Стохастический мир
 Скачать 2.82 Mb.
|
|
S&P 500 860 980 15-Oct-97 29-Oct-97 12-Nov-97 S&P 500 -6.9% События меньшего масштаба, но всј же очень неприятные, происходят на рынке достаточно часто. На правом рисунке приведен пример празд- нования десятилетия октябрьского краха 1987-го (l C 30 ). • Скоррелированность рынков. Цены финансовых инструментов имеют сильно скоррелированную динамику. Если предсказать изменения цены за два последовательных периода очень сложно, то изменение цен различных активов за один интервал времени связаны очень тесно. По- ложительные настроения в течение дня, скорее всего, приведут к росту акций большинства компаний, и наоборот. Ниже на рисунке представлена динамика фондовых индексов S&P500 (США) и FTSE (Великобритания) за период 1991-2007: FTSE 0% 50% 100% 150% 200% 1991 2007 S&P500 Ї r i ? i SP500 XOM GE C MSFT SP500 10 13 0.63 0.74 0.75 0.63 XOM 22 20 0.63 0.41 0.40 0.31 GE 11 17 0.74 0.41 0.59 0.50 C 0 20 0.75 0.40 0.59 0.42 MSFT 10 21 0.63 0.31 0.50 0.42 Хорошо видна синхронность их поведения. Справа от рисунка приведе- ны корреляционные коэффициенты ежедневных изменений цен акций нескольких крупнейших американских компаний (период 2003-2007, n = 1258 ) и их годовая доходность и волатильность. Стохастическое общество 211 • Нестационарность рынков. Наверное, наиболее характерным свой- ством рынков является их нестационарность. Статистические парамеры случайного блуждания цены изменяются со временем. Например, при обсуждении отсутствия памяти мы видели, что первый автокорреляци- онный коэффициент c 1 = cor(r t , r t?1 ) с 1950 года претерпел заметную эволюцию. Ещј более заметно нестационарность проявляется для волатильности рынка, которая характеризует степень его нервозности. Рассмотрим типичные значения ежедневных доходностей для цены финансового ин- струмента. Ниже слева они представлены в виде столбиков (вверх r > 0, вниз r < 0). Для сравнения справа приведены стационарные случайные числа с гауссовым распределением: Видно, что јжик доходности реальных цен значительно менее однород- ный. Периоды низкой волатильности (маленькие столбики) чередуются со значениями высокой волатильности. Зависимость волатильности от времени можно восстанавливать при помощи различных методик. Ниже приведен пример такого вычисления ?(t) для индекса S&P500: 0 1 2 3 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 (t): S&P500 Видно, что ?(t) изменяется в несколько раз. Учјт нестационарности волатильности позволяет дать простое объяс- нение описанному выше эффекту памяти волатильности и негауссово- сти распределения. Аккуратное выделение долгосрочной динамики ?(t) полностью устраняет память волатильности и существенно снижает не гауссовость распределения доходностей. Более подробное обсуждение этих вопросов выходит за рамки книги. Детали можно найти в статье автора Пластичность волатильности, доступной через Интернет. 212 Глава 8. 8.3 Диверсификация Участники рынка редко покупают только один финансовый инстру- мент. Чаще они формируют инвестиционный портфель, содержащий в својм составе много различных активов, например, акций. Поэтому пе- ред инвестором стоит задача выбора оптимального состава портфеля. Изменения цены любой акции в два последовательных момента вре- мени практически независимы. Однако между собой изменения цен раз- личных акций за один и тот же период времени часто оказываются существенно скоррелированными. Этот факт необходимо учитывать при формировании портфеля. Рассмотрим n компаний, акции которых можно купить на рынке. Пусть изменение цены акции i-й компании характеризуется логарифмической доходностью r i (t) = ln(x i (t)/x i (t ? 