Стохастический мир
 Скачать 2.82 Mb.
|
|
W 0 W t t-t 0 Площадь трапеции между W 0 и W t равна (W 0 + W t )(t ? t 0 )/2 . Второе слагаемое, пропорциональное гауссовой величине ?, представляет собой площадь отклонения истинной траектории от прямой, проходящей через W 0 и W t Эту же формулу можно интерпретировать, как линейную модель пред- сказания площади по значению начальной и конечной точки траектории S = f (W 0 , W t ) . Ошибка подобной модели пропорциональна ?, и еј дис- персия увеличивается со временем как (t ? t 0 ) 3 • Если известно n + 1 значений процесса W 0 , W 1 , ..., W n , идущих с шагом ?t на интервале t ? t 0 = n ?t , то сумма площадей n трапеций и отклонений от них даст суммарную площадь: S n = W 0 2 + W 1 + ... + W n?1 + W n 2 ?t + ? ? t ? t 0 ?t 2 ? 3 , где учтено, что (? 1 + ... + ? n ) ? ?t = ? ? n?t = ? ? t ? t 0 . При ?t ? 0 дисперсия поправки стремится к нулю. • Рассмотрим теперь два отрезка времени [0...t] и [t...t + ?]. Площадь в момент времени t + ? равна площади в момент t плюс площадь на участке длительностью ?: S t+? = S t + W t + W t+? 2 ? + ? ? 3/2 2 ? 3 Винеровский процесс в момент времени t + ? можно разбить на сумму двух независимых процессов W t+? = W t + ? W ? = ? ? t + ? ? ? ? , где ? и ? ? пропорциональны независимым накопленным изменениям на каждом отрезке времени (см. стр. 68 ). Поэтому: S t+? = S t + W t ? + ? S ? , (5.5) где площадь ? S ? вычисляется под независимым от W t процессом ? W ? от нуля до ? и имеет нулевую корреляцию с S t . В качестве упражнения (l H 40 ) стоит вывести это же соотношение непосредственно из ( 5.3 ). Стохастические интегралы 127 • Площадь под винеровской траекторией является интегральной ве- личиной, поэтому можно ожидать, что S t более гладкий процесс, чем W t . Проверим это, вычислив автокорреляцию. Процессы W t и S t имеют нулевое среднее, поэтому их дисперсии равны средним квадратов: W 2 t = ? 2 t = t, S 2 t = ? 2 t 3 3 = t 3 3 Воспользуемся записью ( 5.5 ) площади S t в два различных момента времени t и t + ?. Так как ? S ? независима от S t и W t , автоковариация легко вычисляется: S t S t+? = S 2 t + S t W t ? = t 3 3 + t 2 2 ?, где учтено, что W t S t = t 2 /2 . Разделив ковариацию на волатильности S t и S t+? , получим автокорреляционный коэффициент для S: ?(S t , S t+? ) = S t S t+? q S 2 t S 2 t+? = 1 + 3T /2 (1 + T ) 3/2 ? 1 ? 3 8 T 2 + ..., где T = ?/t. Аналогично проводятся вычисления для W : ?(W t , W t+? ) = W t W t+? q W 2 t W 2 t+? = 1 ? 1 + T ? 1 ? T + ... Корреляция для W t быстрее уменьшается с ростом T по сравнению с корреляцией для S t . Графически это представлено ниже на левом гра- фике: 1 1.0 0.7 T (S t, S t + ) (W t, W t + ) W t S t Справа приведены выборочные траектории для W t и S t . Видно, что S t существенно более гладкий процесс. В первой главе мы уже обсуждали, что свойства процесса в данный момент времени характеризуют его не полностью. В частности, степень изломанности или гладкости определяется автокорреляционной функци- ей. Чем быстрее процесс забывает свою историю, тем сильнее он изломан и тем быстрее убывает автокорреляция. 128 Глава 5. • В качестве упражнения предлагается проверить справедливость для произвольной детерминированной функции f(t) и гауссового числа ? ? N (0, 1) следующих соотношений: t Z 0 f (s)W s ds = ?(t) ?, ? 2 (t) = t Z 0 h t Z s f (? ) d? i 2 ds. (5.6) Если процесс Винера W t = ? ? t , то коэффициент корреляции равен: ? = ? ? = 1 ?(t) ? t t Z 0 h t Z s f (? ) d? i ds. Например, для степенной функции f(t) = t n : t Z 0 s n W s ds = ? 2 t n+3/2 ? 6 + 7n + 2n 2 ?, ? = ? 6 + 7n + 2n 2 ? 2(2 + n) В общем случае корреляционные коэффициенты зависят от времени t. При вычислении средних от произведения произвольных моментов удоб- нее выразить ? через ? и независимую от неј случайную величину ? 