Стохастический мир
 Скачать 2.82 Mb.
|
|
v F g F f g F a где ? = m/6??a и ? = 1 ? ? 0 /? . Первое уравнение это определение скорости, второе закон Ньютона m dv/dt = F, а ? характеризует ин- тенсивность воздействия со стороны молекул. Ускорение свободного па- дения g = 9.8 м/с 2 направлено вниз: x = (x, y, z), g = (0, 0, ?g). Сделаем оценки величин, входящих в уравнения. Вязкость воды ? ? 10 ?3 кг/(м c), типичный размер броуновской частицы a ? 10 ?6 м, масса m ? 4 · 10 ?15 кг (плотность ? ? 10 3 кг/м 3 ). Поэтому ? ? 2 · 10 ?7 с. Пренебрежјм сначала силой тяжести (? ? 0 если ? 0 ? ? ). Так как система линейна, уравнения для средних совпадают с классическими: ? hxi = hvi , ? hvi = ? hvi /?, и легко интегрируются: hvi = v 0 e ?t/? , hxi = x 0 + v 0 ? ? v 0 ? e ?t/? Если t ? ? 2 · 10 ?7 с, то среднее значение скорости становится рав- ным нулю при любом начальном значении v 0 . Найдјм средние квадратов динамических переменных ( 6.17 ), стр. 159 : ? hx µ x ? i = hx µ a ? + x ? a µ + b ?? b µ? i . (7.1) В данном случае x ? = x, v , и a ? = v, ?v/? , b ?? = ? 0 0 0 1 , b ?? b µ? = b · b T = ? 2 0 0 0 1 , где элементы в b ?? представляют собой матрицы 3x3 для каждой степени свободы координаты и импульса. Стохастическая природа 183 Просуммируем ( 7.1 ) по µ = ? = 4, 5, 6, т.е. по координатам скорости (вторая динамическая переменная): ? hv 2 i = ? 2 ? v 2 + 3? 2 => v 2 = 3 2 ? ? 2 + v 2 0 ? 3 2 ? ? 2 e ?2t/? При t ? броуновская частица забывает начальное значение скорости v 0 , и среднее еј квадрата стремится к величине 3?? 2 /2 . Этот результат можно сразу получить из уравнения, положив ? hv 2 i = 0 Температура пропорциональна средней кинетической энергии молекул воды. В процессе постоянного столкновения с броуновской частицей их кинетические энергии выравниваются, поэтому: 3 2 kT = m v 2 2 = 3 4 ? ? 2 m => ? ? 2 = 2kT m , v 2 = 3kT m , где k = 1.4 10 ?23 Дж/К постоянная Больцмана, связывающая темпе- ратуру и энергию. В результате мы нашли зависимость волатильности внешних воздействий со стороны молекул ? от макроскопически измери- мых величин температуры T и вязкости жидкости ?. При комнатной температуре T ? 300 K типичная среднеквадратичная скорость равна v 2 1/2 = p3kT/m ? 2 · 10 ?3 м/с. Заметим, что молекулы воды, имея массу m 0 ? 3 · 10 ?26 кг, обладают существенно более высокой скоростью ? 600 м/с. Кроме этого, при плотности воды ? 0 = 10 3 кг/м 3 расстояние между молекулами d ? (m 0 /? 0 ) 1/3 ? 3 · 10 ?10 м, что сравнимо с их раз- мером. Это означает плотную упаковку молекул и очень частые толчки молекул по броуновской частице. Поэтому непрерывное стохастическое дифференциальное уравнение в данном случае более чем уместно. Свернјм уравнения ( 7.1 ) по µ = ? = 1, 2, 3 и µ = 1, 2, 3, ? = 4, 5, 6 (можно решить сначала уравнения для каждой компоненты отдельно, а затем сложить эти решения): ? hx 2 i = 2 hxvi , ? hxvi = ? 1 ? hxvi + v 2 Найдјм асимптотическое поведение. Если ? hxvi = 0 , то скалярное произ- ведение координаты на скорость равно константе hxvi = ? v 2 . Поэтому среднее значение квадрата координаты при больших временах равно: x 2 ? x 2 0 = 2? v 2 t = kT ??a t = a 2 t ? ? Таким образом, дисперсия квадрата радиус-вектора со временем увели- чивается линейно. Этот эффект наблюдается в эксперименте. При ком- натной температуре параметр ? ? = ??a 3 /kT ? 1 c определяет темпы типичного дрожания броуновской частицы (l C 27 ). 184 Глава 7. • Если плотность частицы ? выше, чем у воды ? 0 , то ? > 0 и уравнение для средней скорости ? hvi = ? g ? 1 ? hvi приводит к тому, что в асимптотическом пределе частица опускается вниз в среднем с постоянной скоростью: hvi = ? ? g + (v 0 ? ? ? g) e ?t/? ? ? ? g ? ? a 1 Естественно, рано или поздно на еј пути окажется дно сосуда. Произой- дјт отражение от него и снова блуждание со сносом вниз. В результа- те возникнет стационарное распределение по координатам и скоростям. Чтобы найти его, рассмотрим уравнение Фоккера-Планка: ?P ?t + ?