1)) ? dx i /x i . Доходность r i (t) мо- жет включать также дивидендный доход. Везде в этом разделе нижний индекс обозначает номер компании, а не момент времени. При формировании портфеля необходимо принять решение, какую до- лю w i имеющихся денег ? потратить на покупку акций i-той компании. Если еј цена равна x i и их куплено N i штук, то w i = N i x i /? . Сумма всех долей в портфеле должна равняться единице: ? = n X i=1 N i x i => n X i=1 w i = w 1 + w 2 + ... + w n = 1. Примем модель, в которой последовательные доходности данной ак- ции являются независимыми стационарными случайными числами, име- ющими среднее Їr i и волатильность ? i . Тогда и суммарная доходность портфеля из n акций за фиксированный период времени также будет случайной величиной: r = n X i=1 w i r i = w 1 r 1 + w 2 r 2 + ... + w n r n , имеющей свој среднее значение: Ї r = n X i=1 w i Ї r i (8.1) и волатильность: ? 2 = (r ? Ї r) 2 = n X i,j=1 w i w j h(r i ? Ї r i )(r j ? Ї r j )i = n X i,j=1 w i D ij w j , (8.2) где D ij ковариационные коэффициенты доходностей между акциями i -й и j-й компаний. Стохастическое общество 213 Выбрав в портфеле тот или иной набор весов w 1 , ..., w n , мы для него получим некоторую среднюю доходность Їr и волатильность ?. Если пе- ребрать все возможные портфели, то на плоскости (?, Їr) получится по- хожая на зонтик область, называемая достижимым множеством: r A B P S Из достижимого множества выбирается такой портфель, который при фиксированной волатильности имеет максимальный доход, или при фик- сированной доходности минимальную волатильность. Таким портфе- лям на рисунке соответствует кривая AB, так называемое эффективное множество. Действительно, зафиксировав ? (точка S) и поднимаясь вдоль прямой SP для получения наибольшего дохода, мы попадјм в точку P на кривой AB. Аналогичное рассуждение справедливо и при движении в горизонтальном направлении. Кривая AB явным образом отражает расхожее эмпирическое утвер- ждение о том, что чем больше доход, тем выше риск, и наоборот. При этом: мерой измерения риска служит волатильность портфеля. Ин- туитивно это понятно. Чем больше волатильность, тем более вероятны существенные отклонения доходности портфеля от среднего, в том числе и в отрицательную область убытков. • Инвестор имеет определенную свободу в выборе точки на кривой эффективного множества. Однако эта свобода исчезает, если помимо по- купки акций планируется разместить часть средств в некоторый актив с гарантированной доходностью r f (risk-free). В качестве такого актива может выступать, например, банковский депозит или надежная облига- ция. Предположим, что инвестор выбрал портфель акций с доходностью r M и волатильностью ? M . Тогда комбинацию из этого портфеля и без- рискового депозита можно рассматривать, как новый портфель из двух активов. Один с параметрами (? M , Ї r M ), другой - с (0, r f ). Депозит име- ет нулевую волатильность и нулевую корреляцию с портфелем, так как независимо от ситуации на рынке он всегда приносит один и тот же доход r f 214 Глава 8. Пусть в акции вложена часть денег w 1 = w , а остальные w 2 = 1 ? w размещены в безрисковом активе. Тогда уравнения ( 8.1 ), ( 8.2 ) для двух активов имеют вид: Ї r = w r M + (1 ? w)r f ? = w ? M Исключая w = ?/? M , получаем уравнение прямой: Ї r(?) = r f + r M ? r f ? M ?. (8.3) Эта прямая должна проходить как можно выше, т.е. при фиксированной волатильности давать максимальный доход. Одна еј точка (0, r f ) закреп- лена, а другая находится внутри множества портфелей. Поэтому выше всех (самая доходная) будет прямая, касающаяся сверху эффективной границы: r r f M P ? P r M r P B Точка касания M касательный портфель однозначно опреде- ляется безрисковой ставкой r f и статистическими параметрами акций. Эффективным множеством теперь становится отрезок r f M и его про- должение MB по граничной кривой эффективного множества. Таким образом, в случае размещения в безрисковом активе даже неболь- шой части средств инвестора наиболее оптимальным портфелем акций оказывается касательный