1 : ? = ? ? + p 1 ? ? 2 ? 1 Теперь вычисление средних типа ? 2 ? 2 не составит труда. • Естественно, интеграл по времени можно вычислять не только от винеровского процесса, но и от любой случайной функции: I t = t Z t 0 f ? (W ? ) d? Индекс у функции означает, что возможна не только зависимость от винеровского процесса W , но и явная зависимость от времени: f t (W t ) = f (t, W t ) , как, например, в ( 5.6 ). Функция f в общем случае может быть произвольным случайным процессом. Подобные интегралы являются случайными процессами, так как подын- тегральная функция случайна, а верхний предел интеграла переменный. Обычно такие интегралы не выражаются явным образом через процесс Винера. Более того, только в линейном по W t случае интеграл оказыва- ется нормально распределјнным. В более общем случае это не так. Стохастические интегралы 129 • Использование скалярных случайных чисел позволяет записывать достаточно общие формулы для средних значений стохастических инте- гралов. Рассмотрим, например, усреднение произведения функции g t (W t ) и интеграла по времени от f t (W t ) . Запишем в символическом виде инте- гральную сумму: D g t (W t ) t Z 0 f ? (W ? ) d? E = D g t (? 1 + ... + ? n ) h f 1 (? 1 ) + f 2 (? 1 + ? 2 ) + ... i ?t E , где мы для краткости опустили ? ?t внутри функций. Возьмјм k-тое слагаемое в квадратных скобках. Чтобы усреднить его с функцией g, необходимо сгруппировать в ней k первых гауссовых чисел в одно, а оставшиеся n ? k во второе: g t (? 1 +...+? k +? k+1 +...+? n )f k (? 1 +...+? k ) = g t (? a ? k+? a ? n ? k)f k (? a ? k). Так так ? a и ? b два независимых гауссовых числа, то среднее вычислить не представляет труда. Переходя к непрерывному пределу, получаем: D g t (W t ) t Z 0 f ? (W ? ) d? E = t Z 0 D g t ? a ? ? + ? b ? t ? ? f ? ? a ? ? E d?. (5.7) Например: D W 2 t t Z 0 W 2 ? d? E = t Z 0 3 ? 2 + ? (t ? ? ) d? = 7 6 t 3 Аналогично выводится среднее для квадрата интеграла: D ? ? t Z 0 f ? (W ? ) d? ? ? 2 E = 2 t Z 0 dt 2 t 2 Z 0 dt 1 D f t 1 ? 1 ? t 1 f t 2 ? 1 ? t 1 + ? 2 ? t 2 ? t 1 E и его обобщение для момента k?того порядка (t k+1 = t ): D ? ? t Z t 0 f ? (W ? ) d? ? ? k E = k! k Y j=1 t j+1 Z t 0 dt j D f t j j X i=1 ? i pt i ? t i?1 E Другие полезные соотношения можно найти в приложении Стохастиче- ский справочник. Их имеет смысл доказать в качестве упражнения. 130 Глава 5. 5.2 Интегралы Ито • Рассмотрим теперь ещј одну возможность введения случайных инте- гральных величин. В обычном анализе мы говорим об интеграле Римана- Стилтьеса, когда под дифференциалом стоит функция, а не обычная переменная интегрирования: t Z t 0 f (t) dg(t) = n X k=1 f k?1 (g k ? g k?1 ). Подобным образом можно определить и стохастический интеграл по из- менению функции винеровского процесса ?W . Для этого рассмотрим n бесконечно малых отрезков ?t (для простоты одинаковой длительности ?t = t k ? t k?1 ), содержащихся в конечном интервале t. Предполагается, что n ?t = t при n ? ? и ?t ? 0: f(t,W t ) W t W 0 W 1 W 2 W 3 t f 0 t Значения винеровского процесса W k = W (t k ) на границах отрезков зада- ны суммой ( 5.1 ), стр. 124 . Интеграл по изменению случайного винеров- ского процесса определим следующим образом: t Z 0 f (?, W (? )) ?W ? = n X k=1 f t k?1 , W k?1 W k ? W k?1 . (5.8) В подынтегральной функции может находиться любой стохастический процесс, эволюция которого определяется винеровской траекторией W t Например, процессы Орнштейна-Уленбека или Феллера не выражаются в явной функциональной форме через W t , но полностью ею определяют- ся. Стоит обратить внимание на тот факт, что значения функции под дифференциалом вычисляются на краях отрезков: t k = k ?t , а