(a i P ) ?x i ? 1 2 ? 2 ?x i ?x j h b i? b j? P i = 0, имеющее в стационарном случае ?P/?t = 0 следующий вид: v ?P ?x + ? (? g ? v/? )P ?v ? ? 2 2 ? 2 P ?v 2 = 0. Несложно проверить, что этому уравнению удовлетворяет функция: P (x, v) = P 0 e ??E(x,v) , E(x, v) = mv 2 2 ? ? mgx, где ? = 1/kT . Величина E(x, v) является энергией частицы (кинетиче- ская плюс потенциальная). Полученный результат P (x, v) ? e ??E имеет достаточно общий характер и называется распределением Гиббса. Чем меньше энергия системы, тем более вероятно такое состояние. Если ось z направлена вверх, то gx = ?gz. При нормировке плотности вероятности предполагается, что отражающая поверхность дна сосуда расположена в точке z = 0. По мере подъјма по z вероятность встретить броуновскую частицу экспоненциально падает: P (z) = ? a e ?? z/a , ? = ? mga kT = 4?g 3kT (? ? ? 0 ) a 4 , где безразмерный параметр ? характеризует темпы спада вероятности, если расстояние выражено в радиусах частицы. При фиксированной плот- ности броуновской частицы распределение вероятностей оказывается очень чувствительным к еј размеру. Стохастическая природа 185 • Работа Ланжевена была инспирирована теорией броуновского дви- жения Альберта Эйнштейна (Albert Einstein), опубликованной в 1905 г. Его рассуждения выглядели следующим образом. Пусть координата броуновской частицы x претерпевает случайные из- менения ? по одной оси и функция P (x, t) является плотностью вероят- ности найти еј в точке x. Если в момент времени t ? ? координата была x?? , то, изменившись на ? в течение малого времени ?, в момент времени t она станет равной x. Произведение вероятности начального состояния P (x??, t?? ) и вероятности независимого от него изменения ?(?) даст ве- роятность конечного состояния P (x, t), которую нужно просуммировать по всем возможным значениям ?: P (x, t) = ? Z ?? P (x ? ?, t ? ? ) ?(?) d?. Разложим уравнение в ряд до первого порядка по ? и второго по ?: P (x, t) = ? Z ?? P (x, t) ? ?P (x, t) ?t ? ? ?P ?x ? + ? 2 P ?x 2 ? 2 2 + ... ?(?)d?. Если направления равновероятны, то h?i = 0. Вводя конечное отношение ? 2 x = ? 2 /? , для P (x, t) в пределе ? ? 0 получаем: ?P ?t = ? 2 x 2 ? 2 P ?x 2 (7.2) Это уравнение теплопроводности соответствует винеровскому блужда- нию dx = ? x ?W с дисперсией x, линейно увеличивающейся со временем. • Записывая систему уравнений Ланжевена, мы исходили из двух ди- намических переменных x и v. При этом среднее значение v быстро (при t ? ) стремилось к постоянному значению, тогда как динамикой обла- дала переменная x. Возьмјм второе уравнение системы Ланжевена и в нулевом приближении положим dv = 0. Выразив из него vdt и подставив его в первое уравнение, получим: dx = ? g? dt + ?? ?W = ? ? m ?V (x)dt + 2kT ? m 1/2 ?W, где V (x) - в общем случае произвольная потенциальная энергия частицы, а ? еј градиент. Соответствующее этому стохастическому уравнению уравнение Фоккера - Планка было получено Смолуховским в 1906 г. Подобный способ устранения быстро изменяющихся переменных яв- ляется достаточно общим и мощным приближенным методом решения различных стохастических задач. 186 Глава 7. 7.2 Стохастический осциллятор • Множество механических, электромагнитных, биологических и со- циальных систем описываются осцилляторными уравнениями. Для опре- делјнности мы рассмотрим одномерный механический осциллятор мас- сой m, подверженный трению и внешним стохастическим воздействиям. Определение импульса и закон Ньютона в этом случае имеют вид: m dx dt = p, dp dt = F, где сила состоит из трјх компонент: F = ? (k + Noise 1 ) x | {z } elastic f orce ? (2? + Noise 2 ) p | {z } f riction f orce + Noise 3 | {z } external f orce Сила упругости пропорциональна величине отклонения от положения