Стохастический мир
 Скачать 2.82 Mb.
|
|
z 23 o Таким образом, вектор ? вращается по поверхности конуса с угловой ча- стотой ?. Подобное вращение мы наблюдаем, запуская детский волчок, который, быстро вращаясь вокруг своей оси, одновременно медленно по- ворачивает ось вращения по поверхности конуса. Стохастическая природа 191 Обычно различают два типа вращения мгновенной оси. Медленное с большой амплитудой это прецессия. Дополнительные небольшие пери- одические возмущения этого движения это нутация. Для Земли M = 5.976 10 24 кг, r 1 = 6356.8 км, r 2 = 6378.2 км. Пери- од вращения вдоль главной оси соответствует 24 часам, поэтому ? z = 2?/24 = 7.27 10 ?5 c ?1 . Так как (J 1 ? J 2 )/J 2 = (r 2 2 ? r 2 1 )/(r 2 2 + r 2 1 ) = 1/298 , то прецессионный период составляет примерно 300 дней и был предска- зан ещј Эйлером. Земной наблюдатель должен наблюдать прецессию (нутацию), как медленное перемещение центра вращения небесной сфе- ры по окружности относительно неподвижных звјзд. Такое изменение положения земной оси впервые обнаружил астроном Чандлер в 1891 г. Однако наблюдаемое движение вращения земной оси оказывается су- щественно сложнее и носит стохастический характер. Координаты x = ? x и y = ? y являются угловыми (направление !), однако, так как их коле- бания очень невелики, можно считать, что ось вращения на поверхности Земли рисует вокруг северного полюса соответствующую кривую. Для перехода к метрам углы в радианах необходимо умножить на радиус Зем- ли. Если устранить очень медленную трендовую составляющую (вековое движение), колебания по x и y выглядят следующим образом: -0.2 0 0.2 -0.2 0 0.2 1960 2010 x y -0.25 0 0.25 -0.25 0 0.25 y x Слева представлено движение проекции Земной оси (arcsec) 2000-2008 (точки ежедневные наблюдения), а справа отдельно по каждой оси за период 1960-2008. Максимальное отдаление от оси составляет около 0.3 arcsec (1arcsec=4.848 · 10 ?6 rad). Поэтому на поверхности Земли это приводит к максимальному радиусу 9 м. В среднем он раза в два меньше. Спектральный анализ показывает, что эти колебания являются сум- мой двух гармоник с периодом 365 дней и 433 дня. Первая периодич- ность совпадает с длительностью года. Вторая оказывается квазиперио- дической. Амплитуда первой гармоники около 0.09, а второй 0.15. 192 Глава 7. Наблюдаемые периодические колебания амплитуды (биения) связаны со сложением этих двух гармоник. Так, например, если колебания имеют различную частоту ? 1 и ? 2 и одинаковые амплитуды, их сумма равна: A cos(? 1 t) + A cos(? 2 t) = 2A cos ? 1 ? ? 2 2 t cos ? 1 + ? 2 2 t Если ? 1 ? ? 2 , то первый множитель имеет большой период измене- ния амплитуды колебаний со средней частотой (? 1 + ? 2 )/2 (второй множитель). Результирующая периодичность биений составляет 6.35 лет ((1/365 ? 1/433) ?1 ). Приведјм динамику расстояния от центра r = px 2 + y 2 : 0 0.1 0.2 0.3 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 Среднее значение hri = 0.17. Хорошо видно, что биение не является строго периодическим, а носит стохастический характер. Одна из наиболее простых моделей чандлеровских колебаний была предложена Колмогоровым. Уравнения Эйлера можно переписать в сле- дующем виде: d? x = ?? y dt d? y = ??? x dt, где ? = ? z (J 1 ? J 2 )/J 2 . Земля не является абсолютно твјрдым телом. Климатические движения масс воды, землетрясения и другая внутрен- няя активность приводят к постоянному изменению тензоров инерции. В