Стохастический мир

• Название: Стохастический мир
• Дата: 27.09.2022
• Размер: 2.82 Mb.
• Имя файла: stepanov1.pdf
• Тип: Документы; #700302
• страница: 17 из 20

1 ? ?
2 2
?2 ? ?

= ?
2
+ ? ? 6 = 0
=>
?
1
= ?3, ?
2
= 2.
Для каждого собственного значения решим систему уравнений:
1 2
2 ?2

·
u
(1)
1
u
(1)
2
!
= ?3
u
(1)
1
u
(1)
2
!
=>
u
(1)
2
= ?2u
(1)
1
Аналогично u
(2)
1
= 2u
(2)
2
. Поэтому, с учјтом (
10
), имеем:
u
(1)
=
1
?
5
 1
?2

,
u
(2)
=
1
?
5
2 1


M: Математические приложения
311
•
Собственные вектора и собственные значения используются для диа- гонализации квадратичных форм. Предположим, что мы имеем выраже- ние вида:
F = x
T
· A · x =
n
X
i,j=1
x i
a ij x
j
Сделаем замену переменных и перейдјм к величинам y i
:
x i
=
n
X
?=1
u
(?)
i y
?
,
(11)
где u
(?)
i
 собственные вектора матрицы A. Тогда:
F =
n
X
i,j,?,?=1
y
?
u
(?)
i a
ij u
(?)
j y
?
=
n
X
i,?,?=1
y
?
u
(?)
i
?
?
u
(?)
i y
?
=
n
X
?=1
?
?
y
2
?
,
где мы сначала воспользовались уравнением на собственные значения,
а затем ортогональностью собственных функций и свјрткой с символом
Кронекера.
Таким образом, если нам известны собственные значения и вектора матрицы A, мы всегда можем найти такое преобразование координат,
которое диагонализирует квадратичную форму x
T
· A · x
•
Ещј одно замечательное свойство собственных значений состоит в том, что их произведение дајт определитель матрицы:
det A =
n
Y
i=1
?
i
= ?
1
· ?
2
· ... · ?
n
(12)
Докажем это, введя матрицу C = c
??
= u
(?)
?
. Для неј справедливо соот- ношение:
(C
T
· C)
??
=
n
X
i=1
c
T
?i c
i?
=
n
X
i=1
c i?
c i?
=
n
X
i=1
u
(?)
i u
(?)
i
= ?
??
Так как детерминант произведения матриц равен произведению их де- терминантов, то det C
T
det C = 1
. Введјм матрицу A
0
= C
T
· A · C
. Еј
определитель равен: det A
0
= det C
T
det A det C = det A.
Матрицу A
0
можно представить в виде:
A
0
??
=
n
X
i,j=1
C
i?
A
ij
C
j?
=
n
X
i,j=1
u
(?)
i
A
ij u
(?)
j
=
n
X
i=1
?
?
u
(?)
i u
(?)
i
= ?
?
?
??
,
где мы воспользовались уравнением на собственные значения и соотно- шением ортогональности. Так как A
0
диагональна и det A = det A
0
, мы приходим к (
12
).

312
V Полезные интегралы
•
Рассмотрим гауссовый интеграл (или интеграл Эйлера-Пуассона):
I =
?
Z
??
e
?x
2
dx.
Он вычисляется в координатах (r, ?): x = r cos ?, y = r sin ?, как двойной интеграл.
I
2
=
?
Z
??
?
Z
??
e
?x
2
?y
2
dxdy =
2?
Z
0
?
Z
0
e
?r
2
rdrd? = 2?
?
Z
0
e
?r
2
d r
2 2
= ?,
где мы воспользовались тем, что в полярных координатах (r, ?) эле- мент площади равен произведению дуги rd? на изменение радиуса dr:
dxdy = rd? dr
. Это следует из якобиана или геометрических соображе- ний (элемент дуги равен rd?, так как для полного изменения ? = [0..2?]
получается длина окружности 2?r).
x = r cos ?
y = r sin ?
x
2
+ y
2
= r
2
dx dy = r dr d?
Извлекая квадратный корень и делая замену x ? x
?
?
, получаем:
I(?) =
?
Z
??
e
??x
2
dx =
r ?
?
(13)
Полезный пријм  взятие производных правой и левой частей по парамет- ру для получения интегралов от чјтных степеней x
2n
. Интеграл от нечет- ных степеней x, в силу антисимметричности подынтегральной функции,
равен нулю. Если выделить полный квадрат в выражении ??x
2
+ ?x
,
получим ?? ·
h
(x ? ?/2?)
2
? ?
2
/4?
2
i
В результате легко вычисляется следующий интеграл:
?
Z
??
e
??x
2
+?x dx =
r ?
?
e
?
2
/4?
(14)
При помощи замены x
0
= x ? ?/2?
он сводится к (
13
).