подын- тегральная функция в его первой точке t k?1 . Другими словами, в духе итерационного решения стохастического уравнения мы считаем, что сна- чала реализуется случайное число W k?1 , а затем оно изменяется на ве- личину ?W k = W k ? W k?1 = ? k ? ?t . Вообще говоря, возможны и другие определения стохастического интеграла. Стохастические интегралы 131 • Винеровский процесс имеет нулевой снос a = 0 и единичную вола- тильность b = 1. Поэтому в силу леммы Ито ( 2.15 ), стр. 55 , для его квадрата имеем следующее уравнение: d(W 2 t ) = dt + 2W t ?W t (5.9) Чтобы его формально проинтегрировать, мы должны определить: 2 t Z 0 W ? ?W ? = W 2 t ? t. (5.10) Первое слагаемое в правой части выглядит естественным для обычных правил интегрирования, чего нельзя сказать о втором. Попробуем с ним разобраться. Для этого запишем представление интеграла в виде суммы: 2 n X k=1 W k?1 W k ? W k?1 = n X k=1 h W 2 k ? W 2 k?1 ? W k ? W k?1 2 i , где выполнено элементарное алгебраическое преобразование, которое про- ще проверить в обратном направлении. При суммировании W 2 k ? W 2 k?1 взаимно сокращаются, за исключением границ интегрирования. Так как на нижней границе W 0 = 0 , мы получаем W 2 t . Для третьего члена: t Z 0 (?W ? ) 2 = n X k=1 W k ? W k?1 2 = n X k=1 ? 2 k ?t = u (n?t) = u t. Вообще говоря, этот интеграл отличается от формулы ( 5.8 ), так как бес- конечно малое изменение ?W = ? ? dt стоит в квадрате. Для обычных детерминированных функций подобная сумма оказалась бы равной ну- лю. Однако благодаря фактору ? dt этот стохастический интеграл имеет конечное значение. В разделе § 2.2 , стр. 52 , мы видели, что величина u = (? 2 1 + ... + ? 2 n )/n при n ? ? имеет нулевую волатильность ? u ? 0 и, следовательно, является детерминированным числом со значением, равным u = 1. Фактически плотность вероятности P (u) при больших n это ? 2 - распределение (l C 26 ) с очень узким и высоким максимумом в окрестности единицы. Таким образом, стохастический интеграл: t Z 0 (?W ? ) 2 = t, (5.11) равен детерминированной величине t, и мы приходим к ( 5.10 ). Часто ( 5.11 ) записывают в символическом виде (?W t ) 2 ? dt , что, вообще говоря, неверно. Например, интеграл от W ? (?W ? ) 2 не равен интегралу W ? d? 132 Глава 5. • Представим при помощи стохастического интеграла решение неста- ционарного уравнения Ито с нулевым сносом: dx = f (t) ?W => x(t) = x(0) + t Z 0 f (? ) ?W ? Мы видели ( ( 2.18 ) стр. 56 ), что оно выражается через гауссову перемен- ную ? ? N(0, 1), поэтому: t Z 0 f (? ) ?W ? = ? ? t Z 0 f 2 (? ) d? ? ? 1/2 ?. (5.12) Если подынтегральная функция зависит не только от времени, но и от винеровской переменной W ? , интеграл уже не будет иметь нормальное распределение. Однако, используя рассуждения на стр. 74 , несложно убе- диться, что для стохастического интеграла I t = t Z 0 f (?, W ? ) ?W ? среднее равно нулю I t = 0 , а для среднего квадрата справедливо сле- дующее простое соотношение: I 2 t = t Z 0 f 2 (?, ? ? ? ) d?. (5.13) То есть, чтобы вычислить I 2 t , необходимо возвести подынтегральную функцию в квадрат, усреднить, а затем проинтегрировать по ?. При усреднении мы используем обычную случайную гауссову величину ?, представляя W ? = ? ? ? Повторив рассуждения на стр. 74 , несложно записать среднее для про- изведения двух процессов I 1 (t 1 ) и I 2 (t 2 ) с различными подынтегральны- ми функциями f 1 и f 2 в различные моменты времени: I 1 (t 1 )I 2 (t 2 ) = min(t 1 ,t 2 ) Z 0 f 1 (?, ? ? ? )f 2 (?, ? ? ? ) d?. (5.14) Соотношения ( 5.12 )-( 5.14 ) позволяют вычислять среднее и волатиль- ность случайного процесса, если его решение выражено через стохастиче- ский интеграл. Ряд других полезных формул можно найти в приложении Справочник, стр. 282 Стохастические