Стохастический мир
 Скачать 2.82 Mb.
|
|
Переходя к дискретному представлению интеграла, подобные функци- оналы можно рассматривать как функции большого числа переменных: F (f 1 , ..., f n ) = n X i=1 f i ?x, где ?x = (b ? a)/n, а f i = f (a + i ?x) Аналогично обычным функциям решается задача поиска экстремума (максимума или минимума) функционала. Для этого необходимо найти функцию, для которой функционал дајт, например, наибольшее значе- ние. В дискретном приближении задача эквивалентна поиску экстрему- ма функции n переменных f 1 , ..., f n . Необходимо взять производные по f k и приравнять их к нулю. Взятие производной от функционала назы- вается его вариацией и в непрерывном пределе обозначается следующим образом: ?F (f 1 , ..., f n ) ?f k ? ?F [f ] ?f (x) В большинстве случаев взятие вариации достаточно тривиально, одна- ко, если встречаются двойные интегралы, то необходима определјнная осторожность. Например, для 1 Z 0 f 2 (y) y Z 0 f 4 (z)dzdy ? h f 2 1 (f 4 1 )+f 2 2 (f 4 1 +f 4 2 )+f 2 3 (f 4 1 +f 4 2 +f 4 3 )+... i ?z?y вариация по f(x) будет равна: 2f (x) x Z 0 f 4 (z)dz + 4f 3 (x) 1 Z x f 2 (y)dy. Обращаем внимание на нижний предел во втором интеграле. Проверить это соотношение проще всего, взяв производную ряда по некоторому кон- кретному значению f k , например, по f 5 M: Математические приложения 321 Естественно, представлять каждый раз функционалы в виде интеграль- ных сумм достаточно утомительное занятие. Удобнее использовать функции Дирака ?(x) и Хэвисайда ?(x): ?(x) = ? x = 0 0 x 6= 0, ?(x) = 0 x < 0 1 x ? 0. Функция Дирака обобщает на непрерывный случай символ Кронекера: ?f i ?f j = ? ij ? ?f (y) ?f (x) = ?(y ? x). Ступенчатая функция Хэвисайда позволяет бороться с пределами инте- грирования, зависящими от времени. Предыдущий пример можно запи- сать в следующем виде: I[f ] = 1 Z 0 1 Z 0 f 2 (y) f 4 (z) ?(y ? z) dzdy. Вычисляя вариацию произведения аналогично производной произведе- ния, получаем: ?I ?f (x) = 1 Z 0 1 Z 0 2f (y)?(y ? x) f 4 (z) + f 2 (y) 4f 3 (z)?(z ? x) ?(y ? z) dzdy. Проинтегрируем с функцией Дирака (стр. 315 ): ?I ?f (x) = 1 Z 0 2f (x) f 4 (z)?(x ? z) dz + 1 Z 0 f 2 (y) 4f 3 (x) ?(y ? x)dy. Функция Хэвисайда ограничивает пределы интегрирования, и оконча- тельный результат имеет вид: ?I ?f (x) = 2f (x) x Z 0 f 4 (z)dz + 4f 3 (x) 1 Z x f 2 (y)dy. Подобная техника применима и тогда, когда функционал зависит от про- изводной функции. В этом случае: ?f 0 (y) ?f (x) = d dy ?f (y) ?f (x) = ? 0 (y ? x). Дальнейшее интегрирование с производной от дельта-функции ? 0 (x ? y) осуществляется по частям. 322 H: Помощь В этой главе приведены решения задач, которые в основном тексте были помечены символом (l H i ). 