M: Математические приложения
313
•
Ещј одну полезную формулу можно получить на основе интеграла:
I(?) =
?
Z
0
e
??x dx = ?
1
?
e
??x
?
0
=
1
?
Взяв n раз производную по ? и определив факториал числа n! = 1·2·..·n,
получаем:
?
Z
0
x n
e
??x dx =
n!
?
n+1
(15)
Интегралы такого типа встречаются достаточно часто, поэтому для них введено специальное обозначение в виде гамма-функции:
?(z) =
?
Z
0
x z?1
e
?x dx .
(16)
Интегрируя по частям, убеждаемся, что ?(z + 1) = z?(z). В частности,
для целых аргументов: ?(n + 1) = n!. Для полуцелых аргументов гамма- функция сводится к гауссовым интегралам. Так, ?(1/2) =
?
?
При помощи (
15
) можно получить формулу, позволяющую вычислять факториал при больших n. Представим x n
e
?x в виде e f (x)
. Функция f (x) = ?x + n ln x имеет максимум в точке x
0
= n
, так как f
0
(x
0
) =
?1 + n/x
0
= 0
. Разложим еј в ряд в окрестности этой точки (f
0
(n) = 0
):
f (x) = f (n) + f
00
(n)(x ? n)
2
/2 + .. = ?n + n ln n ? (x ? n)
2
/2n + ...
Поэтому n! ? e
?n+n ln n
?
Z
0
e
?
(x?n)2 2n dx ? e
?n+n ln n
?
Z
??
e
?
(x?n)2 2n dx = e
?n+n ln n
?
2?n.
Во втором интеграле нижний предел заменјн на ??, так как при боль- шом n максимум экспоненты уходит далеко вправо и становится всј бо- лее узким, поэтому интеграл от ?? до 0 практически равен нулю. Таким образом, мы получили формулу Стирлинга:
n! ?
?
2?n

n e

n
,
которая уже при n = 10 дает относительную ошибку, меньшую 1%.

314
VI Интегралы и ряды Фурье
•
Для целых чисел n, m и ?
2
= ?1
справедлива формула:
b
Z
a e
?2?(n?m) t/T
dt
T
= ?
nm
=
 1 n = m
0
n 6= m,
(17)
где T = b ? a, а ?
nm
 символ Кронекера. Рассмотрим периодическую функцию с периодом T : f(t + T ) = f(t). Представим еј на интервале t = [a...b]
в виде следующего ряда:
f (t) =
?
X
k=??
c k
e
?2?kt/T
= c
0
+ c
1
e
?2?t/T
+ c
?1
e
??2?t/T
+ ...
(18)
Чтобы f(t) была действительна f
?
(t) = f (t)
, должны выполняться соот- ношения: c
?
k
= c
?k
. Для функции f(t), при помощи (
17
), можно найти коэффициенты c k
и тем самым определить Фурье-разложение:
b
Z
a f (t)e
??2?nt/T
dt
T
=
?
X
m=??
c m
b
Z
a e
?2?(m?n)t/T
dt
T
=
?
X
m=??
c m
?
mn
= c n
Если записать c k
= (a k
? ib k
)/2
, то разложение действительной функции можно представить в виде бесконечной суммы вида:
f (t) = c
0
+
?
X
k=1
a k
cos(w k
t) + b k
sin(w k
t)
.
Частоты w k
= 2?k/T
называют гармониками.
•
Рассмотрим симметричный интервал [a, b] = [?T/2, T/2] и введјм коэффициенты ?
k
= T c k
. Обозначив t k
= 2?k/T
, запишем ряд Фурье:
f (x) =
?
X
k=??
?
k e
? t k
x
1
T
,
?
k
=
T /2
Z
?T /2
f (x) e
?? t k
x dx.
Устремим T ? ?. Величину t k
можно рассматривать, как непрерыв- ную переменную, изменение которой равно ?t = t k
? t k?1
= 2?/T
. По определению интеграла выражение для f(x) можно записать в виде:
f (x) =
1 2?
?
Z
??
?(t) e
? tx dt,
?(t) =
?
Z
??
f (x) e
?? tx dx,
(19)
где ?(t) становится функцией параметра t = t k
. Соотношения (
19
) назы- ваются интегральным фурье-преобразованием.