равновесия x. Мы будем считать, что коэффициент упругости k испыты- вает стохастические изменения, которые символически обозначены чле- ном Noise 1 . Знак минус перед упругой силой означает, что она стремится вернуть частицу назад, к положению равновесия. Сила сопротивления тем больше, чем больше скорость (импульс) частицы. Так происходит при движении в среде (воздух, вода). Сопротивление стремится остано- вить движение. Будем также предполагать, что коэффициент сопротив- ления подвержен стохастическим воздействиям Noise 2 . Наконец, третья составляющая силы это шум Noise 3 , который может быть, например, внешними случайными толчками. Все три стохастические компоненты, в зависимости от ситуации, мож- но рассматривать как в качестве независимых, так и в качестве зави- симых случайных процессов. В общем случае между ними существуют некоторые корреляционные коэффициенты. Мы рассмотрим случай неза- висимых стохастических воздействий, считая, что они имеют различную причину, и поэтому нескоррелированы. Будем работать в системе единиц, для которой m = 1, k = 1 (l C 28 ). Стохастические уравнения движения в этом случае имеют вид: dx = p dt dp = ?x dt ? 2? p dt + ? 1 x ?W 1 + ? 2 p ?W 2 + ? 3 ?W 3 , где ? 1 волатильность коэффициента упругости, ? 2 силы трения, а ? 3 внешнего шума. Винеровские переменные ?W 1 , ?W 2 и ?W 3 представляют собой изменения трјх независимых процессов. Стохастическая природа 187 • Рассмотрим сначала общий случай, записав систему: dx = a dt + b · ?W, со следующими векторами и матрицами: x = x p , a = p ?x ? 2?p , b = 0 0 0 ? 1 x ? 2 p ? 3 , ?W = ? ? ?W 1 ?W 2 ?W 3 ? ? Для функции F (x) = F (x, p) координат и импульсов воспользуемся ди- намическим уравнением для средних (стр. 159 ): d dt hF (x)i = ?F ?x · a + 1 2 Tr b T · ? 2 F ?x 2 · b , ? 2 F ?x 2 = F xx F xp F px F pp , где F xx вторая производная по x, F xp производная по x и p, и т.д. Подставляя матрицы и перемножая их, получаем (l H 43 ): d dt D F (x, p) E = D pF x ? (x + 2?p)F p E + 1 2 D (? 2 1 x 2 + ? 2 2 p 2 + ? 2 3 )F pp E Выбор F = x и F = p приводит к системе уравнений, совпадающих с детерминированными (снос линеен!): ( ? x = p ? p = ? x ? 2? p . Еј решение с начальными условиями x 0 = x(0) , p 0 = p(0) имеет вид: ? ? ? x = x 0 cos ?t + p 0 +?x 0 ? sin ?t e ??t p = p 0 cos ?t ? x 0 +?p 0 ? sin ?t e ??t , (7.3) где ? = ? 1 ? ? 2 (мы считаем, что трение мало и ? < 1). При выводе ( 7.3 ) можно воспользоваться алгоритмом на стр. 164 или привести систему к одному дифференциальному уравнению второго порядка (l H 44 ). Выбор F = x 2 , p 2 , xp приводит к системе уравнений для моментов: ? ? ? ? ? ? x 2 = 2 xp ? xp = p 2 ? x 2 ? 2? xp ? p 2 = ?2 xp + ? 2 1 x 2 + (? 2 2 ? 4?) p 2 + ? 2 3 (7.4) Эта неоднородная линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений легко решается. Однако, так как уравнение для собственных значений оказывается кубическим, выражения получаются достаточно громоздкими. Ниже мы рассмотрим частные случаи этой системы. 188 Глава 7. • Если 4? > ? 2 1 + ? 2 2 , система имеет стационарный режим при t ? ?, в котором: x 2 = p 2 = ? 2 3 4? ? ? 2 1 ? ? 2 2 , xp = 0. (7.5) При ? > 0 средние стремятся к нулю, и матрица дисперсии оказывается диагональной: D = ? 2 3 4? ? ? 2 1 ? ? 2 2 1 0 0 1 Каждая разновидность шума увеличивает дисперсии, но по-разному. Тре- ние ? играет стабилизирующую роль, уменьшая D. Заметим, что динамика при t ? ? продолжается только, если су- ществует внешний шум (? 3 6= 0 ). Если ? 3 = 0 , стационарный режим также существует, но он вырождается в полное затухание колебаний, и x 2 = p 2 = 0 . Причина подобного поведения та же, что и у логисти- ческого уравнения (стр. 90 ). • Пусть детерминированной составляющей трения нет ? = 0, а флук- туации упругости и трения имеют одинаковые амплитуды ? 1 = ? 