портфель. Рациональный инвестор может управ- лять своими рисками только путјм выбора доли w средств, которые он вкладывает в акции, но не структурой этого портфеля. Достаточно неожиданный для интуиции результат! Касательный портфель M представляет собой выделенную точку эф- фективного множества. Он соответствует максимально возможному на- клону прямой: k = Ї r ? r f ? = max. Это отношение называется коэффициентом Шарпа. Стохастическое общество 215 • Доходности акций сильно скоррелированы. Поэтому иногда исполь- зуют модель линейной зависимости доходности акции и рынка в целом: r i = ? i + ? i r M + ? i , (8.4) где r i ежедневное или еженедельное изменение цены (доходность) i?той акции, а r M изменение фондового индекса, такого, как S&P500 или Dow. Величины ? i считаются случайными воздействиями на конкретную бу- магу, не зависящими от рыночных колебаний r M , т.е. hr M ? i i = hr M i h? i i Это линейная модель (стр. 24 ), поэтому наклон прямой, характеризу- ющий чувствительность изменения цены i-й бумаги к изменению цены рынка в целом (бета - коэффициент), равен: ? i = h(r i ? Ї r i )(r M ? Ї r M )i ? 2 M Значения коэффициента ? i не ограничены пределами [-1...1]. Если бета больше единицы (? i > ? M ), это означает, что бумага в момент паде- ния рынка, скорее всего, также упадет, причем сильнее, чем рынок, а при росте, наоборот, обгонит его. Отрицательные беты (крайне ред- кое явление) и положительные средние доходности Їr i дают возможность инвестировать в бумаги, судьба которых развивается в противофазе с рынком. Бумаги с ? i < 1 называют оборонительными. Переход к линейной модели ( 8.4 ) позволяет существенно упростить вычисление ковариационных коэффициентов в портфельной теории: h(r i ? Ї r i )(r j ? Ї r j )i = ? i ? j ? 2 M + ? ij , ? ij = (? i ? Ї ? i )(? j ? Ї ? j ) В частности: ? 2 i = ? 2 i ? 2 M + ? 2 ? i Говорят, что волатильность акции состоит из двух составляющих об- щерыночного риска ? 2 i ? 2 M и собственного риска бумаги ? 2 ? i = ? ii Если пренебречь величинами ? ij , то волатильность портфеля ( 8.2 ), со- ставленного из n акций с весовыми коэффициентами w i , будет равна: ? 2 = n X i,j=1 w i w j h(r i ? Ї r i )(r j ? Ї r j )i = ? 2 M n X i,j=1 w i w j ? i ? j = " ? M n X i=1 w i ? i # 2 Вместо квадратичной проблемы оптимизации получается задача линей- ного программирования, т.е. поиск максимума выражения Їr = P w i Ї r i при ограничениях P w i = 1 , P w i ? i = ?/? M и 0 6 w i 6 1. Решая задачу для различных ?, мы получим эффективное множество Їr(?). Естествен- но оно будет несколько отличаться от точного, найденного из соотноше- ний ( 8.1 ), ( 8.2 ). 216 Глава 8. 8.4 Портфель на всю жизнь • Пусть инвестор начинает свою карьеру с капитала 0 . Он формирует портфель из n акций, цены x i (t) которых стохастическим образом изме- няются со временем. Поэтому его капитал также изменяется, как ?(t). Естественно, обогащение не является самоцелью, и за каждую единицу времени dt он потребляет часть капитала, максимизируя свој удоволь- ствие Ё ^ . Какова в этом случае оптимальная стратегия инвестирования? Эту задачу изучали в 1969 г. Роберт Мертон и Пол Самуэльсон. Если количество акций каждого вида в портфеле равно N i (t) , то изме- нение его стоимости за малый интервал времени после изъятия равно: d? = n X i=1 N i (t) dx i ? c(t)?(t) dt. Мы для простоты считаем, что потребление c(t)?