323 324 • H 1 Решение логистического уравнения. Сделав замену x(t) = 1/y(t) для y(t), получаем линейное уравнение: ? y = ??y + ?. Решим сначала однородное уравнение ?y = ??y => y = A e ??t , где A константа интегрирования. Решение неоднородного уравнения ищем в виде y = A(t) e ??t , и для функции A(t) получаем уравнение: ? A = ?e ?t Разделяя переменные и интегрируя, находим A(t) = A 0 + (?/?) e ?t . В результате y(t) = A 0 e ??t + ?/? . Начальное условие y(0) = 1/x 0 = A 0 + ?/? позволяет определить константу A 0 = 1/x 0 ? ?/? • H 2 Решение осцилляторного уравнения. Взяв производную по времени от определения импульса ?x = p/m и подставив в неј уравнение Ньютона для упругой силы ?p = ?kx, имеем: Ё x + ? 2 x = 0, где две точки над x вторая производная по времени, а ? = pk/m. По- добные линейные уравнения с постоянными коэффициентами решаются подстановкой x(t) = e ?k t , где ? мнимая единица, а k константа, опре- деляемая из квадратного характеристического уравнения k 2 = ? 2 или k = ±? . В результате получаются два частных решения, сумма которых с произвольными константами дајт общее решение: x(t) = C 1 e ??t + C 2 e ???t Воспользовавшись формулой Эйлера e i? = cos ? + ? sin ? , получаем ре- шение в виде суммы косинуса и синуса с частотой ?. Осталось задать начальные условия. • H 3 Эксцесс и другие моменты распределения Гаусса. Воспользуемся средним от экспоненты ( 1.11 ), стр. 16 : he ? ? i = e ? 2 /2 Разложим в ряд по ? левую и правую части соотношения: 1 + h?i ? + ? 2 ? 2 2! + ? 3 ? 3 3! + ? 4 ? 4 4! + .. = 1 + ? 2 /2 + ? 4 /2 2 2! + ... Приравнивая слагаемые с одинаковыми степенями ?, получаем: h?i = 0, ? 2 = 1, ? 3 = 0, ? 4 = 3. H: Помощь 325 • H 4 Среднее логнормального распределения. Вычислим среднее значение hxi = x 0 he r i = x 0 e µ he ?? i = x 0 e µ+? 2 /2 , где использована формула ( 1.11 ) на стр. 16 . Получается любопытный и важный результат. Если µ = ?? 2 /2 , то среднее значение hxi = x 0 . При этом среднее логарифма отрицательно: hln(x/x 0 )i = hri = µ < 0 • H 5 Регрессионная прямая. Взяв производные (? + ? · x ? y) 2 по ?, ? и приравняв их к нулю: 2 h? + ?x ? yi = 0, 2 hx · (? + ?x ? y)i = 0, получим систему линейных уравнений относительно параметров ? и ?: ( ? + ? hxi = hyi ? hxi + ? x 2 = hxyi . Она легко решается и дајт наклон прямой, равный: ? = hxyi ? hxi hyi hx 2 i ? hxi 2 = h(x ? Ї x)(y ? Ї y)i ? 2 x = ?(x, y) ? y ? x , и ? = Їy ? ?Їx. • H 6 Бесконечная делимость Гаусса, Коши и гамма. Характеристическая функция для n гауссовых чисел равна: ? z (k) = h e ix 0 k?? 2 k 2 /2 i n = e in x 0 k?n? 2 k 2 /2 Поэтому среднее суммы равно n x 0 , где x 0 среднее каждого слагаемого, а волатильность ? z = ? n ? Для распределения Коши: ? z (k) = e inx 0 k?na|k| в n раз увеличиваются и среднее значение, и ширина распределения a. Для гамма-распределения: ? z (k) = 1 (1 ? i?k) nµ параметр ? не изменяется, а µ увеличивается в n раз. Заметим, что, если для Гаусса и Коши сумма двух распределений с любыми параметрами снова дајт исходное распределения, то для гамма- распределения у них должны быть одинаковые ? (!). 