результате потери энергии на преодоление вязкости (пластичности Земли) ось вращения рано или поздно оказалась бы совмещјнной с осью симметрии и никакой нутации не было бы. Введјм затухание нутации с параметром ? и стохастические изменения оси вращения в результате активности Земли. Обозначим x = ?? x , y = ? y и запишем уравнения стохастического осциллятора: dx = (?? x ? ? y) dt + ? ?W x dy = (+? x ? ? y) dt + ? ?W y Их математические свойства мы подробно изучали в разделе § 6.3 , стр. 160 . В частности, после затухания возникает квазипериодическое движе- ние с типичным радиусом ?/ ? ? и частотой ?. Стохастическая природа 193 • Найдјм, как ведјт себя расстояние от начала координат r = px 2 + y 2 : ?r ?x = 1 r x y , ? 2 r ?x 2 = 1 r 3 y 2 ?xy ?xy x 2 При помощи формулы Ито получаем следующее уравнение: dr = ? 2 2r ? ?r dt + ? r (x ?W x + y ?W y ). Стохастический член можно выразить через одномерную винеровскую переменную: x ?W x + y ?W y r = x ? x + y ? y r ? dt = ? ? dt = ?W. Действительно, если мы решаем уравнение итерациями, какие бы ни бы- ли значения x, y к некоторому моменту времени, сумма независимых от них гауссовых чисел ? x , ? y снова дајт гауссово число. Так как x 2 +y 2 = r 2 , то оно имеет единичную дисперсию. В результате, для радиуса можно записать одномерное уравнение рэлеевского типа: dr = ? 2 2r ? ?r dt + ??W. Снос уравнения имеет равновесную точку r ? = ?/ ? 2? , в которой об- ращается в ноль. Если расстояние от начала координат существенно больше r ? , то детерминированная часть динамики начинает уменьшать радиус, и наоборот. Поэтому r совершает характерные стохастические колебания вокруг этого равновесного положения. Так как решения для x(t) и y(t) известны, мы автоматически имеем точное решение рэлеевского уравнения, выраженное через две случайные гауссовы величины. В асимптотическом пределе, который мы наблюдаем при изучении вращения Земли, радиус колебаний оси равен: r = ? 2 ? 2? q ? 2 x + ? 2 y В частности, среднее значение радиуса составляет Їr = ? ??/2 ? ? На самом деле, модель Колмогорова является очень упрощјнной ими- тацией стохастических колебаний. В частности, в ней присутствует толь- ко одна периодическая компонента, и, как следствие, нет наблюдаемых биений с периодом в 6.35 лет. 194 Глава 7. 7.4 Электронный шум В электротехнических приборах всегда присутствует шум. Если в от- сутствие музыки увеличить громкость усилителя, то будет слышно ха- рактерное шипение. Величина шума связана с температурой, в которой находится система, и была экспериментально исследована в 1928 г. Джон- соном и теоретически объяснена в этом же году Найквистом. Основными характеристиками процессов, происходящих в электриче- ской цепи, являются напряжение (разница потенциалов) U между двумя точками и проходящий по ней ток I. Ток равен величине заряда частиц, пересекающих сечение провода за единицу времени: I = dQ/dt. Большинство электротехнических устройств состоят из трјх элемен- тарных деталей резистора, конденсатора и индуктивности: R C L U = R I U = Q C U = L dI dt Резистором является любой проводник, затрудняющий прохожде- ние по нему зарядов так, что справедлив закон Ома: U = R I, где R константа, называемая сопротивлением. Конденсатором может выступать тело, способное накапливать заряд. Например, две параллельные металлические пластины, содержащие за- ряды противоположного знака. Конденсатор характеризуется јмкостью C , зависящей от