класс случайных процессов с поведением, существенно отличающимся от простого аддитивного блуж- дания. Распределение P (x, t) случайной величины x в момент времени t в общем случае может оказаться уже не гауссовым. • C 15 Усреднение суммы ? i ? j (стр. 53 ). Наглядно все слагаемые в сумме можно перечислить при помощи матрицы nxn: ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 . . . ? 1 ? n ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 . . . ? 2 ? n ? n ? 1 ? n ? 2 . . . ? n ? n ? ? ? ? ? На диагонали расположены члены суммы с одинаковыми индексами. Все остальные имеют различные индексы. В матрице n 2 элементов, n из ко- торых диагональные. Остальные n 2 ? n имеют различные индексы. • C 16 Единственность уравнения Ито (стр. 53 ). Сделанное утвержде- ние на самом деле означает следующее. Если мы рассмотрим бесконечно малое изменение x в виде: dx = a 0 (x, t) dt + ? X k=1 a k (x, t) ? k dt + b(x, t) ? ? dt, то его итерационное решение будет эквивалентно стохастическому урав- нению в форме Ито: dx = a(x, t) dt + b(x, t)? ? dt, где a(x, t) некоторая комбинация функций a k (x, t) . Члены вида ? m ? dt будут приводить к расходящимся итерационным решениям, поэтому во- обще недопустимы. 360 • C 17 Мало ли ? ? ?t ? (стр. 54 ). Существует определјнная сложность, связанная с бесконечно малыми величинами вида ? ? ?t . Понятно, что ?t стремится к нулю. Однако этого нельзя сказать о случайной вели- чине ?. Потенциально она может быть сколь угодно большой. Тем не менее, распределение Гаусса убывает с ростом ? очень быстро. Поэтому вероятность заметных значений ? крайне низка. Таким образом, разложе- ние, в котором участвуют случайные числа, необходимо рассматривать в смысле очень высокой вероятности того, что ? ? ?t окажется бесконечно малой Ё ^ • C 18 Что такое dF ? (стр. 55 ). Несмотря на аналогии, не стоит за- бывать, что обычная функция F (x, t) после того, как в неј подставили вместо x случайный процесс x(t), перестајт быть обычной функцией. Те- перь это случайная величина, а точнее, процесс. Поэтому еј изменение dF необходимо понимать в смысле дискретной итерационной процедуры со стремлением ?t к нулю. При этом связывается случайная величина F (t + ?t) с также случайными F (t) и ?. • C 19 Нелинейность итерационного процесса (стр. 56 ). Проще всего в этом убедиться, попытавшись решить какую-нибудь простую задачу. Пусть, например dx = x 2 ?W . Тогда: x 1 = x 0 + x 2 0 ? 1 ? ?t x 2 = x 1 + x 2 1 ? 2 ? ?t = x 0 + x 2 0 (? 1 + ? 2 ) ? ?t + 2x 3 0 ? 1 ? 2 ?t + x 4 0 ? 2 1 ? 2 (?t) 3/2 , ... • C 20 Поиск точного решения (стр. 57 ). Использование формулы ( 2.22 ) на стр. 57 сводит поиск подходящей замены в уравнении Ито к простому алгоритму подбора функции s(t). В тех случаях, когда решение может быть записано в неявной форме ( 2.23 ), этот подбор является абсолютно тривиальной процедурой. Зная s(t), затем по формулам ( 2.21 ) последо- вательно находятся F (x, t) и f(t), в результате чего получается решение. Примеры применения этого алгоритма приведены в разделе § 2.5 • C 21 Паритет покупательной способности (стр. 61 ) - это отношение цен однотипных товаров в двух странах, выраженных в национальных валютах. Стоимость чашки кофе в Америке в долларах США будет от- личаться от цены такой же чашки в Европе. Если в Америке кофе стоит 2 USD, а в Европе 1.8 EUR, то можно сказать, что справедливым кофей- ным кросс-курсом (2 USD = 1.8 EUR) должен быть EUR/USD = 1.1 = 2 / 1.8. Естественно, обычно рассматривают корзину (набор) однотипных товаров. C: Примечания 361 • C 22 Почему нельзя решить итерациями уравнение