Стохастический мир
 Скачать 2.82 Mb.
|
|
x(t) y(t) x(t) y(t) =0.01 =0.05 Затухание наглядно видно также на фазовой диаграмме в плоскости (x, y) . Ниже на первом рисунке представлены фазовые кривые при раз- личных начальных условиях и неограниченных ресурсах (? = 0). При этом всегда x 0 = 1 , а y 0 меняется от 0.2 до 0.8 c шагом 0.1. На втором и третьем рисунках приведена единичная траектория, соответствующая затухающим колебаниям с ? = 0.01 и ? = 0.05 от точки x 0 = 1 , y 0 = 0.8 : x y 0 0.2 0.4 0.6 0.5 1 1.5 2 0 0.2 0.4 0.6 0.5 1 1.5 2 0 0.2 0.4 0.6 0.5 1 1.5 2 x y x y =0.01 =0.05 =0 • Перейдјм теперь к стохастической задаче. Будем считать, что рож- даемость подвержена случайным факторам, так что относительный при- рост dx/x является винеровским шумом с амплитудой s x для кроликов и s y для лис: dx = (?xy + ? 2 x ? 2? x 2 ) dt + x s x ?W x dy = ( xy ? y) dt + y s y ?W y Линеаризованные в окрестности особой точки уравнения имеют решение для средних, аналогичное детерминированному случаю. Стохастическая природа 201 Для колебательного режима средняя численность популяции кроли- ков стремится к единице, а лис к ? 2 ? 2? . Так как снос уравнений не линеен, это, на самом деле, лишь первое приближение к точному асимп- тотическому пределу. Найдјм его при помощи уравнения для средних ( 6.15 ), стр. 159 . Выбирая F = ln x и F = ln y и положив производные по времени равными нулю, получаем: Ї x = 1 + s 2 y 2 , Ї y = ? 2 ? 2? ? ?s 2 y ? s 2 x 2 Равновесное значение средней численности кроликов увеличивается за счјт флуктуации рождаемости лис, а численность лис уменьшается (по сравнению с детерминированным случаем) от шумов обоих популяций. Аналогично, выбор F = x и F = y позволяет найти ? 2 x = (x ? Ї x) 2 дисперсию колебания численности популяции кроликов вокруг средних: ? 2 x = 1 4? s 2 x + (? 2 ? 2?) s 2 y ? ?s 4 y . и коэффициент ковариации: cov(x, y) = ? s 2 x 2 Ї y. Он имеет отрицательное значение, что свидетельствует о противофазно- сти динамики лис и кроликов. Рассмотрим численности популяций x(t), y(t) со следующими пара- метрами: ? = 0.5, ? = 0.01, s x = 0.05 , s y = 0 : 0 1 2 100 200 300 x(t) y(t) Как и в случае линейного стохастического осциллятора, колебательный режим продолжается и при наличии затухания (параметр ?). Однако это колебание оказывается квазипериодическим с плавающим периодом и амплитудой. В природе не происходит гладких колебаний численности популяций. Их динамика существенно стохастична. При этом стохастичность не яв- ляется досадным шумом, который искажает теоретически гладкую ди- намику, а приводит к эффекту появления колебаний, когда в детерми- нированной системе они исчезают. Ограниченность пищевых ресурсов кроликов играет стабилизирующую роль в системе, ослабляя атто-лисий эффект. 202 Глава 7. Глава 8 Стохастическое общество В этой главе собраны некоторые примеры применения стохастических методов к финансовым рынкам и экономике. Волатильный характер цен и экономических индикаторов приводит к тому, что динамика соответ- ствующих систем является существенно стохастической, и член ?W в уравнениях Ито играет ведущую роль. Сначала мы сделаем небольшой экскурс в финансовые рынки и эм- пирические свойства цен финансовых инструментов. Затем рассмотрим теорию диверсификации и бета - коэффициенты. Стохастические мето- ды оказываются очень полезными при изучении сложных финансовых инструментов. Примером такого инструмента является опцион. Мы рас- смотрим основные его свойства и двумя различными способами выведем формулу Блэка-Шоулза. После этого будет рассмотрена простая одно- факторная модель кривой доходности. 203 204 Глава 8. 8.1 Финансовые рынки Достаточно условно финансовые рынки можно разделить на четыре основные группы: • Рынок акций (stock market), или фондовый рынок, представляет собой биржевую и внебиржевую торговлю корпоративными права- ми. Акционерные общества при помощи проведения дополнительных эмиссий акций могут привлекать средства для развития своего биз- неса. Молодые компании получают стартовый капитал, продав часть уставного фонда (IPO). Акционеры компании рассчитывают на то, что стоимость их акций со временем повысится, а часть прибыли будет выплачиваться в качестве дивидендов. • Рынок облигаций (bond market) позволяет компаниям и государ- ству получать денежные средства у инвесторов под