его материала и формы. Чем больше накоплено заряда, тем выше разница потенциалов пластин конденсатора: U = Q/C. При зарядке конденсатор внутри себя увеличивает энергию E = Q 2 /2C элек- трического поля. Индуктивность это активный элемент, реагирующий на изменение тока. Для неј справедлив закон Ома в виде: U = L dI/dt. Индуктивность накапливает энергию магнитного поля, равную E = LI 2 /2 Рассмотрим последовательное соединение этих трех элементов. L C R U R I + Q C + L dI dt = ?U. В отсутствие внешнего источника суммарное падение напряжения на всех элементах U R + U C + U L должно быть равно нулю (замкнутая цепь). Однако в силу тепловых флуктуаций это не так. Обозначим колебания напряжения через ?U. Стохастическая природа 195 Считая их винеровскими с постоянной волатильностью и учитывая определение тока, можно записать систему стохастических уравнений в следующем виде: dQ = I dt dI = ?(?Q + 2?I) dt + ??W, где ? = 1/LC, ? = R/2L и ?U = L??W . Наша задача состоит в нахож- дении величины амплитуды шума ?. В его отсутствие (? = 0) систему можно привести к единственному уравнению второго порядка: d 2 Q dt 2 + 2? dQ dt + ?Q = 0. Это уравнение гармонического осциллятора, испытывающего трение. Во- обще аналогия с механикой достаточно тесная. Заряд Q и ток I являются динамическими переменными системы. Заряд аналогичен координате ос- циллятора, а ток импульсу. От них также зависит энергия, накапливае- мая конденсатором и индуктивностью. Из уравнений движения следует: E(Q, I) = LI 2 2 + Q 2 2C => dE dt = ?RI 2 (7.6) Уменьшение энергии происходит из-за тепловых потерь на резисторе, равных RI 2 . Если сопротивления нет, то энергия сохраняется и проис- ходят незатухающие колебания. При этом энергия периодически пере- ходит из электрической в конденсаторе (потенциальная) в магнитную (кинетическая) на индуктивности, и обратно. Стохастические уравнения линейны, поэтому решения для средних значений тока и заряда совпадают с детерминированными. В нашем слу- чае матрица системы A и еј собственные значения имеют вид: A = 0 1 ?? ?2? a 1,2 = ?? ± i?, где ? = p? ? ? 2 . Мы предполагаем, что сопротивление невелико и 4L/C > R 2 . По стандартному алгоритму (стр. 165 ) несложно найти: Q(t) = Q 0 cos ?t + ( I 0 + ?Q 0 )/?) sin ?t e ??t I(t) = I 0 cos ?t ? (?I 0 + ?Q 0 )/?) sin ?t e ??t (7.7) Возможно, более быстрый путь это решение уравнения второго поряд- ка в виде Q(t) = (A cos ?t + B sin ?t)e ??t и определение констант при помощи начальных условий Q 0 = Q(0) , I 0 = ? Q(0) 196 Глава 7. • Если некоторая система имеет температуру T , можно воспользовать- ся распределением Гиббса (стр. 184 ) и записать плотность вероятности для динамических переменных в следующем виде: P (I, Q) = P 0 e ?E(I,Q)/kT (7.8) Она удовлетворяет стационарному уравнению Фоккера-Планка: ?(a i P ) ?x i ? 1 2 ? 2 ?x i ?x j h B ik B jk P i = 0. В данном случае x ? = {Q, I} и a ? = {I, ??Q ? 2?I}, B ij = ? 0 0 0 1 , B · B T = ? 2 0 0 0 1 Поэтому: I ?P ?Q ? ? Q ?P ?I ? 2? ?(IP ) ?I ? ? 2 2 ? 2 P ?I 2 = 0. Подставляя ( 7.8 ) и учитывая ( 7.6 ), после простых вычислений находим связь между волатильностью и температурой: (L?) 2 = 2 kT R. Таким образом, флуктуации напряжения являются винеровским шумом с дисперсией, пропорциональной температуре и сопротивлению: ?U = ? 2 kT R ?W => ?U 2 = 2 kT R dt. (7.9) Дисперсию заряда и тока в устоявшемся режиме (t ? ?) можно найти из уравнения для дисперсии ( 6.29 ), стр. 167 . Положив ?D = 0, имеем: A · D + D · A T + B · B T = 0, откуда: D = ? 