интегралы 133 • Используя определение стохастического интеграла в виде суммы ( 5.8 ), аналогично обычному анализу можно доказать свойство линейно- сти: t Z 0 ?f (?, W ? ) + ?g(?, W ? ) ?W ? = ? t Z 0 f (?, W ? ) ?W ? + ? t Z 0 g(?, W ? ) ?W ? , где ? и ? некоторые константы. Кроме этого, пределы интегрирования можно разбивать на несколько частей: t 3 Z t 1 f (?, W ? ) ?W ? = t 2 Z t 1 f (?, W ? ) ?W ? + t 3 Z t 2 f (?, W ? ) ?W ? Естественно, предполагается, что времена упорядочены t 1 < t 2 < t 3 • Воспользуемся теперь леммой Ито для F (t, W t ) , считая, что x(t) = W t винеровский процесс с нулевым сносом и единичной дисперсией. dF = ?F ?t + 1 2 ? 2 F ?W 2 dt + ?F ?W ?W. Интегрируя левую и правую часть, можно записать интегральную вер- сию леммы Ито (F 0 = F (0, W (0)) ): F (t, W t ) ? F 0 = t Z 0 ?F (?, W ? ) ?? + 1 2 ? 2 F (?, W ? ) ?W 2 ? d? + t Z 0 ?F (?, W ? ) ?W ? ?W ? Понятно, что в этом соотношении, как и во всех выше, нижний предел в интеграле может быть произвольным моментом времени t 0 . Если функ- ция F не зависит от времени: F (W t ) ? F (0) = 1 2 t Z 0 F 00 (W ? )d? + t Z 0 F 0 (W ? ) ?W ? , (5.15) где штрихи это производные по W . Это соотношение можно использо- вать для интегрирования по частям. Например, если F = W 2 , имеем: 2 t Z 0 W ? ?W ? = W 2 t ? t Z 0 d? = W 2 t ? t. Подобное сведение интеграла по ?W к интегралу по времени d? в ряде случаев бывает удобным. Однако, если подынтегральная функция при этом зависит от W , взять такой интеграл не проще, чем по ?W ? 134 Глава 5. 5.3 Квадратичный функционал ? • Рассмотрим процесс, равный интегралу по времени от квадрата ви- неровской траектории: U t = t Z 0 W 2 ? d? = ? 2 1 + (? 1 + ? 2 ) 2 + ... + (? 1 + ... + ? n ) 2 t 2 n 2 , где мы сразу положили n ?t = t. Введјм гауссовы случайные величины: ? k = ? 1 + ... + ? k , h? i ? j i = D ij = min(i, j). Их матрица дисперсий D имеет единичный определитель det D = 1. Дей- ствительно, вычитая из всех строк первую строку, затем из всех лежа- щих ниже второй вторую строку, и т.д., мы приходим к треугольной матрице с единичными элементами. Например, для n = 4 имеем: det D = det ? ? ? ? 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 3 4 ? ? ? ? = det ? ? ? ? 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 2 2 0 1 2 3 ? ? ? ? = ... = det ? ? ? ? 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 ? ? ? ? Матрица D определяет плотность вероятности величин ? k (§ 1.6 , стр. 30 ): P (? 1 , ..., ? n ) = (2?) ?n/2 e ? 1 2 ? D ?1 ? Для скалярной случайной величины ?: ? = U t t 2 = ? 2 1 + ... + ? 2 n n 2 , найдјм производящую функцию: e p ? = ? Z ?? e p n2 (? 2 1 +...+? 2 n ) P (? 1 , ..., ? n ) d n ? = ? Z ?? e ? 1 2 ? A ? (2?) n/2 d n ? = 1 ? det A , где матрица A размерности n x n равна: A = ? 2p n 2 1 + D ?1 (5.16) Умножая обе части ( 5.16 ) на D и учитывая, что определитель произве- дения равен произведению определителей, а det D = 1, получаем: e p ? = det 1 ? 2p n 2 D ?1/2 Нам необходимо найти предел этого выражения при n ? ?. Стохастические интегралы 135 • Для матрицы D размерности n x n с элементами D ij = min(i, j) до- кажем следующее соотношение: lim n?? det 1 ? x 2 n 2 D = cos(x). Несложно проверить, что обратная к D матрица является ленточной: D ?1 = ? ? ? ? ? ? 2 ?1 0 0 0 ?1 2 ?1 0 0 0 ?1 2 ?1 0 0 0 ?1 2 ?1 0 0 0 ?1 1 ? ? ? ? ? ? Поэтому A n = det (1 ? ? D) = det D ?1 ? ? , где ? = x 2 /n 2 , или A n = det ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ?1 0 0 0 ?1 2 ? ? ?1 0 0 0 ?1 2 ? ? ?1 0 0 0 ?1 2 ? ? ?1 0 0 0 ?1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? Вычисление определителя по первой колонке дајт следующее рекуррент- ное уравнение: A n = (2 ? ?) A n?1 ? A n?2 Решим его сначала в более общем случае: A n = (? + ?) A n?1 ? ??A n?2 Перенося влево ?A n?1 и ?A n?1 , получим две геометрические прогрессии: A n ? ?A n?1 = ? (A n?1 ? ?A n?2 ) = ? n?2 (A 2 ? ?A 1 ) A n ? ?A n?1 = ? (A n?1 ? ?A n?2 ) = ? n?2 (A 2 ? ?A 1 ). Если ? 