326 • H 7 Эксцесс суммы z = x 1 + ... + x n Будем вычислять средние hz m i при помощи характеристической функ- ции ? z (k) = ? n (k) . Для этого возьмјм еј производные (опуская аргумент k ): ? 0 z = n ? n?1 ? 0 ? 00 z = n(n ? 1) ? n?2 ? 02 + n ? n?1 ? 00 ? 000 z = n(n ? 1)(n ? 2) ? n?3 ? 03 + 3n(n ? 1) ? n?2 ? 0 ? 00 + n? n?1 ? 000 ? 0000 z = n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ? n?4 ? 04 + 6n(n ? 1)(n ? 2) ? n?3 ? 02 ? 00 + 3n(n ? 1) ? n?2 ? 002 + 4n(n ? 1) ? n?2 ? 0 ? 000 + n? n?1 ? 0000 Будем считать, для простоты, что средние hx i i = 0 (что всегда можно сделать соответствующим сдвигом). Поэтому ? 0 (0) = 0 . Кроме этого, hz m i = ? (m) z (0)/i m , hx m i = ? (m) (0)/i m и ?(0) = 1. В результате: z 2 = n x 2 z 3 = n x 3 z 4 = n x 4 + 3n(n ? 1) x 2 2 Эксцесс распределения z равен: excess = z 4 hz 2 i 2 ? 3 = 1 n x 4 hx 2 i 2 + 3 n ? 1 n ? 3 ? 0. В пределе n ? ? эксцесс становится равным нулю. Несложно видеть, что и асимметрия также стремится к нулю. Именно гауссово распреде- ление обладает нулевой асимметрией (оно симметрично) и нулевым экс- цессом. • H 8 Детерминированность dx = ? m dt Решаем итерациями: x(t) = x 0 + u t, u = ? m 1 + ... + ? m n n Статистические свойства случайной величины u выясняются, как и в случае m = 1, 2. Еј среднее равно нулю для нечјтных m и h? m i для чјтных. Для квадрата получаем: u 2 = 1 n 2 n X i,j=1 ? m i ? m j = 1 n 2 h n ? 2m + (n 2 ? n) h? m i 2 i Поэтому дисперсия u 2 ? hui 2 = ? 2m ? h? m i 2 /n ? 0 при n ? ?. H: Помощь 327 • H 9 Решение нестационарного уравнения. q s 2 0 + ... + s 2 n?1 ? ?t = q (s 2 0 + ... + s 2 n?1 )?t. В пределе ?t ? 0 сумма под корнем превращается в интеграл от s 2 (t) • H 10 Точное решение стохастического уравнения. ?F ?x = s(t) b(x, t) => ? 2 F ?x 2 = ? s(t) b 2 (x, t) ?b(x, t) ?x = ? s b 2 ?b ?x Подставляя эти производные в детерминированную часть формулы Ито и приравнивая еј к f(t), получим второе уравнение ( 2.21 ) на стр. 57 • H 11 Логарифмический процесс Орнштейна-Уленбека. s(t) = ?e ?t , F (x, t) = e ?t ln x, f (t) = ?(1 + ln ?) ? ? 2 2 e ?t После элементарного интегрирования получаем решение уравнения ( 2.28 ): ln x(t) ? = 1 ? ? 2 2? + ln x 0 ? ? 1 + ? 2 2? e ??t + ? ? 2? p 1 ? e ?2?t ?. Обратим внимание на член ? 2 /2? в сносе. Среднее значение цены полу- чается при помощи формулы ( 1.11 ), стр. 16 : Ї x(t) = ? exp 1 ? ? 2 2? + ln x 0 ? ? 1 + ? 2 2? e ??t + ? 2 4? 1 ? e ?2?t В асимптотическом пределе t ? ? среднее стремится к уровню ?e 1?? 2 /4? Решение можно также получить, сделав при помощи формулы Ито замену y = ln x. Стохастическое уравнение для y имеет форму обычного процесса Орнштейна-Уленбека. • H 12 Броуновская ловушка. s(t) = ?, F (x, t) = ln |x ? ?