2 4?? 1 0 0 ? = kT C 0 0 1/L , (7.10) что согласуется с вероятностью ( 7.8 ) и n?мерным гауссовым распреде- лением на стр. 342 . Заметим, что Q 2 = kT C , I 2 = kT /L , поэтому в среднем энергия между конденсатором и индуктивностью распределена поровну. В качестве упражнений предлагается найти матрицу диспер- сий при произвольном t (l H 45 ), а также ковариацию и спектральную функцию в стационарном режиме (l H 46 ). Стохастическая природа 197 • Тепловые флуктуации тока возникают на резисторе и в отсутствие колебательного контура. Для отдельного электрона с зарядом q справед- ливо уравнение движения: m dv dt = ??v ? qE . На электрон действуют две силы сопротивление со стороны кристалли- ческой решјтки (трение) и электрическая сила в поле E. Если в провод- нике длиной l поле однородно U = lE, то в устоявшемся режиме ( ?v=0) из уравнения движения следует v = ?qE/? = ?qU/l?. Пусть n кон- центрация электронов. За время ?t сечение сопротивления площадью S пересекает (qn) S?x зарядов. Для электрона q < 0, поэтому ток равен: I = dQ dt = ? qnS?x ?t = ?nqvS = q 2 nS ?l U. Следовательно, по закону Ома R = U/I сопротивление равно: R = ?l q 2 nS Когда внешних полей нет, но есть электрическое стохастическое воздей- ствие со стороны тепловых колебаний других зарядов, имеем следующее стохастическое уравнение движения: dv = ? ? m v dt ? ? ?W, где ?E = (?m/q)?W флуктуации электрического поля. Аналогично броуновскому движению находим стационарное значение квадрата ско- рости: v 2 = m? 2 /2? . Кинетическая энергия m v 2 /2 равна kT/2 (одна степень свободы), поэтому ? 2 = 2kT ?/m 2 Если в проводнике N = nSl электронов, то среднее расстояние между ними l/N и флуктуации разности потенциалов ?U i = (l/N )?E . Их сумма равна разности потенциалов на резисторе. Так как ?W = ? ? dt , N = nSl, получаем: ?U = l N N X i=1 ?E i = l N ?m q N X i=1 ? i ? dt = l N ?m q ( ? N ?) ? dt = ? 2kT R ?W, и, следовательно, снова приходим к соотношению Найквиста ( 7.9 ). 198 Глава 7. 7.5 Хищники и их жертвы Рассмотрим пример очень простой модели, описывающей динамику популяции двух видов живых существ. Одни из них будут безобидны- ми кроликами (жертвы), а вторые коварными лисами (хищники). Детерминированная система уравнений имеет вид: ?x = ? x ? µ xy ? ? x 2 ? y = ?? y + ? xy. Количество кроликов обозначено через x, а лис через y. Точка над переменной, как обычно, - производная по времени. Кролики размножа- ются в соответствии с логистическим уравнением, однако их смертность зависит также от встречи с хищником, которая тем вероятнее, чем боль- ше жертв и хищников. Поэтому в уравнение добавлен член ?µ x y. По- пуляция лис при отсутствии питания вымирает (??y). Положительный прирост возможен только при активной и недружественной встрече с кроликами (+? xy). Если ресурсы питания для кроликов не ограничены (? = 0), то эту систему называют уравнениями Лотка-Вольтерра (Lotka- Volterra equation, predator-prey equations). Модель содержит большое число параметров. Не все из них имеют существенное значение при анализе качественных свойств поведения ре- шения. Поэтому целесообразно уменьшить их количество. Для этого сде- лаем преобразования масштаба: x ? ax, y ? by и t ? ?t, где константы a , b и ? являются единицами измерения численности особей и времени. Подставим эти преобразования в уравнения (при этом ?x ? (a/?) ?x) и выберем a = 1/??, b = 1/µ? и ? = 1/?. Тогда, с точностью до масштабирования, система уравнений становит- ся двухпараметрической и записывается в следующем виде: ?x = ?xy + ? 