6= ?, то можно исключить A n?1 и найти A n : A n = A 2 ? ?A 1 ?(? ? ?) ? n ? A 2 ? ?A 1 ?(? ? ?) ? n В нашем случае ? и ? являются корнями уравнения x 2 ?(2??) x+1 = 0 , для которых можно сразу взять ведущий порядок малости по 1/n: ? ? 1 + ? x n , ? ? 1 ? ? x n , A 1 ? A 2 ? 1. Воспользовавшись предельным определением экспоненты, получаем: A n ? 1 2 1 + ?x n n + 1 2 1 ? ?x n n ? e ? x + e ?? x 2 = cos(x), что и требовалось доказать. 136 Глава 5. • Таким образом, интегралу от квадрата винеровской траектории U t = t Z 0 W 2 ? d? соответствует производящая функция Камерона-Мартина: e p U t = 1 p cos(t ? 2p) = 1 + p 1 2 t 2 + p 2 2! 7 12 t 4 + p 3 3! 139 120 t 6 + p 4 4! 5473 1680 t 8 + ..., и, следовательно, следующие средние значения: U t = t 2 2 , U 2 t = 7 12 t 4 , U 3 t = 139 120 t 6 , U 4 t = 5473 1680 t 8 , Процесс U t , как и S t (стр. 124 ), в момент времени t выражается через скалярную случайную величину ?, однако, она имеет не гауссово распре- деление: U t = ? t 2 , e p ? = 1 p cos( ? 2p) , тогда как S t = ? t 3/2 / ? 3 , где ? ? N(0, 1). Зная производящие функции для S t и U t , можно вычислить некоторые стохастические интегралы по ?W . При помощи интегральной версии лем- мы Ито ( 5.15 ), стр. 133 , в качестве упражнения стоит проверить, что: t Z 0 W 2 ? ?W ? = W 3 t 3 ? S t , t Z 0 W 3 ? ?W ? = W 4 t 4 ? 3 2 U t Аналогично, при помощи общей интегральной леммы Ито с функцией, зависящей от времени, имеем: t Z 0 ? ?W ? = t W t ? S t , t Z 0 ? W ? ?W ? = t 2 W 2 t ? t 2 4 ? 1 2 U t Таким образом, изучив статистические свойства трех базовых процессов W t , S t и U t , мы можем вычислять различные средние для достаточно ши- рокого класса случайных процессов, выражаемых через стохастические интегралы. Процесс U t имеет негауссово распределение, однако производящая фун- кция для него была вычислена при помощи n-мерного интеграла Гаусса. Для интегралов по времени от W 3 t , W 4 t ,... получить подобные простые выражения уже не просто. Стохастические интегралы 137 • Найдјм совместную производящую функцию для винеровского про- цесса и двух интегралов от него по времени: W t , S t = t Z 0 W ? d?, U t = t Z 0 W 2 ? d?. Переходя к n скоррелированным гауссовым величинам ? k = ? 1 + ... + ? k , имеем: e q W t +k S t +p U t = (2?) ?n/2 ? Z ?? e b ?? 1 2 ? A ? d? 1 ...d? n Матрица A и вектор b равны: A = ? 2p t 2 n 2 1 + D ?1 , b = k t 3/2 n 3/2 u + q t 1/2 n 1/2 z, где u = (1, ..., 1) единичный вектор, а z = (0, 0, ..., 0, 1) вектор, у которого отлична от нуля только последняя компонента. Проведя инте- грирование, получаем: e q W t +k S t +p U t = e 1 2 b F b ? det A , где F = A ?1 обратная к A матрица. Значение детерминанта нам из- вестно, осталось вычислить показатель экспоненты. Запишем его при помощи векторов u и z b F b = k 2 t 3 (u F u) n 3 + 2kq t 2 (u F z) n 2 + q 2 t (z F z) n , (5.17) где мы воспользовались тем, что матрица F, как и A, симметрична. Пер- вое выражение в круглых скобках равно сумме всех элементов F, второе сумме элементов последней колонки, а третье - элементу в нижнем пра- вом углу матрицы. Так как матрица F является обратной к A, справедливы следующие соотношения: (D ?1 ? (?/n 2 ) 1) F = F · (D ?1 ? (?/n 2 ) 1) · F = 1, где ? = 2p t 2 . Умножая их на D, мы приходим к двум матричным урав- нениям размерности n x n: F ? ? n 2 D · F = D, F ? ? n 2 F · D = D. (5.18) Нас интересует их решение F при больших n. 138 Глава 5. Удобно сразу перейти к пределу n ? ?, заменив дискретные индек- сы на вещественные переменные x = i/n, y = j/n, изменяющиеся от нуля до единицы. В этом случае матрицы становятся функциями двух переменных, а суммы превращаются в интегралы: 1 n min(i, j) ? D(x, y) = D xy = min(x, y), 1 n n X k=1 ? 