без ?W ? (стр. 75 ). Итерационная версия ( 2.46 ), стр. 75 : y k ? y k?1 = x k?1 (x k ? x k?1 ) не может быть последовательно решена, так как не представляется в ви- де y k = f (y k?1 ) . Когда x(t) детерминированная величина, мы можем считать еј изменения x k ? x k?1 = ?x равными некоторой константе. За- давая еј и начальное положение x 0 , y 0 , мы получим стандартную схему Эйлера для численного решения дифференциального уравнения. В сто- хастическом случае x k ? x k?1 не является константой. Это случайная функция, в нашем примере равная изменению винеровской переменной ? ? dt • C 23 Уравнение Фоккера-Планка (стр. 107 ). Если нет особых гранич- ных условий, плотность вероятности на бесконечности должна быстро убывать, так, чтобы существовали конечные значения средних произ- вольной степени x k • C 24 Что первично, уравнение или интеграл? (стр. 141 ). В этом месте стоит обратить внимание на отличие подхода, развиваемого в этих лекци- ях, от традиционных учебников по стохастическим дифференциальным уравнениям. Обычно считается, что сначала необходимо определить сто- хастический интеграл и его свойства, а затем на этой основе работать со стохастическими дифференциальными уравнениями. В нашем подходе мы исходим из итерационной интерпретации стоха- стического дифференциального уравнения. Поэтому в большинстве слу- чаев необходимость в стохастическом интегрировании не возникает. Ка- кой путь проще и строже судить Читателю. • C 25 Почему существуют неоднозначные решения? (стр. 145 ). Ес- ли рассуждение о флуктуации, объясняющей неоднозначность решения, показалось слишком легковесным, то стоит попробовать ответить на во- просы - Откуда Земле известно, что она должна двигаться вокруг Солн- ца в соответствии с уравнениями Ньютона? и Как она их решает? Ё ^ При всей видимой несерьјзности этих вопросов они, на самом деле, очень глубокие и заставляют задуматься над соотношением объективных сущ- ностей окружающего мира (планеты) и субъективных концепций (урав- нения), порождаемых нашим интеллектом. 362 • C 26 ? 2 - распределение (стр. 171 , 131 ). Пусть n случайных независи- мых величин распределены нормально с нулевым средним и единичной волатильностью. Найдјм плотность вероятности для следующей их ком- бинации (0 6 u < ?): u = x 2 1 + ... + x 2 n Вычислим среднее произвольной функции F (u): hF (u)i = ? Z 0 F (u)P n (u)du = ? Z ?? ? Z ?? F (x 2 1 + ... + x 2 n )e ? 1 2 (x 2 1 +...+x 2 n ) dx 1 ..dx n (2?) n/2 Первый интеграл является общей формулой для вычисления среднего всегда положительной случайной величины u > 0, для которой P n (u < 0) = 0 . Второе выражение вычисляет то же среднее при помощи n гаус- совых интегралов для каждой из величин x i Введјм длину радиус-вектора r = px 2 1 + ... + x 2 n в n?мерном про- странстве. Из соображений размерности понятно, что объјм n-мерного шара будет пропорционален V ? r n . В частности, площадь круга (n = 2) равна S = ?r 2 , а объјм шара (n = 3): V = (4?/3)r 3 . Поэтому эле- мент объјма dV = dx 1 ..dx n в n-мерных сферических координатах равен dV = r n?1 drd? , где d? элемент объема, определяемый остальными, угловыми координатами. Так как подынтегральная функция зависит только от r, то интеграл по d? будет равен некоторой константе. По- этому, учитывая, что r 2 = u , а dr = du/2 ? u , приходим к следующему выражению: P n (u) = C u n/2?1 e ?u/2 Константа C находится из условия нормировки. В результате оконча- тельно получаем: P n (u) = 1 2 n/2 ?(n/2) u n/2?1 e ?u/2 , (34) где ?(z) гамма-функция (стр. 313 ). Эту плотность вероятности назы- вают ? 