2 x ? 2? x 2 ? y = xy ? y, где ? 2 = ?/? , 2? = ?/?. Еј качественный анализ начинается с определе- ния особых точек, в которых ?x = ?y = 0: ( x ? · (?y ? + ? 2 ? 2?x ? ) = 0 y ? · (x ? ? 1) = 0. Несложно видеть, что существует три решения этих уравнений: x ? = 1, y ? = ? 2 ? 2? ; x 0 ? = y 0 ? = 0 ; x 00 ? = ? 2 /2?, y 00 ? = 0 Последние два достаточно тривиальны и сводятся в первом случае к полному вымиранию всех особей, а во втором к вымиранию хищников. Стохастическая природа 199 Рассмотрим решения системы в окрестности первой особой точки. Вве- дјм отклонения численности популяций X = x ? x ? , Y = y ? y ? и разложим правую часть уравнений в ряд по X = {X, Y }: ( ? X = ?2?X ? Y ? Y = (? 2 ? 2?)X ? X = A · X, A = ?2? ?1 ? 2 ? 2? 0 Это линеаризованное уравнение будем решать стандартными методами, рассмотренными в разделе § 6.4 , стр. 164 . Характеристическое уравнение a 2 + 2? a + ? 2 ? 2? = 0 для собственных значений матрицы A имеет два решения: a 1,2 = ?? ± i p ? 2 ? 2? ? ? 2 Если пищевые ресурсы жертв не ограничены ? = 0, то в системе уста- навливаются незатухающие периодические колебания с частотой ?. При ? 6= 0 эти колебания будут затухающими. Колебательного режима не будет, если ? очень велико. В этом случае оба решения отрицательны и действительны. Бифуркация в системе возникает, когда подкоренное выражение ста- новится равным нулю, что соответствует значению ? 0 = ? 1 + ? 2 ? 1 При ? > ? 0 решение уравнений монотонно затухает, а при ? < ? 0 проис- ходит качественная перестройка и возникают колебания, сначала сильно затухающие, а по мере уменьшения ? постепенно переходящие в перио- дические. x(t) y(t) x 0 =1 y 0 =0.1 0 1 2 25 50 0 1 2 25 50 x 0 =1 y 0 =1 x(t) y(t) Выше представлена динамика численности особей при ? = 0, и ? = 0.5. На левом рисунке начальные значения x 0 = 1 и y 0 = 0.1 , а на пра- вом: x 0 = 1 и y 0 = 1 . Если начальное отклонение от точки равновесия x ? = 1 , y ? = 0.25 невелико, колебания будут практически гармониче- скими. Однако при существенных отклонениях начинают сказываться нелинейности, и синусоида становится сильно искажјнной. Стоит обратить внимание на сдвиг кривых относительно друг друга. Когда лис мало кролики быстро размножаются. Это приводит к росту численности лис, что тормозит рост популяции кроликов. Как и любая колебательная система, модель хищник-жертва обладает инертностью. Поэтому популяция лис продолжает увеличиваться, тогда как ряды кро- ликов стремительно редеют. 200 Глава 7. При описании реальных популяций эта модель обладает одним непри- ятным свойством. Если начальное значение хищников заметно отлича- ется от равновесия, то их численность испытывает очень большие ко- лебания, прижимаясь в минимуме к нулевому значению. Так, выше, на правом графике (x 0 = 1 , y 0 = 1 ), численность лис падает до 0.02 (в 50 раз), тогда как популяция кроликов изменяется только в 4 раза. Этот эффект называют атто-лисьей проблемой (atto-fox problem), так как иногда при моделировании численность хищников падает практически до нуля (атто это 10 ?18 часть чего либо). Рассмотрим ситуацию ограниченных ресурсов. Если ? = 0.5, то крити- ческое значение ? 0 = 0.12 . Выберем ? = 0.01 (слева) и ? = 0.05 (справа): 0 1 2 0 1 2 25 50 75 100 25 50 75 100 |