1 Z 0 dx. Например, вычисление следа матрицы D ij в дискретном и непрерывном вариантах выглядит следующим образом: Tr D = 1 n n X i=1 i n = n(n + 1) 2n 2 ? 1 2 , Tr D = 1 Z 0 xdx = 1 2 Аналогично определяем F (x, y) = F xy = F ij /n . В результате матрич- ные уравнения ( 5.18 ) превращаются в интегральные: F xy ? ? 1 Z 0 D xz F zy dz = D xy , F xy ? ? 1 Z 0 F xz D zy dz = D xy (5.19) Пусть для x < y элемент F xy равен функции F (x, y). В силу симметрии, если x > y, то F xy = F (y, x) . Разбивая пределы интегрирования на три отрезка из ( 5.19 ), при x < y получаем следующие уравнения: F xy ? ? x Z 0 z F zy dz ? ?x y Z x F zy dz ? ?x 1 Z y F yz dz = x, (5.20) F xy ? ? x Z 0 z F zx dz ? ? y Z x zF xz dz ? ?y 1 Z y F xz dz = x. (5.21) Если взять вторую производную по x от первого уравнения и по y от второго, получатся два осцилляторных уравнения: ? 2 F xy ?x 2 + ?F xy = 0, ? 2 F xy ?y 2 + ?F xy = 0, решение которых можно записать в виде: F (x, y) = [f 1 cos(y ? ?) + f 2 sin(y ? ?)] cos(x ? ?) + [f 3 cos(y ? ?) + f 4 sin(y ? ?)] sin(x ? ?), где f i некоторые константы, зависящие от ?. Стохастические интегралы 139 Для того, чтобы их найти, необходимо подставить решение, например, в первое интегральное уравнение ( 5.20 ). Оно обратится в тождество при любых x < y, если f 1 = f 2 = 0 , f 3 = 1/ ? ? , f 4 = tg( ? ?) f 3 . Следователь- но, выражение для матрицы F xy при x 6 y имеет вид: F xy = sin(x ? ?) ? ? h cos(y ? ?) + tg( ? ?) sin(y ? ?) i Теперь несложно найти множители в показателе экспоненты ( 5.17 ): z F z n = F 11 = tg( ? ?) ? ? , u F z n 2 = 1 Z 0 F x1 dx = 1 ? 1 cos( ? ?) ? 1 , u F u n 3 = 2 1 Z 0 y Z 0 F xy dx dy = 1 ? " tg( ? ?) ? ? ? 1 # Поэтому окончательно производящая функция равна: e q W t +k S t +p U t = e M/2 q cos( ? ?) , где ? = 2p t 2 , и M = q 2 t tg( ? ?) ? ? + k 2 t 3 3 3 ? " tg( ? ?) ? ? ? 1 # + kq t 2 2 ? 1 cos( ? ?) ? 1 Заметим, что, если ? = 0, то e q W t +k S t = e 1 2 (q 2 t+ 1 3 k 2 t 3 +kqt 2 ) соответствует двум скоррелированным гауссовым случайным величинам. Приведјм значение некоторых средних: W t S t = t 2 2 , W t U t = S t U t = 0, W 2 t S t = W t S 2 t = W t U 2 t = S t U 2 t = 0, W 2 t U t = 7 6 t 3 , S 2 t U t = 13 30 t 5 Другие соотношения можно найти в разделах R 57 , R 61 , R 62 Стохасти- ческого справочника (стр. 284 ). 140 Глава 5. 5.4 Интегрирование стохастических уравнений • Стохастические интегралы являются традиционным способом запи- си решения стохастических дифференциальных уравнений. Проинтегри- ровав уравнение dx = a(x, t) dt + b(x, t) ?W, можно записать: x(t) = x(t 0 ) + t Z t 0 a(x(? ), ? ) d? + t Z t 0 b(x(? ), ? ) ?W ? (5.22) Пределы интегрирования выбраны таким образом, чтобы автоматиче- ски выполнялось начальное условие x 0 = x(t 0 ) . На самом деле ( 5.22 ), конечно, не решение, а интегральное уравнение, которое обычно решить сложнее, чем исходное дифференциальное. При формальном обосновании стохастических уравнений сначала опре- деляется стохастическое интегрирование, затем записывается интеграль- ное уравнение, и только после этого рассматриваются дифференциаль- ные уравнения. Мы в этой книге приняли обратную форму изложения. • Если снос и волатильность не зависят от x, то интегральное уравне- ние оказывается решением нестационарного винеровского блуждания: x(t) = x(t 0 ) + t Z t 0 a(? ) d? + t Z t 0 b(? ) ?W ? Как мы знаем из ( 5.12 ), этот интеграл выражается через скалярную гаус- сову величину ? ? N(0, 1): x(t) = x(t 0 ) + t Z t 0 a(? ) d? + ? ? t Z t 0 b 2 (? ) ? ? 