2 -распределением (хи-квадрат), а параметр n - числом степеней свободы. ? 2 -распределение является частным случаем гамма-распределения. Его среднее hui = n и волатильность ? u = ? 2n Численное значение площади под ? 2 -распределением на интервале u = [x...?] можно найти, вызвав в Excel функцию ХИ2РАСП(x, n). В част- ности, ХИ2РАСП(0, n)=1. C: Примечания 363 • C 27 Временные масштабы броуновского движения (стр. 183 ). Вооб- ще говоря, мы имеем два вида движения, и, следовательно, два времен- ных масштаба броуновской частицы. Так, скорость, связанная с темпе- ратурой v 2 1/2 ? 2 · 10 ?3 м/с, возникает между соударениями молекул воды и очень быстро изменяет свој направление. Фактически, оптиче- скими методами она не наблюдаема. Скорость дрожания, приводящая к расплыванию дисперсии в значения координаты, имеет порядок равный размеру частицы, делјнной на одну секунду ? ? = ??a 3 /kT . Именно она регистрируется, когда наблюдают в микроскоп броуновскую частицу. • C 28 Системы единиц стохастического осциллятора (стр. 186 ). Бу- дем считать, что исходные уравнения имеют следующий вид: m dx = p dt dp = ?kx dt ? 2? p dt + ? 1 x ?W 1 + ? 2 p ?W 2 + ? 3 ?W 3 Пусть M единица измерения массы, L длины, а T времени. Так как ?W ? ? T , то константы имеют следующие размерности: m ? M, k ? M T 2 , ? ? 1 T , ? 1 ? M T 3/2 , ? 2 ? 1 T 1/2 , ? 3 ? M L T 3/2 Из них возможно составить, по меньшей мере, четыре комбинации, име- ющие размерность времени T . Однако наиболее естественным будет от- ношение pm/k ? T , так как в нашем анализе мы считаем, что m и k, в отличие от других констант, всегда имеют ненулевое значение. Любо- пытно, что размерность длины возможно обеспечить только при помощи волатильности ? 3 . Для детерминированной осцилляторной системы, в си- лу еј линейности, естественной единицы длины нет, и она определяется только начальными условиями (амплитуда колебаний). • C 29 Графом нормальной вероятности (стр. 209 ) является зависи- мость y = f(r), получаемая из уравнения F N (y) = F ((r ? Ї r)/? r ) , где F N (y) интегральное нормальное распределение, а F (r) эмпирическое интегральное распределение для доходностей. Если эмпирическое рас- пределение F (r) является гауссовым, то этот граф должен быть прямой линией. Строить эмпирическую плотность распределения достаточно просто. Пусть все наблюдаемые доходности r 1 , ..., r n различны. Отсортируем их в порядке возрастания. Тогда F (r i ) равняется i/n. Интегральное распре- деление вычисляется по формуле: F N (y) = y Z ?? e ?? 2 /2 d? ? 2? 364 • C 30 Графическое представление финансовых данных (стр. 210 ). Человек лучше воспринимает визуальную информацию, чем число- вую, поэтому на финансовых рынках очень популярно графическое пред- ставление цен. Чаще всего используют следующие три способа: B Линейная диаграмма (line) представляет собой ломаную линию, в которой цены закрытия (Close) соединены отрезками. B Столбики (bars) отражают каждый период, например, день, в виде вертикальной линии, соединяющей минимальную и максимальную цены, а также небольшой чјрточки на ней, соответствующей цене закрытия. Иногда ставятся две чјрточки для цены открытия (влево) и цены закрытия (вправо). B Свечки (candles) представляют собой прямоугольники между ценой открытия и закрытия рынка. Если цена за период выросла, то свечка имеет светлый цвет, если упала то тјмный. Дополнительно вверх и вниз от свечки отходят вертикальные отрезки, показывающие ми- нимальное и максимальное значение цены за период. Ниже представлены все три способа отражения результатов ежеднев- ных торгов акциями компании Microsoft в