|, f (t) = ?? ? ? 2 /2, и, соответственно, решение записывается в следующем виде: x = ? + (x 0 ? ?) e ?(?+? 2 /2) t+? ? t? (29) Это решение можно получить сразу из ( 2.25 ), стр. 58 , заменами x ? x??, x 0 ? x 0 ? ? . Среднее значение и волатильность равны: Ї x(t) = ? + (x 0 ? ?) e ??t , ?(t) = |x 0 ? ?| e ??t p e ? 2 t ? 1. Видно, что среднее значение стремится к ?, а ? к нулю, если ? > ? 2 /2 328 • H 13 Автоковариация логарифмического блуждания. Мы уже вычисляли среднее случайного процесса и среднее квадрата: hx t i = x 0 D e (µ?? 2 /2)t+? ? t ? E = x 0 e µt , x 2 t = x 2 0 e (2µ+? 2 )t Решение в момент времени t + ? мы записываем в виде: x t+? = x t e (µ?? 2 /2)? +? ? ? ? , где случайная величина ? не зависит от x t = x(t) . Поэтому: hx t+? x t i = x 2 t D e (µ?? 2 /2)? +? ? ? ? E = x 2 t x 0 e µ? Автоковариация окончательно равна : cov(t, t + ? ) = x 2 0 e µ·(2t+? ) h e ? 2 t ? 1 i • H 14 Автоковариация броуновского моста. Запишем решение в момент времени t + ? в следующем виде: x t+? = ? + (x t ? ?) T ? t ? ? T ? t + ? r ? · (T ? t ? ? ) T ? t ?. Поэтому: hx t+? x t i = T ? t ? ? T ? t h x 2 (t) ? hx(t)i 2 i Окончательно: cov(t, t + ? ) = ? 2 (T ? t ? ? ) t ? t 0 T ? t 0 • H 15 Автоковариация процесса Орнштейна - Уленбека. Запишем решение относительно момента t: x t+? = ? + (x t ? ?)e ??? + ? ? 2? p 1 ? e ?2?? ?. Среднее произведения, в силу независимости x t и ?, равно: hx t+? x t i = ? hx t i + x 2 t ? ? hx t i e ??? Поэтому cov(t, t + ? ) = hx t+? x t i ? hx t+? i hx t i = ( x 2 t ? hx t i 2 ) e ??? H: Помощь 329 • H 16 Фурье-разложение f(t) = t ? t 2 /T на интервале t = [0..T ]. Воспользуемся формулами приложения M на стр. 314 : f (t) = ? X k=?? c k e i2?kt/T , c n = T Z 0 f (t)e ?i2?nt/T dt T Для вычисления интегралов с f(t) = t m удобно сначала вычислить сле- дующую производящую функцию: T Z 0 e ? t?i2?nt/T dt T = e ?T ? 1 ?T ? i2?n Взяв производные левой и правой части по ? при значении ? = 0, мы получим необходимые нам интегралы: T Z 0 t e ?i2?nt/T dt T = iT 2?n , T Z 0 t 2 e ?i2?nt/T dt T = T 2 2?n 1 ?n + i Они справедливы для n 6= 0. Коэффициент при n = 0 вычисляется прямым интегрированием: T Z 0 t ? t 2 T dt T = T 6 Поэтому разложение в ряд Фурье имеет вид: t ? t 2 T = T ? 2 " ? 2 6 ? ? X k=1 cos(2?kt/T ) k 2 # Часть в сумме, пропорциональная синусам, сокращается в силу еј нечјт- ности и чјтности c k . Остаются только косинусы. Заметим, что, если t = 0, то получается следующий ряд: ? X k=1 1 k 2 = ? 2 6 Представим теперь по формуле cos(2?) = 1 ? 2 sin 2 (?) косинус двойного угла и учтјм значение этого ряда. В результате: t ? t 2 T = 2T ? 