1/2 ?, и, следовательно, сводится к обычным детерминированным интегралам. Естественно, чтобы вычислить, например, корреляцию с порождающим винеровским блужданием, необходимо учесть, что в данном случае: hx(t) W t i = t Z t 0 b(? ) d?. Поэтому ? в решении и в записи винеровского процесса W t = ? ? t явля- ются различными скоррелированными случайными числами. Стохастические интегралы 141 • Иногда простыми заменами можно устранить зависимость в уравне- нии от x, тем самым превратив интегральное уравнение в решение зада- чи. Рассмотрим в качестве примера уравнение Орнштейна-Уленбека: dx = ?? · (x ? ?) dt + ??W. Сделаем в нјм замену переменных y = e ?t (x ? ?) . В силу леммы Ито новый процесс y удовлетворяет следующему уравнению: dy = ?e ?t ?W => y(t) = y(0) + ? t Z 0 e ?? ?W ? Отсюда решение исходного уравнения имеет вид: x(t) = ? + (x 0 ? ?) e ??t + ? t Z 0 e ?? (t?? ) ?W ? Обычно это решение в таком виде и остајтся, а вычисление средних про- водится по формулам, подобным ( 5.13 ). Так как среднее стохастического интеграла по ?W равно нулю, то для среднего значения процесса Орн- штейна - Уленбека имеем: hx(t)i = ? + (x 0 ? ?) e ??t Дисперсия процесса ? 2 x (t) = (x ? Ї x) 2 равняется: ? 2 x (t) = D t Z 0 ? e ?? (t?? ) ?W ? 2 E Для вычисления среднего необходимо воспользоваться ( 5.13 ), стр. 132 : ? 2 x (t) = ? 2 t Z 0 e ?2?(t?s) ds = ? 2 2? 1 ? e ?2?t . Удобнее, конечно, при помощи ( 5.12 ) сразу записать решение через гаус- сову переменную ?, а затем вычислять средние. В следующей главе (стр. 168 ) при помощи многомерной версии леммы Ито мы получим интегральное представление решения логистического уравнения и уравнения с линейным по x сносом и волатильностью. Стохастические интегралы это очень изящная математическая кон- струкция. Однако до сих пор в этих лекциях мы их не использовали, получая решения уравнений другими методами. (l C 24 ). 142 Глава 5. 5.5 Единственность решений Стохастические уравнения записывают, чтобы описать динамику неко- торой реальной системы. Если соответствующие уравнения адекватны, то вопрос о единственности их решений обычно отходит на второй план. Тем не менее, он рано или поздно встајт перед исследователем и является достаточно важным. Мы рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения, а затем перейдјм к их стохастическому аналогу. Однако сна- чала вспомним некоторые утверждения из анализа. • Мы называем функцию f(x) непрерывной в точке x = c, если преде- лы при стремлении к ней слева x ? c?0 и справа x ? c+0 существуют и равны друг другу. Так, f(x) = 1/x непрерывна во всех точках, кроме x = 0 . Разность f(x + 0) ? f(x ? 0) называется разрывом функции. Для f (x) = 1/x в x = 0 он равен бесконечности. Непрерывная на интервале функция непрерывна в каждой его точке. В этом случае она имеет ограниченные значения и всегда существует такое конечное M, что f (x) 6 M , ? 6 x 6 ?. (5.23) Это неравенство, например, не выполняется для функций f(x) = 1/x, f (x) = tg(x) на интервале ?2 6 x 6 2. Разрывная функция может как удовлетворять этому неравенству (ес- ли имеет конечный разрыв), так и не удовлетворять (для бесконечно- го разрыва). Непрерывная функция, не обращаясь в бесконечность на конечном интервале, всегда ему удовлетворяет. Другое эквивалентное свойство непрерывная функция на интервале всегда имеет конечное минимальное и максимальное значения. • Теорема Ролля утверждает, что, если f(?) = f(?) и в интервале [?...?] производная f 0 (x) непрерывна, то всегда существует такая точ- ка ?: ? 6 ? 6 ?, в которой f 0 (?) = 0 . Интуитивно это понятно. Если функция не постоянная и f(?) = f(?), то внутри [?...?] она всегда до- стигнет минимума или максимума, в которых производная обратится в ноль (левый рисунок): Важно существование на ? 