2 = ? Введјм энергию гармонического осциллятора: E = x 2 + p 2 2 Из ( 7.4 ) следует, что еј среднее значение удовлетворяет уравнению: d dt E = ? 2 E + ? 2 3 2 , а, следовательно, возрастает со временем: E = E 0 + ? 2 3 2? 2 e ? 2 t ? ? 2 3 2? 2 , E 0 = x 2 0 + p 2 2 2 Если стохастическое воздействие обусловлено только внешними толчка- ми (? 1 = ? 2 = 0 ), то рост не такой быстрый и аналогичен винеровскому увеличению неопределјнности hEi = E 0 + ? 2 3 t/2 . Так же, как и броунов- ская частица под внешним воздействием в среднем удаляется от началь- ного положения, так и квадрат амплитуды осциллятора при ? = 0 в среднем увеличивается. Стохастическая природа 189 • Если существуют только внешние толчки (? 1 = ? 2 = 0 ), то стохасти- ка имеет постоянную волатильность ? 3 = ? : dx = p dt dp = ?x dt ? 2? p dt + ? ?W. Подобную систему мы рассматривали в шестой главе (стр. 160 ). Она об- ладает точным решением, которое выражается через две независимые гауссовы переменные. Воспользуемся общим алгоритмом решения систе- мы линейных уравнений (см. стр. 164 ) с матрицами: A = 0 1 ?1 ?2? , B = 0 0 0 ? Чтобы найти e At , продифференцируем ( 7.3 ) по x 0 и p 0 : e At = ? cos ?t + ? sin ?t sin ?t ? sin ?t ? cos ?t ? ? sin ?t e ??t ? При помощи этой матрицы, интегрируя ( 6.28 ), стр. 167 , можно найти дисперсию координаты и импульса: D xx (t) D pp (t) = ? 2 4? ? ? 2 4?? 2 1 ? ? 2 cos(2?t) ± ?? sin(2?t) e ?2?t Верхний знак соответствует дисперсии для x: D xx = x 2 ? x 2 , а ниж- ний для p: D pp = p 2 ? p 2 . Дисперсия произведения динамических переменных D xp (t) = xp ? x p имеет вид: D xp (t) = ? 2 2? 2 sin 2 (?t) e ?2?t и стремится к нулю при t ? ? и ? > 0. В результате, в стационарном режиме (t ? ?) матрица дисперсий диагональна ( 7.5 ), поэтому автоко- вариационная матрица cov(?) равна e A T |? | с множителем ? 2 /4? При отсутствии трения ? = 0, ? = 1: D(t) = ? 2 2 t ? sin t cos t sin 2 t sin 2 t t + sin t cos t , e At = cos t sin t ? sin t cos t и, как мы видели выше, стационарного режима нет. Дисперсии по x и p растут во времени, совершая периодические колебания. Автоковариаци- онная матрица cov(t, t + ?) получается перемножением D(t) и e A T |? | 190 Глава 7. 7.3 Дрожание земной оси Наша Земля, несмотря ни на что, вращается вокруг своей оси с перио- дом, равным примерно 24 часа. Если ночью в хорошую погоду длитель- ное время смотреть на звјздную сферу у нас над головой, видно, что она поворачивается вокруг некоторой точки в окрестности Полярной звезды (в северном полушарии). Именно туда направлена мгновенная ось вращения Земли. Если бы наша планета была абсолютно твјрдым телом, то еј динамика подчинялась бы уравнениям Эйлера. Выберем систему отсчјта, жестко связанную с Землей, направив ось z к северному полюсу, а x и y располо- жив в плоскости экватора. В первом приближении Земля представляет собой симметричный эллипсоид (шар, несколько сплюснутый вдоль оси z ). Поэтому еј моменты инерции, вычисленные в этой системе, равны J z = J 1 = 2M r 2 2 /5 и J x = J y = J 2 = M (r 2 1 + r 2 2 )/5 , где M масса Земли, а r i радиусы эллипсоида в направлении к полюсу r 1 и в экваториальной плоскости r 2 . Уравнения Эйлера для свободного вращения имеют вид: ? ? ? J 1 ? ? z = 0 J 2 ? ? x + (J 1 ? J 2 ) ? z ? y = 0 J 2 ? ? y + (J 2 ? J 1 ) ? z ? x = 0. Вектор ? = {? x , ? y , ? z } это угловая скорость вращения. Она направ- лена вдоль мгновенной оси вращения и по модулю равна ? = d?/dt повороту на малый угол d? за время dt. Проекции ? вычислены в си- стеме отсчјта, связанной с Землјй. Поэтому, когда мы находимся на еј поверхности, положение наблюдаемого центра звјздной сферы задајт- ся ?. Первое уравнение системы приводит к постоянству проекции угловой скорости ? z = const . Два вторых являются осцилляторными и имеют периодические решения: ? ? ? ? x = A cos(?t) ? y = A sin(?t) ? z = const ? = ? z (J 1 ? J 2 )/J 2 |