(t) пропорционально капиталу. Мертон на самом деле доказал это утверждение. Пусть цены на акции испытывают стационарное логарифмическое блуж- дание: dx i x i = µ i dt + n X j=1 ? ij ?W j , где µ i доходности акций, а матрица ? ij определяет их ковариации. В этом разделе по повторяющимся индексам суммирование не подразумева- ется, если это явно не указано знаком суммы. Подставляя dx i в уравнение портфеля и вводя веса w i = N i x i /? каждой акции, получаем нестацио- нарное логарифмическое блуждание: d? ? = f (t) dt + s(t) ?W. (8.5) Снос и волатильность портфеля определяются соотношениями: f (t) = n X i=1 µ i w i (t) ? c(t), s 2 (t) = n X i,j=1 w i (t)D ij w j (t), где D = ? · ? T ковариационная матрица. Переход от нескольких сто- хастических переменных ?W i = ? i ? dt к одной ?W = ? ? dt мы сделали стандартным образом: n X i,j=1 w i (t)? ij ? j ? dt = s(t)? ? dt. Сумма n гауссовых чисел снова гауссово число, множитель перед кото- рым находится после возведения в квадрат и усреднения. Стохастическое общество 217 • Вес w i (t) каждой акции в портфеле и удельное потребление c(t) за- даются инвестором. В результате функции f(t) и s(t) в уравнении ( 8.5 ) являются фиксированными. Переходя к ln ? при помощи леммы Ито, имеем: d ln ? = f (t) ? 1 2 s 2 (t) dt + s(t) ?W. Откуда, воспользовавшись ( 2.18 ), стр. 56 , получаем точное решение: ln ?(t) ? 0 = t Z 0 f (? ) ? 1 2 s 2 (? ) d? + ? ? t Z 0 s 2 (? )d? ? ? 1/2 ?, где, как обычно, ? - гауссова случайная величина с h?i = 0 и ? 2 = 0 • Постоянное изъятие сумм v = c(t)?(t) обладает для инвестора опре- делјнной полезностью (utility) U = U(v). Это понятие достаточно умо- зрительно, но очень популярно в экономической литературе. Основные гипотезы теории полезности состоят в том, что 1) функция U(v) явля- ется выпуклой, и 2) она растјт медленнее линейной функции. Каждая дополнительная единица благ (выраженная в деньгах v), в любом слу- чае, приносит удовольствие. Однако больше двух котлет не съешь и пяти бутылок вина не выпьешь. Поэтому постепенно, с увеличением v, до- полнительной полезности получается всј меньше, и рост функции U(v) замедляется. Часто функцию полезности выбирают в степенном виде U (v) = v ? , с параметром 0 < ? < 1 или в логарифмическом U(v) = ln v. Рассмотрим вариант степенной зависимости. Вычислим среднее значение полезности U t = hU (v)i = c ? (t) h? ? (t)i в момент времени t. Усреднение проводится при помощи ( 1.11 ) на стр. 16 : U t = ? ? 0 c ? (t) e ? t R 0 f (? ) d? + ?2?? 2 t R 0 s 2 (? ) d? Подставляя явный вид функций f(t) и s(t), имеем: U t = ? ? 0 c ? (t) exp t Z 0 ? " n X i=1 µ i ? i (? ) ? c(? ) ? 1 ? ? 2 n X i,j=1 w i (? )D ij w j (? ) # d? . Выбор определјнных стратегий инвестирования ? i (? ) и изъятия (потреб- ления) c(?) на протяжении времени ? = [0...t] приводит к некоторому среднему значению полезности в момент времени t. Однако получение максимальной сиюминутной полезности также не является главной це- лью инвестора. Так в чјм же смысл его жизни? 218 Глава 8. • По Мертону и Самуэльсону, инвестор должен максимизировать сум- марную дисконтированную полезность, получаемую на протяжении всей своей жизни. И если он не законченный эгоист, дополнительную полез- ность он получает от остаточного капитала, передаваемого по наследству. Математически это может быть выражено в следующем виде: T Z 0 e ??? U ? d? + ? e ??T U T + T Z 0 ?(? ) " 1 ? n X i=1 w i (? ) # d? = max. (8.6) Первый интеграл суммирует все получаемые от изъятий средние полез- ности U t . При этом параметр ? аналогичен ставке дисконтирования де- нежных потоков (l C 31 ). Чем позже получено удовольствие, тем меньше его вклад в смысл жизни. Второе слагаемое является полезностью заве- щаемого инвестором капитала (bequest valuation function) в финальный момент его жизни T . Параметр ? характеризует степень его не эгоистич- ности, и обычно предполагается небольшим 0 < ? 1 Ё ^ . Полезность от завещания имеет такую же функциональную форму, как и от потребле- ния. В принципе, можно рассмотреть и другие зависимости. Последнее слагаемое появляется в соответствии с методом множителей Лагранжа ?(t) (стр. 318 ). Мы ищем экстремум при дополнительном требовании равенства суммы весов единице в каждый момент времени. • Найдјм экстремум (стр. 320 ) функционала ( 8.6 ) по функциям ?