6 x 6 ? конечной производной. Например, для f(x) = 1 ? x 2/3 (рисунок справа) выполняется f(?1) = f(1). Однако f 0 (x) = ?(2/3)/x 1/3 нигде в интервале [?1...1] в ноль не обращается. Стохастические интегралы 143 • Формула конечных приращений Лагранжа непосредственно следует из теоремы Ролля. Если f(?) 6= f(?), то для F (x) = f(x) + ?x всегда можно подобрать такое ?, что: F (?) = F (?) => ? = ? f (?) ? f (?) ? ? ? Поэтому по теореме Ролля существует такое ?, что F 0 (?) = f 0 (?) + ? = 0 , и, следовательно: f (?) ? f (?) = (? ? ?) f 0 (?) , ? 6 ? 6 ?. (5.24) Естественно, такая точка ? может быть и не одна, и мы знаем о ней только то, что она находится где-то внутри отрезка [?...?]. • Лемма Гронуолла - Беллмана: если для констант A, B > 0 на [?...?] справедливо первое неравенство ( 5.25 ), то тогда выполняется и второе: f (x) 6 A + B x Z ? f (s) ds => f (x) 6 A e B (x??) (5.25) Для доказательства введјм функцию: g(x) = x Z ? f (s) ds => g 0 (x) 6 A + B g(x), где мы взяли производную от g(x) и воспользовались первым неравен- ством ( 5.25 ). Неравенство, которому удовлетворяет g(x), похоже на неод- нородное линейное дифференциальное уравнение. Поступая аналогично этому случаю и вводя функцию C(x), имеем: g(x) = C(x) e Bx => C 0 (x) 6 A e ?B x Интегрируя его от ? до x и учитывая, что g(?) = 0 и C(?) = 0, получаем: C(x) 6 A B e ?B? ? e ?Bx => g(x) 6 A B e B(x??) ? 1 Дифференцируя последнее неравенство g 0 (x) = f (x) , мы приходим к ( 5.25 ). В частном случае A = 0 имеем такую форму леммы: f (x) 6 B x Z ? f (s) ds => f (x) 6 0 . (5.26) Поэтому, если f(x) > 0 и она удовлетворяет первому неравенству ( 5.26 ), то это означает, что функция равна нулю: f(x) = 0. 144 Глава 5. • Рассмотрим теперь обыкновенное дифференциальное уравнение: dx dt = a(x, t). (5.27) Для него справедлива теорема о существовании и единственности: Если в открытой области G на плоскости (x, t) функция a(x, t) непрерывна и имеет непрерывную производную по x, то через любую точку G проходит одно и только одно решение ( 5.27 ). Если производная непрерывна, то в соответствии с ( 5.23 ) она ограниче- на: |?a/?x| 6 M, и по формуле конечных приращений ( 5.24 ) мы имеем неравенство Липшица: |a(y, t) ? a(x, t)| 6 M |y ? x|, (5.28) Оно является непосредственным следствием непрерывности ?a(x, t)/?x. Докажем единственность решения ( 5.27 ), представив его в форме ин- тегрального уравнения: x(t) = x 0 + t Z t 0 a x(? ), ? dt. Пусть на интервале [t 0 ... t] существуют два решения x(t) и y(t) с одинако- вым начальным условием x(t 0 ) = y(t 0 ) = x 0 . Запишем их в интегральной форме и вычтем: y(t) ? x(t) = t Z t 0 a y(? ), ? ? a x(? ), ? dt. Так как сумма модулей всегда больше модуля суммы, имеем: |y(t) ? x(t)| 6 t Z t 0 a y(? ), ? ? a x(? ), ? dt 6 M t Z t 0 |y(? ) ? x(? )| dt, где во втором неравенстве мы воспользовались условием Липшица ( 5.28 ). В соответствии с леммой Гронуолла - Беллмана ( 5.26 ), из этого неравен- ства следует, что |y(t) ? x(t)| = 0, и, следовательно, решения совпадают. Подобное доказательство от противного типично для многих некон- структивных рассуждений в математике. Заметим, что мы доказали, что, если производная a(x, t) по x непрерывна, то решение единственно. Для разрывной производной может появиться более одного решения. Стохастические интегралы 145 • Большинство уравнений имеют единственное решение. Однако бы- вают и исключения. Рассмотрим пример: dx dt = 3x 2/3 => x 1/3 = x 1/3 0 + t ? t 0 (5.29) Если начальное условие x 0 = x(0) = 0 , то формально решение имеет вид x = t 3 . Однако несложно проверить, что следующая функция также является решением ( 5.29 ) и удовлетворяет начальным условиям x(0) = 0: x(t) = 0, t < T (t ? T ) 3 , t > T, |