фиксированный процент. Процентная ставка, возникающая на рынке облигаций, опре- деляет стоимость денег, которые направляются на расширение биз- неса компании. Выпуск облигаций это более дорогой способ привле- чения средств, чем эмиссия акций, однако при этом не происходит размывания капитала уже существующих инвесторов. Покупатель облигации получает фиксированный доход, за исключением случаев банкротства компании или объявления дефолта государством. • Валютный рынок (foreign exchange market) представляет собой со- общество банков и других финансовых организаций, осуществляю- щих операции по конвертации одной валюты в другую. Валютный рынок работает круглосуточно. Три основные группы участников рынка это импортјры, которые покупают иностранную валюту, и экспортјры, которые еј продают. Кроме них, в современном мире ве- сомую роль играют финансовые компании, изменяющие состав своих портфелей, переходя из рынка одной страны на рынок другой. Их влияние на курсы валют очень велико. • Товарные рынки (commodity market) это организованные пло- щадки по торговле стандартизированными видами товаров. К тако- вым относятся нефть, золото, серебро, зерно, кофе и т.п. Каждый вид товара имеет чјткий стандарт качества, за которым следит биржа. Именно стандартизация превращает товарный контракт в финансо- вый инструмент со свойствами, которые присущи всем остальным финансовым активам. Стохастическое общество 205 На финансовых рынках торгуются как спотовые финансовые ин- струменты = активы (акции, валюта и т.д.), так и производные от них деривативы (фьючерсы и опционы). Фьючерс (futures) - это контракт (обязательство) на покупку или про- дажу актива в определјнный момент в будущем. Если акция сегодня стоит 100$ (цена на споте), то два контрагента могут договориться о том, что один купит, а другой, соответственно, продаст эту акцию по цене, например, 110$ (фьючерсная цена) с поставкой через один год. Ино- гда реальная передача акции может не происходить. Тогда фьючерсный контракт становится разновидностью пари, при котором одна сторона выплачивает другой сумму, равную разности между фьючерсной и фак- тической ценой акции на момент исполнения контракта. Например, че- рез год цена акции оказывается равной 90$. В этом случае покупатель должен будет выплатить продавцу чистую разницу в 20$=110-90. Гарантом подобных сделок выступает клиринговая палата биржи. Для заключения фьючерсного контракта и продавец, и покупатель должны перечислить на свой биржевой счјт определјнную сумму (начальную маржу). Именно она используется клиринговой палатой для выплаты дохода стороне, которая выиграла пари. В зависимости от волатильно- сти цены актива, лежащего в основе фьючерса, начальная маржа может составлять порядка 5-10% от его текущей стоимости. Если покупатель купил фьючерсный контракт (занял длинную позицию), а продавец, со- ответственно, продал фьючерс (занял короткую позицию), то в дальней- шем они не взаимодействуют друг с другом. Порядок всех расчјтов на себя принимает биржа. Фьючерсная цена в результате торгов ежедневно изменяется. Если, при неблагоприятном еј движении, позиция начинает приносить убыток, необходимо довносить средства на биржевой счјт. В любой момент до даты поставки открытая позиция может быть закрыта путјм покупки или продажи встречного контракта. Опцион это контракт, который дает его обладателю право купить (оп- ционы call = колл) или продать (опционы put = пут) некоторый актив по оговоренной цене исполнения x s (strike price) в определенное время в будущем (дата истечения). В отличие от фьючерса, опцион это право, а не обязательство, поэтому покупатель от него может отказаться. Тот же, кто продал (выписал) опцион, берјт на себя обязательство исполнить его по требованию владельца опциона. В случае европейского опциона да- та реализации права фиксирована. Для американского, владелец может воспользоваться своим правом в любой момент до даты истечения. Оба вида опционов могут торговаться в любой стране. 206 Глава 8. • Ключевым параметром финансового инструмента является его цена x t . Именно еј колебания служат отличной областью приложения стоха- стических процессов и источником прибыли или убытка для участников рынка. Изменение цены или доходность финансового актива можно из- мерять при помощи логарифмического отношения (l C 6 ) цен в начале x t?1 и конце x t временного периода: r t = ln x t x t?1 = ln x t ? ln x t?1 В качестве периода может выступать день, час, минута и т.