M: Математические приложения
315
•
Понятно, что подстановка одного уравнения (
19
) в другое должно приводить к тождественному результату:
?(t) =
?
Z
??
?
?
?
Z
??
?(s) e
?sx ds
2?
?
?
e
?? tx dx
=
?
Z
??
?
?
?
Z
??
e
? x·(s?t)
dx
2?
?
?
?(s) ds.
Обозначим выражение в квадратных скобках во втором равенстве в виде следующей функции:
?(s ? t) =
1 2?
?
Z
??
e
?x·(s?t)
dx.
(20)
Тогда тождественное преобразование принимает форму:
?(t) =
?
Z
??
?(s) ?(s ? t) ds.
(21)
Функция (
20
) со свойством (
21
) называется ?-функцией Дирака. Восполь- зуемся (
17
) на интервале [?T/2, T/2], обозначив переменную интегриро- вания через x:
1 2?
T /2
Z
?T /2
e
?(t n
?t m
) x dx =
T
2?
?
nm
При T ? ? это выражение стремится к функции Дирака. С другой стороны, если t n
6= t m
он равен нулю. Поэтому:
?(s ? t) =
 ?
s = t
0
s 6= t
Это существенно разрывная функция, являющаяся непрерывным анало- гом символа Кронекера. В силу еј общего свойства (
21
) можно также записать условие нормировки:
?
Z
??
?(s ? t) ds = 1.
Другими словами, несмотря на то, что ?(0) = ?, интеграл (площадь)
от этой функции равен единице. Так как ?-функция равна нулю везде,
за исключением ?(0), интеграл на самом деле может быть по любым пределам, включающим точку особенности функции Дирака. Отметим также очевидное свойство симметричности: ?(?x) = ?(x).

316
VII Метод характеристик
Достаточно часто возникают линейные уравнения в частных производ- ных первого порядка:
n
X
i=1
Y
i
(x
1
, ..., x n
)
??
?x i
= 0,
(22)
где Y
i
(x
1
, ..., x n
)
 заданные функции n переменных, а ? = ?(x
1
, ..., x n
)

неизвестная функция.
Так как это уравнение линейное, то для него справедлив принцип су- перпозиции. Если ?
1
= ?
1
(x
1
, ..., x n
)
и ?
2
= ?
2
(x
1
, ..., x n
)
 два решения
(
22
), то их линейная комбинация ? = C
1
?
1
+ C
2
?
2
с постоянными коэф- фициентами тоже будет решением дифференциального уравнения.
Если уравнение неоднородное и содержит в правой части функцию:
n
X
i=1
Y
i
(x
1
, ..., x n
)
??
?x i
= Y
n+1
(x
1
, .., x n
),
его можно свести к однородному. Для этого рассмотрим функцию n + 1
аргументов w(x
1
, ..., x n
, ?) = C = const
, равную константе. Соответ- ственно, еј дифференциал будет равен нулю:
dC = 0 =
n
X
i=1
?w
?x i
dx i
+
?w
??
d?.
Запишем в явном виде дифференциал для d?:
dC = 0 =
n
X
i=1
?w
?x i
dx i
+
?w
??
n
X
i=1
??
?x i
dx i
=>
??
?x i
= ?
?w
?x i
/
?w
??
Подставляя в неоднородное уравнение производную ??/?x i
получаем од- нородное уравнение:
n
X
i=1
Y
i
??
?x i
= Y
n+1
=>
n
X
i=1
Y
i
?w
?x i
+ Y
n+1
?w
??
= 0.
Если неоднородность вида Y
n+1
?
, то она устраняется заменой ? = e
?
Решение уравнения в частных производных (
22
) может быть сведено к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого используется метод характеристик.