(t) и ? k (t) (l H 47 ): ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 = n X i=1 w i ? = µ k ? (1 ? ?) n X i=1 D ki ? i , (8.7) где ? пропорциональна множителю Лагранжа ? и должна рассматри- ваться как n + 1-я неизвестная переменная. Зависимость от времени от- сутствует, и w i определяются из решения системы линейных уравнений. Теперь можно упростить выражение для средней полезности: U t = ? ? 0 e zt c ? (t) G(t), G(t) = e ?? t R 0 c(? )? , где величина z: z = ? n X i=1 µ i ? i ? ? ? ? 2 2 n X i,j=1 w i D ij w j зависит от статистических параметров акций, функции полезности и най- денных из ( 8.7 ) постоянных весовых коэффициентов ? i Стохастическое общество 219 • После подстановки оптимальных значений весов ? i функционал для оптимизации принимает вид: T Z 0 e (z??)? c ? (? ) G(? ) d? + ? e (z??)T c ? (T ) G(T ) = max. (8.8) Проварьируем его (l H 48 ) по функции удельного потребления c(t): c ??1 (t) e (z??)t G(t) ? T Z t e (z??)? c ? (? ) G(? ) d? ? ? e (z??)T c ? (T )G(T ) = 0. Это интегральное уравнение относительно c(t). Положив t = T , получа- ем граничное условие c(T ) = 1/?. Если взять производную по времени, интегральное уравнение перейдјт в обычное уравнение логистического типа ( 1.2 ), стр. 10 , с решением (при ? 6= 0 и c(T ) = 1/?): ?c = ?? c + c 2 => c(t) = ? 1 + (?? ? 1) e ?(t?T ) (8.9) где ? = (? ? z)/(1 ? ?). Важным следствием ( 8.7 ) и ( 8.9 ) является то, что выбор портфеля не зависит от решения по стратегии изъятий. • Рассмотрим частный случай, когда инвестору доступны только два актива депозит с фиксированной доходностью r f и акция с волатиль- ностью ? и доходностью r. Доля средств размещаемых в депозите, равна ? 1 = 1 ? ? , а в акциях ? 2 = ? . Матрицы дисперсий D ij , доходности µ i и весов ? i имеют вид: D = 0 0 0 ? 2 , µ = r f r , ? = 1 ? ? ? Решая систему ( 8.7 ), получаем: ? = r ? r f (1 ? ?)? 2 , z = ?r f + ? 2 (r ? r f ) 2 (1 ? ?)? 2 Мы видели ( 8.3 ), что в данном случае эффективное множество явля- ется прямой, соединяющей точки (0, r f ) и (?, r). Выбор распределения средств между этими двумя активами выглядел абсолютно произволь- ным. Теория Мертона связывает значение веса ? и выпуклости полез- ности ?. Более подробный анализ теории пожизненного инвестирования целесообразно проследить по классической работе Мертона. 220 Глава 8. 8.5 Опционы Опционный контракт характеризуется ценой исполнения (strike price) x s , датой истечения T (expiry date) и текущей стоимостью (премией) C (call) или P (put). Предположим, что сегодня акция стоит x 0 = 100$ Еј цена достаточно волатильна, и через год она может стоить как дороже 100$, так и дешевле. Пусть на рынке можно купить опционный контракт call по цене C = 10$ на право приобрести акцию за x s = 90$ через год. Тот, кто покупает контракт, платит продавцу 10$. Это его максимальные расходы. Если через год акция на рынке будет стоить x = 115$, то, купив еј у выписавшего опционный контракт по 90$ и тут же продав на рынке, владелец контракта заработает 115 ? 90 = 25$. За вычетом уплаченной премии его доход будет равен 15$. Если же цена на рынке через год будет меньше, чем 90$, от своего права покупать по 90$ владелец откажется, зафиксировав убыток 10$. Таким образом, величина дохода владельца call-контракта при существенном росте цены акции не ограничена, тогда как возможные убытки не превышают первоначально уплаченной пре- мии. Для того, кто выписывает (продајт) контракт, ситуация обратная. Он рискует получить неограниченные убытки, и, естественно, заклады- вает это в величину премии. Премия опциона является его ценой и, как любая финансовая цена, оказывается очень волатильной. Однако, по мере приближения к дате истечения она стремится к определјнному значению, которое называют внутренней стоимостью опциона. Рассмотрим еј значение в момент истечения опциона в зависимости от текущей цены актива x: |