д. Простейшей моделью динамики цены является логарифмическое блуж- дание. Предположим, что за день относительное изменение цены состав- ляет r n = ln(x n /x n?1 ) . Тогда через n дней, начиная с цены x 0 , мы придјм к значению: x n = x n?1 exp r n = x 0 exp(r 1 + ... + r n ) = x 0 exp(r). Цена при подобном блуждании всегда остајтся положительной. Если слу- чайные числа r = µ + ?? являются независимыми гауссовыми величина- ми со средним µ и волатильностью ?, то среднее значение будущей цены равно: hx n i = x 0 e µ+? 2 /2 Цена в среднем не будет изменяться (мартингал), если доходность отри- цательна: µ = ?? 2 /2 Непрерывным аналогом логарифмического блуждания будет процесс следующего вида (стр. 58 ): dx = µ x dt + ? x ?W. В этом случае Їx(t) = x 0 e µt , и если µ = 0, то Їx(t) = x 0 Волатильность ? и среднюю доходность µ обычно измеряют в годовых величинах (т.е. усредняя годовые изменения цен). Поэтому, если время t задано в долях года, то доходность за период t будет равна µ t = µ t , а волатильность ? t = ? ? t При рассмотрении, например, эволюции численности популяции стоха- стическое воздействие было важной, но всј же поправкой к детерминиро- ванной динамике. На финансовых рынках стохастика является главной особенностью системы, и волатильность изменения цены обычно суще- ственно выше, чем долгосрочный еј снос. Так, типичный рост фондового рынка составляет около µ =7% в год, тогда как годовая волатильность ? = 16% (в спокойные периоды). Стохастическое общество 207 • Почему рынки волатильны? Это фундаментальный вопрос всей фи- нансовой теории. Простейшее объяснение, связанное c непрогнозируе- мым воздействием на рынки со стороны внешних факторов (экономи- ческие, политические новости, отчеты компаний и т.п.), - лишь часть правды. Во-первых, рынки очень часто неадекватно реагируют на новости. Ес- ли они внутренне готовы к движению в соответствующем направлении, то любые, самые незначительные события это движение вызовут. И на- оборот, иногда достаточно серьезные новости никак не сказываются на ценах. При этом аналитики, журналисты, а вслед за ними участники рынка умудряются повторять абсолютно фантастические объяснения то- го, почему чјрное на самом деле является белым, и наоборот. Во-вторых, новости бывают разными. В течение недели или даже дня могут приходить сообщения с диаметрально противоположным позити- вом. И только Рынок знает, на что он действительно отреагирует. Волатильность может возникать из-за случайных внутренних факто- ров. Иногда крупные игроки пересматривают состав своих инвестици- онных портфелей, уходят с рынка или возвращаются на него. Однако эти события являются относительно незначительными и служат, скорее, небольшим толчком для Рынка. Откликнется ли он на него, заранее предсказать очень сложно. Наконец, волатильность может быть прису- ща динамике самого Рынка, особенно если уравнения, описывающие эту динамику, являются нелинейными и обладают хаотическим режимом по- ведения (т.н. детерминированный хаос). Волатильность рынков явление неизбежное. Понятно, что, если це- на всј время достаточно быстро растјт, любой купивший этот инстру- мент получит гарантированную прибыль. Однако вечных финансовых двигателей не бывает. Финансовые рынки, в конечном итоге, являются сообществом разумных существ, объединение которых посредством син- хронизирующего влияния цен и другой информации приводит к обра- зованию очень сложной системы. Она отражает психологию отдельного человека и в то же время обладает собственным уникальным поведением, часто неблагозвучно называемым психологией толпы. Рынки очень субъективны, суеверны, подвержены массовым фобиям и заблуждениям. Очень часто ложные экономические и финансовые тео- рии, принятые всеми, становятся вполне объективными, воздействуя на рынок. При этом не важно, верны ли теории важно, верят ли в них на данном этапе. Эта субъективность и составляет природу рынков. 208 Глава 8. 