M: Математические приложения
317
•
Метод характеристик. Рассмотрим n переменных x
1
, ..., x n
. Запи- шем систему дифференциальных уравнений в симметричном виде:
dx
1
Y
1
=
dx
2
Y
2
= ... =
dx n
Y
n
,
(23)
где Y
i
= Y
i
(x
1
, ..., x n
)
 произвольные функции. Пусть зависимой пере- менной будет x
1
. Тогда (
23
) соответствует n?1 дифференциальным урав- нениям:
dx
2
dx
1
=
Y
2
Y
1
,
dx
3
dx
1
=
Y
3
Y
1
, ...,
dx n
dx
1
=
Y
n
Y
1
Для решения n ? 1 уравнений потребуется n ? 1 начальных условий,
и, следовательно, n ? 1 независимых констант. Решения будут выгля- деть в следующем виде x i
= f i
(x
1
, C
1
, ..., C
n?1
)
. Их можно разрешить относительно C
i
, записав C
i
= g i
(x
1
, ..., x n
)
. Подобные постоянные функ- ции называются интегралами системы. Если мы возьмјм произвольную функцию F (g
1
, ..., g n?1
) = C = const
, то она будет общим интегралом системы, если g i
 интегралы.
Рассмотрим теперь некоторый интеграл системы:
C = ?(x
1
, ..., x n
).
Дифференциал константы равен нулю, поэтому:
n
X
i=1
??
?x i
dx i
= 0.
(24)
Уравнения (
23
) можно записать в векторном виде: dx = ? Y, где ?
 произвольная константа, а x = (x
1
, ..., x n
)
, Y = (Y
1
, ..., Y
n
)
. Другими словами, вектора dx и Y являются параллельными. Выражение (
24
) эк- вивалентно утверждению о перпендикулярности двух векторов  гради- ента ??/?x i
и dx. Так как dx и Y параллельны, то перпендикулярными будут также градиент и Y. Поэтому:
n
X
i=1
Y
i
(x
1
, ..., x n
)
??
?x i
= 0.
(25)
Таким образом, чтобы решить уравнение в частных производных (
25
),
необходимо найти интегралы системы дифференциальных уравнений (
23
)
и с их помощью построить общий интеграл C = ?(x
1
, ..., x n
)
, который и будет решением (
25
).