течение недели: 90 95 100 105 06-Mar 10-Mar 90 95 100 105 06-Mar 10-Mar 90 95 100 105 06-Mar 10-Mar Естественно, в качестве временного периода может быть выбран не только день. Популярными являются часовые или минутные графики для детализации внутридневной торговли, а также недельные и месяч- ные для получения представления о долгосрочной динамике. Обычно цены закрытия и открытия для минутных и часовых интервалов вре- мени практически совпадают, тогда как у дневных и недельных могут наблюдаться щели (gaps). Существует обширный пласт эзотерических знаний, претендующих на то, что по внешнему виду графиков можно прогнозировать будущие значения цен финансовых инструментов. Специалисты по техническому анализу рисуют тренды, линии поддержки, сопротивления, треугольни- ки и другие фигуры, на основании которых делается вывод о дальнейшем направлении случайного процесса. C: Примечания 365 • C 31 Стоимость денег (стр. 218 , 222 , 224 ). Доллар, полученный сегодня, и доллар, полученный завтра, это два разных доллара. Деньги имеют свою временную стоимость. При разме- щении на депозите суммы S 0 под годовую процентную ставку r мы через год получим S 1 = (1 + r)S 0 . Если эту сумму можно снова разместить на депозите (реинвестировать) под ту же процентную ставку, то через два года активы будут равны S 2 = (1 + r)S 1 = (1 + r) 2 S 0 , и т.д. Таким образом, если время t измерять в годах, то через t = 1, 2, 3, ... лет мы имеем: S t = S 0 · (1 + r) t = S 0 e ? rt , где ?r = ln(1 + r). Эту формулу удобно рассматривать не только при целых t, но и при дробных, считая, что она определяет непрерывное воз- растание депозитного вклада между датами начисления процентов. При расчјтах можно использовать как мультипликативную (r), так и лога- рифмическую (?r) ставку. Рассмотрим теперь обратную к депозиту ситуацию. Если через время t мы получим сумму S t , то сколько мы готовы заплатить сегодня за такую возможность? Другими словами, какова временная стоимость будущих денежных поступлений? Выразив в депозитной формуле стои- мость денег S 0 сегодня через их будущую стоимость S t , получим: S 0 = S t (1 + r) t = S t e ? rt Говорят, что будущие выплаты дисконтируются (уменьшаются) для по- лучения их текущей цены. Для выбора между несколькими инвестици- онными возможностями их приводят к сегодняшней стоимости и сравни- вают с альтернативной возможностью размещения средств на депозите. Предположим, что некоторый актив на протяжении n лет ежегодно дајт суммы (финансовые потоки) C 1 , ..., C n . Какова справедливая стои- мость такого актива сегодня? Идея еј вычисления основана на методе аналогий. Если будет сформирован набор депозитов, которые генерят эквивалентный денежный поток, то его величина должна равняться сто- имости актива, так как они будут неразличимы. Чтобы через год по- лучить C 1 , сегодня в банке необходимо разместить годовой депозит на сумму C 1 /(1 + r) . Чтобы через два года получить C 2 , потребуется ещј один депозитный договор с правом реинвестирования процентов и на- чальной суммой C 2 /(1 + r) 2 , и т.д. Все эти депозитные контракты дают начальную сумму, которая и будет генерить потоки C 1 , ..., C n . Поэтому будущие денежные потоки необходимо дисконтировать и сложить. 366 • C 32 Европейские опционы в картинках (стр. 227 ). Рассмотрим сто- имость call-опциона по формуле Блэка-Шоулза, как функцию текущей цены актива x 0 при фиксированном страйке x s = 150 и годовой вола- тильности ? = 15%. На каждом рисунке сверху вниз приведено по пять контрактов с числом календарных дней 360, 180, 90, 30 и 0 до истечения опциона. |