8.2 Эмпирические закономерности • Фрактальность. Если построить графики динамики цен на раз- личных временных интервалах и закрыть ось времени, то даже самый опытный трейдер, скорее всего, не отличит месячный график от минут- ного. Ниже приведен курс EUR к USD. На первом рисунке каждая точка является ежедневным курсом, на втором часовым, и на третьем еже- минутным: days minutes hours Фрактальность это самоподобность объекта или процесса на различных масштабах. Такие непрерывные стохастические процессы, как броунов- ское блуждание, автоматически обладают свойством фрактальности. • Отсутствие памяти. Если вычислить корреляционные коэффици- енты между изменением цены вчера и сегодня, мы получим (в рамках статистической погрешности) нулевое значение. Ниже в таблице приведе- ны автокорреляции ежедневных доходностей индекса S&P500 со сдвигом от одного до восьми дней c k = cor(r t , r t?k ) : n c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 c 8 1950-2006 14338 0.09 -0.02 -0.01 0.01 -0.02 -0.02 -0.03 0.01 1950-1959 2510 0.09 -0.10 -0.01 0.05 0.01 -0.02 -0.03 0.05 1960-1969 2489 0.15 -0.03 0.04 0.07 0.01 -0.01 0.03 0.04 1970-1979 2526 0.25 -0.01 0.02 0.00 -0.03 -0.06 -0.01 -0.01 1980-1994 3791 0.08 0.03 -0.01 -0.02 -0.01 -0.02 -0.04 -0.01 1995-2003 2267 -0.01 -0.03 -0.03 0.01 -0.05 -0.01 -0.04 0.01 2004-2006 775 -0.03 -0.08 0.02 -0.03 0.01 -0.01 -0.02 -0.04 Видно, что значения автокорреляций очень малы. Стандартная ошибка их вычисления по n наблюдениям равна 1/ ? n . С вероятностью 0.68 от- клонение выборочной автокорреляции от истинной составляет одну стан- дартную ошибку, а с вероятностью 0.96 две. Жирным шрифтом отмече- ны значения, которые можно статистически значимо считать отличными от нуля. Так, за весь период корреляция вчерашнего и сегодняшнего из- менения цены c 1 , с точки зрения формального статистического подхода, имеет отличное от нуля значение 0.09 ± 0.01. Однако этот результат свя- зан с действительно высокой автокорреляцией в прошлом (1960-1980). В настоящее время значимой короткой памяти у рынка нет. Стохастическое общество 209 • Память волатильности. В отличие от доходностей, между их квад- ратами r 2 t или модулями |r t | существуют заметные автокорреляции. Мож- но рассматривать автокоррелограммы между самыми различными мера- ми, характеризующими абсолютную величину изменения цены, а не еј знак. Это могут быть волатильности, вычисленные за небольшие непе- рекрывающиеся интервалы времени ? t , амплитуда размаха цены a = ln H/L , где H максимальное, а L минимальное значение за период, или комбинированные меры, например, v = a ? |r|/2. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 10 20 30 40 50 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 10 20 30 40 50 ( ) s s ( ) s (|r|) s s c c c t- 1 t 0 3 3 0 2001-2006 Выше приведены коррелограммы c s (v) = cor(v t , v t?s ) для различных мер ежедневной волатильности и точечная диаграмма для двух последова- тельных дней, которая имеет характерную форму кометы. В качестве данных использовался курс EUR против USD за период 2004-2008 годов. • Не совсем гауссовость. Если изучить свойства эмпирического рас- пределения для доходностей некоторого финансового инструмента, то оно, скорее всего, окажется не гауссовым. Типичное распределение вы- глядит следующим образом: P(r) ln P(r) -6 -5 -4 -3 -2 -1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -2 0 2 4 -9 -6 -3 0 3 6 9 На первом рисунке приведена стандартная гистограмма, а тонкая ли- ния соответствует распределению Гаусса. На третьем графике то же в логарифмическом масштабе. Второй график является графом нормаль- ной вероятности (l C 29 ). Эмпирическое распределение обычно имеет за- метный эксцесс и асимметрию. Его хвосты (асимптотическое поведение плотности вероятности) являются толстыми, т.е. лежат выше графи- ка нормального распределения. В результате существенные отклонения доходности от среднего значения происходят чаще, чем в нормальном случае. 210 Глава 8. • Крахи и миникрахи. Одна из причин (или следствий Ё ^ ) негаус- совости распределения вероятностей доходностей - это возникновение на рынке так называемых крахов, проявляющихся чаще всего в обвальном падении цен на один или множество схожих финансовых активов. Самыми запоминающимися являются однодневные обвалы. С начала 1987 г. фондовый рынок Америки рос ускоренными темпами (около 40% годовых). В результате пузырь сокрушительно лопнул. За один день, в понедельник 19-го октября 1987 года, индекс S&P500 обрушился более чем на 20% (левый рисунок): 200 240 280 340 Jan-86 Jul-86 Jan-87 Jul-87 Jan-88 Jul-88 Jan-89 |