318
VIII Экстремум и множители Лагранжа
•
Экстремум (минимум или максимум) функции многих переменных
F (x
1
, ..., x n
)
находится так же, как и в одномерном случае. Для этого необходимо взять частные производные по каждой переменной и при- равнять их к нулю. Решение получившейся системы n уравнений и будет соответствовать экстремуму функции.
Чтобы понять, как ведјт себя функция в точке экстремума {Їx
1
, ..., Ї
x n
}
,
можно записать ряд Тейлора в еј окрестности:
F (x
1
, ..., x n
) = F (Ї
x
1
, ..., Ї
x n
) +
n
X
i,j=1
a ij
(x i
? Ї
x i
)(x j
? Ї
x j
) + ...
Первые производные F равны нулю (условие экстремума), поэтому раз- ложение представляет собой квадратичную форму. Знаки собственных значений матрицы a ij определяют характер экстремума. Так как a ij явля- ется симметричной матрицей, то с помощью линейного преобразования еј всегда можно сделать диагональной (стр.
311
) и проанализировать по каждой координате, минимум это или максимум.
Например, если F (x, y) = x
2
+ y
2
, то это минимум, F (x, y) = ?x
2
? y
2
 максимум, а F (x, y) = x
2
? y
2
 это поверхность, похожая на седло
(вдоль оси x функция возрастает, а вдоль y  уменьшается).
•
Иногда возникают задачи, в которых необходимо найти максимум или минимум при наличии ограничений. Например, нас интересует точ- ка (x
1
, ..., x n
)
, максимизирующая функцию F (x
1
, ..., x n
)
и одновременно находящаяся на поверхности G(x
1
, ..., x n
) = 0
. Условия ограничений на- зывают связями.
Рассмотрим сначала случай двух переменных F (x, y) при ограничении
G(x, y) = 0
. Предположим, что уравнение связи G(x, y) = 0 позволяет выразить y через x: y = g(x). Тогда мы получим обычную одномерную задачу оптимизации, для решения которой необходимо взять производ- ную функции F (x, g(x)) по x и приравнять еј к нулю:
?F
?x
+
?F
?y g
0
(x) = 0.
(26)
Решив это уравнение, мы получим точку экстремума {x
0
, y
0
= g(x
0
)}

M: Математические приложения
319
•
На практике не всегда удајтся решить уравнение G(x, y) = 0. В этом случае можно взять дифференциал его левой и правой части и выразить производную g(x):
dG =
?G
?x dx +
?G
?y dy = 0
=>
g
0
(x) =
dy dx
= ?
?G/?x
?G/?y
Подставляя еј в (
26
), получаем уравнение только для функций F и G:
?F
?x
?G
?y
=
?F
?y
?G
?x
(27)
Это же уравнение можно получить, минимизируя следующую функ- цию трех переменных:
L(x, y, ?) = F (x, y) + ? G(x, y).
(28)
Действительно, взяв производные по x и y и приравняв их к нулю, полу- чим уравнения:
?F
?x
+ ?
?G
?x
= 0,
?F
?y
+ ?
?G
?y
= 0.
Исключая из них ?, мы приходим к уравнению (
27
). Если же взять про- изводную L по ? и приравнять еј к нулю, то получится связь G(x, y) = 0.
Таким образом, в случае двух переменных имеется три способа поиска экстремума при наличии ограничения. Если одна переменная выражает- ся через другую при помощи уравнения связи, то решается уравнение
(
26
). Иначе  (
27
) или оптимизируется функция Лагранжа (
28
).
•
В многомерном случае оказывается более удобным третий способ. Ес- ли нам необходимо найти экстремум функции F (x
1
, ..., x n
)
при наличии m
-ограничений G
k
(x
1
, ..., x n
) = 0
, то вычисляется экстремум функции
Лагранжа от n + m переменных:
L(x
1
, ..., x n
, ?
1
, ..., ?
m
) = F (x
1
, ..., x n
) +
m
X
k=1
?
k
G
k
(x
1
, ..., x n
).
Производные по ?
i приводят к связям G
k
(x
1
, ..., x n
) = 0
, а производ- ные по x i
можно записать в виде векторных уравнений при помощи гра- диента ? = {?/?x
1
, ..., ?/?x n
}
:
?F +
m
X
k=1
?
k
?G
k
= 0.
Порядок действий обычно следующий. Сначала решают эти n уравнений и находят положение экстремума, как функцию ?
k
: x i
= f i
(?
1
, ..., ?
m
), i =
1, ..., n.
Затем подставляют их в уравнения связи и получают m уравне- ний, из которых определяются ?
k

320
IX Вариация функционала
Функционалом мы называем объект, при помощи которого каждой функции ставится в соответствие некоторое число. Простейшим приме- ром функционала является определјнный интеграл:
F [f ] =
b
Z
a f (x) dx.
При подстановке в интеграл различных функций после интегрирования будут получаться некоторые числа  значения интеграла.