2 ? X k=1 sin 2 (?kt/T ) k 2 330 • H 17 Решение системы связанных уравнений итерациями. dx = ?W dy = x ?W. Итерационная схема имеет вид: x k = x k?1 + ? k ? ?t. y k = y k?1 + x k?1 ? k ? ?t. Для переменной x, n?я итерация x n = x 0 + (? 1 + ... + ? k ) ? ?t сворачи- вается в одно гауссово число x k = x 0 + ? ? t , где t = n?t. Для y n : y n = y 0 + x 0 · (? 1 + ... + ? n ) ? ?t + [? 1 ? 2 + (? 1 + ? 2 )? 3 + (? 1 + ? 2 + ? 3 )? 4 + ...]?t. Множитель при x 0 снова ? ? t . В квадратных скобках стоят все непо- вторяющиеся произведения ? i ? j с i < j. Этот ряд можно переписать: ? 1 ? 2 + (? 1 + ? 2 )? 3 + (? 1 + ? 2 + ? 3 )? 4 + ... = 1 2 (? 1 + ... + ? n ) 2 ? 1 2 (? 2 1 + ... + ? 2 n ). Вводя случайное число u = (? 2 1 + ... + ? 2 n )/n , получаем решение: y n = y 0 + x 0 ? ? t + (? 2 ? u 2 ) t 2 В разделе § 2.2 , стр. 52 мы видели, что величина u не является случайной и фактически равна единице u = 1 при n ? ? и ?t ? 0. • H 18 Вычисление средних для системы связанных уравнений. Запишем решение при помощи гауссовой случайной величины: y = y 0 + x 0 W + 1 2 (W 2 ? t) = y 0 + x 0 ? ? t + 1 2 (? 2 ? 1) t Так как ? = 0, ? 2 = 1 , очевидно, что y = y 0 . Найдјм дисперсию: (y ? y 0 ) 2 = x 2 0 t ? 2 + x 0 t 3/2 ? 3 ? ? + t 2 4 ? 4 ? 2? 2 + 1 Учитывая, что ? 4 = 3 , получаем (y ? y 0 ) 2 = x 2 0 t + t 2 /2 . С другой стороны, при помощи ( 2.44 ), стр. 74 , имеем: (y(t) ? y 0 ) 2 = t Z 0 (x 0 + ? ? ? ) 2 d? = t Z 0 [x 2 0 + ? ]d?, что приводит к тому же результату. H: Помощь 331 • H 19 Средние значения для линейного по x процесса. Рассмотрим уравнение: dx = (? + ?x) dt + (? + ?x) ?W. Выбирая F (x) = x k , k = 1, 2, ..., имеем: ? x k = k ? + k ? 1 2 ? 2 x k + k [? + ? · (k ? 1)?] x k?1 + k(k ? 1)? 2 2 x k?2 Это простое неоднородное уравнение относительно x k (t) с функциями времени x k?1 (t) и x k?2 (t) , вид которых получается из предыдущих урав- нений. Например, для k = 1 справедливо ( 3.2 ), стр. 78 , поэтому ?x = ? + ? x => x(t) = ? ? ? + x 0 + ? ? e ?t Для квадрата (k = 2): ? x 2 = (2? + ? 2 ) x 2 + 2(? + ??) x + ? 2 Так как Їx(t) нам известна, уравнение легко интегрируется. Получим сна- чала решение однородного уравнения ? x 2 = (2? + ? 2 ) x 2 в виде x 2 = A e (2?+? 2 )t . Считая, что константа A является функцией времени, под- ставляя в неоднородное уравнение, найдјм для A(t) интегрируемое урав- нение. В результате: x 2 (t) = 2 ? ?? ? ?? 2 ?? 2 ? 2 ? ?(? + ?x 0 ) ?? 1 e ? t + x 2 0 + 2 ? ?x 0 ? 1 + 2 ? ?? + ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 e ? 2 t , где ?? = ? + ??, ? n = n ? + ? 2 , и в качестве начального условия выбрано x 2 (0) = x 2 0 . Для средних более высоких степеней будут появляться всј новые экспоненты. • H 20 Асимптотическая плотность вероятностей. dx = ?? · (x ? ?) dt + ? x ? ?W. В этом случае (? = 2?/? 2 , ? = ??) также возможно стационарное реше- ние с плотностью вероятностей: |